Tích phân I.Các phơng pháp tính tích phân 1. Tính tích phân bằng định nghĩa ,tính chất và bảng nguyên hàm cơ bản 2.Ph ơng pháp tích phân từng phần. Định lí . Nếu u(x) và v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên [ ] ;a b thì: ( ) ' ' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a b u x v x dx u x v x v x u x dx a = hay b b a a b udv uv vdu a = . áp dụng công thức trên ta có qui tắc công thức tích phân từng phần sau: Bớc 1: Viết f(x)dx dới dạng ' udv uv dx= bằng cách chọn một phần thích hợp của f(x) làm u(x) và phần còn lại ' ( ) .dv v x dx= Bớc 2: Tính ' du u dx= và ' ( )v dv v x dx= = . Bớc 3: Tính ' b b a a vdu vu dx= và b uv a . Bớc 5: áp dụng công thức trên. Ví dụ 5: a)Tớnh tớch phõn 3 2 1 3 ln x I dx (x 1) + = + (ĐH-KB-2009) 3 3 3 2 2 2 1 1 1 3 3 1 2 1 1 3 2 2 1 3 ln x dx ln x I dx 3 dx (x 1) (x 1) (x 1) dx 3 3 I 3 (x 1) (x 1) 4 ln x I dx (x 1) + = = + + + + = = = + + = + t u = lnx dx du x = 2 dx dv . (x 1) = + Chn 1 v x 1 = + 3 3 3 3 2 1 1 1 1 ln x dx ln 3 dx dx ln 3 3 I ln x 1 x(x 1) 4 x x 1 4 2 = + = + = + + + + 1 Vậy : 3 I (1 ln 3) ln 2 4 = + − b) TÝnh 1 ln e x xdx ∫ Gi¶i: §Æt lnu x dv xdx =   =  2 2 dx du x x v  =   ⇒   =   2 2 2 2 1 1 1 1 ln ln 1 1 2 2 2 4 4 e e e e x e x e x xdx x xdx + = − = − = ∫ ∫ . VÝ dô 6: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau: a) 2 5 1 ln x dx x ∫ b) 2 0 cosx xdx π ∫ c) 1 0 x xe dx ∫ d) 2 0 cos x e xdx π ∫ Gi¶i: a) §Æt 5 4 ln 1 1 4 dx u x du x dv dx v x x  = =     ⇒   =   = −    . Do ®ã: 2 2 2 2 5 4 5 4 1 1 1 1 ln ln 1 ln 2 1 1 15 4ln 2 4 4 64 4 4 256 x x dx dx x x x x −   = − + = − + − =  ÷   ∫ ∫ . b) §Æt cos sin u x du dx dv xdx v x = =   ⇒   = =   . Do ®ã: ( ) 2 2 0 0 cos sin sin cos 1 2 2 2 2 0 0 x xdx x x xdx x π π π π π π = − = + = − ∫ ∫ . c)§Æt x x u x du dx dv e dx v e = =   ⇒   = =   . Do ®ã: ( ) 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 x x x x xe dx xe e dx e e e e= − = − = − − = ∫ ∫ . 2 d) Đặt cos sin x x u e du e dx dv xdx v x = = = = 2 2 0 0 cos sin sin 2 0 x x x e xdx e x e xdx = . Đặt 1 1 1 1 sin cos x x u e du e dx dv xdx v x = = = = 2 2 2 0 0 cos cos cos 2 0 x x x e xdx e e x e xdx = + . 2 2 2 2 0 0 1 2 cos 1 cos . 2 x x e e xdx e e xdx = = *Cách đặt u và dv trong phơng pháp tích phân từng phần. ( ) b x a P x e dx ( )ln b a P x xdx ( )cos b a P x xdx cos b x a e xdx u P(x) lnx P(x) x e dv x e dx P(x)dx cosxdx cosxdx Chú ý: Điều quan trọng khi sử dụng công thức tích phân từng phần là làm thế nào để chọn u và ' dv v dx= thích hợp trong biểu thức dới dấu tích phân f(x)dx. Nói chung nên chọn u là phần của f(x) mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn ' dv v dx= là phần của f(x)dx là vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm. Có ba dạng tích phân thờng đợc áp dụng tích phân từng phần: 3 Nếu tính tích phân ( ) ( )P x Q x dx mà P(x)là đa thức chứa x và Q(x) là một trong những hàm số: , cos , sin ax e ax ax thì ta thờng đặt ' ( ) ( ) ( ) ( ) du P x dx u P x dv Q x dx v Q x dx = = = = Nếu tính tích phân ( ) ( )P x Q x dx mà P(x) là đa thức của x và Q(x) là hàm số ln(ax) thì ta đặt ( ) ' ( ) ( ) ( ) du Q x dx u Q x dv P x dx v P x dx = = = = Nếu tính tích phân cos ax I e bxdx = hoặc sin ax J e bxdx = thì ta đặt 1 cos sin ax ax du ae dx u e dv bxdx v bx b = = = = hoặc đặt 1 sin cos ax ax du ae dx u e dv bxdx v bx b = = = = Trong trờng hợp này, ta phải tính tích phân từng phần hai lần sau đó trở thành tích phân ban đầu. Từ đó suy ra kết quả tích phân cần tính. 3. Ph ơng pháp đổi biến số Bài toán: Tính ( ) b a I f x dx= , *Phơng pháp đổi biến dạng I Định lí . Nếu 1) Hàm ( )x u t= có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ] ; , 4 2) Hàm hợp ( ( ))f u t đợc xác định trên [ ] ; , 3) ( ) , ( )u a u b = = , thì ' ( ) ( ( )) ( ) b a I f x dx f u t u t dt = = . Ví dụ 1. Hãy tính các tích phân sau: a ) Tớnh tớch phõn ( ) 2 3 2 0 I cos x 1 cos x.dx = (ĐH-KA-2009) b) 1 2 3 0 5I x x dx= + c) ( ) 2 4 0 sin 1 cosJ x xdx = + Giải: a) I = 2 2 5 2 0 0 cos x.dx cos x.dx Ta cú: I 2 = 2 2 2 0 0 1 cos x.dx (1 cos2x).dx 2 = + = 1 1 x sin 2x 2 2 2 4 0 + = ữ Mt khỏc xột I 1 = 2 2 5 4 0 0 cos x.dx cos x.cosx.dx = = 3 2 2 2 5 0 1 2sin x 8 (1 sin x) d(sin x) sin x sin x 2 5 3 15 0 = + = ữ Vy I = I 1 I 2 = 8 15 4 b) Ta có ( ) ( ) 3 3 2 2 5 5 3 3 d x d x x dx x dx + + = = 5 ( ) 1 3 3 0 5 5 3 d x I x + ⇒ = + ∫ ( ) 1 1 1 3 1 2 3 3 3 3 2 0 1 1 1 1 ( 5) 2 5 ( 5) ( 5) 5 1 0 0 3 3 9 1 2 x x d x x x + + = + + = = + + + ∫ 4 10 6 5 3 9 = − . c) Ta cã 2 4 0 (sin 1) (sin )J x d x π = + ∫ 5 1 6 sin sin 2 5 5 0 x x π   = + =  ÷   VÝ dô 2. H·y tÝnh c¸c tÝch sau: a) 4 2 0 4 x dx− ∫ b) 1 2 0 1 dx x+ ∫ Gi¶i: a) §Æt 2sin , ; 2 2 x t t π π   = ∈ −     . Khi x = 0 th× t = 0. Khi 2x = th× 2 t π = . Tõ 2sinx t= ⇒ 2cosdx tdt= 4 2 2 2 2 2 0 0 0 4 4 4sin .2cos 4 cos− = − = = ∫ ∫ ∫ x dx t tdt tdt π π π . b) §Æt , ; 2 2 x tgt t π π   = ∈ −  ÷   . Khi 0x = th× 0t = , khi 1x = th× 4 t π = . Ta cã: 2 cos dt x tgt dx t = ⇒ = . 1 4 4 2 2 2 0 0 0 1 . . 4 1 1 cos 4 0 ⇒ = = = = + + ∫ ∫ ∫ dx dt dt t x tg t t π π π π Chó ý: Trong thùc tÕ chóng ta cã thÓ gÆp d¹ng tÝch ph©n trªn d¹ng tæng qu¸t h¬n nh: 6 Nếu hàm số dới dấu tích phân có chứa căn dạng 2 2 2 2 ,a x a x+ và 2 2 x a (trong trong đó a là hằng số dơng) mà không có cách biến đổi nào khác thì nên đổi sang các hàm số lợng giác để làm mất căn thức, cụ thể là: Với 2 2 a x , đặt sin , ; 2 2 x a t t = hoặc [ ] cos , 0;x a t t = . Với 2 2 a x+ , đặt tan , ; 2 2 = ữ x a t t hoặc ( ) , 0;= x acott t . Với 2 2 x a , đặt { } , ; \ 0 sin 2 2 a x t t = hoặc ; cos a x t = [ ] 0; \ 2 t . *Phơng pháp đổi biến dạng II Định lí : Nếu hàm số ( )u u x= đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ] ;a b sao cho ' ( ) ( ( )) ( ) ( )f x dx g u x u x dx g u du= = thì ( ) ( ) ( ) ( ) u b b a u a I f x dx g u du= = . Ví dụ 3: Tính 1 2 3 0 5I x x dx= + Giải: Đặt 3 ( ) 5u x x= + .Tacó (0) 5, (1) 6u u= = . Từ đó đợc: ( ) 6 5 6 1 2 2 4 10 6 6 5 5 6 5 5 3 9 9 9 9 I udu u u= = = = Ví dụ 4: Hãy tính các tích phân sau bằng phơng pháp đổi biến dạng II: a) ( ) 1 5 0 2 1x dx+ b) 2 ln e e dx x x c) 1 2 0 4 2 1 x dx x x + + + 7 d) 2 2 1 (2 1) dx x − ∫ e) 2 3 3 2 cos(3 ) 3 x dx π π π − ∫ Gi¶i: a) §Æt 2 1u x= + khi 0x = th× 1u = . Khi 1x = th× 3u = Ta cã 2 2 du du dx dx= ⇒ = . Do ®ã: ( ) 1 3 6 5 5 6 0 1 3 1 1 2 1 (3 1) 1 2 12 12 u x dx u du+ = = = − ∫ ∫ = 60 2 3 . b)§Æt lnu x= . Khi x e= th× 1u = . Khi 2 x e= th× 2u = . Ta cã dx du x = ⇒ 2 2 1 2 ln ln 2 ln1 ln 2 1 ln e e dx du u x x u = = = − = ∫ ∫ . c)§Æt 2 1u x x= + + . Khi 0x = th× 1u = . Khi 1x = th× 3u = . Ta cã (2 1)du x dx= + . Do ®ã: 1 3 2 0 1 3 4 2 2 2ln 2(ln 3 ln1) 2ln3 1 1 x du dx u x x u + = = = − = + + ∫ ∫ . d)§Æt 2 1u x= − . Khi 1x = th× 1u = . Khi 2x = th× 3u = . Ta cã 2 2 du du dx dx= ⇒ = . Do ®ã: 2 3 2 2 1 1 3 1 1 1 1 1 ( 1) 1 (2 1) 2 2 2 3 3 dx du x u u = = − = − − = − ∫ ∫ . e)§Æt 2 3 3 u x π = − . Khi 3 x π = th× 3 u π = , khi 2 3 x π = th× 4 3 u π = . Ta cã 3 3 du du dx dx= ⇒ = . Do ®ã: 8 2 4 3 3 3 3 4 2 1 1 1 4 3 cos(3 ) cos sin sin sin 3 3 3 3 3 3 3 x dx udu u = = = ữ 1 3 3 3 3 2 2 3 = = ữ . 3.Ph ơng pháp tích phân từng phần. Định lí . Nếu u(x) và v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên [ ] ;a b thì: ( ) ' ' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a b u x v x dx u x v x v x u x dx a = hay b b a a b udv uv vdu a = . áp dụng công thức trên ta có qui tắc công thức tích phân từng phần sau: Bớc 1: Viết f(x)dx dới dạng ' udv uv dx= bằng cách chọn một phần thích hợp của f(x) làm u(x) và phần còn lại ' ( ) .dv v x dx= Bớc 2: Tính ' du u dx= và ' ( )v dv v x dx= = . Bớc 3: Tính ' b b a a vdu vu dx= và b uv a . Bớc 5: áp dụng công thức trên. Ví dụ 5: a)Tớnh tớch phõn 3 2 1 3 ln x I dx (x 1) + = + (ĐH-KB-2009) 3 3 3 2 2 2 1 1 1 3 3 1 2 1 1 3 2 2 1 3 ln x dx ln x I dx 3 dx (x 1) (x 1) (x 1) dx 3 3 I 3 (x 1) (x 1) 4 ln x I dx (x 1) + = = + + + + = = = + + = + 9 Đặt u = lnx dx du x ⇒ = 2 dx dv . (x 1) = + Chọn 1 v x 1 − = + 3 3 3 3 2 1 1 1 1 ln x dx ln 3 dx dx ln 3 3 I ln x 1 x(x 1) 4 x x 1 4 2 = − + = − + − = − + + + + ∫ ∫ ∫ Vậy : 3 I (1 ln 3) ln 2 4 = + − b) TÝnh 1 ln e x xdx ∫ Gi¶i: §Æt lnu x dv xdx =   =  2 2 dx du x x v  =   ⇒   =   2 2 2 2 1 1 1 1 ln ln 1 12 2 2 4 4 e e e e x e x e x xdx x xdx + = − = − = ∫ ∫ . VÝ dô 6: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau: a) 2 5 1 ln x dx x ∫ b) 2 0 cosx xdx π ∫ c) 1 0 x xe dx ∫ d) 2 0 cos x e xdx π ∫ Gi¶i: a) §Æt 5 4 ln 1 1 4 dx u x du x dv dx v x x  = =     ⇒   =   = −    . Do ®ã: 2 2 2 2 5 4 5 4 1 1 1 1 ln ln 1 ln 2 1 1 15 4ln 2 4 4 64 4 4 256 x x dx dx x x x x −   = − + = − + − =  ÷   ∫ ∫ . b) §Æt cos sin u x du dx dv xdx v x = =   ⇒   = =   . Do ®ã: ( ) 2 2 0 0 cos sin sin cos 1 2 2 2 2 0 0 x xdx x x xdx x π π π π π π = − = + = − ∫ ∫ . c)§Æt x x u x du dx dv e dx v e = =   ⇒   = =   . Do ®ã: 10 [...]... Nếu tính tích phân I = e ax cos bxdx hoặc J = e ax sin bxdx thì du = ae ax dx u = e ax ta đặt 1 dv = cos bxdx v = sin bx b du = aeax dx u = e ax hoặc đặt 1 dv = sin bxdx v = cos bx b Trong trờng hợp này, ta phải tính tích phân từng phần hai lần sau đó trở thành tích phân ban đầu Từ đó suy ra kết quả tích phân cần tính 13 II .Tích phân một số hàm số thờng gặp 1 Tích phân hàm số phân thức... chọn dv = v ' dx là phần của f(x)dx là vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm Có ba dạng tích phân thờng đợc áp dụng tích phân từng phần: 12 Nếu tính tích phân P( x)Q( x)dx mà P(x)là đa thức chứa x và Q(x) là một trong những hàm số: e ax , cos ax, sin ax thì ta thờng đặt du = P ' ( x)dx u = P ( x) dv = Q( x)dx v = Q( x)dx Nếu tính tích phân P( x)Q( x)dx mà P(x) là đa thức của... 2 2 ( 2a 4a 2 a b) Tính tích phân: I= (trong đó , f ( x) = mx + n dx, ax 2 + bx + c mx + n ax 2 + bx + c ( a 0) liên tục trên đoạn [; ] ) +) Bằng phơng pháp đồng nhất hệ số, ta tìm A và B sao cho: mx + n A( 2ax + b) B = 2 + 2 ax + bx + c ax + bx + c ax + bx + c 2 14 +)Ta có I= Tích phân Tích phân A(2ax + b) dx = ax 2 + bx + c dx ax 2 + bx + c b c) Tính tích phân mx + n A(2ax + b) B... 3 2 3 2 = dt = t 3 3 3 2 (1 + tg t ) 6 4 3 6 1 2 Ví dụ 9 Tính tích phân: 0 x3 dx 2 x 1 Giải: 1 2 0 1 2 1 2 x x dx = x + 2 ữdx = xdx + x2 1 x 1 0 1 3 1 2 0 xdx x2 1 1 1 x2 1 1 1 3 2 = 2 + ln x 1 2 = + ln 2 2 8 2 4 0 0 2 Tích phân các hàm lợng giác 2.1.Dạng 1: Biến đổi về tích phân cơ bản Ví dụ 10: Hãy tính các tích phân sau: 2 a) J= sin 2 x sin 7 xdx ; 2 2 b) K = cos x (sin 4... = tgx hoặc đó đa tích phân về dạng hữu tỉ theo biến t +) Nếu R ( sin x,cos x ) là hàm số lẻ đối với sinx nghĩa là: R ( sin x,cos x ) = R ( sin x,cos x ) thì đặt t = cos x +) Nếu R ( sin x,cos x ) là hàm số lẻ đối với cosx nghĩa là: R ( sin x, cos x ) = R ( sin x,cos x ) thì đặt t = sin x 3 .Tích phân hàm vô tỉ 3.1 Dạng 1: Biến đổi về tích phân vô tỉ cơ bản 1 Ví dụ 14 Tính tích phân: I= 0 dx x... cos xdx = 0 0 2 e 1 2 *Cách đặt u và dv trong phơng pháp tích phân từng phần b b P( x)e x dx a b P( x)ln xdx a b P( x)cos xdx a e x cos xdx a u P(x) lnx P(x) ex dv e x dx P(x)dx cosxdx cosxdx Chú ý: Điều quan trọng khi sử dụng công thức tích phân từng phần là làm thế nào để chọn u và dv = v ' dx thích hợp trong biểu thức dới dấu tích phân f(x)dx Nói chung nên chọn u là phần của f(x) mà khi lấy... + C 5 5 5 5 4cos x + 3sin x 2.3.Dạng 3: Đổi biến số để đa về tích phân hàm lợng giác đơn giản hơn (Xem ví dụ 17, 20, 21) 2.4.Chú ý: Nguyên hàm dạng R ( sin x,cos x ) dx , với R ( sin x,cos x ) là một hàm hữu tỉ theo sinx, cosx Để tính nguyên hàm trên ta đổi biến số và đa về dạng tích phân hàm hữu tỉ mà ta đã biết cách tính tích phân Trờng hợp chung: Đặt t = tg x 2dt dx = 2 1+ t2 2t 1 t2 Ta có... x +) Vậy I= = A dx + B m sin x + n cos x + p dx = a sin x + b cos x + c a cos x b sin x dx dx + C a sin x + b cos x + c a sin x + b cos x + c Tích phân dx tính đợc Tích phân a cos x b sin x dx = ln a sin x + b cos x + c + C a sin x + b cos x + c Tích phân a sin x + b cos x + c tính đợc Ví dụ 13 Tính: dx I= cos x + 2sin x dx 4cos x + 3sin x Giải: Bằng cách cân bằng hệ số bất định, tìm A và B... x + 2 ) ( x + 3) nên ta có thể tính tích phân trên bằng cách: Tìm A, B sao cho: 4 x + 11 A B = + , x Ă \ { 3; 2} x + 5x + 6 x + 2 x + 3 2 ( A + B ) x + 3 A + B , x Ă \ 3; 2 4 x + 11 = { } x2 + 5x + 6 x2 + 5x + 6 A + B = 4 A = 3 3 A + 2 B = 11 B = 1 Vậy 4 x + 11 3 1 = + , x Ă \ { 3; 2} x + 5x + 6 x + 2 x + 3 2 1 Do đó 0 1 = 3ln x + 2 1 Ví dụ 8:Tính tích phân: 0 Giải: 1 4 x + 11 dx dx dx =... bản 1 Ví dụ 14 Tính tích phân: I= 0 dx x +1 + x t = cot gx , sau 21 Giải 1 I= 0 1 ) 0 1 Ví dụ 15:Tính tích phân 3 3 2 1 2 2 x2 x + 1 x dx = ( x + 1) 0= 3 2 22 3 ( dx = x +1 + x x+ x 3dx 0 1 Giải: x+ 1 x3dx 1 + x2 0 1 + x2 ( = ( x3 1 + x 2 x 4 )dx = 0 2 2 1 15 3.2.Dạng 2: Biến đổi về tích phân hàm lợng giác (xem ví dụ 2) 3.3Dạng 3: Biến đổi làm mất căn Gồm: Đổi biến số t là toàn bộ căn thức . tính tích phân từng phần hai lần sau đó trở thành tích phân ban đầu. Từ đó suy ra kết quả tích phân cần tính. 12 II .Tích phân một số hàm số thờng gặp 1. Tích. Tích phân I.Các phơng pháp tính tích phân 1. Tính tích phân bằng định nghĩa ,tính chất và bảng nguyên hàm cơ bản 2.Ph ơng pháp tích phân từng