ĐỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2000-2001 MÔN : TOÁN (Bảng A) Ngày thi thứ nhất Bài 1 : Trong mặt phẳng cho hai đường tròn (O 1 ) và (O 2 ) cắt nhau tại hai điểm A, B và P 1 P 2 là một tiếp tuyến chung của hai đường tròn đó (P 1  (O 1 ), P 2  (O 2 )). Gọi M 1 và M 2 tương ứng là hình chiếu vuông góc của P 1 và P 2 trên đường thẳng O 1 O 2 . Đường thẳng AM 1 cắt (O 1 ) tại điểm thứ hai N 1 , đường thẳng AM 2 cắt (O 2 ) tại điểm thứ hai N 2 . Hãy chứng minh N 1 ,B,N 2 thẳng hàng . Bài 2 : Cho số nguyên dương n và cho hai số nguyên nguyên tố cùng nhau a, b lớn hơn 1. Giả sử p, q là hai ước lẻ lớn hơn 1 của a n 6 + b n 6 . Hãy tìm số dư trong phép chia p n 6 + q n 6 cho 6.(12) n . Bài 3 : Với mỗi cặp số thực (a, b), xét dãy số {x n }, n  N, được xác định bởi: x 0 = a và x 1n = x n + b.sinx n với mọi n  N. 1/ Cho b = 1 . Chứng minh rằng với mọi số thực a, dãy {x n } có giới hạn hữu hạn khi n  . Hãy tính giới hạn đó theo a. 2/ Chứng minh rằng với mỗi số thực b>2 cho trước, tồn tại số thực a sao cho dãy {x n } tương ứng không có giới hạn hữu hạn khi n  . ( N là tập hợp các số tự nhiên) ----------------------------- ĐỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2000-2001 MÔN : TOÁN (Bảng A) Ngày thi thứ hai Bài 4 : Xét các số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện sau :             52103 6 3z x }3,2{xmin 2 1 zy yz Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P(x,y,z) = 222 321 zyx  Bài 5 : Cho hàm số g(x) = 2 1 2 x x  . Hãy tìm tất cả các hàm số f(x) xác định , liên tục trên khoảng (-1;1) và thoả mãn hệ thức : (1 - x 2 ).f(g(x)) = (1 + x 2 ) 2 .f(x) với mọi x  (-1;1). Bài 6 : Cho số nguyên n  1. Xét hoán vị (a 1 ,a 2 ,…,a n2 ) của 2n số nguyên dương đầu tiên sao cho các số |a 1i - a i |, i = 1,2,….,2n – 1, đôi một khác nhau . Chứng minh rằng a 1 - a n2 = n khi và chỉ khi 1  a k2 n với mọi k = 1,2,…,n. ----------------------------- ĐỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2001-2002 MÔN : TOÁN (Bảng B) Ngày thi thứ nhất Bài 1 : Trong mắt phẳng cho hai đường tròn cố định (O,R 1 ) và (O,R 2 ) có R 1 >R 2 . Một hình thang ABCD (AB//CD) thay đổi sao cho bốn đỉnh A,B,C,D nằm trên đường tròn (O,R 1 ) và giao điểm của hai đường chéo AC,BD nằm trên đường tron (O,R 2 ). Tìm quỹ tích giao điểm P của hai đường thẳng AD và BC . Bài 2 : Hãy tìm tất cả các hàm số f(x) xác định trên tập hợp số thực R và thoả mãn hệ thức : f(y – f(x)) = f(x 2002 - y) – 2001y.f(x) với mọi số thực x, y. Bài 3 : Cho tập hợp S gồm tất cả các số nguyên trong đoạn [1;2002]. Gọi T là tập hợp gồm tất cả các tập hợp con không rỗng của S . Với mỗi tập hợp X thuộc T , kí hiệu m(X) là trung bình cộng của tất cả các số thuộc X . Đặt : m = || )( T Xm  ở đây tổng lấy theo tất cả các tập hợp X thuộc T . Hãy tính giá trị của m. (|T| kí hiệu số phần tử của tập hợp T) ---------------------------------- ĐỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2001-2002 MÔN : TOÁN (Bảng B) Ngày thi thứ hai Bài 4 : Cho a, b, c là ba số thực tuỳ ý . Chứng minh rằng : 6(a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 )≤ 27abc + 10(a 2 + b 2 + c 2 ) 2 3 Hỏi dấu đẳng thức xảy ra khi nào ? Bài 5 : Xét phương trình : x2 1 + 1 1 x + 4 1 x + … + 2 1 kx  + … + 2 1 nx  = 0 trong đó n là tham số nguyên dương . 1/ Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình nêu trên có duy nhất nghiệm trong khoảng (0;1) ; kí hiệu nghiệm đó là x n . 2/ Chứng minh rằng dãy số (x n ) có giới hạn hữu hạn khi n  Bài 6 : Hãy tìm tất cả các số nguyên dương n thoả mãn điều kiện : C n n2 = (2n) k trong đó k là số các ước nguyên tố của C n n2 . (C n n2 kí hiệu số tổ hợp chập n của tập hợp có 2n phần tử) ---------------------------------- ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM HỌC 2002-2003 MÔN: TOÁN (Bảng A) Ngày thi : 12/3/2003 Bài 1 : Cho hàm số f xác định trên tập hợp số thực R, lấy giá trị trên R và thoả mãn điều kiện : f(cotgx) = sin2x + cos2x với mọi x thuộc khoảng (0;  ). Hãy tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số : g(x) = f(x).f(1-x) trên đoạn [-1;1] Bài 2 : Trong mặt phẳng , cho hai đường tròn cố định (O 1 ) và (O 2 ) tiếp xúc với nhau tại điểm M , và bán kính của đường tròn (O 2 ) lớn hơn bán kính của đường tròn (O 1 ). Xét điểm A nằm trên đường tròn (O 2 ) sao cho 3 điểm O 1 ,O 2 ,A không thẳng hàng . Từ A kẻ các tiếp tuyến AB và AC đến đường tròn (O 1 ) (B và C là các tiếp điểm) . Các đường thẳng MB và MC cắt lại đường tròn (O 2 ),tương ứng, tại E và F . Gọi D là giao điểm của đường thẳng EF và tiếp tuyến tại A của đường tròn (O 2 ) . Chứng minh rằng điểm D di động trên một đường thẳng cố định , khi A di động trên đường tròn (O 2 ) sao cho ba điểm O 1 ,O 2 ,A không thẳng hàng . ( (O) kí hiệu đường tròn tâm O) Bài 3 : Với mỗi số nguyên n>1 , kí hiệu s n là số các hoàn vị (a 1 ,a 2 ,….,a n ) của n số nguyên dương đầu tiên , mà mỗi hoán vị (a 1 ,a 2 ,…., a n ) đều có tính chất 1  |a k - k|  2 với mọi k = 1,2,3,…,n. Chứng minh rằng : 1,75.s 1n < s n < 2.s 1n với mọi số nguyên n >6 ------------------------------------------------ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM HỌC 2002-2003 MÔN: TOÁN (Bảng A) Ngày thi : 13/3/2003 Bài 4 : Hãy tìm số nguyên dương n lớn nhất sao cho hệ phương trình : (x+1) 2 + y 2 1 = (x+2) 2 + y 2 2 = … = (x+k) 2 + y 2 k = … = (x+n) 2 + y 2 n có nghiệm nguyên (x,y 1 ,y 2 ,….,y n ) Bài 5 : Cho hai đa thức : P(x) = 4x 3 - 2x 2 - 15x + 9 và Q(x) = 12x 3 + 6x 2 - 7x + 1 1/ Chứng minh rằng mỗi đa thức đã cho đều có ba nghiệm thực phân biệt 2/ Kí hiệu α và β tương ứng là nghiệm lớn nhất của P(x) và Q(x) . Chứng minh rằng: α 2 + 3β 2 = 4 Bài 6 : Cho tập hợp F gồm tất cả các hàm số f : R   R  thoả mãn điều kiện: f(3x)  f(f(2x)) + x với mọi số thực dương x. Hãy tìm số thực α lớn nhất sao cho với mọi hàm số f thuộc tập hợp F ta đều có : f(x)  α với mọi số thực dương x. ( R  kí hiệu tập hợp các số thực dương). -------------------------------------- . ----------------------------- ĐỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2000-2001 MÔN : TOÁN (Bảng A) Ngày thi thứ hai Bài 4 : Xét các số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện sau :    . ---------------------------------- ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM HỌC 2002-2003 MÔN: TOÁN (Bảng A) Ngày thi : 12/3/2003 Bài 1 : Cho hàm số f xác định trên