www.thuvienhoclieu.com BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM SỐ PHỨC VẬN DỤNG CAO Câu Gọi tập hợp điểm mặt phẳng biểu diễn số phức , ( x, y ��) thỏa mãn điểm biểu diễn số phức Tìm điểm thuộc cho có độ dài lớn A M  1;1 �1 � M� �2 ; � � � � B C D Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: Do M  x; y  C : x  1 nằm đường tròn    N  1; 1 � C   y2  Tâm I  1;  nên có độ dài lớn đường kính, trung điểm Vậy Lời bình: tốn tọa độ lớp , cho đường tròn điểm Tìm điểm cho đạt min, max  x, y �� thỏa mãn Câu Gọi tập hợp điểm mặt phẳng biểu diễn số phức z  x   yi , điểm biểu diễn số phức điểm thuộc cho có độ dài lớn Khi độ dài lớn A B C D Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: M  x; y  nằm đường tròn  C  :  x  1  y2  Tâm Do nằm ngồi nên có độ dài lớn  x, y �� thỏa mãn điểm Câu Gọi tập hợp điểm mặt phẳng biểu diễn số phức , biểu diễn số phức điểm thuộc cho có độ dài bé Khi độ dài bé A B C D Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: M  x; y  nằm đường tròn Tâm www.thuvienhoclieu.com I  1;  Trang www.thuvienhoclieu.com Do nằm ngồi nên có độ dài bé z   5; z   3i  z   6i Câu Cho hai số phức z1 ; z2 thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ z1  z2 A 121 B 25 C 49 D Lời giải Chọn A Gọi z1  a1  b1i, z2  a2  b2i (a1 , b1 , a2 , b2 ��) z1   �  a1  5  b12  25 Khi I  5;  ; R  Tập hợp điểm biểu diễn z1 đường tròn tâm Cũng theo giả thiết, ta có: z2   3i  z2   6i �  a2  1   b2  3   a2  3   b2   2 2 � 8a2  6b2  35  Tập hợp điểm biểu diễn z2 đường thẳng  : x  y  35  d ( I , )  5.8  35 82   15 � d  I ,   R � z1  z2  d  I ,    R  Câu Cho số phức z thỏa mãn M n z 1 z1  Gọi m  z M  max z A C B Câu Cho số phức z thỏa mãn M giá trị biểu thức A 28  n2 B 24 D M  max z  1 i m  z  1 i z   3i  Gọi , Tính  C 26 www.thuvienhoclieu.com D 20 Trang www.thuvienhoclieu.com Câu Kí hiệu z1 nghiệm phức có phần ảo âm phương trình z  16 z  17  Trên mặt phẳng w    2i  z1  i ? tọa độ điểm điểm biểu diễn số phức A M  2;1 B M  3;   C M  3;  D M  2;1 z 1 i  Câu Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z2  iz1 Tìm giá trị nhỏ m biểu thức z1  z2 ? A m   B m  2 D m  2  C m  Lời giải Chọn D Do z1   i  nên điểm biểu diễn M z1 thuộc đường tròn tâm I  1;1 bán kính R  Do z2  iz1 nên điểm M (điểm biểu diễn z2 ) ảnh M qua phép quay tâm O , góc quay 90 Suy z1  z2  M M  2OM ngắn OM ngắn Ta có: OM  R  OI   Vậy:   m  2 2 2 Đề xuất Do z1   i  nên điểm biểu diễn M z1 thuộc đường tròn tâm I  1;1 bán kính R    z1  z2  z1  iz1    i  z1  z1  2OM �  R  OI   2   2  (Vẽ hình thể mơ tả cho phần đánh giá) Câu Tính mơđun số phức z thỏa mãn z.z + 2017( z + z ) = 48 - 2016i A z =4 B z = 2020 Lời giải C z = 2017 Chọn A - Đặt z = a + bi (a, b ��) � z = a - bi www.thuvienhoclieu.com Trang D z =2 www.thuvienhoclieu.com - Ta có: z.z + 2017( z + z ) = 48 - 2016i � 3(a + b2 ) + 4034b.i = 48 - 2016i � a + b = 16 - Vậy z = a +b2 = Chọn A Câu 11: Tính mơđun số phức z thỏa mãn 3 z= z= 2 A B z + z.z - = z =1 z =3 C D 1 z + ( z - z) =1 + ( z + z) i 2 Câu 12: Số số phức z thỏa mãn đẳng thức: A B C D z 1  Câu 13: Cho số phức z thỏa mãn điêu kiện Tính giá trị lớn biểu thức T  z i  z 2i A max T  B max T  C max T  Hướng dẫn giải Chọn C Đặt z = x + yi ( x, y ��) , ta có: z - = � x- 1+ yi = 2 � ( x- 1) + y2 = � x2 + y2 = 2x + 1( *) Lại có: T  z  i  z   i  x   y  1 i  x    y  1 i = x2 +( y + 1) + ( x- 2) +( y - 1) = x2 + y2 + 2y + 1+ x2 + y2 - 4x- 2y + Kết hợp với ( *) , ta được: T = 2x + 2y + + 6- 2x- 2y Áp dụng bất đẳng thức Bunhacopxki ta www.thuvienhoclieu.com Trang D max T  www.thuvienhoclieu.com 2� � T � ( 12 + 12 ) � 2x + 2y + + 6- 2x- 2y � =4 � � � � ( ) ( ) Vậy max T  z  Câu 14 (ĐỀ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2019): Xét số phức z thỏa mãn Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn số phức bán kính A 34 B 26 w  iz  z đường trịn có C 34 D 26 Lời giải Chọn A Ta có Đặt w  iz � w(1  z )   iz � z  w  i    w � w  i   w 1 z w  x  yi  x, y �� x   y  1  Ta có  x  4  y �  x  y  y  1  x  x  16  y � x  y  x  y  14  �  x     y    34 2 Vậy tập hợp điểm biễu diễn số phức w đường trịn có bán kính Câu 15: Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ P 34 z i z với z số phức z �2 khác thỏa mãn Tính 2M  m 2M  m  A 2M  m  B C 2M  m  10 Lời giải Chọn B P  1 Ta có i i 1 �1 � 1 �1 � z | z| Mặt khác: z | z| www.thuvienhoclieu.com Trang D M  m  www.thuvienhoclieu.com Vậy, giá trị nhỏ P  là , xảy z  2i ;  giá trị lớn P xảy 2M  m  z  2i � z  Câu 16: Cho số phức z thỏa mãn Gọi M mlần lượt giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  z   z2  z  Tính giá trị M m 39 B 13 A 13 D C 3 z 3  z 3 8 Câu 17: Cho số phức z thỏa mãn Gọi M , m giá trị lớn nhỏ z A Khi M  m  B  D  C w2   w P   x  y   12 Câu 18: Cho số phức w  x  yi ( x, y �R ) � thoả điều kiện Đặt Khẳng định sau A  P  w 2  B  P  w 2  C Lời giải P   w  4 D  P  w 4  Chọn B Ta có:    w2   w � x  y   xyi  x  yi � x  y   x y  x  y  � x  y  16  x y  x  12 y  � x  y  x y  x  y    x  y   12    �  x  y   12    x  y  x y  x  y   � P    x  y     w  Hay phương án chọn B  P  w 2 Nhận xét: câu đáp án A  w  w w2   w Câu 19: Cho số phức w  x  yi ( x, y �R ) � thoả điều kiện Đặt 2 P  8( x  y )  12 Khẳng định sau P   x  y   12 www.thuvienhoclieu.com Trang 2 www.thuvienhoclieu.com A P  ( w  2)2 B P  ( w  2) 2 C P  ( w  4) D  P  w 4  Nhận xét: thay số thành -4; 12 thành -12 thay làm tương tự khó khăn cặp số (2;4) giá trị thay   Câu 20: Cho w  sin   i cos  với Giá trị A P  23 2018  P  26 w  B P  23   2 thỏa mãn w   w 2018 C P  23 2018 2018 D P  29 i 2018 Hướng dẫn giải Chọn A w    sin   i cos      cos 2  i sin 2 � w    cos 2 Ta có: w  sin   cos       w   w � cos 2  �   Từ giả thiết: �w  2 2 i �w  i � w 1 2 2 2018 Vậy P  23 z  i   iz z  z 1 Câu 21: Cho z1 , z2 hai số phức thỏa mãn phương trình , biết Tính giá trị P  z1  z2 biểu thức: P P A B P  C D P  Lời giải y Chọn D HD: Cách Ta có: 2 z  i   iz � z  i   iz � (2 z  i )(2 z  i )  (2  iz )(2  i z ) � z.z  2iz  2iz  i   2iz  2iz  i z.z � 3z.z  O www.thuvienhoclieu.com Trang x www.thuvienhoclieu.com z 1 � z.z  � z  � z  � z1  2 Chú ý: a.a  a � z  i  (2 z  i )(2 z  i )  (2 z  i )(2 z  i ) Tập hợp điểm biểu diễn số phức z1 , z2 đường tròn tâm O bán kính R  Gọi M ( z1 ), M ( z2 ) � OM  OM  Ta có: Mà uuuur uuuuu r uuuuuur z1  z2  OM  OM  M M  � OM 1M uuuur uuuuu r uuuu r z1  z  OM  OM  OM  OM với M điểm thỏa mãn OM 1MM hình thoi cạnh � OM  � P  Cách Đặt z  x  yi,  x, y �� , ta có z  i  x  (2 y  1)i  iz   y  xi Khi đó: � �z1  z  i   iz � x  (2 y  1)  ( y  2)  x � x  y  � z  � � �z2  Sử dụng công thức D  z1  z2  z1  z2  z1  z2  � z z 2  � z1  z2  Chọn iz  z  1i  z i  Câu 22: Gọi z1 ; z2 ; z3 nghiệm phương trình Biết z1 số ảo P  z2  z3 Đặt , chọn khẳng định đúng? A 4 P 5 B 2 P 3 D 1 P  C 3 P  Lời giải Chọn B � z i iz  z   1i  z  i 0 �  i  z   iz  z 1 0 � � iz  z 10 (*) � Biến đổi phương trình Như vậy: 2 z2 ; z3 nghiệm phương trình (*) P  z2  z3   z2  z3  2 1 ��  ��  17   z2  z3   z2 z3 �� i i www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com Vậy P  17 z   z   2i   z  m  i Câu 23: Cho hai số phức z ,  thỏa mãn ; với m �� tham số Giá  �2 trị m để ta ln có là: m �7 � � m �3 A � m �7 � � m �3 B � C 3 �m  Lời giải D �m �7 Chọn B Đặt z  a  ib,  a , b �� có biểu diễn hình học điểm z   z   2i � x   iy  x    y   i � M  x; y   x  1  y2   x  3   y  2 � 2 x   x   y  � x  y   Suy biểu diễn số phức z đường thẳng  : x  y   Ta có: �  �2 � z  m  i �2 � x  m    y  1 i �2  x  m Mà ta có   y  1 �2 ۳ MI với I   m; 1 MI �d  I ,   � d  I ,   �2 Nên MI �2 ۳ 2 m  5 � 2m  �10 2m  �10 m �3 � � �� �� 2m  �10 m �7 � � Câu 24: Cho số phức z  a  bi P  a b A 3  a ,b �� B 1 thỏa mãn  z   i   z  i   3i  C Lời giải D Chọn C z  a  bi � z  a  bi  z   i  z  i  3i  �  a  bi   i   a  bi  i   3i    � a  b  2b  a    b  1 i   3i www.thuvienhoclieu.com Trang z 2 Tính www.thuvienhoclieu.com b2 � � a  b  2b  a   b2 � b2 � � �2 �� �� � b1 a a 0 a 0 � a  1 � � � 2 Ta có: z1  2i � z1  nên không thỏa yêu cầu toán z2  1  2i � z2  2  12  thỏa yêu cầu toán Vậy P  a  b  z   4i  Câu 25: Cho số phức z thỏa mãn Gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 2 P  z   z i biểu thức Khi modun số phức w  M  mi A 314 B 1258 C 137 D 309 Lờigiải Chọn B 2 z  x  yi  x, y �R  z   4i  �  x  3   y    Giả sử ta có �  x  3   y    P  23 Ta có P  x  y  2 �  x  3   y   � �20 �  100 �x  3   y   � � � � Ta có � 13 P 33 suy M  33, m  13 ta w  33  13i Suy 10 �P  23 �10 ۣ w  1258  x, y �� thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z  z   3i biểu Câu 26: Biết số phức z  x  yi , P  z   i  z   3i thức đạt giá trị nhỏ Tính P  x  y P A Lời giải 61 10 Chọn A Theo giả thiết � x2  y2  B P 253 50 C P 41 D P 18 z  z   3i � x  yi   x     y  3 i  x  4   y  3 � x  y  x  x  16  y  y  � x  y  25  Ta có P Xét điểm  x  1 E  1;1 ;   y  1  F  2; 3  x  2   y  3 M  x; y  Khi đó, P  ME  MF Bài tốn trở thành tìm điểm M � : x  y  25  cho ME  MF đạt giá trị nhỏ www.thuvienhoclieu.com Trang 10 www.thuvienhoclieu.com Gọi M  x; y  Có z    z  2i   z   2i  � z  2i z  2i   z  2i   z   2i  điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng phức x  0; y  � z  2i � � � �� � x  ; y �� �z  2i  z   2i � Vậy Gọi Vậy M   0;2  I  3;2  M �d : x  IM  P  IM Khi IM  d ( I ; d )  Pmin  z   i  z   3i  53 Câu 79: Cho số phức z thỏa mãn Tìm giá trị lớn biểu thức P  z   2i P  53 A max B Pmax  185 C Pmax  106 D Pmax  53 Lời giải Chọn C Gọi M  x; y  A  1;1 B  8;3 C  1; 2  , , , điểm biểu diễn số phức z ,  i ,  3i , 1  2i mặt phẳng phức z   i  z   3i  53 � MA  MB  53  AB � M thuộc đoạn AB P  z   2i MC Có = www.thuvienhoclieu.com Trang 46 www.thuvienhoclieu.com Ta có : CA  13, CB  106 CA �CM �CB  106 Vậy Pmax  106 đạt M trùng B z1 , z2   4i z3 ba nghiệm phương trình z  bz  cz  d   b, c, d �� , w  z1  z2  z3 z nghiệm có phần ảo dương Phần ảo số phức bằng: Câu 80: Biết B 8 A 12 D C 4 Lời giải Chọn C z  bz  cz  d   b, c, d �� Xét phương trình ln có nghiệm thực là phương trình bậc ba với hệ số thực nên z1 z  z1   z  a ' z  b '    a ', b ' ��  Do phương trình tương đương với: z  z1 �� � � �2 z  a ' z  b '   1 � Nên z3 , z2   4i Suy hai nghiệm phức phương trình bậc hai với hệ số thực (1) z3   4i Khi : w  z1  3z2  z3  z1    4i     4i    25  z3   4i Vậy phần ảo w  z1  z2  z3 4 z2   4i  z   i  z z Số phức z có phần Câu 81: Biết hai số phức , thỏa mãn thực a phần ảo b thỏa mãn 3a  2b  12 Giá trị nhỏ P  z  z1  z  z2  www.thuvienhoclieu.com Trang 47 www.thuvienhoclieu.com A Pmin  9945 11 B Pmin   C Pmin  9945 13 D Pmin   Lời giải Chọn C z   8i  P  z  z1  z  z3  Đặt z3  z2 Gọi M , A , B điểm biểu diễn cho z , z1 z3 Khi đó: I  3;  C  Điểm A nằm đường trịn có tâm , bán kính R1  ; I  6;8  C  Điểm B nằm đường trịn có tâm , bán kính R3  Và điểm M nằm đường thẳng d : 3x  y  12  Bài tốn trở thành tìm giá trị nhỏ P  MA  MB  Ta kiểm tra thấy  C1   C3  nằm phía khơng cắt đường thẳng d : 3x  y  12  C�  có tâm I �và bán kính R � đối xứng với  C  qua d  Gọi đường tròn  C � Điểm A�đối xứng với A qua d A�thuộc 1 1 105 � �72 30 � � � � H  I I � d � H ; I ; � 1 � � � I1 I1� : x  y  18  13 13 13 13 � � � � Ta có Gọi suy Ta có   P  MA  MB   MA�  MB   MA�  R1�  MB  R3  �I1� M  I M �I1� I3 www.thuvienhoclieu.com Trang 48 www.thuvienhoclieu.com 9945 Pmin  I1� I3  � P I I 13 Từ điểm , , A� , B M thẳng hàng z   3i  Câu 82: Cho z1 , z2 hai số phức z thỏa mãn điều kiện , đồng thời z1  z2  Tập hợp điểm biểu diễn số phức w  z1  z2 mặt phẳng tọa độ Oxy đường trịn có phương trình đây? 2 2 � 5� � 3� �x  � �y  � A � � � � � 5� � 3� �x  � �y  � B � � � � x  10  C   x  10  D   y    36   y    16 Lời giải Chọn C z   3i   T  có Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện đường tròn tâm I  5;3 , bán kính R  Gọi M , N điểm biểu diễn cho z1 , z2 Khi M , N nằm đường trịn T Có z1  z2  nên suy MN  w  z1  z2   a1  a2    b1  b2  i Giả sử z1  a1  b1i z2  a2  b2i , suy 2 2 Gọi H trung điểm MN , ta có MN  IH nên IH  IM  MH    Vậy ta có  xH     yH    www.thuvienhoclieu.com Trang 49 www.thuvienhoclieu.com a a � xH  � � � �y  b1  b2 H Mà � nên ta suy 2 2 �a1  a2 � �b  b �  � �1  � �  a1  a2  10    b1  b2    36 � � � � � x  10    y    36 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w  z1  z2 đường tròn  2 z   3i �z  2i w   3i �w  2i Câu 83: Xét số phức z , w thỏa mãn điều kiện Giá trị nhỏ biểu thức P zw 26 B 13 A 13 C P 26 D P 13  Lời giải Chọn B Cách 1: Gọi z  a  bi , w  c  di ,  a, b, c, d �� biểu diễn điểm M  a; b  , N  c; d  mặt phẳng  oxy  Từ giả thiết: z   3i �z  2i �  a  1   b  3 i �a   b   i �  a  1   b  3 � a   b   � a  5b �3 Suy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z phần tơ đậm đồ thị có tính biên đường thẳng  : x  y  w   3i �w  2i �  c  1   d  3 i �c   d   i   d  3 � c   d   � c  5d �3 Suy tập hợp điểm N biểu diễn số phức w phần tơ gạch đồ thị có tính biên đường thẳng � : x  y  3 �  c  1 2 www.thuvienhoclieu.com Trang 50 www.thuvienhoclieu.com Khi P  z  w  MN �d  ; �  26 13 Dấu '  ' xảy �M � � �N �� �MN   � y x  5y  3 d O 1 x x  y  3 Cách 2: a  5b �3 � �a  5b �3 �� � c  5d �3 �c  5d �3 �  a  c    b  d  �6  * Từ giả thiết � Và P  z  w  MN   a  c bd đạt giá trị nhỏ Ta có:  a  c  5 b  d  2 � 26 �  a  c   b  d  � � �  a  c  5 b  d  2 � � � �a  c    b  d  � � Vậy Pmin 26  26  13 26 � � a  2b  �M � � �M � c  5d  3 � � � �a  c b  d � �N �� � �N �� 26 uu r �uuuur �   �MN   NM  a  c ; b  d  k n   1;5     � � � 13 z  z   ( z   2i )( z  3i  1) Câu 84: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ A z   2i B www.thuvienhoclieu.com C D Trang 51 www.thuvienhoclieu.com Lời giải Chọn B Đặt w  z   2i Ta có z  z   ( z   2i)( z  3i  1) � ( z   2i) ( z   2i)  ( z   2i ) ( z  3i  1) z   2i  � �� �z   2i  z  3i  � w 1 TH1: z   2i � w  1 (1) TH2: z   2i  z  3i  Đặt z  a  bi ; a, b �� � (a  1)  (b  2)2  (a  1)  (b  3) �b w  (a  2)2  �3 �z a i 2 � Từ  1 ,   1 (2) suy | w | z2  2z   z 1 i z Câu 85: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn A B 1 C Câu 86: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện : phức z có mơđun bằng:  D z   2i  1 w  z   i có mơđun lớn Số A B C D z Câu 87: Trong mặt phẳng phức, xét số phức số phức liên hợp có điểm biểu diễn z   3i  M,M� ; số phức số phức liên hợp có điểm biểu diễn N , N � z  4i  , N, N� Biết M , M � bốn đỉnh hình chữ nhật Tìm giá trị nhỏ A B C 34 D Lời giải Chọn A www.thuvienhoclieu.com Trang 52 13 www.thuvienhoclieu.com M Phân tích: Minh họa điểm biểu diễn mặt phẳng phức ta thấy tứ giác MNN �� M hình chữ nhật ta cần có thêm ln hình cân ( MM ∥� NN � ), nên để MNN ��  NN � điều kiện tứ giác có góc vng MM � M  a; b  M�  a; b  Ta có z   3i    4a  3b    3a  4b  i * Khi đó: N  4a  3b;3a  4b  N�  4a  3b; 3a  4b  Suy , N, N� * Do điểm M , M � tạo thành hình thang cân nhận Ox làm trục đối xứng nên điểm Giả sử: z  a  bi  a, b �� bốn đỉnh hình chữ nhật a  b � 2 � � � MM  NN � 4b   3a  4b  � � a b � 9� 1 2 b  � �  b  5   b    � � � 2� * Với a  b , ta có 9 a  ,b   2 Đẳng thức xảy z  4i   34 74 �5 � 5b z  4i   � b  �  b    b  b  41 �  a 34 �3 � ta có * Với Min z  4i   Vậy: Câu 88: Trong mặt phẳng phức, xét số phức z số phức liên hợp có điểm biểu diễn M ; số z   3i  , N �lần lượt hình chiếu M , N trục phức có điểm biểu diễn N Gọi M � Ox Biết tứ giác MNN �� M hình chữ nhật Tìm giá trị nhỏ z  4i  A B C 34 D 13 Lời giải Chọn A M  a; b  M�  a;0  Ta có z   3i    4a  3b    3a  4b  i * Khi đó: N  4a  3b;3a  4b  N�  4a  3b;  Suy , N, N� * Do điểm M , M � tạo thành hình thang vng ( MM ∥� NN � ) nên điểm bốn Giả sử: z  a  bi  a, b �� a  b � � MM �  NN � � b  3a  4b � � a b � đỉnh hình chữ nhật khi: www.thuvienhoclieu.com Trang 53 www.thuvienhoclieu.com * Với a  b , ta có z  4i    b  5   b  4 2 � 9�  2� b  � � � 2� 9 a  ,b   2 Đẳng thức xảy 34 74 �5 � 5b z  4i   � b  �  b    b  b  41 �  a 34 �3 � ta có * Với Min z  4i   Vậy: Câu 89: Trong mặt phẳng phức, xét số phức z số phức liên hợp có điểm biểu diễn z   3i  M,M� ; số phức có điểm biểu diễn N Gọi N �là điểm đối xứng với N qua N �là hình thoi Tìm phần ảo z để z  4i  đường thẳng MM � Biết tứ giác MNM � đạt giá trị nhỏ 96 192 96 192   A 25 B 25 C 25 D 25 Lời giải Chọn A Phân tích: Dựa vào tính chất hình thoi tứ giác có hai đường chéo vng góc cắt trung điểm đường � N �Ox M  a; b  M�  a ; b  Ta có N  4a  3b;3a  4b  z   3i    4a  3b    3a  4b  i * Khi đó: Suy N �Ox � 3a  4b  � a   b N �là hình thoi nên * Do tứ giác MNM � Giả sử: z  a  bi  a, b �� 25 64 �4 � z  4i   � b  �  b    b  b  41 �3 � * Ta có 96 b � z  4i  25 đạt giá trị nhỏ zw 9 Câu 90: Cho số phức z w thỏa mãn z  w   4i Tìm giá trị lớn biểu thức T zw A max T  176 B max T  14 C max T  D max T  106 Lời giải Chọn D Phân tích: Từ yêu cầu toán ta nghĩ đến BĐT Bunhiacopxki, vấn đề lại biến đổi để xuất z w tốn giải xong www.thuvienhoclieu.com Trang 54 Ta có  2 z w   zw www.thuvienhoclieu.com 2  z  w  25  81  106  T   z  w  �  1 z  w nên 2   106 Do T � 106 zw c 0 Câu 91: Cho số phức z w thỏa mãn z  w  a  bi; a, b �� (hoặc zw c0 T  p z  q w z  w  a  bi; a, b ��) Tìm giá trị lớn biểu thức với p  0, q  Lời giải  2 z w Ta có:   zw  z  w  a  b2  c  T   p z  q w  � p  q 2 Khi  z w   �a  b  c �  p2  q2 � � � �  �a  b  c � T �  p q � � � � Nên 2 3 z   3i  z   i Câu 92: Cho số phức z  x  yi ( x, y ��) thỏa mãn Tính S  x  y biết P  z   2i  z   i biểu thức đạt giá trị lớn A S  B S  16 C S  54 D S  27 Lời giải Chọn C Gọi M  x; y  điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng Oxy Ta có z   3i  z   i �  x  1   y  3   x  3   y  1 � x  y  Gọi A  1;  , B  1;1 , 2 P  z   2i  z   i  MA  MB MA  MB Bài toán trở thành: “Tìm M thuộc đường thẳng d : x  y  cho lớn nhất.” www.thuvienhoclieu.com Trang 55 www.thuvienhoclieu.com Xét P  x, y   x  y , ta có P  A � P  B   1 �  2    Do A , B nằm phía đường thẳng d I  3;3 Gọi I giao điểm AB với d , ta tìm Ta có MA  MB �AB Đẳng thức xảy M trùng với I Do P đạt giá trị lớn 3 M  3;3 tọa độ M Vậy x  y  S    54 Nhận xét: Bài tốn khó A , B nằm khác phía đường thẳng d Khi ta cần tìm điểm đối xứng B ' B qua d M trùng với I  AB '�d z z z  z   6i z1  z2  Tìm giá trị lớn biểu Câu 93: Cho hai số phức , thỏa mãn P  z1  z2 thức A Pmax  26 B Pmax  104 C Pmax  32  Lời giải Chọn A Ta có  z1  z2  z1  z2  z1  z2 www.thuvienhoclieu.com  � z  z2  Trang 56 D Pmax  www.thuvienhoclieu.com �z2   6i  z1 �z1  z2 � � �z1  z2   6i � �z1  z1   6i � �z  z  P  z1  z2 �2 26 � �z1   3i  Suy , dấu "=" xảy �z2   6i  z1 � 17 19i �� z   � ��1 5 �� 23 11i �� z1   � �� Vậy Pmax  26 Tổng quát: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  z2  z0 giá trị lớn biểu thức P  z1  z2 Gọi điểm biểu diễn số phức  z0 �0  z1  z2  m  Tìm z1 , z2 , z0 M , N , K z0  m MN 2   OE  z  z2  OM  ON 2 Ta có 2 z1  z2 z �  z2  2 � z1  z2 � z0  m Suy giá trị lớn P  z1  z2 z0  m z  z  z  z  z2 P  z   2i z Câu 94: Cho số phức thoả mãn Giá trị lớn biểu thức A 5 B 3 www.thuvienhoclieu.com C 52 Trang 57 D 3 www.thuvienhoclieu.com Lời giải Chọn B Cách 1: Đại số z  a  bi  a, b �� Đặt z  z  z  z  z � a  b  a  b �  a  1   b  1   1 Từ giả thiết Ta có P  z   2i   a  5   b    a  b  10a  4b  29  6� 2  a  1   b  1 � � � 47 Dễ thấy P lớn a, b �0 Khi P  12a  6b  29  1 ta có  a  1   b  1  Do a, b �0 nên từ 2 � P  6� 2  a  1   b  1 � � � 47 Suy 2 2  12  �  47  a  1   b  1 � � �  47  10   2 �  a  1   b  1  � � 10 a  1  � �a  b  �  � �� �2 10 � b    a  1, b   � � � Dấu  xảy � Cách 2: Hình học z  a  bi  a, b �� Đặt z  z  z  z  z � a  b  a  b �  a  1   b  1   1 Từ giả thiết Tập hợp M A  1;1 , biểu diễn z thuộc phần đường tròn bán kính R  có tâm B  1;1 C  1; 1 D  1; 1 , , nằm chọn vẹn góc phần tư (bỏ cung nhỏ) P  ME với E  5;  Từ hình vẽ ta thấy max P  HE  ED    www.thuvienhoclieu.com Trang 58 www.thuvienhoclieu.com Nhận xét: Nếu yêu cầu tìm ta làm tương tự z  z  z  z  z2 Câu 95: Cho số phức z thoả mãn Giá trị nhỏ biểu thức P  z   2i A  B 17  Câu 96: Cho số phức z thỏa mãn P = z + - 4i A C  z + z +3 z - z = z2 B 2 D  Giá trị nhỏ biểu thức C D z  z  z  z  a , b, c Câu 97: Cho số phức z thỏa mãn ; dương Gọi M , m P = z - - 3i giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức Tính M  m A 10 + 34 HD: Chọn B Từ đồ thị ta xác định B + 58 C 10 + 58 D 10 E  3;3 , A1  4;0  , A2  0;  , A3  4;  , A4  0; 2  , H1  2;1 EM  EH1  EM max  EA3  58 , www.thuvienhoclieu.com Trang 59 Khi đó, www.thuvienhoclieu.com z2   z  z Câu 98: Cho số phức z thỏa mãn Gọi M , m giá trị lớn nhất, nhỏ z   4i C 57  D 57  �z   i �4 z   3i Câu 99: Cho số phức z thỏa mãn Gọi M giá trị lớn , A 57  Tính M  m B 57  m giá trị nhỏ z   2i Tính M  m A B C D Lời giải Chọn A Lấy điểm I  2; 1 , A  2; 3 , B  2;  ; điểm N biểu diễn số phức z M  AN max  AI   ; BI   � m  BN  BI   Ta có  AI   � Do đó, M  m  z z Câu 100: Cho hai điểm A , B hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự , khác z  z  z0 z1 thỏa mãn đẳng thức Hỏi ba điểm O , A , B tạo thành tam giác gì? ( O gốc tọa độ) ? Chọn phương án đầy đủ A Cân O B Vuông cân O Lời giải D Vuông O C Đều Chọn C z z Hai điểm A , B hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự , OA  z0 OB  z1 AB  z1  z0 Theo giả thiết suy ra: , 2 2 z02  z12  z0 z1 � z0  z0 z1  z1  �  z0  z1  z0  z0 z1  z1  Ta có: � z03  z13  � z03   z13 � z0  z1 � OA  OB 2 2  z  z   z0  z1  z0 z1   z0 z1 � z1  z0  z1 z0 Xét � AB  OA.OB � AB  OB Vậy AB  OB  OA hay tam giác OAB tam giác  www.thuvienhoclieu.com  Trang 60 ... x  i vào 2019i 2018  i  1   i 2019  1  i  1   1009  1010i   1009  1010i 2019i 2018  i  1  i 2019   i  1 w  1009  1010i  i  1010  1010i z  z2  Câu 54: Cho số phức... www.thuvienhoclieu.com    2019  i  1   i  1 504 i 1 2i 2020i  2018   ? ?1009  1010i � a  ? ?1009 ;b  1010 � T  3a  b  2017 2018  2018i 2019 Câu 53: Gọi T tổng phần thực phần... S  1009 C S  Lời giải 1010 D S  Chọn D 2018 z  2017.2018 z  22018   z1  z2  2017.2018 z1 z2  số thực  z2  z1  z2  z1  z1 2018  z1.z1  22018  z1  22018  z1  21009