CHU . O . NG IV: S ˆ O ´ TU . . NHI ˆ EN V ` AS ˆ O ´ NGUY ˆ EN 4.1. S ˆ O ´ TU . . NHI ˆ EN. Sˆo ´ tu . . nhiˆen l`a mˆo . t th`anh tu . . u to´an ho . c lˆau d¯`o . i nhˆa ´ tcu ’ a lo`ai ngu . `o . i. Ng`ay nay, sˆo ´ tu . . nhiˆen d¯u . o . . csu . ’ du . ng o . ’ mo . ino . i, mo . il´uccu ’ ad¯`o . isˆo ´ ng x˜a hˆo . i: trong giao di . ch, mua b´an, thu . t´ın, d¯iˆe . n thoa . i, . Kh´o c´o thˆe ’ h`ınh dung mˆo . tx˜ahˆo . i khˆong c´o sˆo ´ tu . . nhiˆen! Ta d`ung c´ac sˆo ´ 0, 1, 2, 3, 4, . t´ınh to´an (cˆo . ng, tr`u . , nhˆan, chia) trˆen c´ac sˆo ´ d¯´o mˆo . t c´ach ”tu . . nhiˆen” trong mo . i hoa . td¯ˆo . ng cu ’ a m`ınh, song ´ıt khi ta tu . . ho ’ i con ngu . `o . i d¯ ˜a b i ˆe ´ t d¯ ˆe ´ nsˆo ´ tu . . nhiˆen t`u . bao gi`o . v`a b˘a ` ng c´ach n`ao? Khˆong ai c´o thˆe ’ n´oi d¯u . o . . cd¯´ıch x´ac lo`ai ngu . `o . ibiˆe ´ td¯ˆe ´ n c´ac con sˆo ´ t`u . khi n`ao. Ngu . `o . itat`ım d¯u . o . . cmˆo . t v˘an ba ’ ncˆo ’ kh˘a ´ c trˆen d¯´a c´ach d¯ˆay khoa ’ ng 6000 n˘am, trˆen d¯´o c´o c´ac con sˆo ´ biˆe ’ u thi . b˘a ` ng c´ac dˆa ´ uchˆa ´ m v`a ga . ch. M˜ai d¯ˆe ´ nthˆe ´ ky ’ XI, con sˆo ´ khˆong (0) m´o . i ra d¯`o . iv`at`u . d¯´o con ngu . `o . ib˘a ´ td¯ˆa ` u ngh˜ı ra hˆe . thˆa . p phˆan d¯ ˆe ’ biˆe ’ udiˆe ˜ n c´ac con sˆo ´ . Sˆo ´ tu . . nhiˆen ra d¯`o . i l`a do nhu cˆa ` u nhˆa . nbiˆe ´ tvˆe ` sˆo ´ lu . o . . ng cu ’ asu . . vˆa . t. Nhu cˆa ` u d¯´o xuˆa ´ thiˆe . n ngay ca ’ trong mˆo . t x˜a hˆo . id¯o . nso . nhˆa ´ t. Ch˘a ’ ng ha . n, ngu . `o . itacˆa ` n biˆe ´ tsˆo ´ lu . o . . ng cu ’ a d¯`an th´u d¯ˆe ’ tˆo ’ ch´u . cmˆo . t cuˆo . c d¯i s˘an, cˆa ` nbiˆe ´ tsˆo ´ lu . o . . ng cu ’ a bˆen d¯i . ch d¯ˆe ’ tˆo ’ ch´u . c cuˆo . c chiˆe ´ nd¯ˆa ´ u, . v`a khi x˜a hˆo . i c`ang ph´at triˆe ’ nth`ınhu cˆa ` u d¯´o ng`ay c`ang t˘ang. Sau d¯ˆay, ta t`ım c´ach xˆay du . . ng tˆa . pho . . p c´ac sˆo ´ tu . . nhiˆen. D - ˆa ` u tiˆen ta chˆa ´ p nhˆa . nc´omˆo . ttˆa . pho . . p N m`a c´ac phˆa ` ntu . ’ cu ’ a n´o thoa ’ m˜an mˆo . tsˆo ´ t´ınh chˆa ´ tm`a ta go . il`ahˆe . t i ˆe n d¯ ˆe ` Peano. Sau d¯´o, ta d¯i . nh ngh˜ıa c´ac ph´ep cˆo . ng, ph´ep nhˆan c´ac sˆo ´ tu . . nhiˆen, rˆo ` id¯i . nh ngh˜ıa quan hˆe . th´u . tu . . trˆen N v`a d¯u . a ra c´ac t´ınh chˆa ´ tc`ung mˆo ´ i quan hˆe . gi˜u . a ch´ung. Trˆen co . so . ’ c´o d¯u . o . . ctˆa . pho . . p N c´ac sˆo ´ tu . . nhiˆen, vˆe ` sau ta s˜e xˆay du . . ng tˆa . pho . . p Z c´ac sˆo ´ nguyˆen, tˆa . pho . . p Q c´ac sˆo ´ h˜u . utı ’ . 4.1.1. Tˆa . pho . . p c´ac sˆo ´ tu . . nhiˆen v`a hˆe . tiˆen d¯ˆe ` Peano: 4.1.1.1. Mo . ’ d¯ ˆa ` u: Ta biˆe ´ tr˘a ` ng mˆo . t kh´ai niˆe . mm´o . i bao gi`o . c˜ung d¯u . o . . cd¯i . nh ngh˜ıa thˆong qua nh˜u . ng kh´ai niˆe . m tru . ´o . cd¯´o.C˜ung vˆa . y, mˆo . tmˆe . nh d¯ˆe ` d¯ u . o . . cch´u . ng minh nh`o . nh˜u . ng mˆe . n h d¯ ˆe ` d¯ ˜a b i ˆe ´ t tru . ´o . c d¯´o. V`ı vˆa . y, d¯ˆe ’ xˆay du . . ng mˆo . tl´y thuyˆe ´ t to´an ho . c m`a khˆong bi . ro . i v`ao v`ong luˆa ’ n quˆa ’ n, ngu . `o . i ta thu . `o . ng xuˆa ´ t ph´at t`u . mˆo . tsˆo ´ kh´ai niˆe . md¯ˆa ` u tiˆen khˆong d¯i . nh ngh˜ıa, go . i l`a c´ac kh´ai niˆe . m nguyˆen thuy ’ v`a mˆo . tsˆo ´ mˆe . n h d¯ ˆe ` d¯ ˆa ` u tiˆen d¯u . o . . cth`u . a nhˆa . n, khˆong ch´u . ng minh go . i l`a c´ac tiˆen d¯ ˆe ` .Phu . o . ng ph´ap xˆay du . . ng nhu . vˆa . ygo . i l`a phu . o . ng ph´ap tiˆen d¯ˆe ` .L˜etu . . nhiˆen, sˆo ´ c´ac kh´ai niˆe . m nguyˆen thuy ’ v`a sˆo ´ c´ac tiˆen d¯ˆe ` ngh˜ıa l`a sˆo ´ nh˜u . ng d¯iˆe ` ucˆa ` nth`u . a nhˆa . n, nˆen ´ıt nhˆa ´ t m`a vˆa ˜ nd¯u ’ suy ra tˆa ´ tca ’ c´ac kˆe ´ t qua ’ kh´ac. D - ˆo ` ng th`o . inh˜u . ng mˆe . n h d¯ ˆe ` th`u . a nhˆa . nthu . `o . ng l`a nh˜u . ng mˆe . n h d¯ ˆe ` d¯ o . n gia ’ n, “hiˆe ’ n nhiˆen”. Mˆo . t trong nh˜u . ng ngu . `o . id¯ˆa ` u tiˆen xˆay du . . ng mˆo . tl´y thuyˆe ´ t to´an ho . c theo phu . o . ng ph´ap t i ˆe n d¯ ˆe ` l`a nh`a to´an ho . c Euclide (khoa ’ ng 300 n˘am tru . ´o . c cˆong nguyˆen). Cuˆo ´ n 91 s´ach “Nh˜u . ng nguyˆen l´y” cu ’ a ˆong, trong ho . n 20 thˆe ´ ky ’ qua vˆa ˜ n l`a mˆo . tmˆa ˜ umu . . c vˆe ` viˆe . c xˆay du . . ng mˆo . t l´y thuyˆe ´ t to´an ho . c(h`ınh ho . c) b˘a ` ng phu . o . ng ph´ap tiˆen d¯ˆe ` . Ta d¯˜a quen thuˆo . cv´o . itˆa . pho . . p N c´ac sˆo ´ tu . . nhiˆen, N = {0, 1, 2, 3, 4, .}.Tˆa . p ho . . p N c´o phˆa ` ntu . ’ “d¯ˆa ` u tiˆen” l`a 0 v`a ´anh xa . “liˆe ` n sau”: σ : N −→ N :0→ 1 → 2 → 3 → 4 → · · · nhu . vˆa . y, ta thˆa ´ ytˆa . pho . . p N d¯ u . o . . c sinh bo . ’ i 0 v`a ´anh xa . σ. Sau d¯ˆay l`a c´ach mˆo ta ’ tˆa . pho . . p N mˆo . t c´ach to´an ho . ct`u . mˆo . thˆe . t i ˆe n d¯ ˆe ` d¯ u . o . . c nˆeu ra bo . ’ i Peano (1858-1932) v`ao n˘am 1899. 4.1.1.2. Hˆe . tiˆen d¯ˆe ` Peano: Tˆa . pho . . p N m`a c´ac phˆa ` ntu . ’ cu ’ an´od¯u . o . . cgo . il`a c´ac sˆo ´ tu . . nhiˆen, l`a mˆo . ttˆa . pho . . p thoa ’ m˜an: P1. 0 ∈ N. P2. C´o mˆo . t ´anh xa . σ : N −→ N go . i l`a ´anh xa . liˆe ` n sau v`a σ(n)go . il`asˆo ´ liˆe ` n sau cu ’ a n ∈ N. P3. 0 khˆong l`a sˆo ´ liˆe ` n sau cu ’ amˆo . tsˆo ´ tu . . nhiˆen n`ao, ngh˜ıa l`a 0 /∈ σ(N). P4. σ l`a mˆo . td¯o . n ´anh, ngh˜ıa l`a mˆo ˜ isˆo ´ tu . . nhiˆen l`a sˆo ´ liˆe ` n sau cu ’ a khˆong qu´a mˆo . tsˆo ´ tu . . nhiˆen. P5. Mo . itˆa . p con U cu ’ a N c´o c´ac t´ınh chˆa ´ t: a) 0 ∈ U, b) v´o . imo . i n ∈ N,n∈ U ⇒ σ(n) ∈ U, d¯ ˆe ` u tr`ung v´o . itˆa . pho . . p N. 4.1.1.3. Ch´u ´y: 1) T i ˆe n d¯ ˆe ` P1 cho thˆa ´ y N = ∅ v`ıc´o0∈ N. 2) Theo tiˆen d¯ˆe ` P2, tˆo ` nta . isˆo ´ liˆe ` n sau cu ’ a0v`asˆo ´ d¯´o l`a duy nhˆa ´ t, k´y hiˆe . u1=σ(0). La . i theo tiˆen d¯ˆe ` P2, tˆo ` nta . i duy nhˆa ´ tsˆo ´ liˆe ` n sau cu ’ a1,k´yhiˆe . u 2=σ(1). Tiˆe ´ ptu . cnhu . vˆa . y, ta d¯u . o . . cmˆo . th`ınh a ’ nh cu ’ atˆa . pho . . p c´ac sˆo ´ tu . . nhiˆen l`a N = {0, 1, 2, 3, 4, .}. 3) T i ˆe n d¯ ˆe ` P5 c`on go . i l`a nguyˆen l´y cu ’ a ph´ep ch´u . ng minh quy na . p. Thˆa . y vˆa . y, ta x´et mˆo . t h`am mˆe . n h d¯ ˆe ` P (n) v`a go . i U = {n ∈ N | P (n)}.Nˆe ´ u P (0) d¯´ung ta c´o 0 ∈ U. Cho P (n) d¯´ung ngh˜ıa l`a n ∈ U,nˆe ´ utach´u . ng minh d¯u . o . . c P (σ(n)) d¯ ´ung, ngh˜ıa l`a σ(n) ∈ U th`ı U nghiˆe . m d¯´ung ca ’ hai t´ınh chˆa ´ tcu ’ a t i ˆe n d¯ ˆe ` P5. Vˆa . y U = N, ngh˜ıa l`a P (n) d¯´ung v´o . imo . i n ∈ N. 4.1.2. Ph´ep cˆo . ng v`a ph´ep nhˆan trˆen N: 4.1.2.1. D - i . nh ngh˜ıa: 1) Ph´ep cˆo . ng: a) m +0=m v´o . imo . i m ∈ N, b) m + σ(n)=σ(m + n)v´o . imo . i m, n ∈ N v`a m + n d¯ ˜a d¯ u . o . . c x´ac d¯i . nh. 2) Ph´ep nhˆan: a) m0=0v´o . imo . i m ∈ N. b) mσ(n)=mn + m v´o . imo . i m, n ∈ N v`a mn d¯ ˜a d¯ u . o . . c x´ac d¯i . nh. 92 4.1.2.2. T´ınh chˆa ´ t: 1) Ph´ep cˆo . ng v`a ph´ep nhˆan d¯u . o . . c x´ac d¯i . nh trˆen N. 2) σ(n)=n + 1, v´o . imo . i n ∈ N v`a 1 = σ(0). 3) N v´o . i ph´ep cˆo . ng c´o phˆa ` ntu . ’ khˆong v`a v´o . i ph´ep nhˆan c´o phˆa ` ntu . ’ d¯ o . nvi . , ngh˜ıa l`a v´o . imo . i n ∈ N,tac´o n +0=0+n = n, n1=1n = n. 4) Ph´ep cˆo . ng v`a ph´ep nhˆan c´o t´ınh kˆe ´ tho . . p, ngh˜ıa l`a v´o . imo . i m, n, p ∈ N, ta c´o (m + n)+p = m +(n + p), (mn)p = m(np). 5) Ph´ep cˆo . ng v`a ph´ep nhˆan c´o t´ınh giao ho´an, ngh˜ıa l`a v´o . imo . i m, n ∈ N, ta c´o m + n = n + m, mn = nm. 6) Ph´ep nhˆan c´o t´ınh phˆan phˆo ´ id¯ˆo ´ iv´o . i ph´ep cˆo . ng, ngh˜ıa l`a v´o . imo . i m, n, p ∈ N,tac´o m(n + p)=mn + mp, (n + p)m = nm + pm. 7) m + n =0 ⇒ m = n =0. 8) mn =0 ⇒ m = 0 ho˘a . c n =0. 9) Ph´ep cˆo . ng c´o t´ınh gia ’ nu . ´o . c, ngh˜ıa l`a v´o . imo . i m, n, p ∈ N,tac´o m + p = n + p ⇒ m = n. 10) Ph´ep nhˆan c´o t´ınh gia ’ nu . ´o . c, ngh˜ıa l`a v´o . imo . i m, n, p ∈ N,p= 0, ta c´o mp = np ⇒ m = n. Ch´u . ng minh: 1) V´o . i m ∈ N,go . i U = {n ∈ N | m + n ∈ N d¯ u . o . . c x´ac d¯i . nh} v`a U  = {n ∈ N | mn ∈ N d¯ u . o . . c x´ac d¯i . nh}. R˜o r`ang 0 ∈ U v`a 0 ∈ U  . Gia ’ su . ’ n ∈ U , ngh˜ıa l`a m + n d¯ u . o . . c x´ac d¯i . nh. Khi d¯´o m + σ(n)=σ(m + n) ∈ N d¯ u . o . . c x´ac d¯i . nh hay σ(n) ∈ U .Vˆa . y U = N. Gia ’ su . ’ n ∈ U  , ngh˜ıa l`a mn d¯ u . o . . c x´ac d¯i . nh. Khi d¯´o mn + m d¯ u . o . . c x´ac d¯i . nh hay mσ(n)d¯u . o . . c x´ac d¯i . nh t´u . cl`aσ(n) ∈ U  .Vˆa . y U  = N. 2) n +1=n + σ(0) = σ(n +0)=σ(n), v´o . imo . i n ∈ N. 3) Go . i U = {n ∈ N | n +0=0+n = n}. Tac´o0+0=0hay0∈ U. Gia ’ su . ’ n ∈ U hay n +0=0+n = n. Khi d¯´o 0 + σ(n)=σ(0 + n)=σ(n)=σ(n)+0 hay σ(n) ∈ U .Vˆa . y U = N. Go . i U  = {n ∈ N | nσ(0) = σ(0)n = n}. Tac´o0σ(0) = 0.0+0=0=σ(0)0 hay 0 ∈ U  . Gia ’ su . ’ n ∈ U  hay nσ(0) = σ(0)n = n. Khi d¯´o σ(n)σ(0) = σ(n)0+σ(n)=0+σ(n)=σ(n)=σ(n+0) = n+σ(0) = σ(0)n+σ(0) = σ(0)σ(n) hay σ(n) ∈ U  Vˆa . y U  = N. 93 4) V´o . i m, n ∈ N,go . i U = {p ∈ N | (m + n)+p = m +(n + p)}.Tac´o (m + n)+0=m + n = m +(n + 0) hay 0 ∈ U . Gia ’ su . ’ p ∈ U hay (m + n)+p = m +(n + p). Khi d¯´o (m + n)+σ(p)=σ((m + n)+p)=σ(m +(n + p)) = m + σ(n + p)=m +(n + σ(p)) hay σ(p) ∈ U.Vˆa . y U = N. T´ınh kˆe ´ tho . . pcu ’ a ph´ep nhˆan d¯u . o . . cch´u . ng minh trong 6). 5) Go . i U = {n ∈ N | n +1= 1+n}. Ta c´o 0+1= 1+0=1hay 0 ∈ U . Gia ’ su . ’ n ∈ U hay n +1=1+n. Khi d¯´o σ(n)+1= σ(σ(n)) = σ(n +1)=σ(1 + n)= 1+σ(n)hayσ(n) ∈ U.Vˆa . y U = N. Go . i U  = {n ∈ N | 0n =0}.Tac´o0.0=0hay0∈ U  . Gia ’ su . ’ n ∈ U  hay 0n = 0. Khi d¯´o 0σ(n)=0n +0=0+0=0hayσ(n) ∈ U  .Vˆa . y U  = N. V´o . i m ∈ N,go . i U  = {n | m + n = n + m}.Tac´om +0=0+m = m hay 0 ∈ U  . Gia ’ su . ’ n ∈ U  hay m + n = n + m. Khi d¯´o m + σ(n)=m +(n +1)= (m + n)+1=(n + m)+1=n +(m +1) = n +(1+m)=(n +1)+m = σ(n)+m hay σ(n) ∈ U  .Vˆa . y U  = N. V´o . i m ∈ N,go . i U  = {n ∈ N | (m +1)n = mn + n}.Tac´o(m + 1)0 = 0=m0+0 hay 0 ∈ U  . Gia ’ su . ’ n ∈ U  hay (m +1)n = mn + n. Khi d¯´o (m +1)σ(n)=(m +1)n +(m +1) =(mn + n)+(m +1) = (mn + m)+(n +1) = mσ(n)+σ(n)hayσ(n) ∈ U  .Vˆa . y U  = N. V´o . i m ∈ N,go . i U  = {n ∈ N | mn = nm}.Tac´om0=0=0m hay 0 ∈ U  . Gia ’ su . ’ n ∈ U  hay mn = nm. Khi d¯´o mσ(n)=mn + m = nm + m = (n +1)m = σ(n)m hay σ(n) ∈ U  .Vˆa . y U  = N 6) V´o . i n, p ∈ N,go . i U = {m ∈ N | m(n + p)=mn + mp}. Tac´o0(n + p)= 0=0n +0p hay 0 ∈ U . Gia ’ su . ’ m ∈ U hay m(n + p)=mn + mp. Khi d¯´o σ(m)(n + p)=(m + 1)(n + p)=m(n + p)+(n + p)=(mn + mp)+(n + p)= (nm + n)+(pm + p)=nσ(m)+pσ(m)=σ(m)n + σ(m)p hay σ(m) ∈ U .Vˆa . y U = N.D - ˘a ’ ng th´u . cth´u . hai c´o t`u . t´ınh giao ho´an cu ’ a ph´ep nhˆan. Go . i U  = {p ∈ N | (mn)p = m(np)}.Tac´o(mn)0=0=m0=m(n0) hay 0 ∈ U  . Gia ’ su . ’ p ∈ U  hay (mn)p = m(np). Khi d¯´o (mn)σ(p)=(mn)p + mn = m(np)+mn = m(np + n)=m(nσ(p)) hay σ(p) ∈ U  .Vˆa . y U  = N. 7) Gia ’ su . ’ n = 0. Khi d¯´o tˆo ` nta . i k ∈ N sao cho σ(k)=n. Khi d¯´o 0 = m + n = m + σ(k)=σ(m + k). D - iˆe ` u n`ay tr´ai v´o . i t i ˆe n d¯ ˆe ` 3. Vˆa . y n =0. T`u . d¯ ´o suy ra m =0. 8) Gia ’ su . ’ n = 0. Khi d¯´o tˆo ` nta . i k ∈ N sao cho σ(k)=n v`a 0 = mn = mσ(k)=mk + m,nˆenm =0. 9) V´o . i m, n ∈ N,go . i U = {p ∈ N | m + p = n + p ⇒ m = n}.Tac´o m +0=n +0⇒ m = n hay 0 ∈ U . Gia ’ su . ’ p ∈ U hay m + p = n + p ⇒ m = n. Khi d¯´o m + σ(p)=n + σ(p) ⇒ σ(m + p)=σ(n + p) ⇒ m + p = n + p (do σ l`a d¯ o . n ´anh) ⇒ m = n hay σ(p) ∈ U .Vˆa . y U = N. 10) V´o . i m, n ∈ N,tˆo ` nta . i x ∈ N sao cho m = n + x ho˘a . c n = m + x. Khi d¯ ´o mp = np + xp ho˘a . c np = mp + xp.T`u . mp = np suy ra xp =0v`adop =0, ta c´o x = 0. Vˆa . y m = n. 94 4.1.3. Quan hˆe . th´u . tu . . trˆen N: 4.1.3.1. D - i . nh ngh˜ıa: Cho m v`a n l`a hai sˆo ´ tu . . nhiˆen. Ta n´oi + m nho ’ ho . n n ho˘a . c n l´o . nho . n m,k´yhiˆe . u m<nho˘a . c n>mnˆe ´ utˆo ` nta . i x ∈ N,x= 0 sao cho n = m + x. + m nho ’ ho . n hay b˘a ` ng n ho˘a . c n l´o . nho . n hay b˘a ` ng m,k´yhiˆe . u m ≤ n ho˘a . c n ≥ m nˆe ´ u ho˘a . c m = n ho˘a . c m<n.Nhu . vˆa . y, m ≤ n ⇔∃x ∈ N,n= m + x. 4.1.3.2. Mˆe . nh d¯ˆe ` : Quan hˆe . ≤ l`a mˆo . t quan hˆe . th´u . tu . . trˆen N. Ch´u . ng minh: T`u . d¯ i . nh ngh˜ıa ta c´o ngay quan hˆe . ≤ c´o t´ınh chˆa ´ t pha ’ nxa . . Bˆay gi`o . nˆe ´ u m ≤ n v`a n ≤ m th`ı tˆo ` nta . i x, y ∈ N sao cho n = m + x v`a m = n + y. Khi d¯´o m = m + x + y.D`ung luˆa . t gia ’ nu . ´o . c, ta c´o x + y =0. T`u . d¯´o suy ra x = y =0,t´u . cl`am = n. Do d¯´o quan hˆe . ≤ c´o t´ınh chˆa ´ t pha ’ nd¯ˆo ´ ix´u . ng. Quan hˆe . ≤ c`on c´o t´ınh b˘a ´ ccˆa ` u. Thˆa . tvˆa . y, nˆe ´ u m ≤ n v`a n ≤ p th`ı tˆo ` nta . i x, y ∈ N sao cho n = m + x v`a p = n + y. Khi d¯´o p = m +(x + y)v´o . i x + y ∈ N,t´u . cl`a m ≤ p.V`ıvˆa . y quan hˆe . ≤ l`a mˆo . t quan hˆe . th´u . tu . . . 4.1.3.3. Mˆe . nh d¯ˆe ` (Luˆa . t tam phˆan): V´o . imo . i m, n ∈ N, c´o mˆo . t v`a chı ’ mˆo . t trong ba tru . `o . ng ho . . p sau xa ’ y ra: m<n, m= n, m > n. Ch´u . ng minh: Tru . ´o . chˆe ´ t, dˆe ˜ d`ang c´o d¯u . o . . c nhiˆe ` u nhˆa ´ tmˆo . t trong ba tru . `o . ng ho . . p trˆen xa ’ y ra. Bˆay gi`o . ta ch´u . ng minh b˘a ` ng quy na . p theo n l`a v´o . imˆo ˜ i m ∈ N c´o ´ıt nhˆa ´ tmˆo . t trong ba tru . `o . ng ho . . p trˆen xa ’ y ra. V´o . i n = 0, ta c´o m>0 ho˘a . c m =0v´o . imo . i m ∈ N. Gia ’ su . ’ v´o . i n ∈ N ta c´o ´ıt nhˆa ´ tmˆo . t trong ba tru . `o . ng ho . . p m<n, m= n, m > n xa ’ y ra v´o . imo . i m ∈ N.Nˆe ´ u m<nhay m = n th`ı m<σ(n). Nˆe ´ u m>nth`ı m = σ(n) ho˘a . c m>σ(n). 4.1.3.4. Mˆe . nh d¯ˆe ` : V´o . imo . i m, n, k ∈ N, ta c´o: 1) m<n ⇒ m + k<n+ k. 2) m<nv`a k =0 ⇒ mk < nk. Ch´u . ng minh: Nˆe ´ u m<nth`ı tˆo ` nta . i x ∈ N,x=0,n= m + x. Khi d¯´o n + k =(m + k)+x hay m + k<n+ k v´o . imo . i k ∈ N.Nˆe ´ u k =0th`ı nk = mk + xk v´o . i xk =0haymk < nk. 4.1.3.5. D - i . nh l´y: Tˆa . pho . . p N c´ac sˆo ´ tu . . nhiˆen d¯u . o . . cs˘a ´ pth´u . tu . . tˆo ´ tbo . ’ i quan hˆe . ≤. Ch´u . ng minh: Cho A ⊂ N,A= ∅.Tach´u . ng minh A c´o sˆo ´ nho ’ nhˆa ´ t. Go . i A 1 = {n ∈ N | n ≤ x, ∀x ∈ A}. 95 R˜o r`ang A 1 ⊂ N v`a c´o c´ac t´ınh chˆa ´ t: a) 0 ∈ A 1 (v`ı 0 ≤ x, ∀x ∈ N). b) A 1 = N. Thˆa . tvˆa . y, v`ı A = ∅ nˆen tˆo ` nta . i n ∈ A. Khi d¯´o n +1 /∈ A 1 . Nhu . vˆa . y, A 1 thoa ’ m˜an d¯iˆe ` ukiˆe . nth´u . nhˆa ´ tcu ’ a nguyˆen l´y quy na . p, nhu . ng A 1 = N, nˆen n´o khˆong thoa ’ m˜an d¯iˆe ` ukiˆe . nth´u . hai. N´oi c´ach kh´ac, tˆo ` nta . i m ∈ A 1 sao cho m +1 /∈ A 1 . Do m ∈ A 1 nˆen m ≤ x, ∀x ∈ A.M˘a . t kh´ac, m ∈ A v`ınˆe ´ u ngu . o . . cla . itac´o m<x, ∀x ∈ A, khi d¯´o m +1≤ x, ∀x ∈ A hay m +1∈ A 1 . Mˆau thuˆa ’ nv´o . i gia ’ thiˆe ´ tvˆe ` m.Vˆa . y m l`a sˆo ´ nho ’ nhˆa ´ tcu ’ a A. 4.1.3.6. Ch´u´y:Nguyˆen l´y quy na . pc´othˆe ’ ph´at biˆe ’ ula . inhu . sau. Cho n 0 l`a mˆo . tsˆo ´ tu . . nhiˆen v`a P (n) l`a mˆo . t h`am mˆe . n h d¯ ˆe ` v´o . i n ∈ N. Khi d¯´o nˆe ´ u P (n)c´o t´ınh chˆa ´ t P (n 0 ) d¯´ung v`a nˆe ´ u P (k) d¯´ung v´o . i k ≥ n 0 k´eo theo P (k + 1) d¯´ung th`ı P (n) d¯´ung v´o . imo . i n ≥ n 0 . Thˆa . tvˆa . y, chı ’ cˆa ` n ´ap du . ng tiˆen d¯ˆe ` vˆe ` quy na . p v`ao tˆa . pho . . p U = {n ∈ N | 0 ≤ n<n 0 }∪{n ∈ N | n ≥ n 0 ,P(n)}. 4.1.4. Ph´ep tr`u . : 4.1.4.1. Mˆe . nh d¯ˆe ` : V´o . imo . isˆo ´ tu . . nhiˆen m, n,nˆe ´ u m ≤ n th`ı tˆo ` nta . i duy nhˆa ´ t sˆo ´ tu . . nhiˆen x sao cho m + x = n. Ch´u . ng minh: Kˆe ´ t qua ’ c´o ngay t`u . d¯ i . nh ngh˜ıa cu ’ a quan hˆe . ≤ v`a luˆa . t gia ’ nu . ´o . c cu ’ a ph´ep cˆo . ng. 4.1.4.2. D - i . nh ngh˜ıa: Sˆo ´ tu . . nhiˆen x thoa ’ m˜an d¯˘a ’ ng th´u . c m + x = n d¯ u . o . . cgo . i l`a hiˆe . ucu ’ a n v`a m v`a k´yhiˆe . ul`ax = n − m (d¯o . cl`an tr`u . m). Quy t˘a ´ c t`ım hiˆe . u n − m go . i l`a ph´ep tr`u . . Mˆe . nh d¯ˆe ` trˆen cho thˆa ´ y ph´ep tr`u . n−m thu . . chiˆe . nd¯u . o . . c khi v`a chı ’ khi m ≤ n. 4.1.4.3. T´ınh chˆa ´ t: V´o . imo . isˆo ´ tu . . nhiˆen m, n, p m`a p ≤ n, ta c´o: m(n − p)=mn − mp, (n − p)m = nm − pm. Ch´u . ng minh: Theo d¯i . nh ngh˜ıa cu ’ a ph´ep tr`u . ta c´o p +(n − p)=n. Do d¯´o m[p +(n − p)] = mn. Theo t´ınh chˆa ´ t phˆan phˆo ´ icu ’ a ph´ep nhˆan d¯ˆo ´ iv´o . i ph´ep cˆo . ng, ta d¯u . o . . c mp + m(n − p)=mn. Do d¯´o m(n − p)l`ahiˆe . ucu ’ a mn v`a mp,t´u . c l`a m(n − p)=mn − mp. D - ˘a ’ ng th´u . cth´u . hai c´o t`u . t´ınh giao ho´an cu ’ a ph´ep nhˆan. 4.2. S ˆ O ´ NGUY ˆ EN. Sˆo ´ tu . . nhiˆen ra d¯`o . i do nh˜u . ng yˆeu cˆa ` ucu ’ a thu . . ctiˆe ˜ nd¯`o . isˆo ´ ng v`a sa ’ n xuˆa ´ t. Nhu . ng sˆo ´ tu . . nhiˆen khˆong d¯u ’ d¯´ap ´u . ng nh˜u . ng yˆeu cˆa ` ucu ’ a x˜a hˆo . i lo`ai ngu . `o . i ng`ay c`ang ph´at triˆe ’ n. Phˆan sˆo ´ (du . o . ng) d¯u . o . . c con ngu . `o . ibiˆe ´ trˆa ´ ts´o . m do yˆeu cˆa ` uvˆe ` 96 d¯o d¯a . c v`a phˆan chia. Trong mˆo . t di ca ’ o Ai Cˆa . p, c´o t`u . 1550 n˘am tru . ´o . c Cˆong nguyˆen, d¯˜a thˆa ´ y c´o nh˜u . ng kha ’ oc´u . utı ’ mı ’ vˆe ` phˆan sˆo ´ . Sˆo ´ ˆam d¯u . o . . cd¯ˆe ` cˆa . p trong c´ac cˆong tr`ınh cu ’ a c´ac nh`a To´an ho . c ˆ A ´ nD - ˆo . v`ao d¯ ˆa ` u th`o . ik`y Trung cˆo ’ v`a chı ’ d¯ ˆe ´ nthˆe ´ ky ’ th´u . 16 sau Cˆong nguyˆen ngu . `o . i ta m´o . i hˆe ´ t nghi ng`o . vˆe ` gi´a tri . thu . . csu . . cu ’ a n´o. D - iˆe ` ud¯´och´u . ng to ’ sˆo ´ ˆam ra d¯`o . i khˆong pha ’ i do yˆeu cˆa ` ub´u . c b´ach cu ’ a cuˆo . csˆo ´ ng, m˘a . cd`ur˘a ` ng nh˜u . ng ´y ngh˜ıa thu . . ctiˆe ˜ n cu ’ asˆo ´ ˆam l`a d¯iˆe ` u khˆong phu ’ nhˆa . nd¯u . o . . c. Khi minh hoa . cho sˆo ´ ˆam ta thu . `o . ng nˆeu c´ac v´ı du . vˆe ` nh˜u . ng d¯a . ilu . o . . ng c´o hai chiˆe ` u, nhu . : nhiˆe . td¯ˆo . trˆen 0 0 v`a du . ´o . i 0 0 ,d¯ˆo . cao v`a d¯ˆo . sˆau, chuyˆe ’ nd¯ˆo . ng vˆe ` hai chiˆe ` u ngu . o . . c nhau, . Tuy nhiˆen, trong tˆa ´ tca ’ c´ac tru . `o . ng ho . . p d¯ ´o , t a d¯ ˆe ` uc´othˆe ’ diˆe ˜ nd¯a . td¯u . o . . cch´ınh x´ac m`a khˆong cˆa ` n d`ung d¯ˆe ´ nsˆo ´ ˆam. Ch˘a ’ ng ha . n, ngu . `o . i ta vˆa ˜ nd`ung song song hai thuˆa . tng˜u . : nhiˆe . t d¯ ˆo . −10 0 v`a 10 0 du . ´o . i0 0 ,hayd¯ˆo . sˆau −1490m v`a 1490m du . ´o . imu . . cnu . ´o . cbiˆe ’ n, . Li . ch su . ’ d¯˜a ghi nhˆa . nr˘a ` ng sˆo ´ ˆam d¯u . o . . c d¯ ˆe ` cˆa . p d¯ ˆe ´ n tru . ´o . chˆe ´ t trong c´ac cˆong tr`ınh to´an ho . c thuˆa ` n tu´y, nhu . trong vˆa ´ n d¯ ˆe ` gia ’ iphu . o . ng tr`ınh hay trong c´ac biˆe ’ u th´u . cd¯a . isˆo ´ .V`ıvˆa . y, ta h˜ay t`ım hiˆe ’ u nguyˆen nhˆan to´an ho . ccu ’ asu . . ra d¯`o . i c´ac sˆo ´ ˆam. Ta biˆe ´ tr˘a ` ng trong tˆa . pho . . p c´ac sˆo ´ tu . . nhiˆen, ph´ep tr`u . khˆong pha ’ i luˆon luˆon thu . . chiˆe . nd¯u . o . . c, hiˆe . u n − m chı ’ tˆo ` nta . i khi n ≥ m.M˘a . t kh´ac, hiˆe . u n − m ch´ınh l`a nghiˆe . mcu ’ aphu . o . ng tr`ınh m + x = n.Vˆa . yviˆe . c thu . . chiˆe . nd¯u . o . . c ph´ep tr`u . c´o thˆe ’ ph´at biˆe ’ udu . ´o . imˆo . th`ınh th´u . ctu . o . ng d¯u . o . ng kh´ac l`a su . . c´o nghiˆe . mcu ’ aphu . o . ng tr`ınh n´oi trˆen, v`a ta c´o kˆe ´ t luˆa . n sau: trong tˆa . pho . . p N c´ac sˆo ´ tu . . nhiˆen, phu . o . ng tr`ınh m + x = n c´o nghiˆe . m khi v`a chı ’ khi n ≥ m v`a khi d¯´o nghiˆe . mcu ’ a n´o l`a x = n − m. T`u . d¯´o, xuˆa ´ thiˆe . nmˆo . t yˆeu cˆa ` ul`amo . ’ rˆo . ng tˆa . pho . . p N c´ac sˆo ´ tu . . nhiˆen d¯ˆe ’ d¯ u . o . . cmˆo . ttˆa . pho . . psˆo ´ m`a trong d¯´o ph´ep tr`u . luˆon luˆon thu . . chiˆe . nd¯u . o . . c, t´u . cl`a phu . o . ng tr`ınh m + x = n luˆon luˆon c´o nghiˆe . m. Nhu . vˆa . y, viˆe . c xˆay du . . ng tˆa . pho . . psˆo ´ nguyˆen d¯u . o . . cd¯˘a . t ra nhu . mˆo . t yˆeu cˆa ` u nˆo . ita . icu ’ a to´an ho . c. 4.2.1. Xˆay du . . ng tˆa . pho . . p c´ac sˆo ´ nguyˆen t`u . tˆa . pho . . p c´ac sˆo ´ tu . . nhiˆen: 4.2.1.1. Mo . ’ d¯ ˆa ` u: Sau d¯ˆay ta s˜e xˆay du . . ng tˆa . pho . . p Z c´ac sˆo ´ nguyˆen c`ung v´o . i ph´ep cˆo . ng v`a ph´ep nhˆan trˆen n´o t`u . tˆa . pho . . p N c´ac sˆo ´ tu . . nhiˆen v´o . i hai ph´ep to´an d¯˜a c´o trˆen N.V´o . i c´ach cˆa ´ uta . o n`ay, c´ac t´ınh chˆa ´ t quen thuˆo . ccu ’ a ph´ep cˆo . ng v`a ph´ep nhˆan trˆen Z d¯ u . o . . c suy t`u . c´ac t´ınh chˆa ´ t d¯˜a c´o trˆen N. Yˆeu cˆa ` umo . ’ rˆo . ng N d¯ ˆe ’ d¯ u . o . . ctˆa . pho . . psˆo ´ , trong d¯´o ph´ep tr`u . luˆon thu . . chiˆe . n d¯ u . o . . c, c˜ung c´o ngh˜ıa l`a ph´ep cˆo . ng c´o ph´ep to´an ngu . o . . c, hay mo . isˆo ´ d¯ ˆe ` u c´o sˆo ´ d¯ ˆo ´ i. D - ´o ch´ınh l`a b`ai to´an d¯ˆo ´ ix´u . ng ho´a trong d¯a . isˆo ´ . Nhu . ta d¯˜a biˆe ´ t Z = { . ,−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, .} 97 v`a v´o . i hai sˆo ´ tu . . nhiˆen m, n,tˆo ` nta . i duy nhˆa ´ t x ∈ Z sao cho m + x = n,tak´y hiˆe . u x = n − m. Bˆay gi`o . x´et ´anh xa . D : N × N −→ Z cho bo . ’ i D(n, m)=n − m. Khi d¯´o D(n 1 ,m 1 )=D(n 2 ,m 2 ) ⇔ n 1 + m 2 = n 2 + m 1 . V´o . ich´u´yn`ay,tat`ım c´ach xˆay du . . ng tˆa . pho . . p Z. 4.2.1.2. D - i . nh ngh˜ıa: Trˆen tˆa . pho . . p N × N, x´et quan hˆe . hai ngˆoi R: ∀(n 1 ,m 1 ), (n 2 ,m 2 ) ∈ N × N, (n 1 ,m 1 ) R (n 2 ,m 2 ) ⇔ n 1 + m 2 = n 2 + m 1 . Khi d¯´o quan hˆe . R l`a mˆo . t quan hˆe . tu . o . ng d¯u . o . ng trˆen N × N. Tˆa . pho . . pthu . o . ng cu ’ a N×N theo quan hˆe . tu . o . ng d¯u . o . ng R nhu . trˆen, (N×N)/R, d¯ u . o . . ck´yhiˆe . ul`aZ v`a mˆo ˜ i phˆa ` ntu . ’ cu ’ a Z (ch´ınh l`a mˆo ˜ il´o . ptu . o . ng d¯u . o . ng theo quan hˆe . R)go . il`amˆo . tsˆo ´ nguyˆen. X´et ´anh xa . D : N × N −→ Z x´ac d¯i . nh bo . ’ i D(n, m)= (n, m). D - ˆay l`a mˆo . t to`an ´anh v`a thu . `o . ng go . i l`a ph´ep chiˆe ´ utu . . nhiˆen. 4.2.2. Ph´ep cˆo . ng v`a ph´ep nhˆan trˆen Z: 4.2.2.1. D - i . nh ngh˜ıa: Cho x = D(n, m),y= D(p, q) ∈ Z. 1) Ph´ep cˆo . ng: x + y = D(n + p, m + q). 2) Ph´ep nhˆan: xy = D(np + mq, nq + mp). 4.2.2.2. T´ınh chˆa ´ t: 1) Ph´ep cˆo . ng v`a ph´ep nhˆan d¯u . o . . c x´ac d¯i . nh trˆen Z. 2) Ph´ep cˆo . ng v`a ph´ep nhˆan c´o t´ınh giao ho´an, ngh˜ıa l`a v´o . imo . i x, y ∈ Z,ta c´o x + y = y + x, xy = yx. 3) Ph´ep cˆo . ng v`a ph´ep nhˆan c´o t´ınh kˆe ´ tho . . p, ngh˜ıa l`a v´o . imo . i x,y,z ∈ Z,ta c´o (x + y)+z = x +(y + z), (xy)z = x(yz). 4) Z v´o . i ph´ep cˆo . ng c´o phˆa ` ntu . ’ khˆong v`a v´o . i ph´ep nhˆan c´o phˆa ` ntu . ’ d¯ o . nvi . , ngh˜ıa l`a tˆo ` nta . i0  , 1  ∈ Z sao cho v´o . imo . i x ∈ Z,tac´o x +0  =0  + x = x, x1  =1  x = x. 5) Mo . i phˆa ` ntu . ’ cu ’ a Z d¯ ˆe ` u c´o phˆa ` ntu . ’ d¯ ˆo ´ i, ngh˜ıa l`a v´o . imo . i x ∈ Z tˆo ` nta . i (−x) ∈ Z sao cho x +(−x)=(−x)+x =0  . 6) Ph´ep nhˆan c´o t´ınh phˆan phˆo ´ id¯ˆo ´ iv´o . i ph´ep cˆo . ng, ngh˜ıa l`a v´o . imo . i x,y,z ∈ Z,tac´o x(y + z)=xy + xz, (y + z)x = yx + zx. 98 7) Ph´ep cˆo . ng c´o t´ınh gia ’ nu . ´o . c, ngh˜ıa l`a v´o . imo . i x,y,z ∈ Z,tac´o x + z = y + z ⇒ x = y. 8) Ph´ep nhˆan c´o t´ınh gia ’ nu . ´o . c, ngh˜ıa l`a v´o . imo . i x,y,z ∈ Z,z=0  ta c´o xz = yz ⇒ x = y. Ch´u . ng minh: 1) Gia ’ su . ’ x = D(n, m)=D(n  ,m  ),y= D(p, q)=D(p  ,q  ). Khi d¯´o n + m  = n  + m, p + q  = p  + q.Tac´o (n+p)+(m  +q  )=(n  +p  )+(m+q) ⇒ D(n+p, m+q)=D(n  +p  ,m  +q  ). np + m  p = n  p + mp, n  q + mq = nq + m  q, n  p + n  q  = n  p  + n  q, m  p  + m  q = m  p + m  q  ⇒ (np + m  p)+(n  q + mq)+(n  p + n  q  )+(m  p  + m  q)= (n  p + mp)+(nq + m  q)+(n  p  + n  q)+(m  p + m  q  ) ⇒ np + mq + n  q  + m  p  = n  p  + m  q  + nq + mp ⇒ D(np + mq, nq + mp)=D(n  p  + m  q  ,n  q  + m  p  ). Trong c´ac phˆa ` n c`on la . i, cho tu`y´yx = D(n, m),y = D(p, q),z = D(r, s) ∈ Z. 2) x + y = D(n + p, m + q)=D(p + n, q + m)=D(p, q)+D(n, m)=y + x. xy = D(np + mq, nq + mp)=D(pn + qm, pm + qn)=yx. 3) (x + y)+z = D(n + p, m + q)+D(r, s)=D(n + p + r, m + q + s)= D(n, m)+D(p + r, q + s)=x +(y + z). (xy)z = D(np + mq, nq + mp)D(r, s)=D(npr + mqr + nqs + mps, nps + mqs + nqr + mpr)=D(npr + nqs + mps + mqr, nps + nqr + mpr + mqs)= D(n, m)D(pr + qs, ps + qr)=x(yz). 4) D - ˘a . t0  = D(0, 0) v`a 1  = D(1, 0). Khi d¯´o 0  = D(n, n)v`a1  = D(n +1,n) v´o . imo . i n ∈ N. ta c´o x +0  = D(n, m)+D(0, 0) = D(n +0,m+0)=D(n, m)=x. x1  = D(n, m)D(1, 0) = D(n1+m0,n0+m1) = D(n, m)=x. 5) D - ˘a . t −x = D(m, n). Khi d¯´o x +(−x)=D(n, m)+D(m, n)=D(n + m, m + n)=0  . 6) x(y + z)=D(n, m)D(p + r, q + s)=D(n(p + r)+m(q + s),n(q + s)+ m(p + r)) = D((np + mq)+(nr + ms), (nq + mp)+(ns + mr)) = D(np + mq, nq + mp)+D(nr + ms, ns + mr)=xy + xz. 7) x + z = y + z ⇒ D(n + r, m + s)=D(p + r, q + s) ⇒ n + r + q + s = m + s + p + r ⇒ n + q = m + p ⇒ D(n, m)=D(p, q) ⇒ x = y. 8) xz = yz ⇒ D(nr + ms, ns + mr)=D(pr + qs, ps + qr) ⇒ nr + ms + ps + qr = ns + mr + pr + qs ⇒ (n + q)r +(m + p)s =(n + q)s +(m + p)r. Gia ’ su . ’ n + q>m+ p, ngh˜ıa l`a tˆo ` nta . i t ∈ N,t = 0 sao cho n + q = m + p + t. Khi d¯´o (m + p)r + tr +(m + p)s =(m + p)s + ts +(m + p)r ⇒ tr = ts ⇒ r = s. D - i`eu n`ay mˆau thuˆa ’ nv´o . i z = D(r, s) =0  .Tu . o . ng tu . . n + q<m+ p c˜ung dˆa ˜ n d¯ ˆe ´ n mˆau thuˆa ’ n. Vˆa . y n + q = m + p hay x = y. 99 4.2.2.3. Hˆe . qua ’ : Tˆa . pho . . p Z c´ac sˆo ´ nguyˆen c`ung v´o . i ph´ep cˆo . ng v`a nhˆan trong (4.2.2.1) ta . o th`anh mˆo . t v`anh giao ho´an c´o d¯o . nvi . v`a khˆong c´o u . ´o . ccu ’ a0. 4.2.2.4. Quan hˆe . gi˜u . a N v`a Z: X´et ´anh xa . f : N −→ Z : n → f(n)=D(n, 0). Khi d¯´o ´anh xa . f c´o c´ac t´ınh chˆa ´ t sau: 1) f l`a mˆo . td¯o . n ´anh. Thˆa . tvˆa . y, v´o . i n 1 ,n 2 ∈ N,f(n 1 )=f(n 2 ), ta c´o D(n 1 , 0) = D(n 2 , 0) hay n 1 +0=0+n 2 hay n 1 = n 2 . 2) f ba ’ o to`an ph´ep cˆo . ng v`a ph´ep nhˆan, ngh˜ıa l`a v´o . imo . i n 1 ,n 2 ∈ N, f(n 1 + n 2 )=f(n 1 )+f(n 2 ),f(n 1 .n 2 )=f(n 1 ).f(n 2 ). Thˆa . tvˆa . y, ta c´o f (n 1 + n 2 )=D(n 1 + n 2 , 0) = D(n 1 , 0) + D(n 2 , 0) = f (n 1 )+ f(n 2 ),f(n 1 .n 2 )=D(n 1 .n 2 , 0) = D(n 1 , 0)D(n 2 , 0) = f(n 1 ).f(n 2 ). T`u . c´ac t´ınh chˆa ´ t trˆen cu ’ a ´anh xa . f, ta c´o thˆe ’ d¯ ˆo ` ng nhˆa ´ tmˆo ˜ isˆo ´ tu . . nhiˆen n v´o . isˆo ´ nguyˆen D(n, 0): n = D(n, 0) v`a do d¯´o N l`a mˆo . ttˆa . p con thu . . csu . . cu ’ a Z.T`u . d¯´o ta c´o: 0  = D(0, 0) = 0, 1  = D(1, 0) = 1. 4.2.3. Ph´ep tr`u . trˆen Z: 4.2.3.1. Mˆe . nh d¯ˆe ` : Phu . o . ng tr`ınh a + x = b v´o . i a, b ∈ Z luˆon c´o nghiˆe . m trong Z v`a nghiˆe . m d¯´o l`a duy nhˆa ´ t. Ch´u . ng minh: D - ˘a . t x = −a + b v´o . i −a l`a sˆo ´ d¯ ˆo ´ icu ’ a a,tac´o a + x = a +(−a + b)=(a +(−a)) + b =0+b = b. Vˆa . y −a + b l`a mˆo . t nghiˆe . mcu ’ aphu . o . ng tr`ınh. Ngo`ai ra, nˆe ´ u x 0 ∈ Z l`a nghiˆe . mcu ’ aphu . o . ng tr`ınh trˆen, ta c´o a + x 0 = b. Khi d¯´o −a +(a + x 0 )=−a + b hay x 0 = −a + b. Vˆa . y nghiˆe . mcu ’ aphu . o . ng tr`ınh l`a duy nhˆa ´ t. 4.2.3.2. D - i . nh ngh˜ıa: Nghiˆe . mcu ’ aphu . o . ng tr`ınh a + x = b go . i l`a hiˆe . ucu ’ a b v`a a,k´yhiˆe . u b − a (d¯o . cl`ab tr`u . a). Theo mˆe . n h d¯ ˆe ` trˆen, ta c´o hiˆe . u b − a luˆon tˆo ` nta . iv`ach´ınh l`a tˆo ’ ng cu ’ a b v´o . i sˆo ´ d¯ ˆo ´ icu ’ a a : b − a = b +(−a). Vˆa . y b tr`u . a l`a tˆo ’ ng cu ’ a b v´o . isˆo ´ d¯ ˆo ´ icu ’ a a v`a ph´ep tr`u . trˆen Z luˆon luˆon thu . . c hiˆe . nd¯u . o . . c. 100