RÈN GIẢI BT LIÊN QUAN ĐỊNH LÝ LAGĂNG Nhớ chuyện Ông chấm thi vấn đáp Thường những thầy giỏi rất thu hút sự chú ý của học sinh khi giảng bài. Học sinh rất thích thú khi dược tin thầy lên lớp. Những thầy giỏi cũng thừơng đặt ra yêu cầu cao đối với học sinh, nhất là đói với những học sinh giỏi. Giai đoạn cùng với thầy Lagrăng thì ông được xếp vào hạng một trong những nhà toán học bậc nhất thế giới thời bấy gìờ, ông đã hoàn thành nhiều công trình,công trình lớn nhất thuộc về lĩnh vực giải tích cổ điển và giải tích hiện đại. Vua Napoleon đã nhận xét: “ Lagrănglà một hình chóp cao của khoa học toán học”.có một định lý chúng ta sẽ nêu lên dưới đây. Bây giờ chúng ta hãy nghe chuyện ông chấm thi vấn đáp dã: Việc bổ nhiệm một giáo sư đang giảng dạy tại một trường đại học ở thủ đô nước Pháp làm người khảo hạch cuối cùng để tuyển chọn thí sinh đủ điều kiện vào học bậc đại học đòi hỏi nhiều tiêu chuẩn. Ông là một trong nhũng người được bổ nhịêm làm việc đó. Trong phòng thi do ông phu trách hôm nay có 25 thí sinh, trong đó có ba học sinh giỏi, trong số thí sinh đổ thi viết vừa rồi, cả ba cậu đều đổ hạng ưu ( như loại giỏi bây giờ ), ba học sinh nầy đã có giải trong đợt thi học sinh giỏi toán cấp quốc gia mà thầy Lagrăng làm chủ tịch hội đông coi thi và chấm thi. Chính thầy đã xem lại và cân nhắc bài của từng em trước khi công bố kết quả. Thi viết mà đậu được hạng ưu là rất hiếm,thầy cho ba học sinh nầy thi sau cùng. Buổi thi gần kết thúc.Trong phòng còn lại ba thí sinh loại ưu và một thầy giáo có tiếng. Các bạn thi xong chưa chịu về mà đứng lại vừa xem các bạn khác thi, và cũng đợi nhau nghe ngóng thông tin. Một trong ba thí sinh còn lại nghe thầy đọc số báo danh, tên, nhanh nhẹn bước lên Trong mỗi câu, thầy thu hẹp giả thiết, mở rông đề toán, câu hỏi nào cũng đều hóc búa, khác với loại câu hỏi dành cho những thí sinh trước. Xong câu thứ tư, thí sinh nầy toát mồ hôi, ướt hết cả áo, vừa bước ra khỏi phòng thì ngất xĩu . Thí sinh còn lại tiếp theo cũng rơi vào trường hợp tương tự, nhưng có nặng hơn là mọi người phải dìu cậu ta vào phòng y tế của nhà trường để nhờ y tá chăm sóc Thí sinh cuối cùng bước lên. Thầy đưa mắt lướt qua thí sinh,rồi nhìn tiếp vào bảng ghi tên ghi điểm: - Cậu là người Ý ? - Dạ không, em là người Pháp. - Người Pháp làm gì có tên Aragô - Thưa thầy, trong giấy khai sinh em có quốc tịch Pháp.Xin thầy hãy làm nhiệm vụ một người coi thi đi ạ. Thầy nhìn qua đôi mắt thí sinh, nghĩ thầm : có lẽ đây là thí sinh cừ nhất. ông nói: - Tôi hy vọng rằng, cậu không giống như hai người bạn của cậu vừa rồi. - Em nghĩ rằng, chắc là do hai bạn đó mất bình tĩnh. - Người dốt thường vin vào cớ mất bình tĩnh - Nhưng thưa thầy vừa rồi thi viết hai bạn đó đã đỗ loại ưu! - Tôi biết, nhưng hôm nay thì không. - Chuyên đó………….nhưng xin thầy hãy nêu câu hỏi của đề thi. Thầy ghi một đề toán lên bảng. Aragô đứng nhìn hơi lâu một chút. - Sao, có làm được không? Nếu không thì tôi thêm một điều kiện nữa vào giả thiết của bài toán. - Thưa, không phải làm không được, theo em nếu bớt đi một điều kiện ở giả thiết đang có của đề bài thì bài toán mới có tính tổng quát. - Chuyện đó nói sau. Bây giờ cậu làm bài này đã. Bài toán hình học giải tích có vận dụng bất đẳng thức thông thường có 4 câu hỏi, nay ông gộp lại chỉ còn vón vẹn một câu. Thí sinh chăm chỉ trình bày, thỉnh thoảng dùng khăn lau để chữa lai những phần chưa đạt theo ý riêng của mình. Còn thầy cứ bước chậm lên xuống trong phòng một tay để sau lưng, tay kia, ngón trỏ sờ vào mũi, vào râu, chốc chốc nhìn bài làm trên bảng, rôì ông ngồi lên ghế và nhìn người học trò giỏi đang hoàn tất bài thi của mình. - Thưa thầy em đã làm xong. Người thầy giỏi nhìn lướt qua, trong lòng sung sướng khi gặp những học sinh như vậy. Bài làm không phạm một lỗi nhỏ nào, lại còn trình bày khoa học nữa. Tuy vậy ông tỏ ra bình thản, không thốt lên một ý nhỏ nhận xét nào. Mà ông hỏi tiếp: - Theo tôi được biết, Cách giải bài toán trên bảng, không phải là cách giải mà thầy ở trường anh đã truyền đạt. mà đó chính là cách giải của tôi .Tại sao anh không dùng cách giải của thầy anh? Hay anh mị tôi? - Thưa thầy, đúng là thầy em ở trường đã dạy giải bài toán dạng nầy theo một cách khác, nhưng cách trên bảng hay hơn. Giáo sư nghiêm nét mặt, nói tiếp: - Vậy anh hãy trình bày điểm hay đó. Nếu không tôi sẽ đánh rớt anh ít nhất là về mặt vi phạm đạo đức: anh đã tìm cách mị giám khảo Người học trò cẩn thận nêu rõ những điểm hay một cách tuần tự mà chỉ có con đường này mới có. Người coi thi tươi nét mặt, nhún vai, rồi ngúc nhẹ mái đầu, tóc đã điểm muối tiêu, miệng cười và nói lên câu mà sau khi nghe xong câu này người thi cuối cùng cũng bị ngất xĩu, mọi người phải đưa anh vào phòng cấp cứu: - Tên anh, tôi sẽ ghi lên đầu bảng. ************* Một định lý có trước, đó là Định lý giá trị trung gian Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] thì với mỗi số thực M nằm giữa f(a) và f(b), tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a;b) sao cho f(c) = M Chương trình trung học không đi vào phần chứng minh vì lý do sư phạm, mà chỉ nêu ý nghĩa hình học của định lý và những vận dụng địmh lý để giái một số dạng bài tập , *** Đồ thị của hàm số f(x) cắt đường thẳng y= M tại ít nhất một điểm có hoành độ bằng c, ở đây đ/t y = M cắt đồ thị của h/s nêu trên tại 3 điểm thuộc khoảng (a; b) Từ định lý đó, chúng ta có một hệ quả rất quan trọng, nó là HỆ QUẢ : Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ;b] và f(a). f(b) < 0 Thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho f(c) =0 một công cụ để chứng minh sự tồn tại nghiêm của một phương trình trong một khoảng nào đó Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA HỆ QUẢ Được minh hoạ bằng vẽ đồ thị lên hệ toạ độ vuông góc Oxy *** Đồ thị của hàm số y= f(x) cắt trục hoành ít nhất tại một điểm có hònh độ c ∈ (a;b). tức là f(c) = 0 O x y M a b f (a) f (b c y =M y =f(x) a b f(a) f(b) O c Áp dụng 1/ C/m phương trình: x 3 -2x 2 – 1 = 0 có một nghiêm thực dương. Có: H/s f(x) = x 3 -2x 2 – 1 liên tục trên R Và f(0) = -1 < 0 +∞= +∞→ x xf )(lim nên với một số dương b đủ lớn, ta có f(b) > 0 Xét f(o).f(b) <0 nên theo hệ quả Đ/lý Lagarange của hàm số liên tục, thì tồn tại một số thực dương c ∈ (0;b) sao cho f(c) = 0 Vậy c là một nghiệm thực dương của p/t đã cho 2/ C/m p/t: x 3 + x + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn -1 3/ C/m p/t: x 3 + ax 2 +bx + c = 0 có ít nhất một nghiệm. Với mọi số thực a, b, c. ĐỊNH LÝ LAGARANGE Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm trong khoảng (a; b), thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a;b) sao cho f ‘ (c) = ab afbf − − )()( Ý nghĩa hình học của định lý Ít nhất có một đường thẳng song song với đường thẳng đi qua 2 điểm A(a; f(a)) và B(b); f(b)). Đường thẳng song song nầy tiếp xúc với đồ thị hàm số f(x) tại điểm M có hoành độ c ∈ ( a; b ) f ’ (c) chính là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị h/s f(x) tại điểm có hoành độ là c ∈ ( a; b ) . Hệ số góc nầy bằng hệ số góc của đường thẳng AB. Định lý Lagrăng mở đường cho lý thuyết đạo hàm, vi phân và làm sáng sủa lý thuyết chuyển động của một chất điểm. A B M a b f(b) f(a) y =f(x O c . RÈN GIẢI BT LIÊN QUAN ĐỊNH LÝ LAGĂNG Nhớ chuyện Ông chấm thi vấn đáp Thường những thầy giỏi. tôi sẽ ghi lên đầu bảng. ************* Một định lý có trước, đó là Định lý giá trị trung gian Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] thì với mỗi số