I, PHƯƠNG TRÌNH BẬC 3 - Phương trình bậc 3 là 1 trong các dạng của phương bậc lẻ, nó luôn có ít nhất 1 nghiệm và có nhiều nhất là 3 nghiệm - Phương trình bậc 3 có dạng tổng quát : ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 ==> Pt <=> f(x) = x 3 + Bx 2 + Cx + D = 0 **Có thể phân tích thành nhân tử ==> nghiệm của phương trình ** Phương trình này có tâm đối xứng là điểm uốn của nó I(-b/3a,f(- b/3a)) .Dùng phương pháp đổi trục : , ta biến đổi thu được 1 phương trình bậc 3 mới : g(X) = X 3 + pX +q = 0. Đây là 1 dạng pt có thể giải được : 1, Trường hợp p>0 : -Ta có g'(X) = 3X 2 + p > 0 => pt có 1 nghiệm -Áp dụng hằng đẳng thức sau : a 3 + b 3 +c 3 - 3abc = (a +b +c)(a 2 + b 2 + c 2 - ab - ac - bc).Đặt a=X =>ta tìm b,c sao thỏa hệ: Khi đó ta sẽ tìm được nghiệm pt X=a= -(b+c). * Ta xét 1 ví dụ sau : giải pt : x 3 + 3x +1 =0 => b, c là nghiệm của pt : ( vì b, c có vai trò như nhau) =>t 3 =(1+ )/2 =>b = , c = =>x = -(b+c) = - + ) 2, Trường hợp p<0 : Cách 1 : -Ta có thể dùng phương pháp lượng giác hoá như sau: đặt X=2acost, (có thể đặt theo sint) với a>0 , t thuộc [0, PT <=> 8a 3 cos 3 t + 2apcost + q = 0 <=> 2a 3 (4cos 3 t + p/a 2 cost) + q = 0 Tìm a thỏa p/a 2 = -3 => a= 2a 3 cos3t = -q . *Qua đó ta thấy điều kiện để áp dụng được cách này là * Ví dụ : Giải phương trình : x 3 - 3x -1 =0 Theo như cách đặt trên thì ta có a=1 => cos3t= 1/2 => t=20 => x= 2cos (đây mới là 1 nghiệm ,với t thuộc khoảng cho trước ta có thể tìm ra các nghiệm còn lại nếu có) Cách 2 : - Ta có thể dùng lại cách ở trường hợp 1, song ở cả 2 cách này có trường hợp không chỉ ra được nghiệm thực của bài toán II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN Phương trình bậc bốn có khá nhiều dạng đặc biệt, nhưng có thể giải tổng quát như sau : x 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0 Đặt x = t - b/4 pt trở thành : x 4 = Ax 2 + Bx + C Cộng 2 vế cho 2ax 2 + a 2 (a là một số thực) pt ↔ x 4 + 2ax 2 + a 2 = (2a + A)x 2 + Bx + C + a 2 Ta thấy vế trái có dạng (x 2 + a) 2 , do đó ta sẽ chọn a sao cho vế phải cũng có dạng bình phương một nhị thức : Xét vế phải là tam thức bậc hai theo x Δ = B 2 - 4(2a + A)(C + a 2 ) = 0 : đây là pt bậc 3 theo a nên chắc chắn có nghiệm thực (chọn a một giá trị) Lúc đó, ta sẽ có pt: (x 2 + a) 2 = Y 2 Đây là công thức Ferrari (Theo Minh Tuấn ) **Lưu ý : nhiều trường hợp B=0 ta có thể có ngay phương trình trùng phương CÔNG THỨC CACĐANÔ: công thức biểu diễn nghiệm của phương trình bậc ba: x3 + px + q = 0 ( * ) qua các hệ số của nó. Mọi phương trình bậc ba tổng quát a0y3 + a1y2 + a2y + a3 = 0, a0 ≠ 0 đều có thể đưa về dạng ( * ) nhờ phép đổi ẩn số CTC được viết như sau: trong đó mỗi căn thức bậc ba ở vế sau có ba giá trị, nhưng phải chọn các cặp giá trị có tích bằng để cộng với nhau. Công thức mang tên của nhà toán học Italia Cacđanô (G. Cardano).