Trường THPT Long Mỹ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI 1) Phương trình nhị thức: ( ) 0 0, 3 n x a a n± = ≠ ≥ Đặt . . n n n x t a x t a= ⇒ = đưa về dạng 1 0 1 0 1 0 n n n t t t± = ⇔ + = ∨ − = 2) Dạng 1: 4 2 0ax bx c+ + = (phương trình trùng phương). HD: Đặt 2 0t x= ≥ Tổng quát: Phương trình tam thức: 2 . . 0 n n a x b x c+ + = 3) Dạng 2: ( ) ( ) ( ) ( ) ;x a x b x c x d k a b c d+ + + + = + = + HD: đặt ( ) ( ) t x a x b= + + 4) Dạng 3: ( ) ( ) 4 4 x a x b k+ + + = HD: đặt 2 a b t x + = + rồi đưa về phương trình trùng phương 5) 4 3 2 ax bx cx bx a+ + ± + HD: Chia 2 vế pt cho 2 x ta được 2 2 1 1 0a x b x c x x     + + ± + =  ÷  ÷     , Đặt 1 t x x = ± Tổng quát phương trình thuận nghịch bậc chẵn ( ) 2 2 1 2 2 1 1 0 2 2 . 0 0; , 0, 1 n n n i n n n i n i a x a x a x a a a a k i n − − − − + + + + = ≠ = = − Chẳng hạn : ( ) 4 3 2 2 3 2 1 0 1x x x x k− + − + = = ( ) 6 5 4 2 2 3 6 8 8 0 2x x x x x k− − + − − = = − Đặt k t x x = + Tổng quát phương trình thuận nghịch bậc lẻ ( ) 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 0 2 1 2 1 . 0 0; , 0, n n n i n n n i n i a x a x a x a a a a k i n + + − + + + − + + + + = ≠ = = Chẳng hạn : ( ) 5 4 3 2 2 3 4 4 3 2 0 1x x x x x k+ − − + + = = ( ) 5 4 3 2 2 3 4 8 24 64 0 2x x x x x k+ − − + + = = Có các tính chất sau - Bao giờ cũng có nghiệm là – k - Bao giờ cũng đưa về dạng ( ) ( ) 0x k Q x+ = Trong đó ( ) 0Q x = là một phương trình thuận nghịch bậc chẵn. 6) Dạng 6: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 1 1 1 0A x B x x C x− + + + + − = Chia hai vế cho ( ) 2 2 1x x+ + và đặt 2 1 1 x t x x − = + + Tổng quát: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 . . 0 .a A x bB x c C x A x B x C x+ + = = BÀI TẬP 1) Giải các phương trình sau a. ( ) ( ) ( ) ( ) 1 5 3 7 297x x x x− + − + = b. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 1 6 36x x x x+ − + + = − 2) Gải các phương trình sau a. 4 3 1 0x x x− − + = b. 4 3 2 2 3 2 1 0x x x x− + − + = c. 5 4 3 2 5 4 4 5 1 0x x x x x− + + − + = d. 4 3 2 6 35 62 35 6 0x x x x− + − + = e. 4 3 2 4 1 0x x x x+ − + + = f. 4 3 2 5 10 10 4 0x x x x− + − + = 3) Giải phương trình sauư a. 2 2 1 3 1 2 x x x x +     − =  ÷  ÷ +     b. 4 3 2 2 5 4 12 0x x x x+ + + − = 4) Gải các phương trình Bài tập phương trình quy về bậc hai Giáo viên Bùi Văn Nhạn Trang 1 Trường THPT Long Mỹ a. ( ) ( ) 2 3 2 3 1x x− + − = b. ( ) 4 4 1 97x x+ − = c. ( ) ( ) 4 4 3 5 16x x+ + + = e. 3 5 3 4x x− = − + Giải các phương trình sau: 5) ( ) 2 2 1 1 1 3 x x x x+ − = + − ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 4 4 1 1 1 1 1 2 3 3 9 x x x x x x x x x x   ⇔ + − = + − ⇔ + − + − = + −  ÷   ( ) 2 2 2 0 0 1x x x x x x⇔ − − − = ⇔ = ∨ = . Cách 2: Đặt 2 2 1 1 2 t t x x x x − = + − ⇒ − = Cách 3: biến đổi 3 1 3 2 1 3 x x x − − = − − đặt 3 3 1 2 3 t t x x t − = − ⇒ = − suy ra ( ) ( ) 2 1 2 4 3 0 0 1t t t t t t− − + = ⇔ = ∨ = Cách 4: đặt , 1a x b x= = − ta có hệ 2 2 2 1 3 1 ab a b a b  + = +    + =  Cách5: ( ) 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 1 2 1 1 2. 3 3 3 9 VP x x x x x x x x x x= + − = + − + − ≥ + − + − . ( Do ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 2 4 0 4 3 3 9 x x x x x x x x≤ − ≤ ⇒ − ≥ − ≥ − 2 2 2 2 2 1 3 VP x x VT VP VT   ⇒ ≥ + − = ⇒ ≥  ÷   . Đẳng thức có 2 0 0 1x x x x⇔ − = ⇔ = ∨ = 6) 2 2 5 1 ( 4) 1x x x x x+ + = + + + Đặt 2 1 0t x x= + + > pt ( ) 2 4 4 0 4 t x t x t x t =  ⇔ − + + = ⇔  =  7) ( ) ( ) 3 2 2 2 6 *x x x+ − = + + - Điều kiện: 2x ≥ - Ta có: ( ) ( ) ( ) 3 8 3 * 2 3 3 2 6 3 2 6 4 x x x x x x x =  − ⇔ − = ⇔  − + + − + + =  8) 2 2 3 3 3 6 3x x x x− + + − + = - Đặt 2 2 2 3 3 0 3 3t x x x x t= − + > ⇒ − + = - Phương trình thành: ( ) 2 2 2 2 3 3 3 3 3 1 3 3 t t t t t t t t ≥   + + = ⇔ + = − ⇔ ⇔ =  + = −   Suy ra { } 2 3 2 0 1;2x x x− + = ⇔ = Cách khác: Đặt 2 2 3 3 3 6 u x x v x x  = − +   = − +   9) ( ) 2 3 2 2 2 4 3 4 2 4 3 4x x x x x x x x+ + = + ⇔ + + = + - Điều kiện: 0x ≥ Bài tập phương trình quy về bậc hai Giáo viên Bùi Văn Nhạn Trang 2 Trường THPT Long Mỹ - Đặt ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 2; 0 2 0 2 3 u v u v u x v x u v u v u v uv   = + = +   = + ≥ = ≥ ⇒ ⇒   − − = + =     Giải ra ta được 4 3 x = (thỏa mãn) 10) 2 3 2 1 4 9 2 3 5 2x x x x x− + − = − + − + - Điều kiện: 1x ≥ - Khi đó: 2 3 2 1 4 9 2 3 5 2x x x x x− + − = − + − + ( ) 2 3 2 1 3 2 1 3 2 1 1 x x x x x x ⇔ − + − = − + − ⇔ − + − = Giải tiếp bằng phương pháp tương đương, ta được nghiệm 1x = 11) 3 2 1 1x x− = − − - Điều kiện: 1x ≥ - Đặt 3 2 ; 1 0u x v x= − = − ≥ dẫn tới hệ: 3 2 1 1 u v u v = −   + =  Thế u vào phương trình dưới được: ( ) ( ) 1 3 0v v v− − = - Đáp số: { } 1;2;10x = 12) 2 7 5 3 2x x x+ − − = − - Điều kiện: 2 5 3 x≤ ≤ - Chuyển vế sao cho 2 vế dương, rồi bình phương 2 vế ta dẫn tới phương trình cơ bản. Sau đó giải tiếp theo như đã học. - Đáp số: 14 1; 3 x   =     13) 2 2 7 2 1 8 7 1x x x x x+ − = − + − + − + - Điều kiện: 1 7x ≤ ≤ - Ta có: 2 2 7 2 1 8 7 1x x x x x+ − = − + − + − + ( ) ( ) 1 1 7 2 1 7x x x x x⇔ − − − − = − − − 1 2 5 4 1 7 x x x x x  − = =  ⇔ ⇔   = − = −    - Đáp số: { } 4;5x = 14)Giải phương trình sau: a. 2 2 2 6 12 3 2 9x x x x+ + + + + = b. 2 2 2 6 12 7 0x x x x− + − + = c. ( 1 1)( 1 1) 2x x x+ − − + = d. xx −=− 22 2 e. 2 2006 2006x x+ + = Cách 1: Đặt 2006x y+ = Bài tập phương trình quy về bậc hai Giáo viên Bùi Văn Nhạn Trang 3 Trường THPT Long Mỹ HD cách gải 2: 2 2 2 1 1 2006 2006 4 4 1 1 2006 2 2 1 1 2006 2 2 1 1 2006 2 2 x x x x x x x x x x + + = + − + +     ⇔ + = + −  ÷  ÷      + = + −  ⇔   + = − +   f. 3 3 1 2 2 1x x+ = − Đặt 3 2 1y x= − g. 2 2 2 1 4 1x x x+ + = + Đặt 2 y x x= + h. 2 2 4 6 7 2 3 9 15x x x x+ + + + + = i. 3 2 1 1x x− + − = Đặt 2 ẩn phụ 3 2 ; 1x u x v− = − = j. 3 2 1 3x x− + + = k. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 3 3 1 3 1 9 1 0x x x+ + − + − = l. 3 1 1 1 2 2 x x+ + − = m. 2 3 2( 2) 5 1x x+ = + Đặt 2 1; 1a x b x x= + = − + 2 2 2( ) 5 (2 )( 2 ) 0 a b ab a b a b + = ⇔ − − = 2 2 a b b a =  ⇔  =  n. 2 2 2(3 5) 9 3 2 30x x x x+ + = + + HD: ( ) 2 2 3 2 3 1 9 3( 9) 2 3x x x x+ + + = + + +     Đặt 2 2 3 ; 9x a x b+ = + = o. 3 2 5 2 16 2( 8)x x+ = + HD: 2 2 5 2( 2)( 2 4) 2( 8)x x x x+ − + = + Mối liên hệ 2 2 8 ( 2 4) (2 4)x x x x+ = − + + + Đặt 2 2( 2) ; 2 4x a x x b+ = − + = p. 2 3 2( 3 2) 3 8x x x− + = + q. 2 2 3 1 3 3 2 5 3 16x x x x x+ + + = + + + − HD: Ta có 2 (2 3)( 1) 2 5 3x x x x+ + = + + 2 2 2 2 2 2 3 0; 1 0 3 4 3 4 u x v x u v x x u v = + ≥ = + ≥ ⇒ + = + ⇒ = + − r. 2 2 2 2 2 1 3 2 2 2 3 2x x x x x x x− + − − = + + + − + Quan sát các biểu thức trong căn ta có : 2 2 2 2 (2 1) ( 3 2) (2 2 3) ( 2)x x x x x x x− − − − = + + − − + đặt 3212 22 ++=−⇒= xxxtu 2 2 2 2 2 1 ; 3 2 ; 2 2 3 ; 2x u x x v x x z x x t− = − − = + + = − + = Ta có hệ 2 2 2 2 u v z t u v z t + = +    − = −   2 2 2 1 2 3u t x x x⇒ = ⇒ − = + + s. 2 2 2 2 2006 2005 2005 2004 2006 2 2003 2005 2002x x x x x x x− + − − = + − + + − Bài tập phương trình quy về bậc hai Giáo viên Bùi Văn Nhạn Trang 4 Trường THPT Long Mỹ 15) Giải các phương trình sau (Đánh giá) a. 32254 2 +=++ xxx Hướng dẩn 2 2 2 2 4 5 2 2 3 0 ( 2 1) (2 3 2 2 3 1) 0 ( 1) ( 2 3 1) 0 1 0 2 3 1 0 x x x x x x x x x x x + + − + = ⇔ − + + + − + + = ⇔ + + + − = + =    + − =   b. 2 2 2 1 4 1x x x+ + = + C1: Đặt 2 1y x= + 2 2 y x x x y y  = +  ⇒  = +   Nhân 2 vế với 2 và đưa về dạng: 2 2 4 ( 4 1 1) 0x x+ + − = c. 2 6 26 6 2 1x x x− + = + d. 5 2 1 1 3x x x+ + − − = − C1: Ta có: 5 3 4( 1) (1 )x x x+ = + − − Khi đó 2 2 (2 1) ( 1 ) 2 1 1 0 (2 1) 1 1 0 ( 1)(5 1 1) 0 x x x x x x x x + − − + + + − = ⇔ + − − + = ⇔ + + − = C2: đặt 1 ; 1x a x b+ = − = e. 3 4 1 3 2 5 x x x + + − − = HD: ( ) ( ) 2 2 3 4 1 3 2x x x+ = + − − 16) Giải các phương trình sau: (Dùng BĐT) a. 2 14 14 = − + − x x x x HD: 4 1 2 4 1 x x x x − + ≥ − b. 2 2 2 3 6 7 5 10 14 4 2x x x x x x+ + + + + = − − ( ) ( ) 2 2 2 2 3 6 7 5 10 14 3 1 4 5 1 9 4 9 5VT x x x x x x= + + + + + = + + + + + ≥ + = 2 2 4 2 5 ( 1) 5VP x x x= − − = − + ≤ c. 2 2 2 3 6 7 5 10 14 4 2x x x x x x+ + + + + = − − d. 2 2 2 6 15 6 18 6 11 x x x x x x − + = − + − + e. 2 4 6 10 27x x x x− + − = − + HD: VP = 2 2 10 27 ( 5) 2 2x x x− + = − + ≥ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1. 4 1. 6 1 1 4 6 2.2 4 4 6 2VP x x x x x x= − + − ≤ + − + − = = ⇒ − + − ≤ Bài tập phương trình quy về bậc hai Giáo viên Bùi Văn Nhạn Trang 5 . x− + − − = + − + + − Bài tập phương trình quy về bậc hai Giáo viên Bùi Văn Nhạn Trang 4 Trường THPT Long Mỹ 15) Giải các phương trình sau (Đánh giá) a Giải phương trình sauư a. 2 2 1 3 1 2 x x x x +     − =  ÷  ÷ +     b. 4 3 2 2 5 4 12 0x x x x+ + + − = 4) Gải các phương trình Bài tập phương trình