Nguy n Phú Khánh – L t Bài 6: KH O SÁT S BI N THIÊN VÀ V TH HÀM S 6.1 TÓM T T LÝ THUY T ( ) Hàm s b c ba f x = ax + bx + cx + d (a ≠ ) ( ) th c a hàm s f x = ax + bx + cx + d Dáng i u (a ≠ ) y y x -8 -6 -4 -2 x -6 -4 -2 -5 -2 -4 M t s tính ch t thư ng g p c a hàm s b c ba th c t Ox t i i m phân bi t  f ′(x ) =0 :có nghiem phan biet x 1, x  ⇔  f (x ).f (x ) <  Gi s a > ta có : a) th c t Ox t i i m phân bi t có hồnh b) >α  f ′(x ) = có nghiem phan biet α < x < x  ⇔  f (α ) <  f (x ).f (x ) <  th c t Ox t i i m phân bi t có hồnh  f (x ).f (x ) <  Tương t cho trư ng h p a < Ví d 1:Kh o sát s bi n thiên v * Hàm s ã cho xác th c a hàm s y = x + 3x + Gi i: nh » 123 Nguy n Phú Khánh – L t * Gi i h n : lim y = −∞ lim y = +∞ hàm s khơng có ti m c n x →−∞ x →+∞ o hàm : y ' = 3x + 6x * x = −2, f −2 = y' = ⇔  x = 0, f =  ( ) () ( ) ( ) ng bi n kho ng −∞; −2 0; +∞ , ngh ch bi n Hàm s ( kho ng −2; ) Hàm s có i m c c ( ) i t i x = −2, f −2 = có i m c c ti u t i () x = 0, f = * B ng bi n thiên : x −∞ y' y −2 +∞ + − + +∞ −∞ ( ) * f '' x = 6x + ( ) nên I ( −1; ) ( ) ( ) f '' x = ⇔ x = −1, f −1 = , f '' x * th : th hàm s i mu nc a i d u m t l n qua nghi m x = −1 th i qua i m y ( −3;1) , ( −2;5 ) , ( −1; ) , ( 0;1) , (1; ) nh n i m I ( −1; ) i m u n c a th -3 -2 -1 x Ví d 2: Cho hàm s y = −x − 3x + mx + , ó m tham s th c Kh o sát s bi n thiên v th c a hàm s ã cho, v i m = Tìm t t c giá tr c a tham s m hàm s ã cho ngh ch bi n kho ng 0; +∞ ( ) Gi i : 124 Nguy n Phú Khánh – L t V i m = , ta có hàm s y = −x − 3x + * Hàm s ã cho xác nh » * Gi i h n : lim y = −∞ lim y = +∞ hàm s khơng có ti m c n x →−∞ * x →+∞ o hàm : y ' = −3x − 6x x = −2, y −2 = y' = ⇔  x = 0, y =  ( ) () ( ) ng bi n kho ng −2; , ngh ch bi n kho ng Hàm s ( −∞;2 ) ( 0; +∞ ) Hàm s có () i t i x = 0, y = có i m c c i m c c ti u t i ( ) x = −2, y −2 = * B ng bi n thiên : x −∞ y' +∞ y −2 +∞ − + − * th : Giao i m c a −∞ y th v i tr c ( ) Oy A 0; Giao i m c a th v i tr c Ox B −2; ,C 1; ( ) ( ) −3 −2 Tìm t t c giá tr c a tham s m ( hàm s O x ã cho ngh ch bi n ) kho ng 0; +∞ Hàm s ( ) ã cho ngh ch bi n kho ng 0; +∞ ch ( ) y ' = −3x − 6x + m ≤ 0, ∀x > ⇔ m ≤ 3x + 6x = f x ( ) ( ) Ta có f ' ( x ) = 6x + > 0, ∀x > f ( ) = Hàm s f x = 3x + 6x liên t c 0; +∞ B ng bi n thiên 125 Nguy n Phú Khánh – L t x y' +∞ + +∞ y ó ta c : m ≤ T Bài t p t luy n a ) Kh o sát s bi n thiên v ( ) f x = −x + ( ) th C c a hàm s x + 6x − Ch ng minh r ng phương trình x + 6x − = có ba nghi m phân bi t , ó có m t nghi m dương nh b ) Kh o sát s bi n thiên v th C c a hàm s −x + ( ) 17 x − 2x + Ch ng minh r ng phương trình f x = có nghi m 3 phân bi t ( ) ( ) f x = c) Kh o sát s bi n thiên v ( ) th C c a hàm s ( ) f x = −x + 3x + 9x + Vi t phương trình ti p n c a i m có hồnh ( ( ) th C t i ( ) x , bi t r ng f '' x = −6 Gi i b t phương trình ) f ' x −1 > d ) Kh o sát s bi n thiên v th hàm s ( ) c ng th ng i qua i m M 4; c t Tìm h s a, b, c cho f (x ) = x − 6x + 9x Tìm t t ( ) th C t i i m phân bi t ( ) th c a hàm s f x = x + ax + bx + c c t tr c tung t i i m có tung b ng ti p xúc v i ng th ng y = t i i m có hồnh −1 Kh o sát s bi n thiên v th c a hàm s v i giá tr a, b, c v a tìm c 126 Nguy n Phú Khánh – L t Tìm h s m, n, p cho hàm s f x = − x + mx + nx + p ( ) ( ) i t i i m x = () th C ti p xúc v i ng th ng d : y = 3x − tc c t i ( ) giao i m c a C v i tr c tung Hư ng d n : a ) T b ng bi n thiên ta th y phương trình cho có ba nghi m phân bi t f  x < −1 < x < < x  f  b ) f −2 f < Hàm s ( ) () ( ) = −3 < 1  1 ⇒ f f   < ⇒ x ∈  0;  1  = >0 2  2 2 () f liên t c o n 0;2  theo   ( nh lý v giá tr ) trung gian c a hàm s liên t c , t n t i m t s th c α ∈ −2; cho ( ) ( ) f α = S α m t nghi m c a phương trình f x = M t khác hàm s f ( ) ng bi n kho ng 0; +∞ nên phương trình có nghi m nh t α ∈ ( −2; ) () () f f < Hàm s f liên t c o n 0;  theo   nh lý v giá tr ( ) trung gian c a hàm s liên t c , t n t i m t s th c β ∈ 0; cho ( ) ( ) f β = S β m t nghi m c a phương trình f x = M t khác hàm s f ( ) ( ) ng bi n kho ng 0; nên phương trình có nghi m nh t β ∈ 0; ( ) ó phương trình f ( x ) = Tương t phương trình có nghi m nh t thu c kho ng 4; +∞ th c t tr c hoành t i i m phân bi t , có nghi m phân bi t c) f '' x = −6x + ⇒ x = 2, f = 24 ⇒ t : y = 9x + ( ) () () f ' ( x − 1) = −3 ( x − 1) + ( x − 1) + = −3x + 12x ⇒ f ' (x ) > ⇔ < x < 2 127 Nguy n Phú Khánh – L t 2 = c a =     f −1 = −1 + a − b + c = ⇔ b =  c =  f ' −1 = − 2a + b =          d ∩ Oy = A  0; −          p = −   ⇔ n = f =p=−   m = f ' = n =    f ' = 6m − =  ( ) ( ) () () () () ( ) (a ≠ ) Hàm s trùng phương f x = ax + bx + c ( ) (a ≠ ) th c a hàm s f x = ax + bx + c Dáng i u y y x x2 x1 x O x1 O x2 M t s tính ch t thư ng g p c a hàm s trùng phương th c a hàm s ( ) f x = ax + bx + c (a ≠ 0) c t tr c hoành t i i m phân bi t l p thành c p s c ng phương trình: 2 aX + bX + c = 0, X = x ≥ có nghi m dương phân bi t th a X1 = 9X ( ) Phương trình trùng phương: ax + bx + c = (1 ) () t t = x ≥ ⇔ x = ± t , ta có phương trình: at + bt + c = M t () nghi m dương c a () ng v i nghi m c a V y i u ki n c n () () phương trình có nghi m phương trình có nh t m t nghi m không âm 128 Nguy n Phú Khánh – L t  ∆ >  có nghi m ⇔ có nghi m dương ⇔ P > S  >0 2 () () P =  có nghi m ⇔ có nghi m dương nghi m b ng ⇔  S  >0 2 P <  ∆ = có nghi m ⇔ có nghi m dương ⇔   S  >   P =  S < t1 < = t2  có nghi m ⇔ có nghi m th a  ⇔  ∆ = t1 = t2 =   S  =  ∆ <    ∆ ≥ vô nghi m ⇔ vô nghi m ho c có nghi m âm ⇔   P >0  S    <  0 < t1 < t2  có nghi m t o thành c p s c ng ⇔  Ta gi i h pt:  t2 = t1  t = 9t 2 S = t1 + t2 P = t t  () () () () () () () () () Phương trình b c có tính i x ng: ax + bx + cx + bx + a = (1 ) N u a = , ta có phương trình: x (bx + cx + b) = N u a ≠ , ta có phương trình tương ương:    1 a x2 +  + b x +  + c = x x    • • 129 Nguy n Phú Khánh – L t , phương trình c vi t thành: x a(t − 2) + bt + c = 0, t ≥ 2 tt =x + () Chú ý: , ta có: x * M t nghi m l n c a phương trình tương ng v i nghi m dương Khi kh o sát hàm s t = x + () () c a phương trình () * M t nghi m nh c a phương trình tương ng v i nghi m âm c a () phương trình () * M t nghi m t = −2 c a phương trình tương ng v i nghi m x = −1 c a () phương trình () * M t nghi m t = c a phương trình tương ng v i nghi m x = c a () phương trình vô nghi m t < x Phương trình b c có tính i x ng: ax + bx + cx − bx + a = * Phương trình t = x + (1 ) N u a = , ta có phương trình: x (bx + cx − b) = N u a ≠ , ta có phương trình tương ương:    1 a x +  + b x −  + c = x x    • • , phương trình c vi t thành: x a(t + 2) + bt + c = 0, t ∈ » tt =x − () có nghi m trái d u v i m i t x (x + a )(x + b )(x + c )(x + d ) = e , v i a + b = c + d Chú ý: Phương trình t = x − t t = x + (a + b )x (x + a )4 + (x + b )4 = c ,v i α = Ví d 1:Kh o sát s bi n thiên v a −b tt =x+ a +b , t∈» th c a hàm s y = x − 2x − 130 Nguy n Phú Khánh – L t Gi i: * Hàm s ã cho xác nh » * Gi i h n : lim y = lim y = +∞ hàm s khơng có ti m c n x →−∞ x →+∞ ( ( ) o hàm : f ' x = 4x − 4x = 4x x − * x = 0, f = −3  f ' x = ⇔ x = −1, f −1 = −4 x = 1, f −1 = −4   * B ng bi n thiên : x −∞ −1 y' − − + +∞ y −4 () ( ) ( ) ( ) Hàm s ) ( +∞ + −3 +∞ −4 ) ( ) ng bi n kho ng −1; 1; +∞ , ngh ch bi n kho ng ( −∞; −1) ( 0;1) Hàm s có i m c c ( ) f '' ( x ) = 12x x = −1, f −1 = −4 * () x = 1, f (1) = −4 i t i x = 0, f = −3 có i m c c ti u t i −4   3 x = − , f −  = −3      f '' x = ⇔  , f '' x i d u hai l n qua nghi m  3 x =  = −3 ,f          3 5 5 3 x = x1 = − x = x = nên U  − ; −3  U  ; −3    3 9 9     hai i m u n c a th * th : ( ) ( ) 131 Nguy n Phú Khánh – L t Giao i m c a ( tr c Oy A 0; −3 f(x)=x^4-2x^2-3 ) Giao i m c a tr c th v i ) ( ( y th v i Ox B − 3; ,C 3; ) x -8 -6 -4 -2 th hàm s ch n nên nh n tr c Oy làm tr c i x ng -5 ( ) 2 Ví d 2: Ch ng minh r ng phương trình: x − m + x + m + = ln có nghi m phân bi t x 1, x , x , x v i m i giá tr c a m 2 2 Tìm giá tr m cho x + x + x + x + x ⋅ x ⋅ x ⋅ x = 11 Gi i: ( ) x − m + x + m + = (1 ) 2 ( ) ( ) (t ≥ ) t : t = x , ta có : t − m + t + m + = (2 ) ln có hai nghi m : < t Ta ch ng t ( ∆ ' = m2 + 2 ) − (m < t2 ) + = 4m + > v i m i m () V y ln có hai nghi m phân bi t t1, t2 t1 ⋅ t2 = m + > ( ) t1 + t2 = m + > () Do ó phương trình có nghi m : − t1 , t1 , − t2 , t2 2 2 x1 + x + x + x + x1 ⋅ x ⋅ x ⋅ x 2 2 ( ) + ( t ) + ( − t ) + ( t ) + ( − t ) ⋅ ( t ) ⋅ ( − t ) ⋅ ( t ) = (t + t ) + t ⋅ t x + x + x + x + x ⋅ x ⋅ x ⋅ x = (m + ) + m + = m + 4m + 11 = − t1 2 1 2 2 3 2 1 2 2 4 2 4 x + x + x + x + x ⋅ x ⋅ x ⋅ x = 11 ⇔ m + 4m + 11 = 11 ⇔ m + 4m = ⇔ m = Hàm s h u t ( ) f x = ax + b cx + d y= ax + b cx + d ( c ≠ 0, ad − bc ≠ ) ⇒ f ' (x ) = ad − bc (cx + d ) 132 Nguy n Phú Khánh – L t g (x ) = mx − 2mx + = có nghi m phân bi t x ≠ hay m ≠ m ≠  m <   ∆′ = m − m > ⇔ m < ∨ m > ⇔ m > g(2) ≠ 4m − 4m + ≠     Bài t p tương t : Tìm t t c tham s th c m ng th ng d : y = mx + c t () th c a x2 t i i m phân bi t x −1 d ng th ng i qua A −3;1 có h s góc m Tìm t t c hàm s y = Gi s () ( ) () tham s th c m th c a hàm s y = x + 3x + t i ng th ng d c t i m phân bi t 2x − có th C G i dm ng th ng i x +1 qua i m A −2;2 có h s góc m Tìm m ng th ng dm c t ( ) Ví d :Cho hàm s y = ( ( ) ) ( ) (C ) th • T i hai i m phân bi t? • T i hai i m thu c hai nhánh c a th ? Gi i : (d ) : y = mx + (m + 1) (d ) ∩ (C ) : g (x ) = mx + 3mx + 2m + = 0, x ≠ −1 (*) • (d ) ∩ (C ) t i hai i m phân bi t phương trình (*) có hai nghi m m m m m ≠ m <   phân bi t khác −1 Khi ó ta có h : ∆ > ⇔ m > 12 g −1 ≠    ( ) • (d ) ∩ (C ) t i hai m () i m thu c hai nhánh phương trình * có hai ( ) nghi m phân bi t x < −1 < x ⇔ mg −1 < ⇔ m < Cách khác : (d ) ∩ (C ) t i hai m i m thu c hai nhánh phương trình (*) có hai nghi m phân bi t x < −1 < x t x = t − ó phương trình (*) tr thành tìm m phương trình mt + mt + = có hai nghi m trái d u 2 140 Nguy n Phú Khánh – L t ( ) Ví d : Tìm tham s m hàm s ix ( ) ng th ng dm : y = m x + − c t (C ) : y = x + t i hai x− ng qua M (1; ) th i m phân bi t A, B cho hai i m A, B (C ) t i hai i m phân bi t A, B cho hai i m A, B i x ng qua M (1; ) i m M thu c ng th ng (d ) , ó = m (1 + 1) − ⇔ m = • m = (d ) ≡ (d ) : y = x − , phương trình hồnh giao i m (d ) x = ⇒ y = −1 ⇒ A ( 0; −1  (C ) x + = x − ⇔ x − 3x = ⇔ x = ⇒ y = ⇒ B ( 3;2 ) ) x−  • ( ) Gi i : c t th hàm s i u ki n c n: ng th ng dm m m 3 1 Vì trung i m AB  ;  ≠ M nên A, B không i x ng qua M 2 2 Do ó giá tr c a m th a mãn u c u tốn Ví d 4: Cho hàm s y = x − 3m 2x + 2m có (Cm ) c t Ox ( ) th C m Tìm m t i úng i m phân bi t Gi i: * Hàm s ã cho xác nh » * Ta có : y ' = 3x − 3m (Cm ) c t Ox t i úng i m phân bi t (C m ) có c c tr ng th i yC = ho c yCT = * (Cm ) có c c tr ⇔ y ' = có nghi m phân bi t ⇔ 3x − 3m = có nghi m phân bi t Khi m ≠ y ' = ⇔ x = ±m B ng xét d u y ' : x −m m y' + − + yC = y(−m ) = ⇔ 2m + 2m = ⇔ m = (lo i) yCT = y(m ) = ⇔ −2m + 2m = ⇔ m = ∨ m = ±1 ( ) V y, m = ±1 C m c t Ox t i úng i m phân bi t Ví d 5: Tìm m ( ) th C m : y = x − 3mx − 3x + 3m + c t tr c Ox 141 Nguy n Phú Khánh – L t t i i m phân bi t có hoành 2 x 1, x 2, x th a mãn x + x + x ≥ 15 Gi i : (Cm ) c t tr c Ox : x − 3mx − 3x + 3m + = x = ⇔ (x − 1)[x − (3m − 1)x − 3m − 2]=0 ⇔  x − (3m − 1)x − 3m − =  () (Cm ) c t tr x 1, x 2, x v i x = c Ox t i i m phân bi t có hồnh () x 1, x nghi m khác c a phương trình Theo nh lý Vi-et ta có: x1 + x = 3m −   x1x = −3m −  ∆ > 9m + 6m + >  (2 )    Theo tốn ta có : 12 − (3m − 1).1 − 3m − ≠ ⇔ m ≠   2 x + x + x ≥ 15 9m − ≥   ⇔ m ∈ −∞; −1 ∪ 1; +∞   ( ) () Ví d 6: Tìm giá tr c a tham s m cho d : y = x + c t (Cm ) : y = x th ( ) vdt), bi t K (1; ) + 2mx + (m + 3)x + t i ba i m phân bi t A 0; , B,C cho tam giác KBC có di n tích b ng ( Gi i : Phương trình hồnh ( ) () i m chung c a C m d là: x + 2mx + (m + 3)x + = x + (1) ⇔ x (x + 2mx + m + 2) = x = ⇔ g(x ) = x + 2mx + m + =  (d ) c t (Cm ) t i ba (2 ) ( ) i m phân bi t A 0; , B,C ⇔ phương trình ( ) có nghi m phân bi t khác ∆/ = m − m − >   m ≤ −1 ∨ m ≥ ⇔ ⇔ (* ) m ≠ −2 g ( ) = m + ≠   1−3+ M t khác: d(K , d ) = = 2 Do ó: S∆KBC = ⇔ BC.d(K,d) = ⇔ BC = 16 ⇔ BC = 256 142 Nguy n Phú Khánh – L t ⇔ (x B − xC )2 + (yB − yC )2 = 256 v i x B , xC hai nghi m c a phương trình (2) ⇔ (x B − xC )2 + ((x B + 4) − (xC + 4))2 = 256 ⇔ 2(x B − xC )2 = 256 ⇔ (x B + xC )2 − 4x B xC = 128 ⇔ 4m − 4(m + 2) = 128 ⇔ m − m − 34 = ⇔ m = ± 137 (th a ( * ) ) V y m = ± 137 th a yêu c u toán ax + b x −1 th hàm s c t tr c tung t i A 0; −1 ti p n c a Ví d :Cho hàm s y = ( Tìm a, b ) ( ) th t i A có h s góc b ng −3 Kh o sát s bi n thiên v th C c a hàm s v i a, b v a tìm c ( () ) Cho ng th ng d có h s góc m i qua i m B −2;2 Tìm m (d ) c t (C ) t i hai i m phân bi t M 1, M Các ng th ng i qua M 1, M song song v i tr c to t o thành hình ch nh t Tính c nh c a hình ch nh t ó theo m , hình ch nh t tr thành hình vng Gi i :  ax + b A 0; −1 ∈ y =  x −1 2x +  a =  ⇔ ⇒y = −a − x −1 = −3 b = y ' =  x −1   ( ) ( ) (d ) i qua i m B ( −2;2 ) có phương trình y = m (x + ) + (d ) c t (C ) t i hai i m phân bi t M , M phương trình 2 2x + có hai nghi m khác , hay phương trình x −1 mx + mx − 2m − = có hai nghi m phân bi t khác , t c m ≠ m ≠     m < − * ∆ = m + 4m 2m + > ⇔  m < − ⇔  3 m12 + m1 − 2m − ≠  m >    m >   ( ) m x +2 +2 = ( ) () 143 Nguy n Phú Khánh – L t ( ) ( ) Gi s M x 1; y1 , M x ; y2 , hai c nh hình ch nh t M 1PM 2Q có 9m + 12m M 1P = x − x = m dài , M 1Q = y2 − y1 = 9m + 12m Hình ch nh t M 1PM 2Q tr thành hình vng ch 9m + 12m M 1P = M 1Q ⇔ m ( ( )) = 9m + 12m ⇔ m = ⇔ m = * Bài t p tương t : Cho hàm s f x = 2x + 3x + có ( ) (P ) : g (x ) = 2x ( ) th C parabol +1 a ) Kh o sát s bi n thiên v th c a hàm s Tùy theo giá tr c a m , gi i bi n lu n phương trình 2x + 3x − m = b ) Ch ng t r ng s ti p n c a ( ) th C thi p n t i i m u n I có h s góc nh nh t Vi t phương trình ti p n ó Ch ng t I tâm ( ) th C i x ng c a c) G i A, B giao i m c a ( ) ( ) th C parabol P Vi t phương trình ti p ( ) ( ) nh kho ng ó (C ) n m phía ho c phía dư i ( P ) n c a C parabol P t i giao i m c a chúng d ) Xác Hư ng d n :  3 3 c) A  − ;  , B 0;1 Ti p n C t i A, B y = − x + , y = Ti p  2 n P t i A, B y = −2x + , y = d ) Xét h x = f x − g x = 2x + x L p b ng xét d u : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  1 h x < 0, x ∈  −∞; −  ⇒ C n m phía dư i 2    P h x > 0, x ∈  − ;  , 0; +∞ ⇒ C n m phía P   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Cho hàm s f x = x − 3x + 144 Nguy n Phú Khánh – L t a ) Kh o sát s bi n thiên v th c a hàm s Vi t phương trình ti p n c a th t i i m u n I c a Ch ng minh r ng s ti p n c a th ti p n t i I có h s góc nh nh t ( ) b ) G i dm ng th ng i qua i m I có h s góc m Tìm giá tr m ( ) cho ng th ng dm c t th ã cho t i ba i m phân bi t Hư ng d n : a ) y = −3x + b) ( ) ( ) m > −3 Cho hàm s f x = x − m + x + m a ) Kh o sát s bi n thiên v th c a hàm s v i m = Vi t phương trình ti p n t i i m u n c a th b ) Tìm giá tr c a m cho th c a hàm s c t tr c hoành t i b n i m , t o thành ba o n th ng có dài b ng Hư ng d n : ( ( ) )( ) b) x − m + x + m = ⇔ x − x − m = th c a hàm s c t tr c hoành t i i m phân bi t , t o thành ba o n th ng có < m ≠ dài b ng ( ) • m > 1, m − = − −1 ⇔ m = 9 Ngoài cách gi i b n có th dùng c p s c ng ( l p 11) gi i a ) V i giá tr c a m , ng th ng y = m c t ng cong ( ) • < m < 1,1 − m = m − − m ⇔ m = y = x − 2x − t i i m phân bi t? ( ) b ) Ch ng minh r ng v i m i giá tr c a m , ng th ng dm : y = x − m c t ng cong y = c) Tìm k −x + 2x t i hai i m phân bi t x −1 ng th ng y = kx + c t th hàm s y = x + 4x + t i2 x +2 i m phân bi t A, B Tìm qu tích trung i m I c a AB Cho hàm s y = a ) Kh o sát v b ) Tìm m x − 2x + ,C x −1 th ( ) hàm s (C ) phương trình sau có nghi m phân bi t : x − 2x = m x − − 145 Nguy n Phú Khánh – L t () c) Tìm m ng th ng d : y = −x + m c t ( ) th C t i i m A, B i x ng v i qua ng th ng y = x + ( ) d ) Ch ng minh r ng qua i m E 1; ta không th k n c m t ti p n th hàm s x +2 có 2x + a ) Kh o sát s bi n thiên v ( ) Cho hàm s f x = ( ) th G th c a hàm s ( ) b ) Ch ng minh r ng ng th ng dm : y = mx + m − i qua i m c ( ) nh c a ng cong G m thay i ( ) c) Tìm giá tr c a m cho ng th ng ã cho c t ng cong G t i ( ) hai i m thu c m t nhánh c a G Hư ng d n: ( ) M ( −1; −1) ∈ (G ) ( ) b ) M −1; −1 i m c nh mà dm i qua m bi n thiên (d ) ∩ (G ) : m (x + 1) − = 2xx ++21 , x ≠ − c) m ( )( ) ⇔ x + 2mx + m − = 0, x ≠ −  x = −1 < − ⇔  k x = 2mx + m − =   ( ) ng x = − ng th ng ∩ G t i hai i m thu c m t nhánh c a th phương trình ( ) Hai nhánh c a G n m v hai bên c a ti m c n (d ) ( ) m k x = 2mx + m − = có nghi m x < − x ≠ −1 , ó ta có m ≠ m ≠    −3 < m < 3−m   :  x = + t ⇒ y x = −t + 3t +   x + x2 =2 x =  D th y trung i m o n AB có t a  y x1 + y x  =2 y =  ( ) ( ) ( ) ( ) Do ó hai ti p i m A, B i x ng qua M (2;2) 2x π Ví d : Cho hàm s y = Tìm α ∈  0;  cho i m  x −1  2 M (1 + sin α ; ) n m th (C ) Ch ng minh r ng, ti p n c a (C ) t i i m M c t hai ti m c n c a (C ) t i hai i m A, B i x ng qua i mM Gi i : Vì M (1 + sin α ; ) n m th (C ) nên: 151 Nguy n Phú Khánh – L t sin α = 2 (1 + sin α ) 2 = ⇔ sin α − sin α + = ⇔  sin α = + sin α −   π π  Vì α ∈  0;  nên sin α = ⇒ α = ⇒ M  ;9     2 2  3 3 th (C) t i i m M là: y = y '    x −  +   2   Ti p n c a hay (d ) : y = −6x + 18 Ti p n (d ) c t ti m c n ng x = t i: A (1;12 ) Ti p n (d ) c t ti m c n xiên tai i m B có t a y = −6x + 18  ( x ; y ) h phương trình:  y = 2x +  xA  D th y:  y  A  Suy ra, A, B nghi m x =  ⇔ ⇒ B ( 2; ) y =  + xB = = xM 2 + yB = = yM i x ng qua i m M ( pcm) 2x − t i M c t ng x −2 i m M cho ng ti m c n t i hai i m phân bi t A, B Tìm t a tròn ngo i ti p tam giác IAB có di n tích nh nh t , v i I giao i m hai ti m c n Gi i : 2x − G i M x 0; y0 ∈ C ⇒ y0 = , y '0 = − x0 − x −2 () Ví d 6: G i d ti p n c a ( th (C ) : y = ) ( ) ( () Phương trình ti p n d c a (C ) t i M : y = (d ) c t hai ) −1 (x −2 (x − x ) + ) 2x − x0 −  2x −  ng ti m c n t i hai i m phân bi t A  2; , B 2x − 2;2  x −2     ( ) ( ) D th y M trung i m AB I 2;2 giao i m hai ng ti m c n 152 Nguy n Phú Khánh – L t Tam giác IAB vuông t i I nên ng tròn ngo i ti p tam giác IAB có di n tích     2x −   2 S = π IM = π (x − 2) +  −   = π (x − 2)2 +  ≥ 2π  x −2    (x − 2)2         x = ⇒ y = 1 D u ng th c x y (x − 2)2 = ⇔ (x − 2)2 x = ⇒ y =  ( ) ( ) V y M 1;1 M 3; th a mãn toán Bài tốn : Phương trình ti p n c a ( ) ( ) ( th C : y = f x i qua i m M x 1; y1 ) Cách : () • Phương trình ng th ng d ( i qua i m M có h s góc k có d ng : ) y = k x − x + y1 • (d ) ti p xúc v i   f x = k x − x + y1 th C h sau  có nghi m f ' x = k  ( ) ( ( ) ( ) ) Cách : ( ) • G i N x ; y t a ( ) () ( () th C ti p n d qua i m ti p i m c a ) M , nên d có d ng y = y '0 x − x + y • (d ) ( ) () i qua i m M nên có phương trình : y1 = y '0 x − x + y * () • T phương trình * ta tìm c t a ( ) i m N x 0; y0 , t ây ta tìm c () phương trình ng th ng d Ví d 2: Cho hàm s : y = x4 − 3x + có 2 th (C ) Gi s M ∈ (C ) có hoành a V i giá tr c a a ti p n c a (C ) t i M c t (C ) t i i m phân bi t khác M Gi i :  a 5 Vì M ∈ (C ) nên M  a ; yM = − 3a +  2  ' Ti p n t i M có h s góc yM = 2a − 6a Ti p n t i M có d ng : a4 ' y = yx (x − x M ) + yM ⇒ d : y = (2a − 6a )(x − a ) + − 3a + M 2 () 153 Nguy n Phú Khánh – L t () Ti p n d c a (C ) t i M c t (C ) t i i m phân bi t khác M phương trình sau có nghi m phân bi t : x4 a4 − 3x + = (2a − 6a )(x − a ) + − 3a + hay phương trình 2 2 2 (x − a ) (x + 2ax + 3a − 6) = có nghi m phân bi t , nghĩa phương trình ( ) g x = x + 2ax + 3a − = có hai nghi m phân bi t khác a   ' = a − (3a − 6) >  ∆ a − < a < ⇔  g (x ) ⇔ ⇔ g(a ) = 6a − ≠ a ≠ a ≠ ±1    a <  V y giá tr a c n tìm  a ≠ ±1  Bài t p tương t : Tìm m ti p n i qua i m M 2; m + c a th hàm s ( y = x − 3x + m ph i i qua g c t a ) O 154 ... y 15 10 I x I x -1 0 -5 10 -5 Dáng i u hàm s ch a giá tr t i x2 x2 f x = C f x = C1 x ? ?1 x ? ?1 ( ) ( ) ( ) ( ) y y 6 5 4 y=x +1 y=x +1 2 y=-x -1 1 x -4 -4 -3 -2 -1 -3 -2 -1 -1 x =1 -1 -2 x =1 -2 -3 -3 ... -2 x2 C5 x ? ?1 ( ) y y 6 4 y=x +1 y=-x -1 y=x +1 x -8 y=-x -1 -6 -4 -2 2 -2 -3 -2 -1 x= -1 x =1 -4 x -4 4 -6 x =1 -8 -2 -1 0 Ví d 1: Kh o sát s bi n thiên v * Hàm s ã cho xác x ? ?1 x − 3x + x ? ?1 Gi i : nh... -3 13 4 Nguy n Phú Khánh – L t ( ) f x = x2 (C ) ( ) f x = x ? ?1 x2 C3 x ? ?1 ( ) y y 6 y=-x +1 y=x +1 y=x +1 y=-x +1 -4 -3 -2 -1 x= -1 x x =1 -4 -2 -3 -2 -1 x= -1 ( ) f x = x2 x ? ?1 (C ) ( ) f x = 4 x =1 -2