 01688559752 dpsang@gmail.com Tài liệu tham khảo - 50 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán Phn V. Phn V. Phn V. Phn V. PHNG PHÁP TO+ Đ- PHNG PHÁP TO+ Đ-PHNG PHÁP TO+ Đ- PHNG PHÁP TO+ Đ- TRONG KHÔNG GIAN TRONG KHÔNG GIANTRONG KHÔNG GIAN TRONG KHÔNG GIAN 1. Hệ toạ độ Oxyz Gồm 3 trục Ox,Oy,Oz đôi một vuông góc nhau có véctơ đơn vị lần lượt là: , ,i j k    2. Toạ độ của điểm a) Định nghĩa ( ; ; ) . . . M M M M M M M x y z OM x i y j z k⇔ = + +     b) Toạ độ của các điểm đặc biệt  Trung điểm I của đoạn AB  Trọng tâm G của tam giác ABC 2 2 2 A B I A B I A B I x x x y y y z z z   +  =      +   =     +  =     3 3 3 A B C G A B C G A B C G x x x x y y y y z z z z   + +  =      + +   =     + +  =      Hình chiếu vuông góc của điểm ( ; ; ) M M M M x y z lên:  Trục Ox : 1 ( ;0;0) M M x  mp ( )Oxy : 12 ( ; ;0) M M M x y  Trục Oy : 2 (0; ;0) M M y  mp ( )Oxz : 13 ( ;0; ) M M M x z  Trục Oz : 3 (0; 0; ) M M z  mp ( )Oyz : 23 (0; ; ) M M M y z 3. Toạ độ của véctơ a) Định nghĩa: 1 2 3 1 2 3 ( ; ; ) . . .a a a a a a i a j a k= ⇔ = + +      b) Công thức toạ độ của véctơ  Nếu ( ; ; ), ( ; ; ) A A A B B B A x y z B x y z thì ( ; ; ) B A B A B A AB x x y y z z= − − −   Nếu 1 2 3 ( ; ; )a a a a=  , 1 2 3 ( ; ; )b b b b=  thì  1 1 2 2 3 3 ( ; ; )a b a b a b a b+ = + + +    1 1 2 2 3 3 ( ; ; )a b a b a b a b− = − − −    1 2 3 . ( ; ; )k a ka ka ka=  , k ∈ ℝ c) Điều kiện cùng phương của hai véctơ  Cho 1 2 3 ( ; ; )a a a a=  , 1 2 3 ( ; ; )b b b b=  và 0b ≠   . Khi đó, a  cùng phương với b  ⇔ tồn tại số thực t sao cho .a t b=    1 1 2 2 3 3 a b a b a b a b   =    = ⇔ =    =      www.VNMATH.com Dương Phước Sang - 51 - THPT Chu Văn An 4. Tích vô hướng của hai véctơ a) Công thức: Nếu 1 2 3 1 2 3 ( ; ; ) ( ; ; ) a a a a b b b b   =     =      thì 1 1 2 2 3 3 . . . .a b a b a b a b= + +   b) Ứng dụng:  2 2 2 1 2 3 a a a a= + +   AB AB=   . cos( , ) . a b a b a b =        . 0a b a b⊥ ⇔ =     , với 0 0 a b   ≠     ≠        5. Tích có hướng của hai véctơ a) Định nghĩa Cho 1 2 3 1 2 3 ( ; ; ) ( ; ; ) a a a a b b b b   =     =      . Khi đó, véctơ [ ] 2 3 1 3 1 2 2 3 1 3 1 2 , ; ; a a a a a a a b b b b b b b       = −            được gọi là tích có hướng của hai véctơ a  và b  . b) Lưu ý: Nếu [ , ]n a b=    thì n a⊥   và n b⊥   (giả sử 0, 0, 0a b n≠ ≠ ≠       ) c) Ứng dụng 1: Cho ba véctơ khác 0  lần lượt là , ,a b c    . Khi đó,  a  và b  cùng phương với nhau [ , ] 0a b⇔ =     ,a b   và c  đồng phẳng với nhau [ , ]. 0a b c⇔ =     A,B,C thẳng hàng [ , ] 0AB BC⇔ =     A,B,C,D đồng phẳng [ , ]. 0AB AC AD⇔ =    d) Ứng dụng 2: (tính diện tích)  Diện tích hình bình hành ABCD [ , ] ABCD S AB AD=    Diện tích tam giác ABC: ABC S ∆ 1 2 [ , ]AB AC=   e) Ứng dụng 3: (tính thể tích)  Thể tích khối hình hộp .ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ [ , ]. hh V AB AD AA ′ =     Thể tích khối tứ diện ABCD: ABCD V = 1 6 [ , ].AB AC AD    www.VNMATH.com  01688559752 dpsang@gmail.com Tài liệu tham khảo - 52 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán VÍ DỤ MINH HOẠ Bài 1 : Trong hệ toạ độ ( , , , )O i j k    cho 2 3OA i j k= + −     , 4 3 2 , (2; 7;1)OB i j k BC= + − = −      và (4;1; 7)A ′ − a) Chứng minh rằng A,B,C là 3 đỉnh của một tam giác vuông. b) Chứng minh rằng ( )AA ABC ′ ⊥ c) Tính thể tích khối tứ diện A ABC ′ . d) Xác định toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp .ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ Bài giải Từ giả thiết ta có (2;1; 3), (4; 3; 2), (6; 4; 1), (4;1; 7)A B C A ′ − − − − − Câu a: (2;2;1) . 8 10 2 0 (4; 5;2) AB AB AC AB AC AC   =   ⇒ = − + = ⇒ ⊥   = −         Vậy, ABC là tam giác vuông tại A Câu b: Ta có, (2; 0; 4)AA ′ = −  và (2;2;1), (4; 5;2)AB AC= = −    Do đó, . 2.2 0.2 4.1 0 . 2.4 0.( 5) 4.2 0 AA AB AA AC   ′ = + − =     ′ = + − − =        ( ) AA AB AA ABC AA AC  ′  ⊥  ′ ⇒ ⇒ ⊥  ′  ⊥    Câu c: 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 4 ( 5) 2 3 5 AB AC   = + + =     = + − + =    . 9 5 2 2 ABC AB AC S ∆ ⇒ = =  2 2 2 2 0 ( 4) 2 5h AA ′ = = + + − =  Vậy, 9 5.2 5 1 1 3 3 3.2 . 15 A ABC ABC V h S AA ′ ∆ ′ = = = =B. Câu d: ABCD là hình bình hành AD BC⇔ =   2 2 4 1 7 6. (4; 6; 2) 3 1 2 D D D D D D x x y y D z z     − = =       ⇔ − = − ⇔ = − − −       + = = −        Tương tự, (6; 3; 6)B ′ − , (6; 6; 6)D ′ − − , (8; 4; 5)C ′ − − www.VNMATH.com Dương Phước Sang - 53 - THPT Chu Văn An BÀI TẬP VỀ TOẠ ĐỘ CỦA ĐIỂM, TOẠ ĐỘ CỦA VÉCTƠ Bài 2 : Trong hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm (2; 0; 1), (3;2; 3), ( 1;1;1)A B C− − a) Chứng minh rằng A,B,C là ba đỉnh của một tam giác. b) Xác định toạ độ đỉnh D và tâm I của hình bình hành ABCD. c) Tìm toạ độ điểm M sao cho 2AM OB AC= −    Bài 3 : Trong hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm (2;2; 1), (2;1;0), (1;1; 1)A B C− − a) Chứng minh rằng ABC là tam giác đều. b) Cho điểm (4; 0; 3)A ′ − . Xác định toạ độ các điểm B ′ và C ′ để .ABC A B C ′ ′ ′ là một hình lăng trụ. c) Chứng minh rằng .ABC A B C ′ ′ ′ là một lăng trụ đều. Bài 4 : Trong hệ toạ độ ( , , , )O i j k    cho 3 2 3OM i j k= − +     và A,B,C lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên các trục toạ độ Ox,Oy,Oz. a) Chứng minh rằng ABC là tam giác cân. b) Tính thể tích tứ diện OABC, từ đó tính khoảng cách từ gốc toạ độ đến mặt phẳng ( )ABC Bài 5 : Trong hệ toạ độ ( , , , )O i j k    cho 3 2 3ON i j k= − +     và A,B,C lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm N lên các mặt phẳng toạ độ Oxy, Oyz, Oxz. a) Tính diện tích tam giác ABC và thể tích của tứ diện NABC. b) Tính khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng ( )ABC Bài 6 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, chứng minh rằng (0;0;0)O , A(0;1;2),B(2;3;1),C(2;2;–1) là bốn đỉnh của một hình chữ nhật. Bài 7 : Trong hệ toạ độ ( , , , )O i j k    cho tứ diện ABCD sao cho (2; 4; 1), 4 , (2; 4; 3), (0; 2; 0)A OB i j k C AD− = + − = −      a) Chứng minh rằng AB, AC và AD đôi một vuông góc với nhau. b) Tính diện tích tam giác ABC và thể tích tứ diện ABCD. Bài 8 : Trong hệ toạ độ Oxyz cho (2;1; 3), (4; 3; 2), (6; 4; 1)A B C− − − − a) Chứng minh rằng A,B,C là ba đỉnh của một tam giác vuông. b) Tìm toạ độ điểm D để A,B,C,D là 4 đỉnh của một hình chữ nhật Bài 9 : Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp .ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ biết rằng (2; 4; 1), (1;4; 1), (2;4; 3), (2;2; 1)A B C OA ′ − − = −  Bài 10 :Tìm điểm N trên Oy cách đều hai điểm (3;1; 0)A và ( 2; 4;1)B − Bài 11 :Tìm điểm M trên mặt phẳng ( )Oxz cách đều ba điểm (1;1;1)A , ( 1;1;0)B − và (3;1; 1)C − www.VNMATH.com  01688559752 dpsang@gmail.com Tài liệu tham khảo - 54 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán 6. Phương trình mặt cầu a) Dạng 1: mặt cầu ( )S tâm I(a;b;c), bán kính R có phương trình: ( ) ( ) 2 2 2 2 ( – ) – –x a y b z c R+ + = b) Dạng 2: với điều kiện 2 2 2 0a b c d+ + − > thì 2 2 2 – 2 – 2 – 2 0x y z ax by cz d+ + + = là phương trình mặt cầu  Tâm I(a;b;c)  Bán kính 2 2 2 R a b c d= + + − c) Lưu ý: mặt cầu ( , )S I R tiếp xúc với mặt phẳng ( ) α ( , )d I R α⇔ = 7. Phương trình tổng quát của mặt phẳng a) Công thức: Nếu mặt phẳng ( )P đi qua điểm 0 0 0 0 ( ; ; )M x y z và có véctơ pháp tuyến ( ; ; ) 0n A B C= ≠   thì ( )P có phương trình tổng quát là: 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z− + − + − = b) Lưu ý về cách xác định véctơ pháp tuyến (vtpt) cho mặt phẳng: ☺ Nếu ( )P AB⊥ thì ( )P nhận n AB=   làm véctơ pháp tuyến. ☺ Nếu a  và b  là hai véctơ không cùng phương, có giá song song hoặc chứa trong ( )P thì ( )P nhận [ , ]n a b=    làm véctơ pháp tuyến. ☺ Cho trước ( ) : 0Q Ax By Cz D+ + + = . Nếu ( )€( )P Q thì ( )P có phương trình dạng 0Ax By Cz D ′ + + + = (với D D ′ ≠ ) ☺ Mặt phẳng ( ) : 0P Ax By Cz D+ + + = có vtpt ( ; ; )n A B C=  c) Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn Mặt phẳng ( )P đi qua ba điểm phân biệt ( ; 0;0)A a , (0; ; 0), (0; 0; )B b C c có phương trình 1 x y z a b c + + = d) Khoảng cách từ điểm M o đến mặt phẳng (P) 0 0 0 2 2 2 0 ( ,( )) Ax By Cz D A B C d M P + + + + + = www.VNMATH.com Dương Phước Sang - 55 - THPT Chu Văn An 8. Phương trình của đường thẳng Cho đường thẳng d đi qua điểm 0 0 0 0 ( ; ; )M x y z và có vtcp ( ; ; )u a b c=  a) Phương trình tham số của d: 0 0 0 ( ) x x at y y bt t z z ct   = +    = + ∈    = +    ℝ b) Phương trình chính tắc của d: 0 0 0 x x y y z z a b c − − − = = (giả sử a,b,c đều khác 0) c) Cách xác định véctơ chỉ phương (vtcp) cho đường thẳng d ☺ d đi qua 2 điểm A và B phân biệt thì d có vtcp u AB=   ☺ Cho đường thẳng ∆ có vtcp u ∆  . Nếu €d ∆ thì d có vtcp u u ∆ =   ☺ Cho mặt phẳng ( )P có vtpt P n  . Nếu d ⊥(P) thì d có vtcp P u n=   ☺ Cho hai véctơ không cùng phương a  và b  . Nếu d vuông góc với giá của 2 véctơ a  và b  thì d có vtcp [ , ]u a b=    ☺ Cho đường thẳng ∆ có vtcp u ∆  và mặt phẳng ( )P có vtpt P n  . Nếu d song song với ( )P và vuông góc với ∆ thì d có vtcp [ ], P u n u ∆ =    ☺ Cho hai mặt phẳng ( )P và ( )Q lần lượt có vtpt P n  và Q n  . Nếu d là giao tuyến của ( ) P và ( ) Q thì d có vtcp [ ], P Q u n n=    ☺ Cho hai đường thẳng 1 d và 2 d lần lượt có vtcp 1 u  và 2 u  không cùng phương. Nếu d vuông góc với cả hai đường thẳng 1 d và 2 d thì d có vtcp 1 2 [ , ]u u u=    www.VNMATH.com  01688559752 dpsang@gmail.com Tài liệu tham khảo - 56 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán VÍ DỤ MINH HOẠ Bài 12 : Cho A(1;3;1), B(2;1;2), C(0;2; –6) và ( ) : 2 2 1 0P x y z− + + = a) Viết phương trình mặt cầu tâm B, đi qua A b) Viết phương trình mặt cầu đường kính BC. c) Viết phương trình mặt cầu tâm C, tiếp xúc với mặt phẳng ( )P d) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. Bài giải Câu a: Gọi 1 ( )S là mặt cầu tâm B(2;1;2) và đi qua điểm A. Khi đó 1 ( )S có bán kính 1 R AB=  Ta có 2 2 2 (1; 2;1) 1 ( 2) 1 6AB AB= − ⇒ = + − + =   1 ( )S có phương trình 2 2 2 ( 2) ( 1) ( 2) 6x y z− + − + − = Câu b: Gọi 2 ( )S là mặt cầu đường kính BC thì 2 ( )S có tâm (1 2) 3 2 ; ;I − là trung điểm của đoạn thẳng BC và bán kính 2 BC R = và 2 2 2 ( 2;1; 8) ( 2) 1 ( 8) 69BC BC= − − ⇒ = − + + − =  nên 69 2 2 BC R = =  Phương trình mặt cầu 2 ( )S là 2 2 2 3 69 2 4 ( 1) ( ) ( 2)x y z− + − + + = Câu c: Gọi 3 ( )S là mặt cầu tâm C(0;2;–6), tiếp xúc với ( )P . Khi đó 3 ( )S có bán kính 3 ( ,( ))R d C P= 2 2 2 0 2.2 2( 6) 1 15 3 1 ( 2) 2 5 − + − + + − + = = =  3 ( )S có phương trình: 2 2 2 ( 2) ( 6) 25x y z+ − + + = Câu d:  Giả sử 2 2 2 4 ( ) : 2 2 2 0S x y z ax by cx d+ + − − − + = là mặt cầu đi qua O(0;0;0),A(1;3;1),B(2;1;2),C(0;2; –6) thì d = 0 và 9 2 13 10 29 10 11 2 6 2 0 2 6 2 11 9 4 2 4 0 4 2 4 9 40 4 12 0 4 12 40 a a b c a b c a b c a b c b b c b c c       = − − − = + + =          − − − = ⇔ + + = ⇔ =          − + = − = = −          Mà ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 9 13 29 2 10 10 0a b c d+ + − = + + − > nên phương trình của mặt cầu 4 ( )S cần tìm là 2 2 2 9x y z x+ + − − 13 29 5 5 0y x+ = www.VNMATH.com Dương Phước Sang - 57 - THPT Chu Văn An Bài 13 : Viết phương trình mặt phẳng ( )α trong các trường hợp sau đây: a) ( )α đi qua (1; 2;2)A − và vuông góc với OM biết (3; 1;2)M − b) ( )α đi qua ba điểm (0;1;2), ( 3;1; 4), (1; 2; 1)A K D− − − . c) ( )α đi qua hai điểm A, B và song song với đường thẳng CD biết (1;1;1), (2;1;2), ( 1;2;2), (2;1; 1)A B C D− − d) ( )α là mặt trung trực của đoạn MN với (2; 3;1), ( 4;1;5)M N − Bài giải Câu a: Do ( )α đi qua (1; 2;2)A − và vuông góc với OM nên có véctơ pháp tuyến (3; 1;2)n OM= = −    Phương trình của mặt phẳng ( )α là 3( 1) 1.( 2) 2( 2) 0x y z− − + + − = 3 2 9 0x y z⇔ − + − = Câu b: Do ( )α đi qua 3 điểm (0;1;2), ( 3;1;4), (1; 2; 1)A K D− − − nên chứa giá của hai véctơ: ( 3;0;2)AK = −  và (4; 3; 5)KD = − −  nên có véctơ pháp tuyến 0 2 3 2 3 0 [ , ] ; ; (6; 7;9) 3 5 4 5 4 3 n AK KD   − −     = = − = −     − − − −          Phương trình của mặt phẳng (α) là: 6 7( 1) 9( 2) 0 6 7 9 11 0x y z x y z− − + − = ⇔ − + − = Câu c: Do ( )α đi qua A, B và song song với CD nên lần lượt chứa (song song song với giá của hai véctơ (1;0;1)AB =  (3; 1; 3)CD = − −  nên có véctơ pháp tuyến 0 1 1 1 1 0 [ , ] ; ; (1;6; 1) 1 3 3 3 3 1 n AB CD       = = − = −     − − − −          Phương trình của mặt phẳng ( )α là 1( 1) 6( 1) 1( 1) 0 6 6 0x y z x y z− + − − − = ⇔ + − − = Câu d: Do ( )α là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MN nên ( )α đi qua trung điểm ( 1;2;3)I − của đoạn MN và có vtpt ( 6; 2; 4)n MN= = − −   Đáp số: 3 2 7 0x y z+ − + = www.VNMATH.com  01688559752 dpsang@gmail.com Tài liệu tham khảo - 58 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán α I M Bài 14 : Trong không gian Oxyz cho hai điểm (0; 3;2), (1; 1; 1)A B − − và mặt cầu 2 2 2 ( ) : 2 6 8 1 0S x y z x y z+ + − + − + = . Viết phương trình mặt phẳng ( )α biết a) ( )α đi chứa đường thẳng AB và tâm I của mặt cầu ( )S . b) ( )α tiếp xúc với mặt cầu ( )S tại điểm (1;1;1)M Hướng dẫn giải và đáp số Câu a: Mặt cầu ( )S có tâm (1; 3; 4)I − và bán kính 2 2 2 2 2 2 1 ( 3) 4 1 5R a b c d= + + − = + − + − =  ( )α là mặt phẳng qua ba điểm (0; 3;2), (1; 1; 1)A B − − và (1; 3; 4)I − nên có vtpt [ , ] ( 26; 5; 2)n AB BI= = = − − −    ⋯ (như câu 11b)  Đáp số: 26 5 2 19 0x y z+ + − = Câu b: Mặt phẳng ( )α tiếp xúc với mặt cầu tâm I tại M nên ( )α đi qua điểm M và có vtpt n IM=    Đáp số: 4 3 1 0y z− − = Bài 15 : Cho tam giác ABC có (0;1;2), ( 3;1;4), (1; 2; 1) A B C− − − . Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau đây: a) d là đường trung tuyến ứng với cạnh BC của tam giác ABC. b) d là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ( ) ABC tại C. Bài giải Câu a: Trung tuyến ứng với cạnh BC đi qua điểm (0;1;2) A và trung điểm 1 3 2 2 ( 1; ; )I − − của cạnh BC nên có véctơ chỉ phương 3 1 2 2 ( 1; ; )u AI= = − − −   hay (2; 3;1)u ′ =   Phương trình chính tắc của đường thẳng d là 1 2 2 3 1 y x z − − = = Câu b: Ta có ( 3;0;2), (4; 3; 5)AB BC= − = − −    Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )ABC là [ , ] (6; 7;9)n AB BC= = = −    ⋯  Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( ) ABC tại C nên d đi qua điểm (1; 2; 1) C − − và có véctơ chỉ phương (6; 7;9) d u n= = −    Phương trình chính tắc của đường thẳng d là 2 1 1 6 7 9 y z x + + − − = = www.VNMATH.com Dương Phước Sang - 59 - THPT Chu Văn An BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Bài 16 : Viết phương trình mặt cầu ( )S trong các trường hợp sau đây: a) ( )S có tâm (1;0; 1)I − và đường kính bằng 8. b) ( )S có tâm (2;1; 2)I − và đi qua điểm (3;2; 1)A − . c) ( )S có đường kính AB với A(6;2;–5) và B(–4;0;7). d) ( )S có tâm ( 2;1;5)T − và tiếp xúc với mp ( ) : 3 3 0x yα − − = e) ( )S có tâm (2; 3; 1)K − và đi qua tâm I của mặt cầu sau đây 2 2 2 2 6 6 0x y z y z+ + − + − = f) ( )S có đường kính ON với ( 1; 4;2)N − g) ( )S có tâm I(6;3;–4) và tiếp xúc với mặt phẳng Oxy. h) ( )S có tâm I(6;3;–4) và tiếp xúc với trục tung Oy. Bài 17 : Viết phương trình mặt cầu ( )S trong các trường hợp sau đây: a) ( )S ngoại tiếp tứ diện OABC với A(2;2;3),B(1;2;–4),C(1;–3;–1) b) ( )S đi qua gốc toạ độ và các hình chiếu của điểm M(2;–1;3) lần lượt lên các trục toạ độ. c) ( )S đi qua các điểm A(3;0;1),B(2;1;–1),C(0;–7;0) và D(2;–1;3) d) ( )S đi qua ba điểm A(1;2;–4),B(1;–3;1),C(2;2;3) và có tâm nằm trên mặt phẳng Oxy. Bài 18 :Cho (35; 3;14), (4;2;6), (5; 3; 1), (6; 8;2), (5; 5;4)S A B C D− − − . a) Chứng minh rằng, S.ABCD là hình chóp có đáy là một hình vuông và cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. b) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Bài 19 :Viết phương trình mặt phẳng ( )α trong các trường hợp sau đây: a) ( )α đi qua điểm (7;2; 1)A − , vuông góc với đường thẳng BE với (2;2; 3)B − và ( 1; 0;6)E − b) ( )α là mặt phẳng trung trực của đoạn AK với ,(1;1;3) (2; 5;1)A K c) ( )α đi qua ( 2; 2;6)C − − và song song với :( ) 2 1 0x y zβ − + − = d) ( )α vuông góc với đường thẳng 1 2 1 3 2 : y x z d + − − = = tại điểm M trên d có hoành độ bằng 2. e) ( )α tiếp xúc với mặt cầu 2 2 2 ( ) : ( 1) ( 1) 9S x y z− + + + = tại điểm (3;1; 1)H − thuộc mặt cầu ( )S f) ( )α đi qua O và vuông góc với đường thẳng 1 3 2 1 3 : y x z d − − = = www.VNMATH.com [...]... Bi 29 : Trong h to Oxyz cho cỏc im A(1;1; 3), B(3;0;1), C(0;4;5) a) Vit phng trỡnh mt phng () i qua C v vuụng gúc vi AB b) Vit phng trỡnh ng thng d vuụng gúc vi (ABC ) ti B Bi 30 : Trong h to Oxyz cho A(5;1;3), B(1;6;2), C(5;0;4) v D(4;0;6) a) Vit phng trỡnh mt phng (ABC ) b) Vit phng trỡnh mt cu tõm D tip xỳc vi mp (ABC ) c) Tỡm to im H l hỡnh chiu vuụng gúc ca D lờn (ABC ) Bi 31 : Trong h to... gúc vi () ti A Bi 32 : Trong khụng gian Oxyz cho mt phng (P ) : 2x 2y + z + 6 = 0, mt cu (S ) : (x 1)2 + (y + 3)2 + (z 4)2 = 6 v im A(2; 1; 3) a) Vit phng trỡnh mt cu tõm A tip xỳc vi mt phng (P ) b) Vit phng trỡnh mt phng () song song vi mt phng (P ) ng thi i qua tõm I ca mt cu (S ) c) Vit phng trỡnh mt phng ( ) song song vi mt phng (P ) ng thi tip xỳc vi mt cu (S ) Bi 33 : Trong h to Oxyz cho A(5;... giỏc BCD c) Tớnh th tớch khi chúp ABCD Ti liu tham kho - 66 - ễn tp tt nghip mụn Toỏn www.VNMATH.com Bi 44 : Trong khụng gian Oxyz cho hai im A(6;2;5), B(4;0;7) a) Vit phng trỡnh mt cu (S ) cú ng kớnh AB b) Vit phng trỡnh mt phng () tip xỳc vi mt cu (S ) ti A Bi 45 : Vit phng trỡnh mt phng () trong cỏc trng hp sau: a) () i qua A(1;2;3) v song song vi mp(Oxy) b) () i qua A(1;2;3) v song song vi mt phng... tip xỳc vi mt phng () b) Vit phng trỡnh mt phng i qua im I v song song vi () Bi 37 : Trong h to Oxyz cho cỏc im A(3; 1;2), B(2;1; 0),C (1; 3;1) a) Chng minh rng ABC l tam giỏc vuụng cõn Vit phng trỡnh mt phng (ABC ) b) Chng minh rng OABC l mt t din Tớnh th tớch t din OABC v din tớch mt cu ngoi tip t din OABC Bi 38 : Trong h to Oxyz cho A,B,C ln lt l hỡnh chiu vuụng gúc ca im M (4; 6;12) lờn cỏc trc... 5 g) d l giao tuyn ca ():3x y + z 2 = 0 v ( ):x 3y + 2 = 0 h) d l ng thng i qua tõm I ca mt cu (S ) v song song vi trc tung bit (S ) : (x + 1)2 + (y 2)2 + z 2 = 3 i) d l ng trung trc ca on thng MN trong mt phng (OMN ) bit M (2;1; 4), N (0; 5;2) Bi 22 : Vit phng trỡnh tham s ca cỏc ng thng sau õy a) d1 : x + 3 = y 1 = z +5 b) d2 : x 1 = y + 4 = z 2 Ti liu tham kho 1 2 2 - 60 - 3 2 ễn tp tt nghip... 2) a) Chng minh rng ABCD l mt t din cú cỏc cp cnh i din vuụng gúc vi nhau Tớnh th tớch t din ABCD b) Vit phng trỡnh mt cu (S ) ngoi tip t din ABCD c) Vit phng trỡnh tip din vi mt cu (S ) ti A Bi 34 : Trong h to Oxyz cho A(5;1;3), B(1;6;2), C(5;0;4), D(4;0;6) a) Vit phng trỡnh mt phng (ACD ) v chng minh im B khụng thuc mt phng (ACD ) b) Vit phng trỡnh mt phng cha AB v song song vi CD c) Vit phng trỡnh... v trớ tng i ca ng thng d : x +1 = = z vi 1 1 3 x = 2 + t x = 1 2t x = 1 + 2t y = 2t y = 8 2t a) 1 : b) 2 : c) 3 : y = 4 + t z = 1 + 3t z = 3 + 6t z = 1 + 4t Tỡm to giao im trong trng hp hai ng thng ct nhau? Ti liu tham kho - 62 - ễn tp tt nghip mụn Toỏn www.VNMATH.com Bi gii Cõu a: ng thng d i qua im M (1; 3; 0) cú vtcp u = (1; 1; 3) 1 i qua im M 1(1; 0; 3) cú vtcp u1 =...www.VNMATH.com 01688559752 dpsang@gmail.com Bi 20 :Vit phng trỡnh mt phng (P ) trong cỏc trng hp sau õy a) (P ) i qua ba im A(2;1; 0), B(3; 3; 4) v C (1; 0; 1) b) (P ) i qua im I (0;2;1) v ng thng : x +1 2 = y 3 =z c) (P ) cha trc honh v i qua im G (2;1;1) d) (P ) i qua hai im A(1;2;1),... A v Bi 47 : Cho im M(1;4;2) v mt phng (): x + y + z 1 = 0 a) Tỡm ta H l hỡnh chiu vuụng gúc ca M trờn () b) Tỡm ta M i xng vi M qua mt phng () c) Vit phng trỡnh mt cu tõm M tip xỳc vi () Bi 48 : Trong h to Oxyz cho cỏc im A(1;1;3), B(3;0;1), C(0;4;5) a) Vit phng trỡnh mt phng () i qua A v vuụng gúc vi BC b) Xỏc nh to im H l hỡnh chiu vuụng gúc ca im A lờn ng thng BC c) Vit phng trỡnh mt cu tõm . PHNG PHÁP TO+ Đ- PHNG PHÁP TO+ Đ-PHNG PHÁP TO+ Đ- PHNG PHÁP TO+ Đ- TRONG KHÔNG GIAN TRONG KHÔNG GIANTRONG KHÔNG GIAN TRONG KHÔNG GIAN 1. Hệ toạ độ. : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, chứng minh rằng (0;0;0)O , A(0;1;2),B(2;3;1),C(2;2;–1) là bốn đỉnh của một hình chữ nhật. Bài 7 : Trong hệ toạ độ