WWW.VNMATH.COM Chương 7 Tích phân 7.1 Các dạng toán cơ bản về nguyên hàm Vấn đề 1 : Chứng minh một hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)  Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F được gọi là một nguyên hàm của f trên K nếu F ′ (x) = f(x) với mọi x ∈ K Bài 7.1 : 1. Chứng minh rằng F(x) = 4 sin x + (4x + 5)e x + 1 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 4cos x + (4x + 9)e x . 2. Chứng minh rằng hàm số F(x) = |x| − ln(1 + |x|) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x 1 + |x| . 3. Chứng minh rằng F(x) =      x 2 2 ln x − x 2 4 + 1 khix > 0 1 khix = 0 là một nguyên hàm của hàm số f(x) =    xln x khix > 0 0 khix = 0 trên [0; +∞). Bài 7.2 : Xác định các hệ số a,b, c để hàm số F(x) = (ax 2 + bx + c) √ 3 − 2x là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x √ 3 − 2x. Bài 7.3 : 1. Tìm m để hàm số F(x) = ln(x 2 + 2mx + 4) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x − 3 x 2 − 3x + 4 . 2. Cho hàm số f(x) = −xe x và F(x) = (ax + b)e x . Với giá trị nào của a và b thì F(x) là một nguyên hàm của f(x). Vấn đề 2 : Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản  Ta có bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản sau 149 WWW.VNMATH.COM CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 1. Ê 0 dx = C; Ê dx = Ê 1 dx = x + C; 2. Ê x α dx = x α+1 α + 1 + C; Ê (ax + b) α dx = 1 a . (ax + b) α+1 α + 1 + C (với α  −1, a  0); 3. Ê 1 x dx = ln|x| +C; Ê 1 ax + b dx = 1 a ln|ax +b| +C (a  0); 4. Với a là hằng số khác 0 (a) Ê sin(ax + b) dx = − cos(ax + b) a + C; (b) Ê cos(ax + b) dx = sin(ax + b) a + C; (c) Ê e (ax+b) dx = e (ax+b) a + C; (d) Ê α x dx = α x ln α + C (với 0 < α  1); 5. (a) Ê 1 cos 2 x dx = tan x + C; (b) Ê 1 sin 2 x dx = − cot x + C. Bài 7.4 : Tìm nguyên hàm của các hàm số sau : 1. x + √ x + 1 3 √ x ; 2.   √ x + 1 ¡   x − √ x + 1 ¡ ; 3. 1 sin 2 x cos 2 x ; 4. cos 2x sin x + cos x ; 5. x 3 + 1 1 − x 2 ; 6. 1 (1 + x)(1 − 2x) ; 7. 2 x − 1 e x ; 8. e 3−2x ; 9. x(x + 1)(x + 2); 10. 1 √ x − 1 3 √ x ; 11.  1 − x 2 x  2 ; 12. 3x 2 + 3x + 3 x 3 − 3x + 2 ; 13. 1 x(1 + x) 2 ; 14. x 4 − 2 x 3 − x ; 15. sin  x − π 4  (1 + sin 2x); 16. sin x sin 2x cos 5x; 17. sin 6 x + cos 6 x; 18. 1 √ 2 + sin x − cos x ; 19. sin x cos 2 x. Vấn đề 3 : Tìm hằng số C Bài 7.5 : 1. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = x 3 + 3x 2 + 3x − 1 x 2 + 2x + 1 , biết rằng F(1) = 1 3 . 2. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 1 + sin x 1 + cos x , biết rằng F(0) = 2. Bài 7.6 : Tìm các hàm số thỏa mãn các điều kiện sau : 1. f ′ (x) = 2x + 1, đồ thị của nó đi qua điểm (1; 5); 2. f ′ (x) = 2 − x 2 và f(2) = 7 3 . Bài 7.7 : Tìm hàm số y = f (x) có đồ thị đi qua điểm (−1; 2) và thỏa mãn f ′ (x) = ax + b x 2 , ở đây f(1) = 4 và f ′ (1) = 0. Vấn đề 4 : Phương pháp nguyên hàm từng phần  Công thức  u dv = uv −  v du. Về việc chọn u, v như thế nào chúng ta xem phần phương pháp tích phân từng phần. Bài 7.8 : Tính các nguyên hàm sau : TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 150 www.VNMATH.com www.VNMATH.com WWW.VNMATH.COM CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 1. Ê (1 − 2x)e 3x dx; 2. Ê (x 2 + 2x − 1)e x dx; 3. Ê x sin(2x + 1) dx; 4. Ê (x 2 − 1) sin x dx; 5. Ê x ln(1 − x) dx; 6. Ê √ x ln 2 x dx; 7. Ê e x cos x dx; 8. Ê e x sin x dx; 9. Ê e 3x sin 5x dx; 10. Ê e 3x cos7x dx; 11. Ê xe x cos x dx; 12. Ê xe 2x sin(2x + 1) dx; 13. Ê x sin x 2 dx; 14. Ê x 2 cos x dx; 15. Ê √ x ln x dx; 16. Ê x 2 e x dx; 17. Ê 3 x cos x dx; 18. Ê xe x sin 2x dx; 19. Ê 1 + sin x 1 + cos x e x dx; 20. Ê sin(ln x) dx; 21. Ê ln  x + √ 1 + x 2  dx; 22. Ê x ln 1 + x 1 − x dx; 23. Ê cos ( ln(tan x) ) dx; 24. Ê x cos x sin 2 x dx; 25. Ê x2 x dx; 26. Ê xe −x dx; 27. Ê 25e 3x cos4x dx. Vấn đề 5 : Phương pháp đổi biến số  Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên [a; b] và hàm số f(u) liên tục sao cho f [u(x)] xác định trên [a; b]. Khi đó nếu F là một nguyên hàm của f , tức Ê f(u) du = F(u) + C thì  f [u(x)] u ′ (x) dx = F [u(x)] + C. Việc chọn u = u(x) như thế nào chúng ta xem thêm phần đổi biến tích phân. Bài 7.9 : Tìm các nguyên hàm sau : 1. Ê 2(4x − 1) 6 dx; 2. Ê 7 4 − 3x dx; 3. Ê 3 √ 2x + 1 dx; 4. Ê  e −4x + 5 √ 3x + 2  dx; 5. Ê  cos  π 2 x  − 2 6x + 5  dx; 6. Ê (2x + 1) 4 dx; 7. Ê 2x(x 2 + 1) 3 dx; 8. Ê x 2 √ x 3 − 4 dx; 9. Ê x √ x − 1 dx; 10. Ê 2x √ x 2 + 1 dx; 11. Ê 3x 2 √ x 3 + 1 dx; 12. Ê 2x 3 √ 4 − x 4 dx; 13. Ê 3x 2 x 3 + 1 dx; 14. Ê x (3x 2 + 9) 4 dx; 15. Ê 2x √ e x 2 +4 dx; 16. Ê 2x + 4 x 2 + 4x − 5 dx; 17. Ê x 3 √ 2 − t 2 dx; 18. Ê cos xe sin x dx; 19. Ê e x e x + 1 dx; 20. Ê cos x sin 4 x dx; 21. Ê x √ x + 1 dx; 22. Ê cos x 1 + sin x dx; 23. Ê x x 2 + 4 dx; 24. Ê (x + 1) √ x − 1 dx; 25. Ê tan x sin 2 x dx; 26. Ê 4x (1 − 2x 2 ) dx; 27. Ê 4x (1 − 2x 2 ) 2 dx; 28. Ê ln x x dx; 29. Ê e −x 1 + e −x dx; 30. Ê 1 x ln x dx. Bài 7.10 : Tính các nguyên hàm sau : 1. Ê (2x + 1) 20 dx; 2. Ê x x 2 + 1 dx; 3. Ê x 2 √ x 3 + 5 dx; 4. Ê e 3 cos x si n x dx; 5. Ê ln 4 x x dx; 6. Ê e 2x √ e x + 1 dx; 7. Ê 3x √ 7 − 3x 2 dx; 8. Ê 9x 2 √ 1 − x 3 dx; 9. Ê 1 √ x(1 + √ x) 3 dx; 10. Ê x √ 2x + 3 dx; 11. Ê x (1 + x 2 ) 2 dx; 12. Ê dx e x − e −x ; 13. Ê ln 2 x x dx; TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 151 www.VNMATH.com www.VNMATH.com WWW.VNMATH.COM CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 14. Ê 3 √ 1 + ln x x dx; 15. Ê cos x sin 3 x dx; 16. Ê cos x + sin x √ sin x − cos x dx; 17. Ê sin x cos x √ a 2 sin 2 x + b 2 cos 2 x , (a 2  b 2 ); 18. Ê dx cos x sin 2 x ; 19. Ê x √ 1 + x 2 dx; 20. Ê sin 2 x cos 3 x dx; 21. Ê e 3sin x cos x dx; 22. Ê (3x + 2) 10 dx. Bài 7.11 : Tính các nguyên hàm sau : 1. Ê x 3 e −x 2 dx; 2. Ê sin √ x dx; 3. Ê ln(ln x) x dx; 4. Ê cos 2 (ln x) dx; 5. Ê e √ x dx; 6. Ê sin(ln x) dx; 7. Ê cos 2 √ x dx; 8. Ê  1 ln 2 x − 1 ln x  dx; 9. Ê x cos x sin 2 x dx; 10. Ê sin   √ x + 1 ¡ dx; 11. Ê ln ( tan x ) cos 2 x dx; 12. Ê sin 5 x 3 cos x 3 dx; 13. Ê 1 x 2 sin 1 x cos 1 x dx; 14. Ê dx 3 + 5 cos x ; 15. Ê dx sin x + cos x ; 16. Ê dx 8 − 4 sin x + 7 cos x ; 17. Ê 4 sin x + 6 cos x + 5 sin x + 2 cos x + 2 dx. 7.2 Các dạng toán tích phân Vấn đề 1 : Sử dụng tích phân cơ bản  Nếu F là một nguyên hàm là một nguyên hàm của f trên [a; b] thì  b a f(x) dx = F(x) ¬ ¬ ¬ b a = F(b) − F(a). Bài 7.12 : Tính các tích phân sau : 1. 2 Ê 0 x(x + 1) 2 dx; 2. π 2 Ê 0 ( 2 cos x − sin 2x ) dx; 3. 2 Ê 1 2 1 x(x + 1) dx; 4. ln 2 Ê 0 e 2x+1 + 1 e x dx; 5. π 2 Ê 0   2x 2 + cos x ¡ dx; 6. π 6 Ê 0 (sin6x sin 2x − 6) dx; 7. 8 Ê 1  4x − 1 3 3 √ x 2  dx; 8. 1 Ê 0  3x − e x 4  dx; 9. 4 Ê 1 dx x 2 (x + 1) ; 10. π 3 Ê π 6 sin 3 x 1 − cos x dx; 11. 2 Ê 0 √ x 3 − 2x 2 + x dx; 12. π 3 Ê π 6 dx sin 2 x cos 2 x ; 13. π 4 Ê 0 dx (1 + tan 2 x) cos 4 x ; 14. π 2 Ê − π 2 cos 2 2x dx; 15. π 2 Ê − π 2 sin 2x sin 6x dx; 16. π 6 Ê 0 tan x dx. Vấn đề 2 : Tích phân hàm chứa dấu trị tuyệt đối  1. Công thức tách cận tích phân  b a f(x) dx =  c a f(x) dx +  b c f(x) dx. 2. Tích phân chứa dấu trị tuyệt đối b Ê a |f(x)| dx (giả s ử a > b). (a) Giải phương trình f(x) = 0, được các nghiệm x i ∈ [a; b], giả sử a ≤ x 1 < x 2 < ··· < x n ≤ b. TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 152 www.VNMATH.com www.VNMATH.com WWW.VNMATH.COM CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC (b) Dùng công thức tách cận b  a |f(x)| dx = x 1  a |f(x)| dx + x 2  x 1 |f(x)| dx + ··· + b  x n |f(x)| dx = ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ x 1  a f(x) dx ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ + ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ x 2  x 1 f(x) dx ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ + ··· + ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ b  x n f(x) dx ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ . Chú ý : Sau khi tách cận chúng ta có thể phá dấu giá trị tuyệt đối chứ không nhất thiết phải đưa giá trị tuyệt đối ra ngoài tích phân. Bài 7.13 : 1. Cho 5 Ê 0 f(t) dt = −3 và 7 Ê 0 f(u) du = 4, tính 7 Ê 5 f(x) dx. 2. Xác định hàm số f (x) = A sin πx + B, biết rằng f ′ (1) = 2 và 2 Ê 0 f(x) dx = 4. Bài 7.14 : 1. Cho hàm số f(x) = a.3 x + b, biết rằng f ′ (0) = 2 và 2 Ê 1 f(x) dx = 12. Tìm các giá trị của a và b. 2. Cho hàm số f(x) = a sin2x + b, biết rằng f ′ (0) = 4 và 2π Ê 0 f(x) dx = 3. Tìm các giá trị của a và b. Bài 7.15 : 1. Cho 4 Ê 0 f(x) dx = 1 và 6 Ê 0 f(t) dt = 5. Tính tích phân I = 6 Ê 4 f(x) dx. 2. Cho a ∈ å π 2 ; 3π 2 è và thoả mãn 1 Ê 0 cos(x + a 2 ) dx = sin a. Tính giá trị của a. Bài 7.16 : Tính các tích phân sau : 1. 2 Ê 0 |1 − x| dx; 2. 2 Ê 0 |x 2 − x| dx; 3. 2π Ê 0 √ 1 − cos2x dx; 4. √ 3 Ê 0 |1 − x 2 | 1 + x 2 dx; 5. 2 Ê 0 |x − 2| dx; 6. 3 Ê −3 |x 2 − 1| dx; 7. 4 Ê 1 √ x 2 − 6x + 9 dx; 8. 5 Ê −2 ( |x + 2| − |x − 2| ) dx; 9. 3 Ê 0 √ x 3 − 4x 2 + 4x dx; 10. 2 Ê 0 |x 2 + 2x − 3| dx; 11. 3 Ê 0 |2 x − 4| dx; 12. 1 Ê −1 √ 4 − |x| dx; 13. π Ê −π √ 1 − sin x dx; 14. π 3 Ê π 6 √ tan 2 x + cot 2 x − 2 dx; 15. π Ê 0 √ 1 − sin 2x dx; 16. 2π Ê 0 √ 1 + cos x dx; 17. π 2 Ê − π 2 cos x √ cos x − cos 3 x dx; 18. π 2 Ê − π 2 | sin x| dx; 19. π Ê 0 √ 1 + cos 2x dx; 20. 2π Ê 0 √ 1 + cos x dx. Vấn đề 3 : Phương pháp tích phân từng phần  b  a u dv = uv ¬ ¬ ¬ b a − b  a v du. Dùng phương pháp tích phân từng phần khi tích phân của chúng ta vừa chứa lẫn lộn các hàm : hàm đa thức, hàm mũ, hàm lôga (hoặc chỉ chứa hàm lôga), hàm lượng giác, hoặc chứa hàm vô tỉ. Nếu chứa lôga chúng ta thường đặt u là lôga và dv là phần còn lại hoặc đặt u là đa thức và dv là phần còn lại. Chú ý : • Tích phân I = Ê e x sin x dx đặt u = e x v à dv = sin x dx . . .; • Trước khi dùng tích phân từng phần chúng ta phải kiểm tra xem có làm được bằng phương pháp đổi biến số không đã; TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 153 www.VNMATH.com www.VNMATH.com WWW.VNMATH.COM CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC • Một cách tổng quát, chúng ta đặt u là biểu thức dễ xác định đạo hàm, dv là phần còn lại dễ xác định nguyên hàm. Bài 7.17 : Tính các tích phân sau : 1. ln 2 Ê 0 xe 2x dx; 2. 1 Ê 0 (2x 2 + x + 1)e x dx; 3. π 2 Ê 0 (1 − x) sin x cos x dx; 4. π 4 Ê 0 x sin x dx; 5. 3 Ê 1 2x ln x dx; 6. e Ê 1 x 3 ln 2 x dx; 7. π 2 Ê 0 e 2x sin 3x dx; 8. π Ê 0 e x cos 2x dx; 9. 1 Ê 0 (x 2 + 1)e 2x dx; 10. 1 Ê 0 (2x − 1)e −2x dx; 11. 3 Ê 0 √ x + 1e √ x+1 dx; 12. 1 Ê 0 2 √ x dx; 13. π Ê 0 (x 2 + 2x + 3) cos x dx; 14. π 2 Ê 0 (x − 1) sin x dx; 15. π 2 Ê 0 x cos x sin 2 x dx; 16. π 2 Ê π 3 x − sin x 1 + cos x dx; 17. 5 Ê 2 2x ln(x − 1) dx; 18. e Ê 1 x ln 2 x dx; 19. 1 Ê 0 x ln  x + √ 1 + x 2  dx; 20. 3 Ê 2 ( ln(x − 1) − ln(x + 1) ) dx; 21. π Ê 0 e x cos 2 x dx; 22. 1 Ê 0 e x sin 2 (πx) dx; 23. π 2 Ê 0 x 2 cos x dx; 24. π 3 Ê 0 (2 − x) sin x dx. Vấn đề 4 : Phương pháp đổi biến số  1. Phương pháp đổi biến số đơn giản (a) Ê f(ax + b) dx = 1 a Ê f(ax + b) d(ax + b); VD : Ê (2x − 3) 2 dx = 1 2 Ê (2x − 3) 2 d(2x− 3) = 1 2 (2x − 3) 3 3 + C. Chú ý : d(ax + b) = a dx ⇒ dx = 1 a d(ax + b). (b) Ê f(x n+1 )x n dx = 1 n + 1 f(x n+1 ) d(x n+1 ), đặt t = x n+1 ; VD : I = Ê (4x 3 + 1) 2 x 5 dx = Ê (4x 3 + 1) 2 x 3 .x 2 dx. Đặt t = 4x 3 + 1 ⇒ dt = 12x 2 dx và x 3 = 1 − t 4 . Vậy I = Ê t 2  1 − t 4  3 dt 12 = ··· (c) Về cơ bản khi có căn chúng ta thường đặt t là toàn bộ căn, rồi lũy thừa hai vế cho mất căn; nếu biểu thức trong các hàm sin, cos, tan, cot, ln hoặc lũy thừa là phức tạp thì ta thường đặt t là biểu thức phức tạp đó. VD : i. I = Ê x 2 √ 2x 3 + 1 dx, đặt t = √ 2x 3 + 1 ⇒ t 2 = 2x 3 + 1 ⇒ 2t dt = 6x 2 dx ⇒ x 2 dx = t dt 3 , nên I = Ê t. t dt 3 = ··· ii. I = Ê x 3 .e x 2 +1 dx, đặt t = x 2 +1 ⇒ dt = 2x dx và x 2 = t− 1, nên I = Ê x 2 .e x 2 +1 x dx = Ê (t−1)e t dt 2 rồi dùng phương pháp nguyên hàm từng phần. iii. I = Ê 1 x 2 sin 1 x cos 1 x dx, đặt t = 1 x ⇒ dt = − dx x 2 , nên I = − Ê sin t cos t dt = − 1 2 Ê sin 2t dt. 2. Phương pháp đổi biến số tích phân lượng giác Tích phân chỉ chứa các hàm số lượng giác sin, cos, tan, cot chúng ta biến đổi về một trong các dạng sau : TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 154 www.VNMATH.com www.VNMATH.com WWW.VNMATH.COM CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC (a) Ê f(sin x) cos x dx, hàm f(sin x) là tính theo sin x (chú ý rằng cos 2 x = 1− sin 2 x và nói chung lũy thừa bậc chẵn của cos x đều đưa được về sin x), đặt t = sin x ⇒ dt = cos x dx (tức là tích phân chứa sin x mũ lẻ). (b) Ê f(cos x) sin x dx, hàm f(cos x) là tính theo cos x (chú ý rằng sin 2 x = 1−cos 2 x và nói chung lũy thừa bậc chẵn của sin x đều đưa được về cos x), đặt t = cos x ⇒ dt = − sin x dx (tức là tích phân chứa cos x mũ lẻ). (c) Ê f(tan x) dx cos 2 x , đặt t = tan x ⇒ dt = dx cos 2 x (tức là tích phân có lũy thừa của sin x và cos x cùng tính chẵn lẻ). Trường hợp đặc biệt, tích phân chứa tan x, sin 2x, cos2x cũng đặt t = tan x, khi đó sin 2x = 2t 1 + t 2 , cos 2x = 1 − t 2 1 + t 2 . (d) Ê f(cot x) dx sin 2 x , đặt t = cot x ⇒ dt = − dx sin 2 x . (e) Tích phân chứa (sin x + cos x) dx hoặc sin  x + π 4  dx đặt t = sin x − cos x. (f) Tích phân chứa (sin x − cos x) dx hoặc sin  x − π 4  dx đặt t = sin x + cos x. VD : I = Ê dx cos x = Ê cos x dx cos 2 x = Ê 1 cos 2 x cos x dx = Ê 1 1 − sin 2 x cos x dx, đặt t = sin x. 3. Phương pháp đổi biến với tích phân chứa √ ax 2 + bx + c (a) Nếu chứa √ a 2 − x 2 đặt x = a sint,− π 2 ≤ t ≤ π 2 . (b) Nếu chứa √ x 2 − a 2 đặt x = a sin t ,− π 2 ≤ t ≤ π 2 và t  0. (c) Nếu chứa √ x 2 + a 2 đặt x = a tan t,− π 2 < t < π 2 . VD : (a) I = Ê dx √ 2 − x 2 , đặt x = √ 2 sin t (− π 2 ≤ t ≤ π 2 ) ⇒ dx = √ 2 cos t dt. Ta được : √ 2 − x 2 = √ 2 − 2 sin 2 t = √ 2 cos 2 t = √ 2 cos t, và I = Ê √ 2 cos t dt √ 2 cos t = Ê dt = t + C. (b) I = Ê √ x 2 + 1 dx, đặt x = tan t, − π 2 < t < π 2 , nên dx = dt cos 2 t và √ x 2 + 1 = 1 cos t . Ta được : I = Ê dt cos 3 t = Ê d(sin t) (1 − sin 2 t) 2 = 1 2 Ê  (sin t + 1) − (sin t − 1) (sin t + 1)(sint − 1)  2 d(sint) = . . . (c) I = Ê dx √ x 2 + a 2 , đặt x = tant và ta được I = ln|x + √ x 2 + a 2 | + C. (d) Một cách tổng quát tích phân chứa sin x, cos x, tan x, cot x chúng ta đặt t = tan x 2 . 4. Phương pháp đổi biến với tích phân chỉ chứa hàm mũ Ta đặt t là cả hàm mũ đó, chẳng hạn : (a) I = Ê e x e x + 1 dx, đặt t = e x ⇒ dt = e x dx = t dx ⇒ dx = dt t , vậy thì I = Ê t t + 1 dt t = . . (b) J = Ê dx 2 x + 1 , đặt t = 2 x ⇒ dt = 2 x ln2 dx = t ln 2 dx ⇒ dx = dt t ln 2 , vậy thì J = Ê dt t ln 2 t + 1 = . . . 5. Phương pháp đổi biến tích phân chứa lôga và phân thức I = Ê f(ln x). dx x , đặt t = ln x, ta được dt = dx x . VD : Tính I = Ê ln x + 1 x dx, đặt t = ln x + 1 ⇒ dt = dx x , vậy I = Ê t dt. Bài 7.18 : Tính các tích phân sau : TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 155 www.VNMATH.com www.VNMATH.com WWW.VNMATH.COM CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 1. 22 3 Ê 0 3 √ 3x + 5 dx; 2. 1 Ê 0 x 3 (1 + x 4 ) 3 dx; 3. 1 Ê 0 x 2 e 3x 3 dx; 4. π 2 Ê 0 sin x 1 + cos x dx; 5. a 2 Ê 0 dx √ a 2 − x 2 , (a > 0); 6. a Ê 0 dx a 2 + x 2 , (a > 0); 7. 1 Ê 0 dx x 2 + x + 1 ; 8. 2 Ê 1 x(1 − x) 5 dx; 9. 1 Ê 0 x 3 + 2x 2 + 10x + 1 x 2 + 2x + 9 dx; 10. π 3 Ê 0 x + 1 3 √ 3x + 1 dx; 11. √ 3 Ê 0 x 5 √ 1 + x 2 dx; 12. π 2 Ê 0 sin 2x dx 4 − cos 2 x ; 13. 2 Ê 1 2x √ 1 + x 2 dx; 14. e Ê 1 ln 2 x x dx; 15. ln 2 Ê 0 √ e x − 1 dx; 16. e Ê 1 √ 1 + ln x x dx; 17. 8 Ê 3 √ 1 + x x dx; 18. 1 Ê 0 x 2 √ 2 − x 2 dx; 19. 1 Ê 0 √ 1 + 4 sin x cos x dx; 20. π 2 Ê 0 sin 2x √ cos 2 x + 2 sin 2 x dx; 21. π 4 Ê 0 dx (sin x + 2 cos x) 2 ; 22. π 2 Ê 0   e sin x + cos x ¡ cos x dx; 23. π 2 4 Ê 0 cos x dx; 24. e 5 Ê e 2 ln(ln x) x dx; 25. 1 Ê 0 x 3 e x 2 dx; 26. e Ê 1 cos(ln x) dx; 27. e Ê 1 1 + x ln x x dx; 28. π 2 Ê π 4 cos x ln(sin x) dx ; 29. π 4 Ê 0 x dx 1 + sin 2x ; 30. ln 3 Ê 0 xe x √ e x + 1 dx; 31. 1 Ê 0 e x ln(e x + 1) dx; 32. π 4 Ê 0 x sin x dx cos 3 x ; 33. π 3 Ê 0 x dx cos 2 x ; 34. π 2 Ê 0 ln (1 + sin x) 1+cos x 1 + cos x dx; 35. π 2 Ê 0 (x + sin 2 x) cos x dx; 36. π 2 Ê 0   e sin x + cos x ¡ cos x dx; 37. π 3 Ê π 4 sin x ln(tan x) dx; 38. 1 Ê 0 x dx x 4 + x 2 + 1 ; 39. ln π 2 Ê 0 e 2x sin 2 (e x ) dx; 40. π Ê 0 xe x cos x dx; 41. e 2 Ê e ln(ln x) x dx. Bài 7.19 : Tích phân các hàm số lượng giác 1. π Ê 0 sin 4 x cos 4 x dx; 2. π 3 Ê 0 cos3x tan x dx; 3. π Ê 0 sin x sin 2x cos5x dx; 4. π 3 Ê 0  cos 10 x + sin 10 x − sin 4 x cos 4 x  dx; 5. π Ê 0 cos 4 x dx; 6. π 2 Ê 0  sin 6 x + cos 6 x  dx; 7. π 3 Ê π 6 √ tan 2 x + cot 2 x − 2 dx; 8. π 2 Ê 0 4 sin 3 x 1 + cos x dx; 9. π 2 Ê − π 2 sin 2x sin 5x dx; 10. 5π 12 Ê π 12 dx sin2x + 2 √ 3 cos 2 x + 2 − √ 3 ; 11. π 3 Ê 0 √ 2 sin  x − π 4  cos x dx; 12. π 3 Ê − π 2 cos3x cos 5x dx; 13. π 4 Ê 0 dx 1 + cos 2x ; 14. π 2 Ê 0 4 sin 3 x 1 + cos x dx; 15. π 2 Ê 0 cos x √ 1 + cos 2 x dx; 16. π 4 Ê 0   tan 2 x + tan 4 x ¡ dx; 17. π 4 Ê 0 dx (sin x + 2 cos x) 2 ; 18. π 2 Ê 0 sin x + 7 cos x + 5 4 sin x + 3 cos x + 5 dx; 19. π 2 Ê 0 9 sin x − 2 cos x cos x + 2 sin x + 1 dx; 20. π 2 Ê 0 sin x 3 + cos 2 x dx; 21. π 4 Ê 0 sin 2 x cos 4 x dx; 2 2. π 2 Ê − π 2 cos x √ cos x − cos 3 x dx; 23. π 2 Ê 0 dx 1 + sin x + cos x ; 24. π 4 Ê 0 3 sin 2x + 4 cos 2x + 5 3 cos 2x − 4 sin 2x + 5 dx; 25. π 2 Ê 0 3 cos x + sin x + 2 2 sin x + cos x + 1 dx; 26. π 6 Ê 0 tan 4 x cos2x dx; 27. π 4 Ê 0 dx cos 4 x ; 28. π 2 Ê 0 sin 3 x cos 2 x dx; 29. π 4 Ê 0 sin 5 x cos 7 x dx; 30. π 6 Ê 0 dx cos x cos  x + π 4  ; 31. π 4 Ê 0 dx √ 2 + sin x − cos x ; 32. π 4 Ê 0 sin x dx 1 + sin 2x ; 33. π 2 Ê π 3 dx sin2x − 2 sin x . TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 156 www.VNMATH.com www.VNMATH.com WWW.VNMATH.COM CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 7.20 : Tích phân hàm vô tỉ 1. 3 Ê 0 dx √ x + 1 + Ô (x + 1) 2 ; 2. 2 Ê 1 x + 3 x √ 2x + 3 dx; 3. 7 Ê 0 x dx 3 √ x + 1 ; 4. 7 Ê 0 x dx 1 + √ 2 + x ; 5. 64 Ê 1 dx √ x + 3 √ x ; 6. 1 Ê 0 dx  1 + 3 √ x ; 7. 1 Ê 0  1 − x 1 + x dx; 8. 2 Ê 1 dx √ x + 1 + √ x − 1 ; 9. 1 Ê 0 (x 2 + x) √ x + 1 dx; 10. 3 4 Ê 0 x dx √ 1 − x ; 11. 2 Ê 1 x dx 1 + √ x − 1 ; 12. 16 Ê 1 dx √ x + 9 − √ x ; 13. 1 Ê 0 x dx √ 1 + x ; 14. 3 Ê 0 √ x 3 − 2x 2 + x dx; 15. 1 Ê 0 2x 2 √ 1 + x dx; 16. 9 Ê 1 x 3 √ 1 − x dx; 17. 1 Ê 0 dx 1 + 4 √ x ; 18. a Ê 0 x 2 √ a 2 − x 2 dx, với a > 0; 19. 1 Ê 0 x √ 3 + x 2 dx; 20. 2 Ê √ 2 dx √ x 2 − 1 ; 21. 1 Ê 0 (1 − x)  x 2 − x dx; 22. 1 Ê 0 x − √ x 2 − 2x + 2 x + √ x 2 − 2x + 2 . dx x 2 − 2x + 2 ; 23. 4 Ê 2+ √ 2 dx (x − 1) √ x 2 − 4x + 3 ; 24. 0 Ê −1 x 2 √ 4 − x 2 ; 25. 0 Ê −1 √ −x(x + 2) dx; 26. 1 Ê 0 √ 2x − x 2 dx; 27. 2 Ê 1 x 2 √ 4 − x 2 dx; 28. 1 Ê 0 dx 1 + x + √ x 2 + 1 ; 29. 2 Ê 1 x + 1 √ x 2 − 2x + 2 dx; 30. 1 Ê 0 x 2 − 2x + 5 √ 3 + 2x − x 2 dx; 31. 1 Ê 0 dx Ô (x 2 + 8) 3 dx; 32. 1 Ê −1 dx √ 4 − x 2 ; 33. 1 2 Ê − 1 2 x 3 − x 5 √ 1 − x 2 dx; 34. 1 2 Ê 0  1 + x 1 − x dx; 35. 1 Ê 0 x  1 − x 1 + x dx; 36. 1 Ê 0 2x − 3 √ x 2 + x + 1 dx; 37. 5 Ê 4 x 2 + 1 √ x 2 − 4x + 3 dx; 38. 1 Ê 0 x 1 + 3 √ x dx; 39. 2 √ 3 Ê √ 5 dx x √ x 2 + 4 ; 40. 1 Ê 1 3  1 + x x 3 dx; 41. √ 3 Ê 0 x 3 √ x 2 + 1 dx; 42. 3 Ê 1 x 3 √ 1 − x 2 dx; 43. 3 √ 2 5 Ê 1 3 √ 5 x 5 3 Ô (2 − 5x 3 ) 2 dx; 44. 1 Ê 0 dx (1 + x n ) n √ 1 + x n , n ∈ N; 45. 1 Ê 0 x 7 7 √ 8x 4 + 1 dx; 46. 1 Ê 0 x 15 √ 1 + 3x 8 dx. Vấn đề 5 : Tích phân các hàm hữu tỉ  Xét tích phân dạng Ê P(x) ax 2 + bx + c dx, với P(x) là một đa thức nào đó. VD : Tính I = Ê 2x 3 + 3x 2 − x x 2 + 2x + 2 dx. • Chia tử cho mẫu (bậc tử lớn hơn bậc mẫu), được I =  (2x − 1) dx +  −3x + 2 x 2 + 2x + 2 dx vấn đề là cần tính I 1 = Ê −3x + 2 x 2 + 2x + 2 dx. TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 157 www.VNMATH.com www.VNMATH.com WWW.VNMATH.COM CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC • Tách tử theo đạo hàm của mẫu : đạo hàm của mẫu là 2x + 2, và tử là −3x + 2 = −3 2 (2x + 2) + 5, vậy : I 1 = − 3 2  (2x + 2) dx x 2 + 2x + 2 + 5  dx x 2 + 2x + 2 . – Với Ê (2x + 2) dx x 2 + 2x + 2 = Ê d(x 2 + 2x + 2) x 2 + 2x + 2 = ln|x 2 + 2x + 2| + C. – Với Ê dx x 2 + 2x + 2 , ta nhận thấy mẫu x 2 + 2x + 2 vô nghiệm, nên x 2 + 2x + 2 = (x + 1) 2 + 1 (tổng quát : ax 2 + bx + c = a  x + b 2a  2 + ∆ 4a ) và ta được  dx x 2 + 2x + 2 =  dx (x + 1) 2 + 1 đặt x + 1 = tan t ⇒ dx = dt cos 2 t và (x + 1) 2 + 1 = tan 2 t + 1 = 1 cos 2 t , thay vào ta được  dx x 2 + 2x + 2 =  dt cos 2 t 1 cos 2 t =  dt = t + C. Dạng tổng quát : Ê dx x 2 + a 2 , đặt x = a tan t. Một ví dụ khác với mẫu là đa thức hai nghiệm phân biệt. VD : Tính I = Ê 2x 3 − x 2 + x − 4 2x 2 − 3x + 1 dx và biến đổi như trên ta được : I =  (x + 1) dx +  3x − 5 2x 2 − 3x + 1 dx =  (x + 1) dx + 3 4  4x − 3 2x 2 − 3x + 1 dx − 11 4  dx 2x 2 − 3x + 1 • Với Ê 4x − 3 2x 2 − 3x + 1 dx = Ê d(2x 2 − 3x + 1) 2x 2 − 3x + 1 = ln|2x 2 − 3x + 1| + C. • Với Ê dx 2x 2 − 3x + 1 , nhận thấy mẫu 2x 2 − 3x + 1 có hai nghiệm phân biệt 1 và 1 2 , nên 2x 2 − 3x + 1 = 2(x − 1)  x − 1 2  . Ta biến đổi 1 2x 2 − 3x + 1 = 1 2 . 1 (x − 1)  x − 1 2  = 1 2 .(−2). (x − 1) −  x − 1 2  (x − 1)  x − 1 2  = −  1 x − 1 2 − 1 x − 1  . Ta được :  dx 2x 2 − 3x + 1 = −   dx x − 1 2 − dx x − 1  = −   d  x − 1 2  x − 1 2 − d(x − 1) x − 1  = −  ln ¬ ¬ ¬ ¬ x − 1 2 ¬ ¬ ¬ ¬ − ln|x − 1|  + C. Và cuối cùng ta xét ví dụ với mẫu là đa thức có nghiệm kép. VD : Tính Ê dx 2x 2 − 4x + 2 = 1 2 Ê dx (x + 1) 2 = 1 2 Ê d(x + 1) (x + 1) 2 = − 1 2 . 1 x + 1 + C. Chú ý rằng : • Nếu ax 2 + bx + c có hai nghiệm x 1 , x 2 thì ax 2 + bx + c = a(x − x 1 )(x − x 2 ). • Nếu ax 2 + bx + c có nghiệm kép x = x 0 thì ax 2 + bx + c = a(x − x 0 ) 2 . • d(x + a) = dx với mọi số thực a. Bài 7.21 : Tính các nguyên hàm sau : 1. Ê dx 3x + 1 ; 2. Ê x 2 + 3x − 1 −2x + 3 dx; 3. Ê dx −2x 2 − x + 1 ; 4. Ê dx x 2 − 4x + 4 ; 5. Ê x 3 + 5x 2 + 3x − 7 x 2 + 6x + 9 dx; 6. Ê x 2 − 6x + 10 x 2 − 6x + 8 dx; 7. Ê dx x 2 (x + 1) ; 8. Ê 2x − 7 x 2 − 3x + 2 dx; TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 158 www.VNMATH.com www.VNMATH.com [...]... 7.63 (D10) : Tính tích phân I = e Ê 1 www.VNMATH.com dx dx ex − 1 2x − 3 x dx 7.6 Bài tập tổng hợp Bài 7.64 : Tính tích phân : I = 2 Ê x3 dx x2 + 1 0 Bài 7.65 : Tính tích phân : I = ln 3 Ê e x dx (e x + 1)3 Ô 0 Bài 7.66 : Tính tích phân : I = 0 Ê x 22x + √ 3 x + 1 dx −1 π Bài 7.67 : Tính tích phân : I = Ê4 x dx 1 + cos 2x 0 Bài 7.68 : Tính tích phân : I = 1 Ê 0 Bài 7.69 : Tính tích phân : I = √... ln 5 Ê ln 2 Bài 7.70 : Tính tích phân : I = 1 Ê e2x dx √ ex − 1 x3 e x dx 2 0 Bài 7.71 : Tính tích phân : I = e Ê x2 + 1 x 1 ln x dx π Bài 7.72 : Tính tích phân : I = Ê3 sin2 x tan x dx 0 Bài 7.73 : Tính tích phân : I = 7 Ê x+2 √ 3 0 Bài 7.74 : Tính tích phân : I = e Ê x+1 dx x2 ln x dx 1 π Ê4 Bài 7.75 : Tính tích phân : (tan x + esin x cos x) dx 0 e Ê 3 Bài 7.76 : Tính tích phân : I = 1 ln2 x √ dx... = x ln x, y = 0, x = e Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox π Bài 7.53 (B08) : Tính tích phân : I = Ê4 3 Ê 3 + ln x (x + 1)2 1 Bài 7.55 (B10) : Tính tích phân I = e Ê 1 Bài 7.56 (D03) : Tính tích phân : I = 2 Ê 3 Ê 2 dx |x2 − x| dx ln(x2 − x) dx π Bài 7.58 (D05) : Tính tích phân : I = dx ln x dx x(2 + ln x)2 0 Bài 7.57 (D04) : Tính tích phân : I = π 4 sin 2x + 2(1... (A03) : Tính tích phân : I = √ 5 2 Ê Bài 7.41 (A04) : Tính tích phân : I = 1 π dx √ x x2 + 4 x √ dx 1+ x−1 Ê2 sin 2x + sin x Bài 7.42 (A05) : Tính tích phân : I = √ dx 1 + 3 cos x 0 π Ê2 sin 2x √ dx 2 x + 4 sin2 x 0 cos Bài 7.44 (A07) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y = (e + 1)x, y = (1 + e x )x Bài 7.43 (A06) : Tính tích phân : I = π Ê6 tan4 x Bài 7.45 (A08) : Tính tích phân :... 7.46 (A09) : Tính tích phân : I = 0 Bài 7.47 (A10) : Tính tích phân I = ¡ cos3 x − 1 cos2 dx 2 Ê x2 + e x + 2x2 e x 1 + 2e x 0 dx Ö Bài 7.48 (B02) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y = Bài 7.49 (B04) : Tính tích phân I = √ 1 + 3 ln x ln x dx x e Ê 1 4− x2 x2 và y = √ 4 4 2 π Bài 7.50 (B05) : Tính tích phân I = Ê2 sin 2x cos x 1 + cos x 0 Bài 7.51 (B06) : Tính tích phân I = ln 5... ln x + 1 π Ê2 Bài 7.77 : Tính tích phân : I = (2x − 1) cos2 x dx 0 Bài 7.78 : Tính tích phân : I = 6 Ê 2 dx √ 2x + 1 + 4x + 1 Bài 7.79 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol : y = x2 − x + 3 và đường thẳng d : y = 2x − 1 Bài 7.80 : Tính tích phân : I = √ Ê e 3 − 2 ln x 2 Bài 7.81 : Tính tích phân : I = 10 Ê 5 π Ê2 √ dx x 1 + 2 ln x dx √ x−2 x−1 Bài 7.82 : Tính tích phân : I = (x + 1) sin... 7.54 (B09) : Tính tích phân : I = sin x − Ê2   ¡ esin x + cos x cos x dx 0 1 Ê Bài 7.59 (D06) : Tính tích phân : I = (x − 2)e2x dx 0 Bài 7.60 (D07) : Tính tích phân : I = e Ê x3 ln2 x dx 1 TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 WWW.VNMATH.COM Trang 163 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC www.VNMATH.com 2 Ê ln x Bài 7.61 (D08) : Tính tích phân : I = x3 1 3 Ê Bài 7.62 (D09) : Tính tích phân : I = 1 Bài... = e Tính thể tích V x của hình tròn xoay tạo bởi khi quay S quanh trục Ox TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 WWW.VNMATH.COM Trang 162 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC www.VNMATH.com www.VNMATH.com 7.5 Tích phân trong các kì thi ĐH 1 Ê   Bài 7.37 (CĐ09) : Tính tích phân : I = ¡ e−2x + x e x dx 0 1 Ê 2x − 1 Bài 7.38 (CĐ10) : Tính tích phân I = dx x+1 0 Bài 7.39 (A02) : Tính diện tích hình phẳng... y = 0 và y = Bài 7.87 : Tính tích phân : I = 1 Ê x(x − 1) x2 − 4 0 Bài 7.88 : Tính tích phân : I = 2 Ê dx x2 cos x dx 0 3x x2 và y = 4 x+1 √ Bài 7.90 : Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 3−x 2x + 1; y = 0; x = 1 xung Bài 7.89 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = quanh trục Ox Bài 7.91 : Tính thể tích khối tròn xoay nhận được... tích V x của hình tròn xoay tạo bởi khi quay S quanh trục Ox 2 Tính thể tích Vy của hình tròn xoay tạo bởi khi quay S quanh trục Oy Bài 7.31 : Cho hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x2 , y = khi quay S quanh trục Ox, Oy (tương ứng) 27 x2 và y = Tính thể tích V x , Vy của hình tròn xoay tạo bởi x 27 Bài 7.32 : Cho hình phẳng S giới hạn bởi các parabol y = 4 − x2 và y = x2 + 2 Tìm thể tích . dx. Vấn đề 2 : Tích phân hàm chứa dấu trị tuyệt đối  1. Công thức tách cận tích phân  b a f(x) dx =  c a f(x) dx +  b c f(x) dx. 2. Tích phân chứa dấu. Vấn đề 3 : Phương pháp tích phân từng phần  b  a u dv = uv ¬ ¬ ¬ b a − b  a v du. Dùng phương pháp tích phân từng phần khi tích phân của chúng ta vừa