Chương 1 Phương trình, bất phương trình, hệ đại số 1.1 Phương trình, bất phương trình đa thức 1.1.1 Phương trình, bất phương trình bậc hai Bài 1.1 : Giải và biện luận các phương trình sau : 1. (m − 2)x 2 − 2mx + m + 1 = 0 ; 2. a x − 1 + 1 x − a = 2. Bài 1.2 : Cho phương trình : (m 2 − 4)x 2 + 2(m + 2)x + 1 = 0. 1. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. 2. Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất. Bài 1.3 : Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh phương trình sau vô nghiệm : c 2 x 2 + (a 2 − b 2 − c 2 )x + b 2 = 0. Bài 1.4 : Cho phương trình : x 2 − (2m + 3)x + m 2 + 2m + 2 = 0. 1. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x 1 , x 2 . 2. Viết phương trình bậc hai có hai nghiệm 1 x 1 , 1 x 2 . 3. Tìm hệ thức giữa x 1 , x 2 độc lập với tham số m. 4. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x 1 , x 2 thỏa mãn x 1 = 2x 2 . Bài 1.5 : Cho phương trình : x 2 − cosa.x + sin a − 1 = 0. 1. Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm x 1 , x 2 với mọi a. 2. Tìm hệ thức giữa x 1 , x 2 độc lập với a. 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của E = (x 1 + x 2 ) 2 + x 2 1 x 2 2 . Bài 1.6 : Cho phương trình : mx 2 − 2(m − 2)x + m − 3 = 0. Tìm m để phương trình có : 11 WWW.VNMATH.COM CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 1. hai nghiệm trái dấu ; 2. hai nghiệm dương phân biệt ; 3. đúng một nghiệm âm. Bài 1.7 : Giải các bất phương trình sau : 1. x 2 − 4x + 3 3 − 2x < 1 − x ; 2. (−x 2 + 3x − 2)(x 2 − 5x + 6) ≥ 0 ; 3. 2 x + 2 + 1 2 ≤ −4 x 2 + 2x ; 4. x 2 + (x + 1) 2 ≤ 15 x 2 + x + 1 ; Bài 1.8 : Giải và biện luận các bất phương trình sau : 1. x 2 − mx + m + 3 > 0 ; 2. (m + 1)x 2 − 2(m − 1)x + 3m − 3 ≥ 0 ; Bài 1.9 : Giải hệ bất phương trình sau :    x 2 − 7x + 6 ≤ 0 x 2 − 8x + 15 ≥ 0 Bài 1.10 : Tìm m để : 1. x 2 − mx + m + 3 ≥ 0, ∀x ∈ R ; 2. mx 2 + 4x + m > 0, ∀x ∈ R ; 3. mx 2 − mx − 5 < 0, ∀x ∈ R. Bài 1.11 : Tìm m để các hàm số sau xác định với mọi x ∈ R : 1. y =  m(m + 2)x 2 + 2mx + 2 ; 2. y = 1  (1 − m)x 2 − 2mx + 5 − 9m ; Bài 1.12 : Cho f(x) = (m + 1)x 2 − 2(m − 1)x + 3m − 3. Tìm m để bất phương trình : 1. f(x) < 0 vô nghiệm. 2. f(x) ≥ 0 có nghiệm. Bài 1.13 : Tìm m để các bất phương trình sau có tập nghiệm là R : 1. 1 ≤ 3x 2 − mx + 5 2x 2 − x + 1 < 6 ; 2. ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ x 2 + mx + 1 x 2 + 1 ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ < 2 ; Bài 1.14 : Cho bất phương trình : x 2 + 6x + 7 + m ≤ 0. Tìm m để bất phương trình : 1. vô nghiệm. 2. có đúng một nghiệm. 3. có miền nghiệm là một đoạn trên trục số có độ dài bằng 1. Bài 1.15 : Tìm m để f(x) = mx 2 − 4x + 3m + 1 > 0 với mọi x > 0. Bài 1.16 : Tìm m để f(x) = 2x 2 + mx + 3 ≥ 0 với mọi x ∈ [−1; 1]. Bài 1.17 : Tìm m để f(x) = x 2 − 2mx − m ≥ 0 với mọi x > 0. Bài 1.18 : Tìm m để f(x) = mx 2 − 2(m + 1)x − m + 5 > 0 với mọi x < 1. Bài 1.19 : Tìm m để f(x) = 2x 2 − (3m + 1)x − (3m + 9) ≤ 0 với mọi x ∈ [−2; 1]. TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 12 www.VNMATH.com www.VNMATH.com WWW.VNMATH.COM CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 1.1.2 Phương trình trình bậc ba Bài 1.20 : Cho phương trình : x 3 − (m 2 − m + 7)x − (3m 2 + m − 6) = 0. 1. Tìm m để phương trình có một nghiệm là −1. 2. Với m > 0 tìm được ở câu trên, hãy giải phương trình . Bài 1.21 : Giải các phương trình sau : 1. x 3 − 6x 2 + 11x − 6 = 0 ; 2. 2x 3 + x + 3 = 0 ; 3. x 3 − 5x 2 + 7x − 2 = 0 ; 4. x 3 − 3 √ 3x 2 + 7x − √ 3 = 0 ; Bài 1.22 : Tìm m để các phương trình sau có ba nghiệm phân biệt : 1. x 3 − (2m + 1)x 2 + 3(m + 4)x − m − 12 = 0 ; 2. mx 3 − 2mx 2 − (2m − 1)x + m + 1 = 0 ; Bài 1.23 : Tìm m để phương trình : mx 3 − (3m − 4)x 2 + (3m − 7)x − m + 3 = 0 có ba nghiệm dương phân biệt. 1.1.3 Phương trình, bất phương trình bậc bốn Bài 1.24 : Giải các phương trình sau : 1. x 4 − 3x 2 + 4 = 0 ; 2. (x − 1)(x + 5)(x − 3)(x + 7) = 297 ; 3. (x + 2)(x − 3)(x + 1)(x + 6) = −36 ; 4. x 4 + (x − 1) 4 = 97 ; 5. (x + 3) 4 + (x + 5) 4 = 16 ; 6. 6x 4 − 35x 3 + 62x 2 − 35 + 6 = 0 ; 7. x 4 + x 3 − 4x 2 + x + 1 = 0 ; 8. x 4 − 5x 3 + 10x 2 − 10x + 4 = 0 ; 9. x 4 − x 2 + 6x − 9 = 0 ; 10. 2x 4 − x 3 − 15x 2 − x + 3 = 0. Bài 1.25 : Tìm các giá trị của m sao cho phương trình x 4 + (1 − 2m)x 2 + m 2 − 1 = 0. 1. Vô nghiệm ; 2. Có hai nghiệm phân biệt ; 3. Có bốn nghiệm phân biệt. Bài 1.26 : Tìm các giá trị của a sao cho phương trình (a − 1)x 4 − ax 2 + a 2 − 1 = 0 có ba nghiệm phân biệt. Bài 1.27 : Cho phương trình : (m − 1)x 4 + 2(m − 3)x 2 + m + 3 = 0. Tìm m để phương trình trên vô nghiệm. TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 13 www.VNMATH.com www.VNMATH.com WWW.VNMATH.COM CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 1.28 : Cho phương trình : x 4 − (2m + 1)x 2 + m + 3 = 0. Tìm m để phương trình trên có bốn nghiệm phân biệt, trong đó một nghiệm bé hơn −2 và ba nghiệm còn lại lớn hơn −1. Bài 1.29 : Tìm h để phương trình sau đây có không ít hơn hai nghiệm âm khác nhau : x 4 + hx 3 + x 2 + hx + 1 = 0. Bài 1.30 : Cho phương trình : (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = m. Tìm m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt. 1.2 Phương trình, bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối 1. Phương trình (bất phương trình) |f(x)| + g(x) < 0 (hoặc = , hoặc > , hoặc ≥ , hoặc ≤ ) tương đương với    f(x) ≥ 0 f(x) + g(x) < 0 hoặc    f(x) < 0 −f(x) + g(x) < 0. Một số phương trình hoặc bất phương trình chứa nhiều hơn một dấu giá trị tuyệt đối thì việc phá dấu giá trị tuyệt đối sẽ phức tạp hơn nhiều, phải chia thành nhiều trường hợp bằng cách lập bảng xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối. 2. Phương trình (bất phương trình) | f(x)| < |g(x)| (hoặc = , hoặc > , hoặc ≥ , hoặc ≤ ) phương pháp đơn giản là bình phương hai vế, chuyển vế, phân tích thành nhân tử. 3. Một số phương trình và bất phương trình thông dụng (giả sử a > 0). • |x| = a ⇔ x = a hoặc x = −a. • |x| < a ⇔ −a < x < a. • |x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a. • |x| > a ⇔ x < −a hoặc x > a. • |x| ≥ a ⇔ x ≤ −a hoặc x ≥ a. Bài 1.31 : Giải phương trình |x 2 − 8x + 15| = x − 3. Bài 1.32 : Giải các phương trình và bất phương trình sau : 1. |x 2 − 5x + 4| = x 2 + 6x + 5; 2. |x − 1| = 2x − 1; 3. | − x 2 + x − 1| ≤ 2x + 5; 4. |x 2 − x| ≤ |x 2 − 1|. Bài 1.33 : Giải các phương trình và bất phương trình sau : 1. ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ x 2 − 2 x + 1 ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ = 2; 2. ¬ ¬ ¬ ¬ 3x + 4 x − 2 ¬ ¬ ¬ ¬ ≤ 3; 3. ¬ ¬ ¬ ¬ 2x − 3 x − 3 ¬ ¬ ¬ ¬ ≥ 1; 4. |2x + 3| = |4 − 3x|. Bài 1 .34 : Giải các bất phương trình sau : TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 14 www.VNMATH.com www.VNMATH.com WWW.VNMATH.COM CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 1. |x 2 − 5x + 4| ≤ x 2 + 6x + 5; 2. 4x 2 + 4x − |2x + 1| ≥ 5. Bài 1.35 : Giải các bất phương trình sau : 1. ¬ ¬ ¬ ¬ 1 − |x| 1 + |x| ¬ ¬ ¬ ¬ ≥ 1 2 ; 2. log 5 log ¹⁄₂  x 2 − 4|x| |x| − 7  ≤ 0 ; 3. |x 2 − 2x − 8| > 2x ; 4. |x 3 − 7x − 3| < x 3 + x 2 + 3 ; 5. |x 3 − x 2 + 4| + x 3 − x 2 − 2x − 2 ≤ 0 ; 6. ||x| − 1| < 1 − x ; 7. ¬ ¬ |x 2 − 3x − 7| + 2x − 1 ¬ ¬ < x 2 − 8x − 5 ; 8. ¬ ¬ x 2 − |x 2 − 3x − 5| − 5 ¬ ¬ < x + 1 ; 9. |x − 1| + |x − 2| > 3 + x ; 10. log 3 |x 2 − 4x| + 3 x 2 + |x − 5| ≥ 0 ; 11. ||3 x + 4x − 9| − 8| ≤ 3 x − 4x − 1 ; Bài 1.36 : Giải các bất phương trình sau : 1. |3x + 2| + |2x − 3| < 11 ; 2. |x 2 − 3x − 7| +|2x 2 − x − 9| + |3x 2 − 7x − 5| < x + 15 ; 3. |x − 1| + |2 − x| > 3 + x ; 4. |x 2 − 3x − 17| − |x 2 − 5x − 7| > 3. Bài 1.37 : Tìm m để bất phương trình : x 2 + |x + m| < 2 có ít nhất một nghiệm âm. Bài 1.38 : Giải và biện luận bất phương trình sau theo tham số p : 2|x − p| + 5|x − 3p| + 4x + 6p + 12 ≤ 0. Bài 1.39 : Giải và biện luận bất phương trình sau theo tham số p : |2x + 21p| − 2|2x − 21p| < x − 21p. Bài 1.40 : Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a sao cho bất phương trình x 2 − |x − a| − |x − 1| + 3 ≥ 0 đúng với mọi x ∈ R. Bài 1.41 : Tìm tất cả các giá trị của a sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x 2 + 2x − 1 + |x − a| lớn hơn 2. Bài 1.42 : Tìm tất cả các giá trị của a sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x 2 + |x − a| + |x − 1| lớn hơn 2. Bài 1.43 : Tìm tất cả các giá trị của a sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số y = ax + |x 2 − 4x + 3| lớn hơn 1. Bài 1.44 : Tìm tất cả các giá trị của a sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y = 4x − x 2 + |x − m| nhỏ hơn 4. TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 15 www.VNMATH.com www.VNMATH.com WWW.VNMATH.COM CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 1.3 Phương trình, bất phương trình chứa căn Vấn đề 1 : Phương trình, bất phương trình cơ bản  Phương pháp chung là tìm cách bình phương hai vế (để giảm số căn, hoặc mất căn) với điều kiện là hai vế của phương trình phải không âm. 1. Phương trình √ f(x) = √ g(x) ⇔    f(x) ≥ 0 (hoặc cũng có thể xét g(x) ≥ 0) f(x) = g(x). 2. Phương trình √ f(x) = g(x) ⇔    g(x) ≥ 0 f(x) = ( g(x) ) 2 . 3. Bất phương trình √ f(x) > √ g(x) (hoặc ≥ ) tương đương với    g(x) ≥ 0 f(x) > g(x). 4. Bất phương trình √ f(x) < g(x) (hoặc ≤ ) tương đương với          f(x) ≥ 0 g(x) ≥ 0 f(x) < ( g(x) ) 2 . 5. Bất phương trình √ f(x) > g(x) (hoặc ≥ ) tương đương với (I)    f(x) ≥ 0 g(x) < 0 hoặc (II)    g(x) ≥ 0 f(x) > ( g(x) ) 2 . Bài 1.45 : Giải phương trình √ x 2 + 56x + 80 = x + 20. Bài 1.46 : Giải bất phương trình √ x 2 − 2x − 15 < x − 3. Bài 1.47 : Giải bất phương trình √ x 2 − 1 > x + 2. Bài 1.48 : Giải các phương trình sau : 1. √ 2x 2 + 4x − 1 = x + 1; 2. √ 4x 2 + 101x + 64 = 2(x + 10); 3. √ x 2 + 2x = −2x 2 − 4x + 3; 4. √ (x + 1)(x + 2) = x 2 + 3x − 4. Bài 1.49 : Giải các bất phương trình: 1. √ x 2 + x − 6 < x − 1; 2. √ 2x − 1 ≤ 2x − 3; 3. √ 2x 2 − 1 > 1 − x; 4. √ x 2 − 5x − 14 ≥ 2x − 1. Bài 1.50 : Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau : TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 16 www.VNMATH.com www.VNMATH.com WWW.VNMATH.COM CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 1. y =  ¬ ¬ x 2 + 3x − 4 ¬ ¬ − x + 8; 2. y =  x 2 + x + 1 |2x − 1| − x − 2 ; 3. y = Ö 1 x 2 − 7x + 5 − 1 x 2 + 2x + 5 ; 4. y =  √ x 2 − 5x − 14 − x + 3. Bài 1.51 : Giải các phương trình sau : 1. √ 5x 2 − 6x − 4 = 2(x − 1); 2. √ x 2 + 3x + 12 = x 2 + 3x. Bài 1.52 : Giải các bất phương trình sau : 1. √ x 2 + 6x + 8 ≤ 2x + 3; 2. 2x − 4 √ x 2 − 3x − 10 > 1; 3. 6 √ (x − 2)(x − 3) ≤ x 2 − 34x + 48 ; 4. √ x 2 − x − 12 ≥ x − 1; 5. √ x 2 − 4x − 12 > 2x + 3; 6. √ x + 5 1 − x < 1. Vấn đề 2 : Phương pháp đặt ẩn phụ  Chúng ta thường sử dụng một số quy tắc đặt ẩn phụ như sau : 1. Nếu phương trình chứa hai loại căn, có thể (a) Đặt u = n √ ax + b, rút x, thế vào phương trình được phương trình ẩn u. (b) Hoặc cũng có thể đặt u = n √ u(x), v = m √ v(x), lũy thừa để rút ra ràng buộc giữa u và v để được 1 phương trình theo u, v. Kết hợp với phương trình ban đầu, ta được hệ hai ẩn u, v. 2. Đặt u = n √ u(x), lũy thừa hai vế được phương trình chứa u, x. Kết hợp với phương trình ban đầu, ta được hệ hai ẩn u, x.Giải phương trình bậc hai (có ∆ là bình phương một số). 3. Đặt ẩn phụ không hoàn toàn, đặt u = √ u(x), đưa về phương trình bậc hai theo u với x coi như là tham số. 4. Nếu phương trình chứa √ a ± √ b và √ ab ta thường đặt u = √ a ± √ b. 5. phương trình đẳng cấp, chẳng hạn đẳng cấp bậc 2 : A.x 2 + B.xy + C.y 2 = 0. Có cách giải như sau : (a) Xét y = 0, rút được x; (b) Xét y  0, chia cả hai vế cho y 2 , đặt u = x y , đưa được về phương trình bậc hai theo u. Bài 1.53 : Giải các phương trình sau : 1. 3x 2 + 21x + 18 + 2 √ x 2 + 7x + 7 = 2 ; 2. x 2 + √ x + 1 = 1 ; 3. 2(x 2 + 2) = 5(x 3 + 1) ; 4. 2x 2 − 3x + 2 = x √ 3x − 2 ; 5. 6x 2 − 10x + 5 − (4x − 1) √ 6x 2 − 6x + 5 = 0 ; 6. 4 √ 97 − x + 4 √ x = 5 ; TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 17 www.VNMATH.com www.VNMATH.com WWW.VNMATH.COM CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 1.54 : Giải các phương trình sau : 1. √ x + 3 + √ 3x + 1 = 2 √ x + √ 2x + 2 ; 2. √ 2x 2 + x + 6 + √ x 2 + x + 2 = x + 4 x ; 3. x 2 + 2x Ö x − 1 x = 3x + 1 ; 4. 4 √ x + 4 √ x + 1 = 2 4 √ 2x + 1 ; 5. √ x 2 + 4x + 3 + √ x 2 + x = √ 3x 2 + 4x + 1 ; 6. 3 √ x + √ 5 − x ≤ 3 ; 7. 3 √ x − 1 + 3 √ x + 1 = x 3 √ 2 ; 8. 3 √ x + 3 √ x − 16 = 3 √ x − 8 ; 9. 3 √ 2x 3 − 1 + 3 √ 1 − x 3 = x ; 10. √ x 2 − x + 1 + √ x 2 + x + 1 = 2 ; 11. √ 2x 2 + x + 9 + √ 2x 2 − x + 1 = x + 4. Bài 1.55 : Giải các phương trình sau : 1. √ 1 − x + √ 1 + x + 2 √ 1 − x 2 = 4 ; 2. 2x + √ x + 1 + √ x + 2 √ x 2 + x = 1 ; 3. x 2 + 2x + √ x + 3 + 2x √ x + 3 = 9 ; 4. 2x 2 + x + √ x 2 + 3 + 2x √ x 2 + 3 = 9 ; Bài 1.56 : Giải các phương trình sau : 1. 2x 2 + x + 3 = 3x √ x + 3 ; 2. √ x + 8 = 3x 2 + 7x + 8 4x + 2 ; 3. √ x 2 + x + 2 = 3x 2 + 3x + 2 3x + 1 ; 4. x + 2 + x √ 2x + 1 x + √ 2x + 1 = √ x + 2 ; 5. ( √ x + 3 − √ x + 1)(x 2 + √ x 2 + 4x + 3) = 2x. Bài 1.57 : Giải các phương trình sau : 1. 3 √ x + 1 + 3 √ x + 2 = 1 + 3 √ x 2 + 3x + 2 ; 2. 3 √ x + 1 + 3 √ x 2 = 3 √ x + 3 √ x 2 + x ; 3. 4 √ x + 1 + √ x = 1 + 4 √ x 3 + x 2 ; 4. √ x + 3 + 2x √ x + 1 = 2x + √ x 2 + 4x + 3 ; 5. √ x 3 + x 2 + 3x + 3 + √ 2x = √ x 2 + 3 + √ 2x 2 + 2x ; 6. √ x + 3 + 4x √ x + 3 = 4 √ x ; 7. 4 √ x + 3 = 1 + 4x + 3 x ; 8. 2 √ x + 3 = 9x 2 − x − 4 ; 9. 12 √ x + 2 √ x − 1 = 3x + 9 ; Bài 1.58 : Giải các phương trình sau : 1. √ x + 3 + 3 √ x = 3 ; 2. 4 √ x + 4 √ x − 1 = 4 √ x + 1 ; 3. √ 2 − x 2 = (2 − √ x) 2 ; 4. 2x + 1 + x √ x 2 + 2 + (x + 1) √ x 2 + 2x + 3 = 0 ; 5. x 2 √ x + (x − 5) 2 √ 5 − x = 11( √ x + √ 5 − x) ; 6. 2x 3 = 1 + 3 Ö x + 1 2 ; Bài 1.59 : Giải các phương trình sau : 1. 8 √ 1 − x + 8 √ x = 1 ; 2. 2 √ x + 4 √ 1 − 2x = 1 ; 3. √ x + 4 + √ x + √ 1 − x = 3 ; 4. 2 + √ x 3 + √ 1 − x = √ x + √ 1 − x ; TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 18 www.VNMATH.com www.VNMATH.com WWW.VNMATH.COM CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Vấn đề 3 : Phương pháp nhân liên hợp  Dạng 1 : Phương trình dạng √ u(x) ± √ v(x) = f(x), trong đó f(x) và u(x) − v(x) có cùng nghiệm x = x 0 . (a) Phương trình trở thành u(x) − v(x) √ u(x) ∓ √ v(x) = f(x). (b) Chuyển vế, đặt (x − x 0 ) làm nhân tử chung. Dạng 2 : Phương trình dạng ( n √ u 1 (x)± n √ v 1 (x)) + ( m √ u 2 (x) ± m √ v 2 (x)) = f(x), trong đó f(x); u 1 (x)− v 1 (x); u 2 (x)− v 2 (x) có cùng nghiệm x = x 0 (ở đây f(x) có thể đồng nhất bằng 0). Phương pháp giải loại này là chúng ta nhân liên hợp theo từng cụm, đặt (x − x 0 ) làm nhân tử chung. Bài 1.60 : Giải các phương trình, các bất phương trình sau : 1. 3(2 + √ x − 2) = 2x + √ x + 6; 2. x 2  1 + √ 1 + x  2 > x − 4; 3. √ x − 2 + √ 4 − x = x 2 − 6x + 11; 4. √ x − 2 + √ 4 − x = 2x 2 − 5x − 1; 5. Ö 1 − x x = 2x + x 2 1 + x 2 ; 6. x 2 + x − 1 = (x + 2) √ x 2 − 2x + 2; 7. 3 √ x + 24 + √ 12 − x = 6; 8. 2 √ x 2 − 7x + 10 = x + √ x 2 − 12x + 20; 9. 2x 2 − 11x + 21 = 3 3 √ 4x − 4; 10. √ 5x − 1 + 3 √ 9 − x = 2x 2 + 3x − 1. Bài 1.61 : Giải các phương trình sau : 1. √ x + 4 − √ 2x + 3 = x − 1 ; 2. x + √ 2x = 1 x + Ö x + 1 x ; 3. (x − 1) √ x + 1 + √ 2x + 1 = √ x + 2 ; 4. 1 x 2 + √ x + 5 = 1 x + √ 2x + 4 ; 5. 2 + √ x + 6 = √ 2x + 5 + √ x + 3 ; 6. 1 + 4 √ x + 3 = x + √ 2x ; 7. √ x + 2 + √ x + 6 = √ 2x + 5 + √ 2x + 1 ; 8. 4 √ x + 8 + √ x + 4 = √ 2x + 3 + √ 3x Vấn đề 4 : Phương pháp đánh giá  Cơ sở của phương pháp này là chúng ta sử dụng bất đẳng thức hoặc phương pháp hàm số đế đánh giá. Cách 1 : Cơ sở nhận dạng : (a) Nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên (a; b) và hàm số y = g(x) nghịch biến trên (a; b) thì phương trình f(x) = g(x) nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất. (b) Nếu hàm số y = f (x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên (a; b) thì phương trình f(x) = c (với c là hằng số) nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất. TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 19 www.VNMATH.com www.VNMATH.com WWW.VNMATH.COM CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Phương pháp giải là : (a) Nhận thấy x = x 0 là một nghiệm của phương trình đã cho. (b) Nếu x > x 0 , ta suy ra vế trái lớn hơn vế phải hoặc ngược lại. (c) Nếu x < x 0 , ta suy ra vế trái lớn hơn vế phải hoặc ngược lại. (d) Kết luận phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = x 0 . Cách 2 : Nếu hàm số y = f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên (a; b) thì phương trình f(u) = f(v) tương đương với u = v. Cách 3 : Nếu hàm số y = f(x) thỏa mãn f ′ (x) = 0 có nhiều hơn 1 nghiệm thì chúng ta lập bảng biến thiên để suy ra phương trình có tối ta bao nhiêu nghiệm, rồi nhẩm đủ số nghiệm đó, dẫn đến đó là tất cả các nghiệm của phương trình. Cách 4 : Nếu f(x) ≥ c và g(x) ≤ c thì phương trình f(x) = g(x) tương đương với    f(x) = c g(x) = c. Bài 1.62 : Giải các phương trình sau : 1. √ x + 3 + 3 √ x = 3 ; 2. √ x + 3 +  x + √ x + 8 = 4 ; 3. √ x 2 − x + 1 + √ x 2 + 7x + 1 = 4 √ x ; 4. √ x + 3 1 + √ 2 − x + √ 2x − 1 = 2 ; 5. √ x 2 − x + 4 + √ 2x − 1 = 5 ; Vấn đề 5 : Phương trình, bất phương trình có tham số  1. Sử dụng phương trình, bất phương trình cơ bản; 2. Sử dụng đặt ẩn phụ, và đặt điều kiện "chặt" cho ẩn; 3. Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai; 4. Sử dụng phương pháp hàm số để chỉ ra điều kiện có nghiệm. Bài 1.63 : Tìm điều kiện của m để phương trình √ x 2 + 2x − m = 2x − 1 : 1. có nghiệm thực ; 2. có đúng một nghiệm thực ; 3. có hai nghiệm thực phân biệt. Bài 1.64 : Tìm điều kiện của m để phương trình x +  x + 1 2 + Ö x + 1 4 = m có nghiệm thực. Bài 1.65 : Tìm điều kiện của m để phương trình √ 16 − x 2 − m √ 16 − x 2 − 4 = 0 có nghiệm thực. TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 20 www.VNMATH.com www.VNMATH.com [...]... các phương trình sau có đúng ba nghiệm thực phân biệt : 1 sin x − x = 0; 2 2 4x (4x2 + 1) = 1 1.6 Phương trình, bất phương trình, hệ đại số trong các kì thi tuyển sinh ĐH Bài 1.115 (CĐ08) : Tìm giá trị của tham số m để hệ phương trình x − my = 1 có nghiệm (x; y) thỏa mãn xy < 0 mx + y = 3 Bài 1.116 (CĐ09) : Giải bất phương trình Bài 1.117 (CĐ10) : Giải hệ phương trình Bài 1.118 (A03) : Giải hệ phương. .. Bài 1.165 : Giải hệ phương trình : y3 + y2 x + 3x − 6y = 0 x2 + xy = 3 Bài 1.166 : Cho hệ phương trình : x2 + y2 = m x + y = 6 1 Giải hệ phương trình với m = 26 ; 3 Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất ; 2 Tìm m để hệ vô nghiệm ; 4 Tìm m để hệ hai nghiệm phân biệt Bài 1.167 : Cho hệ phương trình : x + xy + y = m + 2 x2 y + xy2 = m + 1 1 Giải hệ phương trình với m = −3 ; Bài 1.168 : Cho hệ phương trình : (x... 1.146 : Giải bất phương trình : x + 12 ≥ x − 3 + 2x + 1 Bài 1.145 : Giải phương trình : √ Bài 1.147 : Giải hệ phương trình : x2 + y2 + x + y = 4 x(x + y + 1) + y(y + 1) = 2 Bài 1.148 : Giải hệ phương trình : √ 2x + y + 1 − √ x+y=1 3x + 2y = 4 √ Bài 1.149 : Giải bất phương trình : 8x2 − 6x + 1 − 4x + 1 ≤ 0 √ √ √ Bài 1.150 : Giải bất phuơng trình : 2x + 7 − 5 − x ≥ 3x − 2 Bài 1.151 : Tìm m để hệ phương trình... = m 2 Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất x2 + (y − 2)2 = m Bài 1.169 : Cho hệ phương trình : x = y2 − y + m y = x2 − x + m 1 Giải hệ phương trình với m = 0 ; 2 Tìm m để hệ phương trình có nghiệm ; 3 Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 WWW.VNMATH.COM Trang 32 www.VNMATH.com CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC www.VNMATH.com... 1.175 : Cho phương trình x + √ √ 105 √ 17 − x2 + x 17 − x2 = m 1 Giải phương trình khi m = 9; 2 Tìm m để phương trình có nghiệm thực; 3 Tìm m để phương trình có nghiệm thực duy nhất x2 − 3 − 6 ≥ 0 x Bài 1.177 : Chứng tỏ rằng với mọi số m không âm thì phương trình sau luôn có nghiệm thực Bài 1.176 : Giải bất phương trình 2x2 − 5x − 3x Bài 1.178 : Giải hệ phương trình Bài 1.179 : Giải hệ phương trình... 19x3 y + xy2 = −6x2 x + xy + y = a + 1 x2 y + xy2 = a Tìm a để hệ có ít nhất một nghiệm (x; y) thỏa mãn : x > 0 và y > 0 Bài 1.104 : Cho hệ phương trình : √ √ x+1+ y+1 =3 √ √ √ √ x y + 1 + y x + 1 + y + 1 + x + 1 = m 1 Giải hệ phương trình với m = 6 2 Tìm m để hệ phương trình trên có nghiệm 1.4.4 Phương pháp hàm số Bài 1.105 : Giải các hệ phương trình sau : 2 x+1+ √ x8 + y4 = 1 1 √ √ y+1+ √ √ √ x+ x3... phương trình sau có nghiệm : √ Bài 1.91 : Cho phương trình : x+1+ √ 3−x− (x + 1)(3 − x) = m √ |x + 1| + m|x − 1| = (m + 1) x2 − 1 1 Giải phương trình khi m = 2 ; 2 Tìm m để phương trình trên có nghiệm Bài 1.92 : Tìm m để các bất phương trình sau có nghiệm : 1 √ 4−x+ √ x+5 ≥m; 2 mx − √ x − 3 ≤ m + 1 Bài 1.93 : Tìm m để bất phương trình m ä có nghiệm trong đoạn 0; 1 + √ ç 3 Bài 1.94 : Tìm m để bất phương. .. − y = 2 x2 + y3 = 2y2 x + y3 = 2y √ √ Bài 1.180 : Giải bất phương trình 2 x − 1 − x + 2 > x − 2 √ √ √ Bài 1.181 : Giải bất phương trình 3x + 7 − 2x + 3 > x + 2 Bài 1.182 : Giải hệ phương trình 2x2 + x + y2 = 7 xy − x + y = 3 Bài 1.183 : Giải hệ phương trình √ √ √ (x + 3) 2x − 1 + (y + 3) 2y − 1 = 2 (x + 3)(y + 3) x + y = 2xy Bài 1.184 : Giải hệ phương trình 3x − y =3 x2 + y2 x + 3y y− 2 = 0 x + y2 x+... 33 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC www.VNMATH.com www.VNMATH.com √ √ √ √ (x + 2)(2x − 1) − 3 x + 6 = 4 − (x + 6)(2x − 1) + 3 x + 2 √ √ x−y− x+y =2 Bài 1.186 : Giải hệ phương trình x2 + y2 + x2 − y2 = 4 Bài 1.185 : Giải phương trình Bài 1.187 : Giải hệ phương trình x2 + xy + y2 = 7(x − y)2 x2 − xy + y2 = 3(x − y) Bài 1.188 : Giải hệ phương trình x2 − y2 = 12 y Bài 1.189 : Giải hệ phương trình x2 − y2 =... 1.190 : Giải phương trình (x2 + 1)2 = 5 − x 2x2 + 4 Bài 1.191 : Giải hệ phương trình x3 − y3 + 2 = 0 x2 + y2 + x − y = 0 √ √ Bài 1.192 : Giải phương trình |x + 1 − x2 | = 2(1 − 2x2 ) Bài 1.193 : Giải hệ phương trình x2 + 6y = y + 3 √ √ x + y + x − y = 4 Bài 1.194 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực x3 + x2 + x − m(x2 + 1)2 = 0 Bài 1.195 : Giải bất phương trình √ Bài 1.196 : Tìm m để phương trình . Chương 1 Phương trình, bất phương trình, hệ đại số 1.1 Phương trình, bất phương trình đa thức 1.1.1 Phương trình, bất phương trình bậc hai. LUYỆN THI ĐẠI HỌC 1.3 Phương trình, bất phương trình chứa căn Vấn đề 1 : Phương trình, bất phương trình cơ bản  Phương pháp chung là tìm cách bình phương