Chương 10 Mở đầu hình học khơng gian Quan hệ song song Sau học xong mục này, học sinh cần biết : Một mặt phẳng xác định biết điều kiện sau : (a) Mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng (b) Mặt phẳng qua điểm đường thẳng khơng chứa điểm (c) Mặt phẳng qua hai đường thẳng cắt (d) Mặt phẳng qua hai đường thẳng song song (e) Mặt phẳng qua đường thẳng song song với đường thẳng chéo với đường thẳng (f) Mặt phẳng qua điểm song song với mặt phẳng không chứa đường thẳng (g) Mặt phẳng qua điểm song song với hai đường thẳng chéo Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song : (a) Hai đường thẳng đồng phẳng điểm chung (b) Hai mặt phẳng phân biệt cắt lần lưựơt qua hai đường thẳng song song giao tuyến chúng song song với hai đường thẳng (c) Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba song song với (d) Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) mặt phẳng (Q) chứa a mà cắt (P) giao tuyến song song với a (e) Hai mặt phẳng phân biệt cắt song song với đường thẳng giao tuyến chúng song song với đường thẳng (f) Nếu hai mặt phẳng song song bị cắt mặt phẳng thứ ba hai giao tuyến song song với (g) Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b b không song song với l hai hình chiếu a′ , b′ a b theo phương l lên mặt phẳng (P) song song trùng (h) Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) hình chiếu a′ a (P) song song với a Dấu hiệu nhận biết đường thẳng song song với mặt phẳng : (a) Nếu đường thẳng mặt phẳng điểm chung chúng song song với (b) Nếu a ∥ b, a (P), b ⊂ (P) a ∥ (P) (c) Nếu a ⊂ (P), (P) ∥ (Q) a ∥ (Q) (d) Nếu ba đường thẳng chắn hai cát tuyến đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ ba đoạn thanửg song song với mặt phẳng (mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt song song với hai ba đường thẳng trên) 191 WWW.VNMATH.COM CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC www.VNMATH.com (e) a ∥ b, a ∥ (P), b www.VNMATH.com (P), ⇒ b ∥ (P) (f) a ∥ (P), (P) ∥ (Q), a (Q) ⇒ a ∥ (Q) Dấu hiệu nhận biết hai mặt phẳng song song : (a) Hai mặt phẳng khơng có điểm chung song song với (b) Nếu mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt song song với mặt phẳng khác ahi mặt phẳng sóng song (c) Nếu hai đường thẳng cắt mặt phẳng song song với hai đường thẳng mặt phẳng khác hai mặt phẳng song song (d) Hai mặt phẳng phân biệt song song với mặt phẳng thứ ba song song với 10.1 Đại cương đường thẳng mặt phẳng Xác định giao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q) ; xác định giao điểm đường thẳng a mặt phẳng (P) ; chứng minh ba điểm thẳng hàng ba đường thẳng đồng quy ; tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng ; chứng minh bốn điểm đồng phẳng Vấn đề : Xác định giao tuyến hai mặt phẳng Giao tuyến hai mặt phẳng đường thẳng Vì ta cần xác định hai giao điểm hai mặt phẳng Muốn xác định giao điểm hai mặt phẳng ta chọn hai đường thẳng a ⊂ (P) b ⊂ (Q) cho a ∩ b = {M} Khi M giao điểm hai mặt phẳng Bài 10.1 : Trong mặt phẳng (α) cho tứ giác ABCD có cạnh đối AB CD khơng song song với Gọi S điểm không thuộc mặt phẳng (α) Xác định giao tuyến hai mặt phẳng (S AC) (S BD) Xác định giao tuyến hai mặt phẳng (S AB) (S CD) Vấn đề : Xác định giao điểm đường thẳng a mặt phẳng (P) Phương pháp chung cần tìm đường thẳng ∆ ⊂ (P) ∆ cắt a, giao điểm giao điểm a (P) Cách tìm đường thẳng ∆: Chọn mặt phẳng (Q) cho a ⊂ (Q), (Q) ∩ (P) = ∆ ⇒ ∆ ∩ a = a ∩ (P) Thường ta chọn mặt phẳng (Q) cho dễ xác định giao tuyến với mặt phẳng (P) Bài 10.2 : Cho tam giác ABC điểm O nằm mặt phẳng (ABC) Trên đoạn thẳng OA, OB, OC ta lấy điểm A′ , B′ , C ′ không trùng với đầu mút đoạn thẳng Gọi M điểm thuộc mặt phẳng (ABC) nằm tam giác ABC Tìm điểm chung (giao điểm) : Đường thẳng B′C ′ với mặt phẳng (OAM) TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Đường thẳng OM với mặt phẳng (A′ B′C ′ ) WWW.VNMATH.COM Trang 192 www.VNMATH.com CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC www.VNMATH.com Vấn đề : Phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng ba đường thẳng đồng quy Muốn chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh A, B, C nằm hai mặt phẳng phân biệt (P), (Q) Khi A, B, C thuộc giao tuyến hai mặt phẳng đó, nên chúng thẳng hàng Cịn muốn chứng minh ba đường thẳng a, b, c đồng quy, ta xác định giao điểm hai ba đường thẳng chứng minh giao điểm thuộc đường thẳng cịn lại Hoặc dùng định lí giao tuyến ba mặt phẳng Bài 10.3 : Cho tam giác ABC điểm O nằm mặt phẳng (ABC) Gọi A′ , B′ , C ′ điểm lấy OA, OB, OC không trùng với đầu mút đoạn thẳng Chứng minh cặp đường thẳng A′ B′ AB, B′C ′ BC, C ′ A′ CA cắt D, E, F ba điểm D, E, F thẳng hàng Bài 10.4 : Cho tứ diện ABCD Gọi E, F, G ba điểm nằm ba cạnh AB, AC, BD cho EF cắt BC I, EG cắt AD H Chứng minh CD, IG, HF đồng quy Vấn đề : Tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng Muốn tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (α) ta tìm đoạn giao tuyến (α) giao với mặt (bên đáy) hình chóp Chú ý : Mặt phẳng (α) cắt mặt bên không hai điểm cạnh mặt bên Bài 10.5 : Cho hình chóp tứ giác S ABCD Điểm C ′ nằm cạnh S C Tìm thiết diện hình chóp với mặt phẳng (ABC ′ ) Bài 10.6 : Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng Điểm D thuộc mặt phẳng ? Chứng minh AC BD chéo Gọi Bx đường thẳng qua B song song với AD M ∈ AD Gọi J trung điểm đoạn BM Nếu điểm M di động đường thẳng AD, điểm B di động đường thẳng Bx, chứng minh đường thẳng CJ ln ln nằm mặt phẳng cố định Bài 10.7 : Cho hai đường thẳng a b chéo Trên a ta lấy hai điểm phân biệt A, B b lấy hai điểm phân biệt C, D Chứng minh AC BD chéo Gọi M điểm đoạn AC, N điểm đoạn BD Khi đường thẳng MN song song với AB CD không ? Gọi O điểm đoạn MN Chứng minh AO cắt CN BO cắt DM Bài 10.8 : Cho mặt phẳng (α) xác định đường thẳng a điểm A không thuộc a Gọi a′ đường thẳng qua A song song với a Lấy điểm M a điểm B nằm mặt phẳng (α) Chứng minh điểm M thuộc mặt phẳng (α) Tìm điểm chung cặp mặt phẳng (ABM) (α), (ABM) (a′ , B), (ABM) (a, B) Tìm điểm chung ba mặt phẳng (α), (a′, B), (ABM) Gọi I, K trung điểm đoạn thẳng AB MB Chứng minh IK song song với mặt phẳng (α) TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 WWW.VNMATH.COM Trang 193 www.VNMATH.com CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC www.VNMATH.com Bài 10.9 : Gọi (α) mặt phẳng xác định hai đường thẳng a b cắt O c đường thẳng cắt (α) I khác O Xác định giao tuyến hai mặt phẳng (α) (O, c) Gọi M điểm nằm c không trùng với I Tìm giao tuyến m hai mặt phẳng (M, a) (M, b) Chứng minh M di động đường thẳng c, giao tuyến m nằm mặt phẳng cố đinh Bài 10.10 : Cho tứ diện ABCD Gọi M N trung điểm AC BC Gọi K điểm lấy cạnh BD cho BK = 3KD Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (MNK) với mặt phẳng (BCD) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (MNK) với mặt phẳng (ACD) Bài 10.11 : Cho hình chóp S ABCD với đáy ABCD tứ giác có cặp cạnh đối khơng song song Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng sau: (S AC) (S BD) ; (S AB) (S CD) ; (S AD) (S BC) Bài 10.12 : Cho hình chóp S ABCD với đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M, N, P trung điểm đoạn BC, CD, S O Xác định thiết diện hình chóp tạo mặt phẳng (MNP) Bài 10.13 : Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M, N trung điểm cạnh S B, S D Lấy điểm P cạnh S C cho S P = 3PC Tìm giao tuyến mặt phẳng (MNP) với mặt (S AC), (S AB), (S AD) (ABCD) hình chóp Bài 10.14 : Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lấy cạnh AC, BC cho MN không song song với AB Gọi O điểm thuộc miền tam giác ABD Tìm giao điểm AB AD với mặt phẳng (OMN) Bài 10.15 : Cho hình chóp S ABCD Gọi M điểm cạnh S C Tìm giao điểm AM với mặt phẳng (S BD) Lấy điểm N cạnh BC Tìm giao điểm S D mặt phẳng (AMN) Bài 10.16 : Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M trung điểm S C Tìm giao điểm I đường thẳng AM với mặt phẳng (S BD) Chứng minh IA = 2I M Tìm giao điểm P đường thẳng S D với mặt phẳng (ABM) Gọi N điểm tuỳ ý cạnh AB Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng (S BD) Bài 10.17 : Cho tứ diện ABCD Gọi M, N hai điểm lấy AC, AD Gọi G trọng tâm tam giác BCD Tìm giao điểm của: MN mặt phẳng (ABG) AG mặt phẳng (BMN) Bài 10.18 : Cho hình chóp S ABCD Gọi I, K hai điểm cố định S A S C với S I = 2IA S K = KC Một mặt phẳng (α) quay quanh IK cắt S B M S D N Gọi O giao điểm AC BD Chứng minh ba đường thẳng IK, MN, S O đồng quy Gọi {E} = AD ∩ BC {F} = IN ∩ MK Chứng minh ba điểm S , E, F thẳng hàng Gọi {P} = IN ∩ AD {Q} = MK ∩ BC Chứng minh (α) thay đổi đường thẳng PQ qua điểm cố đinh Bài 10.19 : Cho hình chóp S ABCD Gọi I điểm cạnh AD K điểm cạnh S B Tìm giao điểm E, F IK DK với mặt phẳng (S AC) Gọi {O} = AD ∩ BC, {M} = S C ∩ OK Chứng minh bốn điểm A, E, F, M thẳng hàng Bài 10.20 : Cho tứ diện ABCD Trên đoạn CA, CB, BD cho điểm M, N, P cho MN không song song với AB , NP không song song với CD Gọi (α) mặt phẳng xác định ba điểm M, N, P nói Tìm thiết diện tạo mặt phẳng (α) tứ diện ABCD TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 WWW.VNMATH.COM Trang 194 www.VNMATH.com CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC www.VNMATH.com Bài 10.21 : Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành tâm O Gọi M, N, E ba điểm lấy AD, CD, S O Tìm thiết diện hình chóp tạo mặt phẳng (MNP) Bài 10.22 : Cho hình chóp S ABCD Trong tam giác S BC lấy điểm M tam giác S CD lấy điểm N Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng (S AC) Tìm giao điểm cạnh S C với mặt phẳng (AMN) Tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (AMN) Bài 10.23 : Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M trung điểm cạnh S C Tìm giao điểm I đường thẳng AM với mặt phẳng (S BD) Chứng minh IA = 2I M Tìm giao điểm F đường thẳng S D với mặt phẳng (ABM) Chứng minh F trung điểm cạnh S D tứ giác ABMF hình thang Gọi N điểm tuỳ ý cạnh BC Tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (AMN) Bài 10.24 : Cho hình chóp S ABCD Gọi M, N điểm đoạn BC S D Tìm giao điểm I đường thẳng BN với mặt phẳng (S AC) giao điểm K đường thẳng MN với mặt phẳng (S AC) Tìm thiết diện hình chóp S ABCD với mặt phẳng (BCN) Bài 10.25 : Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành Gọi M, N điểm đoạn S B AD Đường thẳng BN cắt CD I Chứng minh ba điểm M, I trọng tâm G tam giác S AD thẳng hàng Tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (CGM) Chứng minh trung điểm đoạn S A thuộc thiết diện Tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (AGM) Bài 10.26 : Cho chóp S ABCD có đáy ABCD tứ giác có cặp cạnh đối không song song Gọi M điểm tùy ý nằm cạnh S C (M không trùng với C S ), mặt phẳng (ABM) cắt S D N Gọi I giao điểm BM AN Chứng minh điểm M di động cạnh S C I di động đoạn thẳng cố định Hãy xác định đoạn thẳng Gọi J giao điểm AM BN Chứng minh M di động cạnh S C J di động đoạn thẳng cố định Bài 10.27 : Cho tứ diện ABCD Gọi I J trung điểm AB CD Cho M N nằm cạnh BC AD cho AN BM = = Chứng minh M, N, I, J đồng phẳng MC ND 10.2 Hai đường thẳng song song Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (dùng quan hệ song song) ; chứng minh hai đường thẳng song song ; chứng minh hai đường thẳng chéo Vấn đề : Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (dùng quan hệ song song) Nếu hai mặt phẳng (α) (β) có điểm chung S chứa hai đường thẳng song song d d′ giao tuyến củ (α) (β) đường thẳng ∆ qua S song song với d d′ Bài 10.28 : Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành ABCD Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng sau TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 WWW.VNMATH.COM Trang 195 www.VNMATH.com CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC (S AC) (S BD) ; (S AB) (S CD) ; www.VNMATH.com (S AD) (S BC) Bài 10.29 : Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang với cạnh đáy AB, CD Gọi I, J trung điểm AD, BC G trọng tâm tam giác S AB Tìm giao tuyến (S AB) (I JG) Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng (I JG) Thiết diện hình gì? Tìm điều kiện AB CD để thiết diện hình bình hành Vấn đề : Chứng minh hai đường thẳng song song Dùng định nghĩa ( Chứng minh chúng thuộc mặt phẳng, áp dụng phương pháp chứng minh thơng thường, thường áp dụng định lí Talet) Dùng phản chứng Dùng định lí giao tuyến ba mặt phẳng Dùng tính chất : Hai mặt phẳng phân biệt qua hai đường thẳng song song giao tuyến chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó, trùng với hai đường thẳng Dùng tính chất bắc cầu Bài 10.30 : Cho tứ diện ABCD Gọi I, J trọng tâm tam giác ABC, ABD Chứng minh I J ∥ CD Bài 10.31 : Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang với hai cạnh đáy AB CD (AB > CD) Gọi M, N trung điểm S A, S B Chứng minh MN ∥ CD ; Gọi P giao điểm S C mặt phẳng (ADN), I giao điểm AN DP Chứng minh S I ∥ AB Tứ giác S ABI hình Vấn đề : Chứng minh hai đường thẳng chéo Chúng ta thường dùng phương pháp phản chứng Bài 10.32 : Cho d1 , d2 hai đường thẳng chéo Trên d1 , lấy hai điểm phân biệt A, B d2 lấy hai điểm phân biệt C, D Chứng minh AC BD chéo Bài 10.33 : Cho tam giác ABC nằm mặt phẳng (α) Gọi Bx, Cy hai nửa đường thẳng song song nằm phía mặt phẳng (α) M, N hai điểm di động Bx, Cy cho CN = 2BM Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định I M, N di động EA, IE cắt AN F Gọi Q giao điểm BE CF Chứng minh AQ song song với Bx (QMN) chứa đường thẳng cố định M, N thay đổi E thuộc đoạn AM EM = Bài 10.34 : Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành Gọi M, N, P, Q điểm nằm BC, S C, S D, AD cho MN ∥ BS , NP ∥ CD, MQ ∥ CD TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 WWW.VNMATH.COM Trang 196 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC www.VNMATH.com www.VNMATH.com Chứng minh PQ ∥ S A Gọi K giao điểm MN PQ, chứng minh S K ∥ AD Qua Q dựng đường thẳng Qx ∥ S C Qy ∥ S B Tìm giao điểm Qx với (S AB) Qy với (S CD) Bài 10.35 : Cho hình chóp S ABCD đáy hình thang, cạnh đáy AD = a, BC = b I, J trọng tâm tam giác S AD, S BC Tìm đoạn giao tuyến (ADJ) với mặt phẳng (S BC) đoạn giao tuyến (BCI) với mặt phẳng (S AD) Tính độ dài đoạn giao tuyến hai mặt phẳng (ADJ) (BCI) giới hạn hai mặt phẳng (S AB) (S CD) Bài 10.36 : Cho tứ diện ABCD có tất cạnh a I, J trung điểm AC, BC Gọi K điểm cạnh BD với KB = 2KD Xác định thiết diện tứ diện với mặt phẳng (I JK) Chứng minh thiết diện hình thang cân Tính diện tích thiết diện theo a Bài 10.37 : Cho hình chóp S ABCD, đáy hình vng cạnh a, tâm O, mặt bên S AB tam giác đều, S AD = 900 Gọi Dx đường thẳng qua D song song với S C Tìm giao điểm I Dx mặt phẳng (S AB) Chứng minh AI ∥ S B Tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (AIC) Tính diện tích thiết diện 10.3 Đường thẳng mặt phẳng song song Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng ; tìm giao tuyến hai mặt phẳng, dựng thiết diện song song với đường thẳng ; dựng mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng khác, xác định giao điểm đường thẳng với mặt phẳng ; dựng mặt phẳng qua điểm M song song với hai đường thẳng chéo a b Vấn đề : Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng Dùng định nghĩa (thường phản chứng) Dùng tiêu chuẩn : Nếu đường thẳng d không nằm mặt phẳng (α) song song với đường thẳng a nằm (α) đường thẳng d song song với mặt phẳng (α) Chú ý : Nếu a khơng có sẵn ta thường chọn mặt phẳng (β) chứa d lấy a giao tuyến (α) (β) Bài 10.38 : Cho hai hình bình hành ABCD ABEF khơng nằm mặt phẳng Gọi O, O′ tâm hình bình hành ABCD ABEF; G1 , G2 trọng tâm tam giác ABD ABE Chứng minh : OO′ song song với mặt phẳng (ADF) (BCE) ; G1G2 song song với mặt phẳng (CEF) Vấn đề : Tìm giao tuyến hai mặt phẳng Dựng thiết diện song song với đường thẳng Ta dùng định lí sau : Cho đường thẳng d ∥ (α) Nếu d ⊂ (β) (α) ∩ (β) = d ′ d′ ∥ d TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 WWW.VNMATH.COM Trang 197 www.VNMATH.com CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC www.VNMATH.com Bài 10.39 : Cho hình chóp S ABCD M, N hai điểm AB, CD (α) mặt phẳng qua MN song song với S A Tìm giao tuyến (α) với (S AB) (S AC) Xác định thiết diện hình chóp với (α) Tìm điều kiện MN để thiết diện hình thang Bài 10.40 : Cho hình lăng trụ ABC.A′ B′C ′ , đáy tam giác cạnh a Các mặt bên ABB′ A′ , ACC ′ A′ hình vng Gọi I, J tâm mặt bên nói O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh I J ∥ (ABC) Xác định thiết diện lăng trụ với mặt phẳng (OI J) Chứng minh thiết diện hình thang cân tính diện tích thiết diện Bài 10.41 : Cho hình chóp S ABCD, đáy hình bình hành tâm O Gọi M, N trung điểm S A CD Chứng minh (OMN) ∥ (S BC) ; Gọi AE, AF đường phân giác tam giác ACD S AB Gọi I trung điểm S E, J điểm (ABCD) cách AB CD Chứng minh I J ∥ (S AB) Giả sử hai tam giác S AD, ABC cân A Chứng minh EF ∥ (S AD) Vấn đề : Dựng mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng khác Xác định giao điểm đường thẳng với mặt phẳng Cho a, b chéo Ta dựng mặt phẳng (P) chứa a b ∥ (P) sau : Cách : Xét đường thẳng c cắt a c ∥ b Khi (P) mặt phẳng chứa a c Cách : Xét mặt phẳng (Q) chứa b, (R) chứa a Ta có (R) ∩ (P) = a, (Q) ∩ (R) = c giả sử c ∩ a = {M} (P) ∩ (Q) đường thẳng d qua M song song với b Vậy (P) mặt phẳng chứa a d Bài 10.42 : Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành Gọi M điểm nằm hai điểm S C ; (α) mặt phẳng chứa AM song song với BD Hãy xác định giao điểm E, F mặt phẳng (α) với cạnh S B, S D Gọi I giao điểm ME CB, J giao điểm MF CD Chứng minh ba điểm I, A, J thẳng hàng Bài 10.43 : Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Hãy xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng qua trung điểm M AB, song song với đường thẳng BD S A Bài 10.44 : Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành Gọi M, N trung điểm cạnh AB, CD Chứng minh MN song song với (S BC) (S AD) ; Gọi P trung điểm S A Chứng minh S B S C song song với mặt phẳng (MNP) Gọi G1 , G2 trọng tâm tam giác ABC S BC Chứng minh G1G2 song song với mặt phẳng (S AB) Bài 10.45 : Cho hình chóp S ABCD, đáy hình thang với cạnh đáy AB, CD Gọi I, J trung điểm AD, BC G trọng tâm tam giác S AB Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng (S AB) (I JG) ; Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (I JG) Tìm điều kiện AB, CD để thiết diện hình bình hành TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 WWW.VNMATH.COM Trang 198 www.VNMATH.com CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC www.VNMATH.com Bài 10.46 : Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành Gọi I, J trọng tâm tam giác S AB S AD, M trung điểm CD Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (I JM) Bài 10.47 : Cho hình chóp S ABCD Gọi M, N hai điểm AB, CD; (α) mặt phẳng qua M song song với S A Tìm giao tuyến (α) với mặt phẳng (S AB) (S AC) Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (α); Tìm điều kiện MN để thiết diện hình thang Bài 10.48 : Cho lăng trụ ABC.A′ B′C ′ Gọi H trung điểm A′ B′ Chứng minh CB′ song song với mặt phẳng (AHC ′ ); Tìm giao điểm AC ′ với (BCH); Mặt phẳng (α) qua trung điểm CC ′ , song song với AH CB′ Xác định thiết diện tỉ số mà đỉnh thiết diện chia cạnh tương ứng lăng trụ 10.4 Hai mặt phẳng song song Chứng minh hai mặt phẳng song song ; tìm giao tuyến hai mặt phẳng, thiết diện cắt mặt phẳng song song với mặt phẳng cho trước Vấn đề : Chứng minh hai mặt phẳng song song Dùng định nghĩa (thường phản chứng) Chứng minh chúng song song với mặt phẳng thứ ba Dùng tiêu chuẩn : Nếu mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng a b cắt hai đường thẳng song song với mặt phẳng (β) cho trước hai mặt phẳng (α) (β) song song với Bài 10.49 : Cho hình chóp S ABCD đáy hình bình hành tâm O Gọi M, N trung điểm S A, S D Chứng minh (OMN) song song với (S BC) Gọi P trung điểm AB, Q đoạn ON cho OQ = 3ON Chứng minh PQ ∥ (S BC) Vấn đề : Tìm giao tuyến hai mặt phẳng Thiết diện cắt mặt phẳng song song với mặt phẳng cho trước Chúng ta thường dùng định lí : Nếu hai mặt phẳng (α) (β) song song mặt phẳng (γ) cắt (α) phải cắt (β) giao tuyến chúng song Bài 10.50 : Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành tâm O với AC = a, BD = b, tam giác S BD Một mặt phẳng (α) di động song song với mặt phẳng (S BD) qua điểm I đoạn AC khác A C Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng (α) TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 WWW.VNMATH.COM Trang 199 www.VNMATH.com CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC www.VNMATH.com Tính diện tích thiết diện theo a, b x = AI Bài 10.51 : Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành tâm O Gọi M, N trung điểm S A, S D Chứng minh (OMN) ∥ (S BC) ; Gọi P, Q trung điểm AB ON Chứng minh PQ ∥ (S BC) Bài 10.52 : Cho tứ diện ABCD, gọi G1 , G2 , G3 trọng tâm tam giác ABC, ACD, ADB Chứng minh (G1G2G3 ) ∥ (BCD) Tìm thiết diện tứ diện ABCD với mặt phẳng (G1G2G3 ) Tính diện tích thiết diện, biết diện tích tam giác s M điểm di động tứ diện cho G1 M ln song song với mặt phẳng (ACD) Tìm tập hợp điểm M WWW.VNMATH.COM TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 WWW.VNMATH.COM Trang 200 www.VNMATH.com www.VNMATH.com Chương 11 Vectơ không gian Quan hệ vng góc Sau học xong chương này, học sinh cần biết : Để có hai đường thẳng d d′ vng góc, chứng minh : − − − − • →.→ = 0, → → vectơ phương d d′ u v u v • Góc chúng 90◦ • d song song với đường thẳng ∆, cịn d′ vng góc với ∆ (∆ đường thẳng đó) • d⊥(α) mà (α) chứa d′ , d′ ⊥(β) mà (β) chứa d • Khi d d′ cắt nhau, sử dụng phương pháp hình học phẳng trung tuyến tam giác cân, định lí đảo định lí Pytago, Để có đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (α), chứng minh : • d vng góc với hai đường thẳng cắt (α) • d ∥ d′ mà d′ ⊥(α) • d⊥(β) mà (β) ∥ (α) • d trục tam giác ABC nằm mặt phẳng (α) (nghĩa chứng minh d chứa hai điểm cách A, B, C) • d giao tuyến hai mặt phẳng vng góc với (α) • Sử dụng tính chất hai mặt phẳng vng góc : (α)⊥(β) mà d nằm (β) d vng góc với giao tuyến (β) (α) d⊥(α) Để có hai mặt phẳng vng góc, chứng minh : • Góc chúng 90◦ • Mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng • Mặt phẳng vng góc với mặt phẳng song song với mặt phẳng Ngoài ra, cần biết xác định góc, xác định khoảng cách yếu tố Hệ thức lượng tam giác vuông Cho tam giác ABC vuông A, AH, AM tương ứng đường cao, trung tuyến xuất phát từ A A B C H M 201 WWW.VNMATH.COM ... thẳng song song Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (dùng quan hệ song song) ; chứng minh hai đường thẳng song song ; chứng minh hai đường thẳng chéo Vấn đề : Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (dùng quan hệ song. .. cắt song song với mặt phẳng khác ahi mặt phẳng sóng song (c) Nếu hai đường thẳng cắt mặt phẳng song song với hai đường thẳng mặt phẳng khác hai mặt phẳng song song (d) Hai mặt phẳng phân biệt song. .. thẳng song song với mặt phẳng (β) cho trước hai mặt phẳng (α) (β) song song với Bài 10.49 : Cho hình chóp S ABCD đáy hình bình hành tâm O Gọi M, N trung điểm S A, S D Chứng minh (OMN) song song