-148- Chơng 12 Các định lý tổng quát của động lực học Các định lý tổng quát của động lực học là hệ quả của định luật cơ bản của Niu-Tơn. Nó thiết lập mối quan hệ giữa các đại lợng do chuyển động của chất điểm hay cơ hệ với các đại lợng đo tác dụng của lực.lên chất điểm hay cơ hệ đó. Các định lý tổng quát của động lực học cho phép ta nghiên cứu tính chất quan trọng của chuyển động mà không cần biết chi tiết chuyển động đó. Vì thế nó cho phép ta giải thuận lợi một số bài toán của động lực học đặc biệt là bài toán về động lực học của cơ hệ mà nếu áp dụng phơng trình vi phân để giải thì sẽ gặp rất nhiều khó khăn. 12.1. Các đặc trng hình học khối của cơ hệ và vật rắn. Khi khảo sát động lực học của cơ hệ ngời ta phải để ý đến khối lợng của chúng và sự phân bố khối lợng ấy trong không gian. Các đặc trng liên quan đến phân bố khối lợng của cơ hệ hay vật rắn là khối tâm và mô men quán tính. 12.1.1. Khối tâm của hệ Xét hệ N chất điểm M 1 , M 2 , .M n có khối lợng m 1 , m 2 , .m .N . Véc tơ định vị chúng là: r r 1 , r r 2 , r r N .( Hình 12.1) .Ta có định nghĩa sau: Khối tâm của hệ là điểm C xác định bằng biểu thức: r r C r r n r r 2 1 r r C M n M 2 M 1 z O y r r C = M rm N 1k kk = r ; (12-1) x Với M = . = N 1k k m Hình 12.1 Chiếu biểu thức (12-1) lên các trục -149- toạ độ oxyz (hình 10-1) ta đợc: x c = M xm N 1k kk = y C = M ym N 1k kk = (12-2) z C = M zm N 1k kk = Trong đó x C , y C , z C là toạ độ khối tâm C; x k , y k , z k là toạ độ của chất điểm thứ k trong cơ hệ. Trờng hợp đặc biệt trong trờng trọng lực hệ là vật rắn khối tâm sẽ trùng với trọng tâm của vật. 12.1.2. Mô men quán tính của vật 12.1.2.1. Mô men quán tính của vật đối với một tâm Mô men quán tính của vật đối với một tâm ký hiệu là J o bằng tổng các tích số giữa các khối lợng của mỗi chất điểm với bình phơng khoảng cách giữa chất điểm đó với điểm O (hình 10-1) J o = (12-3) = N 1k 2 kk rm 12.1.2.2. Mô men quán tính của vật đối với một trục Mô men quán tính của vật đối với một trục z ký hiệu là J z bằng tổng các tích khối lợng m k của mỗi chất điểm trong vật với bình phơng khoảng cách d k từ chất điểm đến trục (hình 12-1). J z = (12-4) = N 1k 2 kk dm Gọi toạ độ các chất điểm M k trong hệ toạ độ oxyz là x k ,y k , z k thì mô men quán tính của hệ đối với các trục toạ độ là ox, oy, oz và đối với gốc toạ độ O viết đợc: -150- J x = + );zy(m 2 k 2 kk J y = + );zx(m 2 k 2 kk J z = (12-5) + );xy(m 2 k 2 kk J o = ++= ).zyx(mrm 2 k 2 k 2 kk 2 kk Từ đó suy ra: J x + J y + J z = J o . (12-6) Trong kỹ thuật ta tính mô men quán tính của vật đối với một trục theo biểu thức: J z = M. 2 M là khối lợng của vật, gọi là bán kính quán tính của vật với trục z. 12.1.2.3. Mô men quán tính của một số vật đồng chất - Vật là một thanh mỏng đồng chất Gọi chiều dài của thanh là l, khối lợng của nó là M. Chọn trục Ax dọc theo thanh (hình 12-2). y B x m k d x x k Xét một phần tử của thanh có chiều dài dx ở vị trí cách A một đoạn x R , có khối lợng dm = 1 .dx ở đây 1 là khối lợng riêng trên một đơn vị chiều dài của thanh = M/l A Hình 12-2 Biểu thức mô men quán tính của thanh lấy đối với trục Az vuông góc với thanh tại A là: J Az = 2 Ml 3 l 0 2 i l 0 2 3 1 3 l dxxdmx === (127) A Hình 12.3 B x D C dx x y -151- - Vật là một tấm phẳng hình chữ nhật (hình 12-3) Gọi các cạnh của hình là a, b, khối lợng của tấm phẳng là M. Chia hình thành nhiều giải nhỏ song song với trục o mỗi giải có bề rộng là dx, có mô men quán tính đối với trục Ax là J k = 2 k am 3 1 (theo hình 12-3) Trong đó m k là khối lợng của giải đang xét. Mô men quán tính của cả hình đối với trục A x là : J x = ;ma 3 1 am 3 1 J n 1k k n 1k 22 k n 1k kx === == J x = Ma 3 1 2 (12-8) Tơng tự suy ra: J y = Mb 3 1 2 (12- 9) y R C x - Vật là một vành tròn đồng chất Gọi bán kính và khối lợng của vành là R và M. Tính mô men quán tính của vành đối với trục Cz vuông góc với mặt phẳng của vành và đi qua tâm C. (hình 12-4). Hình 12.4 Ta có: x y R O d rk r k J cz = ;Rmrm n 1k 2 k n 1k 2 kk == = J cz = (12-10) .MRmR 2 n 1k k 2 = = Công thức (12-10) cũng dùng để tính mô men quán tính của một ống trục tròn đồng chất đối với trục của nó. Hình 12.5 -152- - Vật là một tấm phẳng tròn đồng chất Gọi bán kính và khối lợng của tấm là R và M. Ta có thể tính mô men quán tính đối với trục Cz ký hiệu là J cz và mô men quán tính đối với trục Cx hay Cy trùng với đờng kính của nó ký hiệu là J x , J y . Chia tấm thành nhiều vành nhỏ cùng tâm C bán kính mỗi vành thứ k là r k . Bề rộng của mỗi vành thứ k là dr k . Khối lợng của lớp vành thứ k là : m k = .2.r k .dr k Trong đó là khối lợng riêng của tấm trên một đơn vị diện tích = . R M 2 Theo công thức (12-10) mô men quán tính của lớp vành thứ k này đối với trục Cz viết đợc. J k cz = m k r k 2 = 2.r k 3 dr k Mô men quán tính của cả tấm đối với tục Cz viết đợc: J cz = == = n 1k k 3 k n 1k k cz drr2J hay: J cz = .R 2 1 drr2 4 R o k 3 k = Cuối cùng ta có: J cz = 2 MR 2 1 (12-11) Để tính J cz và J cy ta có nhận xét mọi điểm của tấm có z x = 0, vì thế theo (12-5) viết đợc: J cx = == =+ n 1k 2 kk n 1k 2 k 2 kk ;ym)zy(m J cy = == =+ n 1k 2 kk n 1k 2 k 2 kk ;xm)zx(m -153- J cz = .)yx(m n 1k 2 k 2 kk = + Từ các biểu thức trên suy ra trong trờng hợp này: J cz = J cx + J cy . Do đối xứng nên sự phân bố khối lợng của tấm đối với trục cx và cy hoàn toàn nh nhau. Ta có: J cx = J cy = J cz /2= MR 2 /4. (12-11) Công thức (10-11) cũng có thể tính mô men quán tính cho vật là một trục tròn đồng chất đối với trục của nó. 12.1.2.4. Mô men quán tính đối với các trục song song. -Định lý Huy-Ghen: Mô men quán tính của một vật đối với một trục z 1 nào đó bằng mô men quán tính của nó đối với trục z song song với trục z 1 đi qua khối tâm của vật cộng với tích khối lợng của vật với bình phơng khoảng cách giữa hai trục. J z1 = J cz + Md 2 (12-12) Chứng minh: x z' z k d d' k d k B M k y C y k x k Theo định nghĩa J z1 = (a) 2 kk 'dm Kẻ trục cz song song với z 1 và đi qua khối tâm c (hình 12-6) Ta có: 2 k 'd = d k 2 + d 2 - 2d k dcos k . Gọi toạ độ của điểm M k là x k , y k , z k . x k = d k cos k suy ra: d' k 2 = d k 2 + d 2 - 2dx k Hình 12.6 Thay kết quả vào biểu thức (a) sẽ đợc: J z1 = m k (d k 2 + d 2 - 2x k d) = m k d k 2 + m k d 2 - 2 m k dx k ), -154- trong đó: m k d k 2 = J cz ; m k d 2 = Md 2 còn m k dx k = d m k x k = dMx C Do gốc toạ độ trùng với khối tâm c nên x C =0. Do đó: m k dx k = 0 Cuối cùng đợc: J z1 = J cz + Md 2 . Định lý đã đợc chứng minh. 12.2. Định lý động lợng và định lý chuyển động của khối tâm 12.2.1. Định lý động lợng 12.2.1.1. Động lợng của chất điểm và của hệ Động lợng của chất điểm là một đại lợng véc tơ ký hiệu là k r bằng tích giữa khối lợng và véc tơ vận tốc của chất điểm. k r = m . (12-14) v r Động lợng của hệ là đại lợng véc tơ ký hiệu K r bằng tổng hình học động lợng các chất điểm trong hệ. K r = = n 1k k r k = m = n 1k v v r k . (12-15) Đơn vị đo động lợng là kgm/s Ta cũng có thể biểu diễn động lợng của hệ qua khối lợng và vận tốc khối tâm của hệ. Từ (12-1) suy ra: m k r r k = M r r c . Đạo hàm hai vế theo thời gian nhận đợc: m k v r k = M v r o . Động lợng của hệ bằng tích giữa khối lợng và véc tơ vận tốc khối tâm của hệ. -155- 12.2.1.2. Xung lợng của lực (xung lực) Lực tác dụng trong một khoảng thời gian nhỏ bé dt thì đại lợng véc tơ đo bằng tích giữa lực với khoảng thời gian vô cùng bé đó là xung lợng phần tử của lực ký hiệu là d F r s r = .dt. (12-17) F r Nếu lực F r tác dụng trong khoảng thời gian hữu hạn từ t o đến t thì đại lợng véc tơ tính bằng tích phân các xung lực phần tử trong khoảng thời gian đó gọi là xung lợng của lực trong khoảng thời gian từ t F r o đến t và ký hiệu là s r . s r = (12-18) = t to t to dtFsd r r Theo (10-18) nếu lực = const thì: F r s r = . F r ở đây = t - t o 12.2.1.3. Định lỹ động lợng Định lý 12.1: Đạo hàm theo thời gian động lợng của chất điểm bằng hợp lực các lực tác dụng lên chất điểm. )vm( dt d r = (12-19) = n 1i i F r Chứng minh: Xét chất điểm có khối lợng m chuyển động với vận tốc v dới tác dụng của hệ lực ( F r 1 , F r 2 , . F r n ). Phơng trình cơ bản viết cho chất điểm: m = W r = n 1i i F r Thay = W r dt vd r vào biểu thức trên sẽ đợc: m = W r = = n 1i i F)vm( dt d r r Định lý đợc chứng minh. Biểu thức (12-19) thực chất là phơng trình cơ bản viết dới dạng động lợng cho chất điểm. -156- Định lý 12.2: Biến thiên động lợng của chất điểm trong khoảng thời gian từ t o đến t 1 bằng tổng hình học xung lợng của các lực tác dụng lên chất điểm trong khoảng thời gian đó. m v r 1 - m v r o = == = n 1k k n 1k 1t to k SdtF r r (12-20) Chứng minh: Từ phơng trình (10-19) suy ra: d(m ) = v r = n 1k 1t to k dtF r Tích phân hai vế phơng trình này tơng ứng với các cận tại t o và t 1 sẽ có: == == n 1k 1t to 1t to n 1k k 1mv mvo ;dtFdtF)vm(d rr r m v r 1 - m v r o = = n 1k k S r Định lý đã đợc chứng minh. Định lý 12.3: Đạo hàm theo thời gian động lợng của hệ bằng véc tơ chính của các ngoại lực tác dụng lên hệ. = = N 1k ke F d t Kd r r (12-21) Chứng minh: Xét hệ gồm N chất điểm. Ký hiệu hợp ngoại lực và hợp nội lực đặt lên chất điểm thứ k là F r ke và F r ki . Phơng trình cơ bản của động lực học viết cho chất điểm đó là: m k ( = )W k r F r ke + F r ki (a) Viết cho N chất điểm của hệ ta sẽ có N phơng trình (a) nghĩa là k = 1 .N Cộng vế với vế của N phơng trình trên với nhau ta sẽ đợc: === += N 1k ki N 1k ke N 1k kk FFWm rrr Theo định luật Niu Tơn các lực tác dụng tơng hỗ bằng nhau về độ lớn, -157- cùng phơng nhng ngợc chiều vì vậy tổng hình học các nội lực ( các lực tác dụng tơng hỗ cuả các chất điểm trong hệ) luôn luôn bằng không. Ta có: F r ki = 0 Còn lại: == = N 1k ke N 1k kk FWm rr Thay ,K d t d vm d t vd mWm N 1k kk N 1k k k N 1k kk v r r r === === Ta có: = = N 1k ke FK dt d r v . Định lý đã đợc chứng minh. Định lý 12.4: Biến thiên động lợng của hệ trong khoảng thời gian từ t o đến t 1 bằng tổng hình học xung lợng các ngoại lực tác dụng lên hệ trong khoảng thời gian đó. k r 1 - k r 0 = (12-22) = N 1k ke S r Chứng minh: Từ phơng trình (12-10) suy ra: d k r = dtF N 1k ke = r Tích phân hai vế biểu thức này tơng ứng với các cận tại thời điểm đầu và cuối sẽ đợc: == 1t to ke 1t to ke 1k ko dtFdtFdk rr ; k r 1 - k r o = s r ke . Định lý đã đợc chứng minh. Chý ý rằng các biểu thức (10-19); (10-20), (10-21) và (10-22) là các biểu [...]... phần vỏ động cơ trên sàn nằm ngang Cho biết vận tốc góc của phần quay không đổi x Nếu ta cố định vỏ động cơ trên sàn bằng bu lông D thì lực cắt lên bu lông đợc xác định nh thế nào Coi ma sát giữa nền và động cơ không đáng kế m B r P A r Q r N m1 Bài giải: D 1 Khi động cơ để tự do trên sàn Ngoại lực tác dụng gồm trọng lợng P và Q của Hình 12.9 động cơ, phản lực pháp tuyến N của sàn lên động cơ Các lực... định lý về chuyển động của khối tâm không đề cập đến nội lực vì vậy có thể kết luận nội lực không làm thay đổi chuyển động của khối tâm Sau đây là một vài ví dụ vận dụng định lý chuyển độngcủa khối tâm và định luật bảo toàn chuyển động của khối lợng Thí dụ 12-3: Trọng tâm phần quay của động cơ điện đặt lệch tâm so với trục quay A một đoạn AB =a Trọng lợng của phần quay là P, trọng lợng của vỏ động cơ. .. góc với M1M2 do đó F12.VM1M2 0 và suy ra: dAki 0 12.4.3 Định lý động năng Định lý 12-7 Vi phân động năng của chất điểm bằng tổng công nguyên tốc của các lực tác dụng lên chất điểm đó -177mv 2 d( )= 2 N dA i (12-48) i =1 r Chứng minh: Xét chất điểm khối lợng m chịu tác động của các lực ( F 1, r r F 2, F n) Phơng trình cơ bản của động lực học viết đợc: r mW = N r Fi hay i= 1 r dv m = dt N r Fi r... có Lúc đầu động cơ đứng yên nên suy ra xo = const Chọn hệ toạ độ sao cho khi ở thời điểm t nào đó góc quay = t còn các điểm A và B có các toạ độ tơng ứng sau: xA = x; xB = x + asin ta có: xC = Qx + P( x + a sin ) =0 Q+P Hay: Qx + Px + Pasin = 0 Suy ra x = P.a.s sin P+Q Đây chính là phơng trình chuyển động dao động ngang của vỏ động cơ trên sàn quanh vị trí ban đầu 2 Khi cố định động cơ trên sàn bằng... có phơng trình vi phân chuyển động của khối tâm: -163- m d2xc = Rx; dt 2 ở đây : xc = Qx A + Px B P+Q Vì vỏ động cơ cố định nên xA = const = 0 còn xB = asin Ta có: Rx = M Rx = d2xC dt 2 = P+Q P a 2 sin t; g P+Q P 2 a sin t; g Đây là lực do bu lông tác dụng lên động cơ, ngợc lại động cơ cũng tác dụng một lực cắt bu lông bằng trị số nhng ngợc chiều với Rx Lực cắt này sẽ lớn nhất khi sint = 1 và bằng... bằng R = 12,8kN có phơng vuông góc với tờng theo chiều hớng vào mặt tờng 12.2.2 Định lý chuyển động của khối tâm - Định lý 12.5:Khối tâm của hệ chuyển động nh một chất điểm mang khối lợng của cả hệ dới tác dụng của lực bằng véc tơ chính của hệ các ngoại lực tác dụng lên hệ n r M WC = Fke (12-23) i =1 Chứng minh: Xét cơ hệ N chất điểm có khối lợng là m1, m2, mN chuyển r r r r r động dới tác dụng của... )= 2 N dA1 i= 1 Định lý đã đợc chứng minh Định lý 12-8: Biến thiên động năng của một chất điểm trên một đoạn đờng bằng tổng công của các lực tác dụng lên chất điểm trên đoạn đờng đó 2 2 mv1 mv 0 = 2 2 N dAi (12-49) i= 1 Chứng minh: Giả thiết chất điểm chuyển động trên đoạn đờng M0M1 Tại r r vị trí ban đầu Mo chất điểm có vận tốc V o.và tại vị trí M1 có vân tốc V 1 Theo định lý 12-7 ta có: mv 2 d(... ban đầu và cuối đoạn đờng MoM1 ta đợc: T1 N N i e dT = dA k + dA k k =1 MoM1 To k =1 MoM1 N Hay T1 - To = Aik + k=1 N A ke k=1 Chú ý: khác với các định lý khác đã trình bày định lý động năng đối với hệ có kể đến nội lực Trừ trờng hợp cơ hệ là vật rắn tuyệt đối mới có thể bỏ qua ảnh hởng của nội lực đến biến đổi của động năng Thí dụ 12-7: Vật nặng treo vào đầu sợi dây có chiều dài l (hình 12-20)... nội lực) N Còn k =1 cuối cùng N r r d r lo = m o Fke dt k =1 ( ) Ta dã chứng minh đợc biểu thức (12-31) Chiếu biểu thức (12-31) lên trục z sẽ đợc biểu thức (12-23) Định lý 12-7 đã đợc chứng minh Chú ý: Nội lực không có trong định lý 12-7 nên có thể nói rằng nội lực không làm thay đổi mô men động lợng của hệ 12.3.3 Định luật bảo toàn mô men động lợng Từ biểu thức (12-31) và (12-32) ta thấy r r r khi... tời khi vật nặng rơi xuống thẳng đứng Biết bán kính quán tính của trống tời là (Hình 12-13) Bài giải: -170Xét cơ hệ gồm trống tời và vật nặng r Các ngoại lực tác dụng lên hệ gồm trọng lực P , r r Q và phản lực R o r Ro O Chọn chiều dơng của trục quay oz hớng vào mặt sau hình vẽ Q áp dụng định lý mô men động lợng ta có: A r r r r r d lz = m z (Fke ) = m z (P) + m z (Q) + m z (R o ) dt v Q Hình 12.13 . -148- Chơng 12 Các định lý tổng quát của động lực học Các định lý tổng quát của động lực học là hệ quả của định luật cơ bản của Niu-Tơn. Nó thiết. động của chất điểm hay cơ hệ với các đại lợng đo tác dụng của lực.lên chất điểm hay cơ hệ đó. Các định lý tổng quát của động lực học cho phép ta nghiên