- 1 - Bài tập tự động hóa quá trình sản xuất (trang 12÷17 ) 1.1.2 Các khái niệm có liên quan đến hệ thống động học (tiếp theo) Một phương trình vi phân cổ điển bao gồm các số hạng phụ thuộc vào biến số và tổng ,hiệu đạo hàm của chúng tạo thành phương trình hàm số đầu vào. Đáp ứng của hệ có thể đúng với điều kiện ban đầu hay sự biến thiên đầu vào. Một ví dụ về dạng phương trình vi phân cổ điển dưới đây : )( 0 2 2 tfa dt dx dt xd =++ x(0 - ) = x 0 (1.1) dt dx (0 - ) = • x 0 Trong công thức trên x(t) là biến đáp ứng, a i là các hằng số phụ thuộc các tham số của hệ. Hàm f(t) chứa các tác động bên ngoài (có thể là ngoại lực …) và x 0 , • x mô tả trạng thái ban đầu và tốc độ ban đầu của hệ ngay tại thời điểm t=0. Chúng ta tính toán hàm x(t) nhằm mô tả đáp ứng của hệ. Chú ý một biến số có dấu chấm ở phía trên miêu tả việc lấy vi phân theo thời gian, do đó phương trình trên có thể được viết lại theo dạng sau xaxax 01 ++ ••• = f(t) (1.2) Ký hiệu 0 - không thường được hay dùng tuy nhiên nó là điều kiện quan trọng để xác định điều kiện ban đầu và giá trị đầu vào, ta coi đó là những gia trị ngay trước và sau thời điểm t = 0. Chúng ta cũng có thể sử dụng toán tử lấy đạo hàm D để miêu tả vi phân theo thời gian (xem lại 1.6) : D= dt d (1.2) Theo đó : Dx= ` dt dx D 2 x= 2 2 dt yd Sử dụng toán tử lấy vi phân ,chúng ta có thể viết lại phương trình 1.2 như sau : [D 2 + a 1 D + a 0 ]x(t) = f(t) (1.4) Thông thường chúng ta hay miêu tả biến đáp ứng của hệ theo dạng chuẩn thông qua đầu vào cũng như tỷ lệ giữa đầu ra - đầu vào. Với hệ tuyến tính, hàm truyền của nó được định nghĩa là tỷ lệ giữa đầu ra với đầu vào của hệ với điều kiện biên ban đầu đã được xác định qua biến đổi LapLace phương trình của hệ. Biến đổi Laplace (xem phụ lục F) của phương trình 1.2 với điều kiện không ban đầu là : [s 2 + a 1 s + a 0 ].X(s) = F(s) (1.5) Biến đổi Laplace sẽ chuyển đổi phương trình của hệ từ một phương trình với biến thời gian là độc lập thành một phương trình có biến s là biến độc lập. Kết quả mô tả thông qua biến s sẽ tiện lợi hơn khi mô tả theo biến thời gian . Giải phương trình (1.5) với tỷ lệ đầu ra - đầu vào cho ta hàm truyền của hệ : - 2 - 01 2 1 )( )( asassF sX ++ = (1.6) Tỷ lệ đầu ra - đầu vào cũng có thể được viết thông qua ký hiệu theo biến thời gian và sử dụng toán tử lấy vi phân D, sắp xếp lại phương trình (1.4) ta được : 01 2 1 )( )( aDaDtf tx ++ = (1.7) Trong biểu thức biến đổi Laplace thì phương trình (1.6) được sử dụng để định nghĩa hàm truyền, ở công thức trên chúng ta tìm hàm truyền theo biến thời gian sẽ thuận lợi hơn. Nếu vi phân của hàm f(t) xảy ra ở vế phải của phương trình vi phân thì tử số của hàm truyền cũng chứa biến s (hay D) và chúng ta thường xem đó là tỷ lệ giữa hai đa thức biến s ( D). Phương trình vi phân trong không gian là tập hợp đồng thời của các phương trình vi phân bậc nhất. Biến trạng thái là các biến phụ thuộc vào từng phương trình vi phân bậc nhất và mô tả đáp ứng động học của hệ thống. Một ví dụ về phương trình vi phân trong không gian được định nghĩa như sau : • x = a 1 x + a 2 y +f(t) (1.8a) • y = a 3 .x.y.sin(x) + g(t) (1.8b) • z = a 4 .x.z + a 5 e -yt – h(t) (1.8c) x(0) = x 0 y(0) = y 0 z(0) = z 0 Bậc của phương trình vi phân hay hệ động học là số đạo hàm độc lập của hệ. Trong một phương trình vi phân thông thường, bậc là hiệu của vi phân cấp cao nhất với vi phân cấp thấp nhất trong phương trình. Phương trình (1.2) là phương trình bậc hai . Trong tập hợp phương trình của một hệ, bậc của nó là số đạo hàm riêng của tất cả các phương trình. Từ phương trình (1.8a) đến phương trình (1.8c) mô tả một hệ ba bậc . Hàm số tuyến tính là hàm số có hai đặc điểm sau : Nếu bạn nhân đối số của hàm với một hằng số thì giá trị của hàm số sẽ được nhân lên bởi chính hằng số đó : F(a.x) = a.F(x) (1.9) Tổng giá trị hàm số đối với các biến bằng giá trị hàm số đối với tổng các biến đó : F(x 1 +x 2 ) = F(x 1 ) + F(x 2 ) (1.10) Chúng ta có thể kết hợp hai đặc tính trên như sau : F(a 1 x 1 +a 2 x 2 ) = a 1 .F(x 1 ) + a 2 .F(x 2 ) (1.11) Theo đó chỉ có hàm số tuyến tính là một đường thẳng đi qua gốc toạ độ; Dạng y = m.x +b không phải là hàm tuyến tính tuân theo các điều kiện trên . Một tổ hợp tuyến tính của các biến số được tạo ra từ tổng các tích của chúng. Ví dụ, L = ax+by, ở đây a, b là các hằng số, là một tổ hợp tuyến tính của các biến x và y. Một phương trình tuyến tính được tạo ra từ một tổ hợp tuyến tính và các đạo hàm của nó. Một phương trình vi phân tuyến tính là một phương trình được tạo ra từ một tổ hợp tuyến tính của các đạo hàm của các biến hệ thống. Ví dụ ,L = ax +b • x + c •• x , ở đây a,b và c là các - 3 - hằng số, là phương trình vi phân tuyến tính, và các phương trình (1.1), (1.2), (1.8a) là các phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng . Một hệ tuyến tính được miêu tả bởi phương trình đại số tuyến tính và phương trình vi phân tuyến tính. Trái lại một hệ phi tuyến bao gồm tổ hợp không tuyến tính của các biến và đạo hàm. Ví dụ về các hàm phi tuyến là tích của các biến số như bình phương, lập phương của các biến. Phương trình (1.8b) và (1.8c) là ví dụ về phương trình vi phân không tuyến tính. Nghiệm giải tích của phương trình vi phân là biểu thức toán học của các biến số như một hàm phụ thuộc thời gian và có thể chứa các hàm mũ, hàm lượng giác sin (cos) hay bất kì hàm nào khác. Giải một phương trình vi phân theo phương pháp giải tích đòi hỏi phải có kiến thức về điều kiện ban đầu và đầu vào, nó như là hàm hiện của thời gian. Nghiệm giải tích được tìm bằng cách tận dụng các kĩ thuật giải phương trình vi phân cổ điển hay sử dụng kỹ thuật biến đổi Laplace (Xem phụ lục E và F để nắm bắt các phương pháp trên) . Việc tìm nghiệm phương trình vi phân tuyến tính có thể dễ dàng và các nghiệm giải tích của chúng có thể dễ dàng tìm được bằng cách ứng dụng rộng rãi các phương pháp đã được thừa nhận và được giới thiệu ở phần phương trình vi phân cơ bản. Ngược lại với hệ phi tuyến, loại trừ các hệ bậc một ,chỉ xét tới các hệ có bậc từ hai trở lên không thể giải bằng phương pháp giải tích. Nếu phương pháp giả tích là không khả thi với hệ phi tuyến thì nghiệm số gần đúng của phương trình vi phân không tuyến tính có thể tìm được bằng các phương pháp giả thiết gần đúng. Chúng ta gọi sự gần đúng là cách giải có sử dụng máy điện toán . Một đáp án có dùng tới máy điện toán của phương trình vi phân có thể tìm ra bằng cách tích phân có sử dụng máy tính số. Tích phân số là một quá trình sử dụng tin học để tính một nghiệm gần đúng về một số nguyên của một hàm số có chứa đạo hàm bằng phương pháp số. Phương pháp phổ biến để tìm nghiệm phương trình vi phân là sử dụng số gia nhỏ theo thời gian. Theo đó nghiệm của phương trình vi phân chỉ là những khoảng thời gian rời rạc. Phương pháp có sử dụng máy điện toán nói chung là tận dụng để mô tả trạng thái không gian của phương trình vi phân. Nói chung tính toán đáp ứng của một hệ thống động học theo cách này gọi là mô phỏng số (phương pháp số) . Trong cách tính tương tự thì phương trình vi phân được mô tả bởi một mối quan hệ tuyến tính hay phi tuyến của các thành phần điện và máy tích phân điện tử (tính toán khuyếch đại các thông tin phản hồi). Từ đó phương trình điều khiển hệ thống điện cũng như các phương trình điều khiển hệ thống động học đều được xem xét kĩ lưỡng, khi có một tín hiệu tương tự được thiết lập giữa hai hệ thống. Máy tích phân điện tử có thể giải được phương trình vi phân bằng cách thực hiện các hoạt động động học về điện tương ứng để cho hệ thống có thể hiểu được. Rất nhiều hệ thông có thể mô phỏng bằng cách tạo ra tín hiệu tương tự giữa tín hiệu hiển thị là Vol(v) của một máy tính tương tự và nghiệm của phương trình vi phân được giải . 1.2 Mô hình hoá hệ thống động học 1.2.1 Các bước trong quá trình mô hình hoá và mô tả hệ thống động học Hình 1.5 minh hoạ một vài giai đoạn liên quan đến mô hình hoá hệ thông động học. Bước đầu tiên là quan tâm tới hệ thông động học thực tế. Nó phải có tất cả các đáp ứng động học tiêu biểu tương ứng một cách chính xác với hoạt động của hệ tuyến tính hay phi - 4 - tuyn v cỏc quan h ng hc mc nhiờn xut hin ca h thng .H thng thc t, tt nhiờn l phi cú nhng ỏp ng thc t m chỳng ta cn xỏc nh . Bc hai l s nhn thc ca ngi thit k v h thng v cỏc thnh phn ng hc tiờu biu ca nú. Mụ hỡnh ny cú th b qua mt s cỏc thnh phn phi tuyn hay cỏc thnh phn ng hc bc cao nhm n gin hoỏ. Tuy nhiờn h thng thc phi cha tt c cỏc tỏc ng v cỏc b phn cu thnh. V vic ny s nhn thc ca ngi thit k cú th khụng miờu t ỳng mt h thng thc. Bc ba l mụ hỡnh hoỏ toỏn hc h thng bng phng trỡnh vi phõn nhn c t vic bo ton cỏc c tớnh theo mt quy tc phự hp. Nu h l tuyn tớnh thỡ vic phỏt trin mụ hỡnh toỏn hc phự hp l khỏ d dng. Tuy nhiờn nu h l phi tuyn thỡ mụ hỡnh toỏn hc s cha cỏc phộp xp x nhm n gin húa thut toỏn. V iu ny phng trỡnh cú th miờu t khụng chớnh xỏc nhn thc ca ngi thit k v h thng hin ti . Bc bn l tớnh toỏn ỏp ng ca h thng .ỏp ng ca h mụ t bng phng phỏp gii tớch l li gii chớnh xỏc ca phng trỡnh. Dự vy vn tn ti mt vi li nh gia ỏp ng c tỡm theo phng phỏp s hay phng phỏp tng t v nghim thc ca phng trỡnh Bc th nm liờn quan n vic phõn tớch quỏ trỡnh thc hiờn ca h thng c th hin qua nhng i lng o lng c trng. iu ny bn n phng phỏp phõn tớch tn s v thi gian ca h ỏnh giỏ hot ng ca h . Mt trong nhng trỏch nhim quan trng nht ca ngi thit k l quỏ trỡnh kim tra s kt hp cỏc tr s ca cỏc thnh phn xỏc nh hot ng ca h v iu khin tr s ca cỏc thnh phn cho ti khi t c hot ng mong mun. Cỏc th tc gim v kim tra cú th c thc hin bng cỏch lp rỏp phn cng hay bng mụ hỡnh toỏn. Cỏi thun li ca mụ hỡnh hoỏ v phõn tớch toỏn hc l thng nhanh hn v khụng t bng th nghiờm vi cỏc phn cng. Theo ú quỏ trỡnh lp li hỡnh (1.5) trong ú h thng c chnh sa li l mt phn quan trng ca quỏ trỡnh thit k . Mt iu quan trng c n chỳ ý rng vỡ mụ hỡnh hoỏ cú th n gin (bng cỏch b i cỏc thnh phn phi tuyn v bc cao) hay xp x, vic tớnh toỏn ỏp ng h thng t nghim gii tớch ca phng trỡnh vi phõn cú th b qua trong quỏ trỡnh tớnh ỏp ng ca h. Nu mụ hỡnh toỏn hc cú cha phộp xp x thỡ tỡm nghim gii tớch l hai bc ó c thc hin trong quỏ trỡnh xỏc nh ỏp ng ca h thng hin ti . Khi ỏp ng c tỡm bng mụ phng s hay mụ phng tng t thỡ ó thc hin c ba bc trong ỏp ng ca h thng hin ti, t õy cú th cú mt vi sai lch trong vic tớnh tớch phõn hay cỏc ỏp ng in v mụ hỡnh toỏn hc cú th khụng cha cỏc h thng cú bc cao hn . Vật thể có thật Hệ thống động học Mô hình của sự nhận thức về hệ thống Biểu diễn toán học Tính toán đáp ứng Phân tích hoạt động Hình 1.5 - 5 - Khi ta nói đến “ hệ thống “ tức là đề cập đến hệ thống có thực hay mô hình toán học của hệ thống đó. Thông thường khi đề cập đến “đáp ứng của hệ thống” có nghĩa là ta nói tới đáp ứng của hệ thống thực hay sự tính toán hoặc mô phỏng đáp ứng của hệ thống. Chúng ta cần phải chú ý tới sự khác biệt trên . Mô hình hoá hệ thống ,tính toán đáp ứng của hệ ,phân tích hoạt động của hệ thống và thiết kế lại hệ thống cho phù hợp là các phần trong chu trình hoàn thành một công cụ khoa học. Trừ các phần lí thuyết trìu tượng, không có bước đơn lẻ nào có giá trị nếu không hoàn thành theo chu trình đó. Sau khi quá trình trên hoàn tất nêu đáp ứng của hệ thống không hiển thị được thì hệ và mô hình của nó cần phải sửa chữa và các thành phần đang tồn tại cũng phải điều chỉnh lại theo đầu ra của hệ thống . 1.2.2 Tiện ích của việc mô phỏng và mô hình hoá hệ thống Thuận lợi chủ yếu của mô hình hoá một hệ thống và phân tích đáp ứng của nó là cho phép ta biết trước hoạt động của nó trước khi tạo ra nó. Điều này đôi khi gọi là “nguyên mẫu thực”. Chúng ta cũng có thể phân tích hoạt động của một hệ thống đã tồn tại nhằm cải tiến những hoạt động tĩnh hay động của hệ thống hay chúng ta có thể xác định điều gì xảy ra với hệ khi điều đầu vào khác thường hoặc xác định những điều kiện không làm cho hệ thống thực bị nguy hiểm . Ví dụ nếu chúng ta đang thiết kế một hệ thống mới và muốn có được mức độ hoạt động chính xác, chúng ta có thể lựa chọn những thành phần có kích thước chính xác để cho ta kết quả mong muốn. Mặt khác nếu hệ thống đã tồn tại và ta muốn cải tiến hoạt động của nó ,mô hình hoá và phân tích sẽ giúp ta xác định những thành phần nào có thể thay đổi và khoảng thay đổi cần thiết. Nếu chúng ta muốn giảm các thành phần tiêu biểu của hệ, mô hình hoá không chỉ giúp ta biết được thành phần nào ảnh hương đến mà còn chỉ cho ta biết làm như nào để thay đổi chúng sao cho đạt được kết quả mong muốn. Nếu chúng ta đã tìm hiểu về những gì sẽ xảy ra đối với hệ thống khi đầu vào hay điều kiện khác thường như sự không hoạt động của động cơ thuỷ lực phụ trên hệ thông điều khiển của máy bay hay một phương tiện đường không sau đó mô hình hoá và phân tích nó sẽ không làm cho chúng ta mất nhiều triệu $ khi rủi ro trong việc xác định trạng thái hoạt động của hệ thống . Một mô hình toán học tốt của hệ thống động học là có thể cung cấp ngay cho chúng ta hoạt động của các bộ phận cấu thành nên hệ thống và các thành phần động học tiêu biểu mà không phải phân tích nhiều. Nếu chúng ta gặp những thành phần động học tiêu biểu quen thuộc thì ta có thể đoán nhận được đáp ứng của hệ thống, đủ truyền đạt những gì cần biết của chúng ta về đáp ứng của hệ, hay ta muốn tính toán t ần số và đáp ứng thời gian của hệ để cung cấp thêm những hiểu biết rõ về nó . Tất nhiên nghiệm của phương trình vi phân có thể không mô tả chính xác hệ thống thực tế một cách rõ ràng, mặc dù vậy thì việc mô phỏng cũng chỉ ra được phương hướng của đáp ứng để chúng ta có thể biết được thành phần nào thay đổi được hay xấp xỉ chúng như thế nào để cho ta k ết quả mong muốn . . - 1 - Bài tập tự động hóa quá trình sản xuất (trang 12 17 ) 1. 1 .2 Các khái niệm có liên quan đến hệ thống động học (tiếp theo) Một phương trình vi. thể kết hợp hai đặc tính trên như sau : F(a 1 x 1 +a 2 x 2 ) = a 1 .F(x 1 ) + a 2 .F(x 2 ) (1. 11) Theo đó chỉ có hàm số tuyến tính là một đường thẳng đi