Đề thi chọn học sinh giỏi thcs cấp tỉnh Môn: Toán 9Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1 (4 điểm) a/ Tính giá trị biểu thức: P = 23 625)625( + + b/ Giải phơng trình: x 4 - 30x 2 + 31x - 30 = 0 c/ Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số dơng thoả mãn a + c = 2b thì ta luôn có: ca cbba + = + + + 211 d/ Chứng minh rằng: x 3m+1 + x 3n+2 + 1 chia hết cho x 2 + x + 1 với mọi số tự nhiên m,n. Câu 2 ( 4 điểm) a/ Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: 2x 2 + 4x = 19 - 3y 2 Tìm giá trị của x để đẳng thức sau là đẳng thức đúng : b. Giải phơng trình: 4524428183 22 +++ xxxx = x 2 + 6x -5 c/ Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = 12 2 68 2 3 + + xx xx d/ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = 1 24 2 ++ xx x Câu 3 (3 điểm) Xét đa thức P(x) = x 9 + x 99 a/ Chứng minh rằng P(x) luôn luôn chẵn với mọi x nguyên dơng b/ Chứng minh rằng P(2) là bội số của 100 c/ Gọi N là số nguyên biểu thị số trị của P(4). Hỏi chữ số hàng đơn vị của N có thể là chữ số 0 đợc không ? Tại sao ? Câu 4 (3 điểm) Cho góc nhọn xOy và điểm M nằm trong góc đó. Hãy tìm trên Ox, Oy các điểm A, B sao cho chu vi tam giác MAB nhỏ nhất. Câu 5 (3 điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn với 3 đờng cao AA, BB, CC. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng: 1 ' ' ' ' ' ' =++ CC HC BB HB AA HA Câu 6 (3 điểm) a. Cho 3 số dơng a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 9 111 ++ cba b. Cho 3 số dơng a, b, c thoả mãn điều kiện a + b > c và |a - b| < c. Chứng minh rằng phơng trình a 2 x 2 + (a 2 + b 2 - c 2 )x + b 2 = 0 luôn luôn vô nghiệm. c. Cho tam giác ABC nhọn có 3 đờng cao: AA 1 , BB 1 , CC 1 đồng qui tại H. Chứng minh rằng: 6 111 ++ HC HC HB HB HA HA . Dấu "=" xảy ra khi nào? -------- Ht--------- Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh Môn: Toán 9 Câu 1 1 a/ P = 123)23)(23( 23 2 )23( 2 )23( ==+= + + (1 điểm) b/ x 4 -30x 2 + 31x - 30 = 0 <=> (x 2 - x + 1)(x - 5)(x + 6) = 0 (*) ( 0,25 điểm) Vì x 2 - x + 1 = (x - 1/2) 2 + 1/4 > 0 ( 0,25 điểm) => (*) <=> (x - 5)(x + 6) = 0 <=> = = =+ = 6 5 06 05 x x x x (1/2 điểm) c/ Ta có: VT = cb cb ba ba + (*) (1/4 điểm) Từ a + c = 2b => a = 2b c thay vào (*) ta có (1/4 điểm) VT = cb ca cb cbba cb cb bcb ba = + = + 2 (**) (1/4 điểm) Thay b = 2 ca + vào (**) ta có VT = = + = = + caca ca cca ca 2)(2 2 2 VP (Đpcm) (1/4 điểm) d. Ta có x 3m+1 + x 3n+2 + 1 = x 3m+1 - x + x 3n+2 - x 2 + x 2 + x + 1 (0,25 điểm) = x(x 3m - 1) + x 2 (x 3n - 1) + (x 2 + x + 1) (0,25 điểm) Ta thấy x 3m - 1 và x 3n - 1 chia hết cho x 3 - 1 do đó chia hết cho x 2 + x + 1 (0,25 điểm) x 3m+1 + x 3n+2 + 1 chia hết cho x 2 + x + 1 (0,25 điểm) Câu 2 a/ Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: 2x 2 + 4x = 19 - 3y 2 <=> 4x 2 + 8x + 4 = 42 - 6y 2 <=> (2x + 2) 2 = 6(7 - y 2 ) (1/4 điểm) Vì (2x + 2) 2 0 => 7 - y 2 0 => 7 y 2 mà y Z => y = 2;1;0 (1/4 điểm) + Với y = 1 => (2x + 2) 2 = 6(7 - 1) <=> 2x 2 + 4x - 16 = 0 => x 1 = 4; x 2 = -2. + Với y = 2 =>2x 2 + 4x - 7 = 0 => x 1 , x 2 Z (loại) (1/4 điểm) + Với y = 0 =>2x 2 + 4x - 19 = 0 => x 1 , x 2 Z (loại) Vậy cặp nghiệm (x, y) của phơng trình là: (4; 1); (4; -1); (-2; 1); (-2; -1). b. Ta có: 9)3(41)3(3 22 +++ xx = 4 (x-3) 2 Vì 3(x-3) 2 0 nên 1)3(3 2 + x 1 Tơng tự : 9)3(4 2 + x 3 Do đó 9)3(41)3(3 22 +++ xx 1 + 3 = 4 Mặt khác : 4 (x - 3) 2 4 Vậy vế trái = khi và chỉ khi x 3 = 0 Từ đó ta có x = 3 Vậy nghiệm phơng trình x = 3 c/ Có A = 2 )1( 1 1 2 3 2 )1( 1)1(2)12 2 (3 + = ++ x x x xxx (1/2 điểm) Đặt y = 1 1 x => A = y 2 2y + 3 = (y 1) 2 + 2 2 (1/2 điểm) => min A = 2 => y = 1 1 1 1 = x => x = 2 Vậy min A = 2 khi x = 2 (1/2 điểm) 2 d/ Nhận xét rằng nếu x = 0 thì M = 0, giá trị này không phải là giá trị lớn nhất. Vậy M đạt giá trị lớn nhất với x khác 0. Chia cả tử và mẫu cho x 2 ta đợc: M = 1 2 1 2 1 ++ x x (1/2 điểm) M đạt giá trị lớn nhất khi 2 1 2 x x + nhỏ nhất => 2 1 2 x x + = 2 => x = 1 Vậy M lớn nhất bằng 1 / 3 khi x = 1 Câu 3 Ta có P(x) = (x 3 ) 3 + (x 33 ) 3 = (x 3 + x 33 )( x 6 x 36 + x 66 ) = (x + x 11 )(x 2 x 12 + x 22 )( x 6 x 36 + x 66 ) (1/4 điểm) a/ Với x chẵn thì x 9 , x 99 đều chẵn x lẻ thì x 9 , x 99 đều lẻ => x 9 + x 99 đều chẵn với mọi x nguyên dơng (1/4 điểm) b/ Ta có x 11 = 2048 nên x + x 11 = 2050 (1/4 điểm) Vì x = 2 nên các thừa số còn lại đều chẵn do đó p là bội của 4100 Vậy P(2) chia hết cho 100 (1/4 điểm) c/ Ta có N = P(4) = 4 9 + 4 99 = (2 9 ) 2 + (2 99 ) 2 = (2 9 + 2 99 ) 2 2 . 2 9 . 2 99 (1/4 điểm) Theo câu b thì số bị trf có chữ số hàng đơn vị là 0 mà số trừ lại có số hàng đơn vị khác 0 hay hiệu của chữ số hàng đơn vị khác 0 Vậy chữ số đơn vị của N khác 0. Câu 4 - Dựng A đối xứng với M qua Ox (1 điểm) - Dựng B đối xứng với M qua Oy - Nối AB cắt Ox tại A, cắt Oy tại B (1 điểm) => AM = AA (A Ox trung trực của AM) BM = BB (B Oy trung trực của BM) (1/2 điểm) => P (AMB) = AA + AB + BB nhỏ nhất (vì A, A, B, B thẳng hàng) Câu 5: + Có S ABC = 2 1 BC . AA (1/2 điểm) + Có S HBC = 2 1 BC . HA (1/2 điểm) + Có S HAC = 2 1 AC . HB (1/2 điểm) + Có S HAB = 2 1 AB . HC (1/2 điểm) + AA' HA' ABC S HBC S = ; BB' HB' ABC S HAC S = ; CC' HC' ABC S HAB S = (1/2 điểm) => 1 ABC S ABC S ABC S HAB S HAC S HBC S == ++ Vậy 1 ' ' ' ' ' ' =++ CC HC BB HB AA HA (1/2 điểm) Câu 6 3 x y O M A' B' A B A B C C' B' A' H H C 1 C B 1 B A 1 A a. Do a + b + c = 1 nên ++= ++= ++= c b c a c b c b a b a c a b a 1 1 1 1 1 1 (1/2 điểm) Vậy 922233 111 =+++++++++=++ b c c b a c c a a b b a cba Dấu đẳng thức xảy ra a = b = c = 1/3 b. Tính biệt số = [(a b) 2 c 2 ][(a + b) 2 c 2 ] (1/2 điểm) Vì a + b > c > 0 và 0 < | a b| < c nên (a b) 2 < c 2 => (a b) 2 c 2 < 0 và (a + b) 2 > c 2 => (a + b) 2 c 2 > 0 Do vậy < 0 => Phơng trình vô nghiệm (1/2 điểm) c. Do tam giác ABC nhọn, nên H nằm trong tam giác. A * Đặt S = S ABC ; S 1 = S HBC ; S 2 = S HAC ; S 3 = S HAB . Ta có: 11 1 1 1 1 1 2 1 2 1 HA HA HA AA BCHA BCAA S S +=== Tơng tự: 12 1 HB HB S S += 13 1 HC HC S S += Suy ra: 1 1 1 1 2 3 1 1 1 3 HA HB HC S HA HB HC S S S + + = + + ữ 1 2 3 1 2 3 1 1 1 ( ) 3S S S S S S = + + + + ữ Theo bất đẳng thức Côsy: 1 2 3 1 2 3 1 1 1 1 1 1 ( ) 9 9 3 6 S S S S S S HA HB HC HA HB HC = + + + + ữ + + = Dấu "=" xảy ra khi tam giác ABC đều 4 . 9 )3( 41 )3( 3 22 +++ xx = 4 (x -3) 2 Vì 3( x -3) 2 0 nên 1 )3( 3 2 + x 1 Tơng tự : 9 )3( 4 2 + x 3 Do đó 9 )3( 41 )3( 3 22 +++ xx 1 + 3 = 4 Mặt khác : 4 (x - 3) . nhất bằng 1 / 3 khi x = 1 Câu 3 Ta có P(x) = (x 3 ) 3 + (x 33 ) 3 = (x 3 + x 33 )( x 6 x 36 + x 66 ) = (x + x 11 )(x 2 x 12 + x 22 )( x 6 x 36 + x 66 )