sở gd-đt quảng bình kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 Năm học : 2003 - 2004 Đề chính thức Môn : toán (vòng 1) Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (2,5 điểm) : Giải phơng trình : xlog5)x(2log 23 =+ Câu 2 (2,5 điểm) : Cho x, y, z là ba số thực thoả mãn điều kiện : x 2 + y 2 + z 2 = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = xy + yz + 2zx Câu 3 (2,5 điểm) : Cho dãy số (u n ) xác định nh sau : * 2 n 1n1 Nn,1 2 u u; 3 1 u == + Tìm n n ulim ? Câu 4 (2,5 điểm) : Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2a, BC = a 2 . Dựng về phía ngoài hình chữ nhật đó một nửa đờng tròn đờng kính AB. Gọi M là một điểm tuỳ ý trên nửa đờng tròn vừa dựng (M không trùng với A và M cũng không trùng với B). Các đờng thẳng MD, MC cắt AB tại N, L. Chứng minh rằng : AL 2 + BN 2 = AB 2 -1- Họ và tên : . Số BD : . sở gd-đt quảng bình kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 Năm học : 2003 - 2004 Đề chính thức Môn : toán (vòng 2) Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (2,5 điểm) : Tính tổng : = + ++= 2003 1n 22 1)(n 1 n 1 1S Câu 2 (2,5 điểm) : Cho p là số nguyên tố và a, b là các số nguyên dơng thoả mãn : bap 111 += Tìm tất cả các giá trị của p để a hoặc b là những số chính phơng ? Câu 3 (2,5 điểm) : Không dùng máy tính và bảng số, chứng minh bất đẳng thức : 7 3cos 14 2sin 14 sin1 > Câu 4 (2,5 điểm) : Trong không gian cho hai tia ax, By vuông góc với nhau và nhận AB = a làm đờng vuông góc chung. Trên ax, By lần lợt lấy các điểm M, N di động sao cho AM + BN = MN (điểm M không trùng với điểm A và điểm N không trùng với điểm B). Gọi I là trung điểm của AB và H là hình chiếu vuông góc của I trên MN. Chứng minh rằng, điểm H luôn luôn nằm trên một cung tròn cố định khi M, N di động theo quy luật trên. sở gd-đt quảng bình kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 Năm học : 2003 - 2004 -2- Họ và tên : . Số BD: Đề dự bị Môn : toán (vòng 1) Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (2,5 điểm) : Giải phơng trình : xlog)3(xlog 6 xlog 2 6 =+ Câu 2 (2,5 điểm) : Chứng minh bất đẳng thức : 2n,Nn; 13n 1 2n 12n 6 5 4 3 2 1 * + < ìììì Câu 3 (2,5 điểm) : Cho dãy số (u n ) có công thức tổng quát nh sau : 4 22 n n 1)(n3.22.1 u ++++ = Tính giới hạn : = n n ulimL ? Câu 4 (2,5 điểm) : Trong không gian cho hai tia ax, By vuông góc với nhau và nhận AB = a làm đờng vuông góc chung. Trên ax, By lần lợt lấy các điểm M, N di động sao cho đoạn MN có độ dài không đổi d. a/ Chứng minh rằng tổng AM 2 + BN 2 là một số không đổi và góc giữa AB và MN cũng không đổi. b/ Dựng đờng vuông góc chung IJ của AB và MN. Chứng minh rằng độ dài của IJ tỷ lệ với tích AN.BM . -3- Họ và tên : . Số BD : . sở gd-đt quảng bình kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 Năm học : 2003 - 2004 Đề dự bị Môn : toán (vòng 2) Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (2,5 điểm) : Cho a, b, c [-1 ; 2] và a + b + c = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = a 2 + b 2 +c 2 Câu 2 (2,5 điểm) : Cho : 0x,a x 1 x =+ Tính tổng : 13 13 x 1 xS += Câu 3 (2,5 điểm) : Cho s = a 1 + a 2 + . + a n và p = 5 n 5 2 5 1 aaa +++ . Chứng minh rằng nếu s chia hết cho 30 thì p cũng chia hết cho 30. Câu 4 (2,5 điểm) : Cho tam giác đều ABC cạnh a , các nửa đờng thẳng Bx và Cy lần lợt vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại B, C và ở về cùng một phía đối với mặt phẳng ấy. Trên Bx và Cy lấy BM = u , CN = v . Gọi P là trung điểm của MN. a/ Tìm hệ thức liên hệ giữa u và v để tam giác AMN vuông tại M. b/ Chứng minh rằng khi M, N biến thiên sao cho CN = 2BM thì mặt phẳng (AMN) luôn luôn cắt mặt phẳng (ABC) theo một đờng thẳng cố định. Xác định đờng vuông góc chung của giao tuyến cố định này với đờng thẳng Cy . -4- Họ và tên : . Số BD : . sở gd-đt quảng bình kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 Năm học : 2004 - 2005 đề chính thức Môn : Toán - vòng 1 Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 ( 2,5 điểm ) : Cho phơng trình : cos2x - (2m + 1)cosx + m + 1 = 0 (1) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm x 2 3 ; 2 ? Câu 2 ( 2,5 điểm ) : Trong không gian cho tam diện vuông Sxyz . Trên các tia Sx, Sy, Sz lần lợt lấy các điểm A, B, C không trùng với S . Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) và (O; R) là đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng, điểm H là trực tâm của tam giác ABC và ta có hệ thức : OH 2 + 2.SH 2 = R 2 Câu 3 ( 2,5 điểm ) : Cho a, b, c là các số thực không nhỏ hơn 2 . Chứng minh bất đẳng thức : 3clogblogalog 2 b)(a 2 a)(c 2 c)(b ++ +++ Câu 4 ( 2,5 điểm ) : Tìm tất cả các cặp số hữu tỷ (x ; y) thoả mãn : 3y3x332 = sở gd-đt quảng bình kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 Năm học : 2004 - 2005 đề chính thức Môn : Toán - vòng 2 -5- Họ và tên : Số báo Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 ( 2,0 điểm ) : Giải hệ phơng trình : =+ +=++ 6yx 232yxyx 22 Câu 2 ( 2,0 điểm ) : Tính giới hạn : 2 0x x os3xcosxcos2xc1 limL = Câu 3 ( 2,0 điểm ) : Giải bất phơng trình : ( ) ( ) ( ) 1322347231526 xxx <+++ Câu 4 ( 2,0 điểm ) : Cho 2005 số thực không âm u 1 , u 2 , . , u 2005 thoả mãn các điều kiện : a) u 1 = u 2005 = 2005 b) 1n 2 1n 2 n1n uuuu + += , với n N và 2 n 2004 . Hãy xác định u 2003 ? Câu 5 ( 2,0 điểm ) : Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn. Gọi P là một điểm nằm trên nửa mặt phẳng không chứa A với bờ là đờng thẳng BC . Chứng minh rằng, nếu PB 2 + AC 2 = PC 2 + AB 2 thì AP BC . -6- Họ và tên : Số báo sở gd-đt quảng bình kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 Năm học : 2004 - 2005 Môn : TOáN - vòng 1 đề dự bị Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (2,5 điểm): Giải phơng trình : 12x2x2x 2 = Câu 2 (2,5 điểm): Chứng minh bất đẳng thức : ( ) +>+ x x 3 x 2 23log)2(1log Câu 3 (2,5 điểm): Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : f(x, y) = cosx + cosy - cos(x + y) Câu 4 (2,5 điểm): Trong tất cả các tứ giác lồi ABCD có chu vi bằng 1 (đơn vị độ dài), tìm tứ giác sao cho biểu thức : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 2 4 2 4 2 4 ABDA DA DACD CA CDBC BC BCAB AB P + + + + + + + = đạt giá trị nhỏ nhất. sở gd-đt quảng bình kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 Năm học : 2004 - 2005 -7- Họ và tên : . Số BD : Môn : TOáN - vòng 2 đề dự bị Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (2,5 điểm): Giải phơng trình : ( ) ( ) 2x xx 253533 + =++ Câu 2 (2,5 điểm): Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : x)x)(6(3x6x3)x( +++= f , với [ ] 6;3x Câu 3 (2,5 điểm): Cho dãy số (u n ) xác định nh sau : 1xa) 2 = 3n,Nn;u11 2 1 ub) 2 n1n = + 1) Chứng minh rằng tồn tại n n ulim và tìm giới hạn đó ? 2) Chứng minh rằng tồn tại duy nhất số A sao cho n n n A ulim L = là một số khác 0 . Câu 4 (2,5 điểm): Cho hai đờng thẳng vuông góc x và y nhận AB làm đờng vuông góc chung . Các điểm C, D lần lợt di chuyển trên x, y sao cho CD có độ dài không đổi bằng k . a) Chứng minh : Tổng AC 2 + BD 2 có độ dài không đổi và góc giữa AB và CD không đổi. b) Tìm quỹ tích trung điểm M của CD khi C, D lần lợt di chuyển trên x và y . -8- Họ và tên : . Số BD : sở gd-đt quảng bình kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 Năm học : 2005 - 2006 Đề chính thức Môn : toán (vòng 1) Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1 (2,5 điểm) : Giải phơng trình : 1x2x 1x2x 22x log 26 26 2 2005 = ++ + Bài 2 (2,5 điểm) : Cho a, b, c l 3 số thực thoả mãn các điều kiện : a 2 + b 2 + c 2 = 2 v ab + bc + ca = 1 . Chứng minh rằng: 3 4 ; 3 4 ,, cba Bài 3 (2,5 điểm) : Tính giới hạn: Bài 4 (2,5 điểm) : : Cho a, b, c l độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh bất đẳng thức: cbabacacbcba +++++++ -9- Họ và tên : . Số BD : . sở gd-đt quảng bình kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 Năm học : 2005 - 2006 Đề chính thức Môn : toán (vòng 2) Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1 (2,5 điểm) : Cho x và y là các số thực liên hệ với nhau bởi hệ thức: 36x 2 + 16y 2 9 = 0 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = y 2x + 5 Bài 2 (2,5 điểm) : Giải phơng trình: 2910252 22 =++++ xxxx Bài 3 (2,5 điểm) : Cho dãy số (u n ) xác định nh sau: += = + Nnu u u u n n n ; 2005 1 2 1 1 Tính giới hạn: +++ + + 13 2 2 1 lim n n n u u u u u u Bài 4 (2,5 điểm) : Cho tam giác ABC có 3 góc đều nhọn nội tiếp trong đờng tròn (O). Các tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại A và C cắt tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại B tơng ứng ở các điểm M, N. Kẻ đờng cao BP của tam giác ABC (điểm P nằm trên AC). Chứng minh rằng đờng thẳng BP là phân giác của góc MPN. sở gd-đt quảng bình kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 -10- Họ và tên : . Số BD: [...]... và v để tam giác AMN vuông tại M b/ Chứng minh rằng khi M, N biến thi n sao cho CN = 2BM thì mặt phẳng (AMN) luôn luôn cắt mặt phẳng (ABC) theo một đờng thẳng cố định Xác định đờng vuông góc chung của giao tuyến cố định này với đờng thẳng Cy Họ và tên : Số BD : -12- sở gd-đt quảng bình kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 Năm học : 2006 - 2007 Môn : toán (vòng 1) Đề chính thức Thời gian... ; n N, n 2 n 2 n -1 u n -1 Tìm nlim u n ? + hết Họ và tên: Số BD: Số BD: -15- sở gd-đt quảng bình kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 Năm học : 2007 - 2008 Môn : toán (vòng 2) Đề chính thức Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1 (2,5 điểm) : Tính tổng: S = 1+ 1 1 + + 12 2 2 1+ 1 1 + +L + 22 32 1+ 1 1 + 2 2007 20082 Bài 2 (2,5 điểm) : Tìm giá trị của a để hệ phơng trình sau... (2,5 điểm) : : Cho dãy số (un) đợc xác định nh sau: u1 = u 2 = 1 u n + 1 = u n + u n 1 ; n N, n 2 Tìm nlim u n ? + Họ và tên : Số BD : -13- sở gd-đt quảng bình kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 Năm học : 2006 - 2007 Môn : toán (vòng 2) Đề chính thức Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1 (2,5 điểm) : Cho tam giác ABC Chứng minh rằng nếu tg A B C , tg... f (12) + f ( 8) + 22 10 Bài 3 (2,5 điểm) : Cho các số thực a, b, c nhất của biểu thức P = a2 + b2 + c2 [1 ; 2] và a + b + c = 0 Tìm giá trị lớn Bài 4 (2,5 điểm) : Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đờng tròn tâm O Gọi P là một điểm bất kỳ nằm trên cung nhỏ BC (cung không chứa điểm A) Chứng minh rằng: PA = PB + PC Họ và tên : Số BD: -14- sở gd-đt quảng bình kỳ thi chọn học sinh. .. góc giữa AB và MN cũng không đổi b/ Dựng đờng vuông góc chung IJ của AB và MN Chứng minh rằng độ dài của IJ tỷ lệ với tích AN.BM Họ và tên : Số BD : sở gd-đt quảng bình kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 Năm học : 2005 - 2006 -11- Môn : toán (vòng 2) Đề dự bị Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (2,5 điểm) : Cho a, b, c [-1 ; 2] và a + b + c = 0 Tìm giá trị nhỏ... tâm O Gọi P là một điểm bất kỳ nằm trên cung nhỏ BC (cung không chứa điểm A) Chứng minh rằng: PA = PB + PC Họ và tên : Số BD: -14- sở gd-đt quảng bình kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 Năm học : 2007 - 2008 Môn : toán (vòng 1) Đề chính thức Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1 (2,5 điểm) : Giải phơng trình: 3 9-x + x+3 =4 Bài 2 (2,5 điểm) : Cho các số tự... log 2 (x + 3log x ) = log 6 x 6 Câu 2 (2,5 điểm) : Chứng minh bất đẳng thức : 1 3 5 2n 1 ì ì ì ì < 2 4 6 2n 1 3n +1 ; n N * , n 2 Câu 3 (2,5 điểm) : Cho dãy số (un) có công thức tổng quát nh sau : 2 .12 + 3.2 2 + + (n + 1) n4 L = lim u n Tính giới hạn : ? n un = Câu 4 (2,5 điểm) : Trong không gian cho hai tia ax, By vuông góc với nhau và nhận AB = a làm đờng vuông góc chung Trên ax, By lần lợt lấy . sở gd-đt quảng bình kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 Năm học : 2003 - 2004 Đề chính thức Môn : toán (vòng 1) Thời. : . sở gd-đt quảng bình kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 Năm học : 2003 - 2004 Đề chính thức Môn : toán (vòng 2) Thời