Bài 2: GI I H N C A HÀM SỚ Ạ Ủ Ố I - GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM 1.Định nghĩa Hoạt động 1: Xét hàm số 2 2 2 ( ) 1 x x f x x − = − 1. Cho bi n x nh ng giá tr ế ữ ị khác 1 l p thành dãy s (xậ ố n ), x n →1 nh trong b ng sau:ư ả x x 1 =2 x 2 = x 3 = x 4 = … x n = … →1 f(x) f(x 1 ) f(x 2 ) f(x 3 ) f(x 4 ) … f(x n ) … →? 3 2 4 3 5 4 1n n + Khi đó, các giá trị tương ứng của hàm số f(x 1 ), f(x 2 ), …, f(x n ),…. Cũng lập thành một dãy số mà ta kí hiệu là (f(x n )). a) Chứng minh rằng f(x n ) = 2x n = b) Tìm giới hạn của dãy số (f(x n )). 2 2n n + 2. Chứng minh rằng với dãy số bất kì (x n ), x n ≠1 và x n →1, ta luôn có f(x n )→2. (Với tính chất thể hiện trong câu 2, ta nói hàm số có giới hạn là 2 khi x dần tới 1) 2 2 2 ( ) 1 x x f x x − = − Dưới đây, thay cho các khoảng (a;b), (a; ), Dưới đây, thay cho các khoảng (a;b), (a; ), ( ;b), ta viết chung là khoảng K. ( ;b), ta viết chung là khoảng K. ĐỊNH NGHĨA 1 ĐỊNH NGHĨA 1 Cho khoảng K chứa điểm x Cho khoảng K chứa điểm x o o và hàm số f= f(x) xác và hàm số f= f(x) xác định trên K hoặc trên K\ định trên K hoặc trên K\ {x {x o o }. }. Ta n Ta n ói hàm số y =f(x) có giới hạn là số L khi x dần ói hàm số y =f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới x tới x o o nếu với dãy số (x nếu với dãy số (x n n ) bất kì, x ) bất kì, x n n K\ K\ {x {x o o } v } v à viết à viết x x n n → → x x 0 0 , ta có f(x , ta có f(x n n ) ) → → L. L. Kí hiệu: lim hay f(x) Kí hiệu: lim hay f(x) → → L khi x L khi x → → x x 0 0 +∞ −∞ Ví dụ 1. Cho hàm số f(x) = Chứng minh rằng Giải. Hàm số đã cho xác định trên R\{-2}. Giả sử (x n ) là một dãy số bất kì, thỏa mãn x n -2 và x n →-2 khi n → Ta có: Do đó (Lưu ý rằng, mặc dầu f(x) không xác định tại x= -2, nhưng hàm số lại có giới hạn là -4 khi x → -2). NHẬN XÉT với c là hằng số. 2 4 2 x x − + +∞ ≠ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 lim ( ) lim lim lim 2 4 2 2 n n n n n n n x x x f x x x x + − − = = = − = − + + 2 ( ) 4 lim x f x →− = − 0 0 ; 0 lim lim x x x x c c x x → → = = 2 ( ) 4 lim x f x →− = − Ta thừa nhận định lí sau đây. Định lí 1 a) Giả sử và . Khi đó b)Nếu f(x) 0 và , thì L 0 và (Dấu của f(x) được xét trên khoảng đang tìm giới hạn, với ) ( ) lim o x x f x L → = ( ) lim o x x g x M → = [f(x)+ ( )] lim o x x g x L M → = + [f(x)- ( )] lim o x x g x L M → = − [f(x). ( )] . lim o x x g x L M → = f(x) ( 0) ( ) lim o x x L M g x M → = ≠ Ví dụ 2. Cho hàm số Tìm Giải. Theo định lí 1 ta có 2 1 ( ) 2 x f x x + = 3 ( ) lim x f x → 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ( 1) 1 1 ( ) 2 2 2. . 1 3.3 1 2 3 2. lim lim lim lim lim lim lim lim lim lim lim lim lim x x x x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x → → → → → → → → → → → → → + + + = = = + + = = Ví dụ 3. Tính Giải.Vì (x-1) 0 khi x 1 , nên ta chưa thể áp dụng định lí 1 nêu trên . Nhưng với ta có Do đó : 2 1 2 1 lim x x x x → + − − 1x ≠ 2 2 ( 1)( 2) 2 1 1 x x x x x x x + − − − = = + − − 2 1 1 1 2 ( 1)( 2) ( 2) 3 1 1 lim lim lim x x x x x x x x x x → → → + − − − = = + = − − ≠ ≠ [...]... x + 2, x ≥ 1 f ( x) =  2  x − 3, x < 1 lim f ( x), lim f ( x), lim f ( x)(Nếu có ) Giải Ta có , x 1 x 1+ x 1 f ( x) = lim( x 2 − 3) = 12 − 3 = −2 lim x 1 x 1 lim f ( x) = lim(5 x + 2) = 5 .1 + 2 = 7 x 1+ x 1+ Như vậy, khi x dần tới 1 hàm số y=f(x) có giới hạn bên trái là -2 và giới hạn bên phải là 7 Tuy nhiên, lim f ( x) không x 1 tồn tại vì lim f ( x) ≠ lim f ( x) − + x 1 x 1 Hoạt động... bên trái là -2 và giới hạn bên phải là 7 Tuy nhiên, lim f ( x) không x 1 tồn tại vì lim f ( x) ≠ lim f ( x) − + x 1 x 1 Hoạt động 2  Trong biểu thức (1) xác định hàm số y = f(x) ở ví dụ 4, cần thay số 2 bằng số nào để hàm số có giới hạn là -2 khi x 1? HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ Làm bài tập SGK ...3 Giới hạn một bên Trong Định nghĩa 1 về giới hạn hữu hạn của hàm số khi x→x0 Giá trị xn có thể lớn hơn hay nhỏ hơn x0 Nếu ta chỉ xét các dãy (xn) mà xn luôn lớn hơn x0 (hay luôn nhỏ hơn x0), thì ta có định nghĩa giới hạn một bên như dưới . Giải.Vì (x -1) 0 khi x 1 , nên ta chưa thể áp dụng định lí 1 nêu trên . Nhưng với ta có Do đó : 2 1 2 1 lim x x x x → + − − 1x ≠ 2 2 ( 1) ( 2) 2 1 1 x x x x. Tìm Giải. Theo định lí 1 ta có 2 1 ( ) 2 x f x x + = 3 ( ) lim x f x → 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ( 1) 1 1 ( ) 2 2 2. . 1 3.3 1 2 3 2. lim lim lim lim