Tích phân Trần Só Tùng Trang 122 Vấn đề 12: THIẾT LẬP CÔNG THỨC TRUY HỒI 1. Nhận xét: Trong những trường hợp hàm dưới dấu tích phân phụ thuộc vào tham số n (n Ỵ N), khi đó người ta thường ký hiệu I n để chỉ tích phân phải tính. 1. Hoặc là đòi hỏi thiết lập một công thức truy hồi, tức là công thức biểu diễn I n theo các I n+K , ở đây 1 £ K £ n. 2. Hoặc là chứng minh một công thức truy hồi cho trước. 3. Hoặc sau khi có công thức truy hồi đòi hỏi tính một giá trò 0 n I cụ thể nào đó. 2. Một số dạng thường gặp: Dạng 1: /2 n n 0 Isinx.dx(nN) p =Ỵ ò · Đặt: n1n2 usinxdu(n1)).sinx.dx -- =Þ=- dvsinx.dxvcosx.=Þ=- -p - é Þ=-+-- ë n1/2 n012n Isinx.cosx](n1).(II) Dạng 2: /2 n n 0 Icosx.dx(nN) p =Ỵ ò · Đặt: n1n2 ucosxdu(n1).cosx.dx -- =Þ=-- dvcosx.dxvsinx.=Þ= n1/2 n0n2n Icosx.sinx](n1).(II) -p - é Þ=+-- ë Dạng 3: /4 n n 0 Itgx.dx. p = ò · Phân tích: + ỉư ==-=+- ç÷ èø n2n2nn2 2 1 tgxtgx.tgxtgx.1tgx(1tgx1) cosx Suy ra: n2n 1 II n1 + += + (không dùng tích phân từng phần) Dạng 4: /2/2 nn nn 00 Ix.cosx.dxvàJx.sinx.dx. pp == òò · Đặt: nn1 uxdun.x.dx. - =Þ= dvcosx.dxvsinx=Þ= 2 nn InJ1(1) 2 p ỉư Þ=-- ç÷ èø · Tương tự: nn1 J0nI(2) - =+ · Từ (1) và (2) n nn2 In(n1)I. 2 - p ỉư Þ+-= ç÷ èø Trần Só Tùng Tích phân Trang 123 Dạng 5: 1 nx n 0 Ix.e.dx= ò · Đặt: nn1 uxdunx.dx - =Þ= xx dve.dxve.=Þ= nx1 n0n1 I[x.e]nI - =- Dạng 6: 11 n nx nn x 00 x IdxhayIx.e.dx e - == òò · Đặt: nn1 uxdunx.dx - =Þ= xx dve.dxve. -- =Þ=- xx1 n0n1 I[x.e]nI - - Þ=-+ Dạng 7: e n* n 1 Ilnx.dx(nZ)=Ỵ ò · Đặt: nn1 1 ulnxdun.lnx,dx x - =Þ= dvdxvx.=Þ= ne n1n1nn1 I[x.lnx]n.IIenI. -- Þ=-Û=- BÀI TẬP Bài 42. Cho n n Isinx.dx= ò và n n Jcosx.dx= ò , với nN,n2.Ỵ³ Chứng minh các công thức truy hồi sau: n1 nn2 1n1 Isinx.cosxI. nn - - - =-+ n1 nn2 1n1 Jsinx.cosxJ. nn - - - =+ Áp dụng ta tính I 3 và J 4 . ĐS: · 2 3 12 Isinx.cosxcosxC. 33 =--+ · 3 4 133 Jsinx.cosxxsin2xC. 4816 =+++ Bài 43. Cho n n Ix.sinx.dx= ò và n n Jx.cosx.dx= ò , với nN,n2.Ỵ³ Chứng minh rằng: nn1 nn2. Ix.cosxnx.sinxn(n1).I - - =-=-- nn1 nn2 Jx.sinxn.x.cosxn(n1).J. - - =+-- Áp dụng ta tính I 2 và J 2 . ĐS: · 2 2 Ixcosx2x.sinx2cosxC.=--+++ · 2 4 Jxsinx2xcosx2sinxC.=+-+ Tích phân Trần Só Tùng Trang 124 Bài 44. Cho nx n Ix.e.dx,nN,n1.=Ỵ³ ò Chứng minh rằng: nx nn1 Ix.en.I. - =- Áp dụng tính I 5 . ĐS: x5432 5 Ie(x5x20x60x120x120)C.=-+-+-+ Bài 45. Cho /2 n n 0 Isinx.dx,(nN) p =Ỵ ò a/ Thiết lập công thức liên hệ giữa I n và I n+2 . b/ Tính I n . c/ Chứng minh rằng hàm số f: NR® với nn1 f(n)(n1)I.I. + =+ d/ Suy ra /4 n n 0 Jcosx.dx. p = ò ĐS: b/ (n1)(n3)(n5) .1 .,nchẵn n(n2)(n4) .22 I(n) (n1)(n3)(n5) .2 ,n lẻ n(n2)(n4) .3 ---p ì ï -- ï = í --- ï ï -- ỵ c/ 01 f(n)f(0)I.I. 2 p === d/ nn JI.= Bài 46. Đặt; /4 n n 0 Itgx.dx,(nN) p =Ỵ ò Tìm hệ thức liên hệ giữa I n và I n+2 . ĐS: nn2 1 II. n1 + += + Bài 47. Cho 1 n * n 0 x Idx,(nN) 1x =Ỵ - ò Chứng minh rằng: nn1 (2n1)I2n.I22. - ++= Bài 48. Cho 1 nx * n x 0 e Idx,(nN) 1e - - =Ỵ - ò a/ Tính I 1 . b/ Tìm hệ thức giữa I n và I n–1 . ĐS: a/ 1 2e Iln; 1e = + b/ n1 1n) nI 1 I(e1) 1n - - + =- - Trần Só Tùng Tích phân Trang 125 Vấn đề 13: BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN · Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [a ; b] Dạng 1: Nếu f(x)0,x[a;b]³"Ỵ thì : b a f(x)0³ ò dấu “=” xảy ra khi f(x)0,x[a;b]="Ỵ Dạng 2: Để chứng minh: bb aa f(x).dxg(x).dx£ òò . § ta cần chứng minh: f(x)g(x),x[a;b]£"Ỵ § dấu “=” xảy ra khi f(x)g(x),x[a;b]="Ỵ § rồi lấy tích phân 2 vế. Dạng 3: Để chứng minh: b a f(x).dxB£ ò (B là hằng số). § ta tìm một hàm số g(x) thỏa các điều kiện: b a f(x)g(x),x[a;b] g(x).dxB £"Ỵ ì ï í = ï ỵ ò Dạng 4: Để chứng minh: b a Af(x).dxB££ ò . § ta tìm 2 hàm số h(x) và g(x) thỏa điều kiện: bb aa h(x)f(x)g(x),x[a;b] h(x).dxA,g(x).dxB ££"Ỵ ì ï í == ï ỵ òò § Hoặc ta chứng minh: mf(x)M,££ với mminf(x),Mmaxf(x)== sao cho: bb aa m.dxm(ba)A,M.dxM(ba)B.=-==-= òò Dạng 5: bb aa f(x).dx|f(x)|dx£ òò . dấu “=” xảy ra khi f(x)0,x[a;b]³"Ỵ § BĐT (5) được suy ra từ BĐT dạng 2 với nhận xét sau: x[a;b]"Ỵ , ta luôn có: |f(x)|f(x)|f(x)|-££ bbb aaa |f(x)|dxf(x).d(x)|f(x)|dxÛ-££ òòò (lấy tích phân 2 vế) bb aa f(x).dx|f(x)|.dx.Û£ òò Ghi chú: Tích phân Trần Só Tùng Trang 126 1. Thực chất chứng minh bất đẳng thức tích phân chính là chứng minh: f(x)g(x),x[a;b].£"Ỵ Nếu dấu “=” xảy ra trong bất đẳng thức f(x)g(x)£ chỉ tại một số hữu hạn điểm x[a;b]Ỵ thì ta có thể bỏ dấu “=” trong bất đẳng thức tích phân. 2. Do BĐT là một dạng toán phức tạp, nên mỗi dạng trên có nhiều kỹ thuật giải, vì vậy trong phần bài tập này, không đi theo từng dạng trên mà đi theo từng kỹ thuật giải. Kỹ thuật 1: Dùng phương pháp biến đổi tương đương hoặc chặn trên, chặn dưới BÀI TẬP Bài 49. Chứng minh các bất đẳng thức: a/ 1 19 3 3 6 0 1x.dx1 20 202 1x << + ò b/ 1 23 0 dx2 . 68 4xx pp << -- ò c/ 1/2 2 2 0 1dx1 . 50(32cosx) 2(33) << + + ò d/ 200 100 cosx.dx1 x200 p p < p ò Bài 50. Chứng minh các bất đẳng thức: a/ 2 /2 sinx 0 e. e.dx 22 p pp << ò b/ 2 1 x 0 1 1e.dx1. e - -££ ò c/ 3 x 2 1 e.sinx 0dx x112e - p << + ò Bài 51. Cho t 4 0 tgx I(t)dx, cos2x = ò với 0t. 4 p << Chứng minh rằng: 3 2 (tgt3tgt) 3 tg(t)e 4 + p +> Bài 52. Đặt: 2 t 1 lnx J(t)dx, x ỉư = ç÷ èø ò với t > 1. Tính J(t) theo t, từ đó suy ra: J(t) < 2, t1."> Kỹ thuật 2: Dùng bất đẳng thức Côsi hay Bu Nhia Cốp Ski BÀI TẬP Bài 53. Chứng minh các bất đẳng thức: a/ /2 0 27 sinx(23sinx)(74sinx)dx 2 p p +-< ò b/ /3 /4 2 cosx(57cosx6cosx)dx. 3 p p p +-< ò c/ e 1 lnx(93lnx2lnx)dx8(e1)--£- ò Bài 54. Chứng minh các bất đẳng thức: a/ /3 2222 0 (8cosxsinx8sinxcosx)dx2 p +++£p ò Trần Só Tùng Tích phân Trang 127 b/ e 22 1 (32lnx52lnx)dx4(e1)++-£- ò Bài 55. Sử dụng bất đẳng thức dạng 5 chứng minh: a/ 1 2 0 sinxx.dx ; 1x4 p < + ò b/ 2 3cosx4sinx5 . x14 -p £ + ò Kỹ thuật 3: Sử dụng GTLN – GTNN của hàm số trên miền lấy tích phân bằng bảng biến thiên. BÀI TẬP Bài 56. Chứng minh các bất đẳng thức: a/ 2 2 1 2x.dx1 ; 52 x1 << + ò b/ 1 2 0 4 0x(1x).dx; 27 <-< ò c/ 11 7 542(x711x).dx108; - £++-£ ò d/ 2 2 1/4xx2 0 2.ee.dx2e; -- ££ ò e/ 2 0 3dx23 33 cosxcosx1 p pp << ++ ò . Kỹ thuật 4: Sử dụng tính chất đồng biến, nghòch biến của hàm số bằng cách tính đạo hàm BÀI TẬP Bài 57. Chứng minh các bất đẳng thức: a/ /3 /4 3sinx.dx1 ; 4x2 p p << ò b/ 2 0 27(2sinx)(6sinx).dx215. p p£+-£p ò c/ 2 1 1 x 1x 0 4 e1x,x0.Suyra:edx 4 + p+ >+"¹> ò d/ 2 200 xx 100 ex,x.Suyra:e.dx0,01. - ³"£ ò e/ 4 3 3 xdx 1lnx,vớixe.Suyra:0,921. e lnx <<><< ò Kỹ thuật 5: Sử dụng bất đẳng thức Bu Nhia Cốp Ski trong tích phân bài tập 9.16 BÀI TẬP Bài 58. Chứng minh rằng nếu f(x), g(x) là hai hàm số liên tục trên [a ; b] thì ta có: Tích phân Trần Só Tùng Trang 128 2 bbb 22 aaa f(x).g(x).dxf(x).dx.g(x).dx. ỉư £ ç÷ èø òòò (BĐT trên gọi là BĐT Bua Nhia Côp Ski trong tích phân) Bài 59. Chứng minh rằng: 2 111 000 f(x).g(x).dxf(x).dx.g(x).dx ỉư £ ç÷ èø òòò Bài 60. Cho f(x) là hàm số xác đònh liên tục trên [0 ; 1] và f(x)1,x[0;1]£"Ỵ . Chứng minh rằng: 2 11 2 00 1f(x).dx1f(x).dx. ỉư -£- ç÷ èø òò Bài 61. Biết 1 0 dx2 ln2.Chứngminh:Ln2. x13 => + ò Trần Só Tùng Tích phân Trang 129 Vấn đề 14: TÍNH GIỚI HẠN CỦA TÍCH PHÂN · Trong bài toán tìm giới hạn của tích phân thường có 2 dạng sau: Dạng 1: Tìm t t a limf(x).dx,(ta) ®¥ > ò Ta tính tích phân t a f(x).dx ò phụ thuộc vào t, sau đó dùng đònh lý về giới hạn để tìm kết quả. Dạng 2: Tìm b n a limf(x,n).dx,(nN) ®¥ Ỵ ò Ÿ Dùng BĐT tích phân đem tích phân về dạng: b a Af(x,n).d(x)B££ ò b nnn a limAlimf(x,n).dxlimB ®¥®¥®¥ Þ££ ò Ÿ Sau đó, nếu: b nnn a limAlimBlthìlimf(x,n).dxl ®¥®¥®¥ === ò * Nhắc lại đònh lý hàm kẹp: “Cho ba dãy số nnn a,b,c cùng thoả mãn các điều kiện sau: * nnn nn nn nN,abC limalimCl ®¥®¥ ì "Ỵ££ ï í == ï ỵ . Khi đó: n n limbl ®¥ = ” BÀI TẬP Bài 62. a/ Tính x 1 dt I(x),(x1) t(t1) => + ò b/ Tìm x limI(x) ®+¥ ĐS: a/ 2x ln; x1+ b/ ln2. Bài 63. a/ Tính ln10 x 3x b e.dx I(b); e2 = - ò b/ Tìm bln2 limI(b) ® ĐS: a/ b2/3 31 6(e2) 22 éù -- êú ëû b/ 6. Bài 64. Cho 1 nx * n x 0 e.dx I(nN) 1e - - =Ỵ + ò Tích phân Trần Só Tùng Trang 130 Tính nn1n x II,từđótìmlimI. - ®+¥ + ĐS: a/ 2 2 t1 ln4ln (t2) + + + b/ ln4. Bài 65. a/ Tính x 2t x 0 I(x)(t2t).e.dt.TìmlimI(x) ®-¥ =+ ò b/ Tính x 22 x 1 2t.lnt.dt I(x),(x1).TìmlimI(x). (1t) ®+¥ => + ò ĐS: a/ 0; b/ ln2. Bài 66. a/ Tính theo m và x > 0 tích phân: m e m x I(x)t.(mlnt).dt.=- ò b/ Tìm m x0 limI(x). - ® Tìm m để giới hạn này bằng 1. ĐS: a/ 2m22 1 e2xlnx(2m1)x 4 éù +-+ ëû b/ 2m 1 e;mln2. 4 = . đòi hỏi thiết lập một công thức truy hồi, tức là công thức biểu diễn I n theo các I n+K , ở đây 1 £ K £ n. 2. Hoặc là chứng minh một công thức truy hồi cho. Tích phân Trần Só Tùng Trang 122 Vấn đề 12: THIẾT LẬP CÔNG THỨC TRUY HỒI 1. Nhận xét: Trong những trường hợp hàm dưới dấu tích phân