Phương pháp phân tích và quản lý danh mục đầu tư I. Phương pháp phân tích trung bình- phương sai 1. Mục tiêu tối ưu lý tưởng Lợi ích nhà đầu tư khi nắm giữ danh mục P là U(P). Do U(P) tăng theo lợi suất kỳ vọng P r và giảm theo phương sai 2 P σ của danh mục P nên để tối đa hóa lợi ích kỳ vọng nhà đầu tư chọn danh mục P :( w 1 , w 2 , …, w i- ε , …, w k- ε , w N ) sao cho đồng thời P r đạt cực đại và 2 P σ là cực tiểu. Đây là mục tiêu lý tưởng của nhà đầu tư. Để đạt được mục tiêu lý tưởng nhà đầu tư phải giải bài toán tối ưu: Max P r và Min 2 P σ P r = ∑ = N i i i rw 1 , 2 P σ = w ’ Vw, ∑ = N i i w 1 =1 Nghiệm của bài toán này là nghiệm lý tưởng. 2. Mục tiêu tối ưu Pareto Trong nhiều trường hợp bài toán không có nghiệm lý tưởng khi đó ta xét bài toán với dạng sau: + Cho trước phương sai 2 P σ , xác định danh mục P để có lợi suất kỳ vọng cao nhất + Hoặc cho trước lợi suất kỳ vọng P r , xác định danh mục P để có phương sai nhỏ nhất Ta có hai bài toán cho nghiệm tối ưu Pareto Bài toán A: Max P r P r = ∑ = N i i i rw 1 , w ’ Vw= 2 o σ , ∑ = N i i w 1 =1 Bài toán B: Min 2 P σ 2 P σ = w ’ Vw, ∑ = N i i i rw 1 = o r , ∑ = N i i w 1 =1 Ta giải hai bài toán sẽ cho nghiệm và các trị tối ưu là như nhau, tức hai bài toán tương đương theo nghĩa: + Nếu giải bài toán thứ nhất ta thu được nghiệm và trị tối ưu w A , P r ( 2 o σ ). Sau đó ta thay o r = P r ( 2 o σ ) vào bài toán B và giải. Ta cũng thu được nghiệm và trị tối ưu như bài toán A + Và ngược lại ta cũng có điều tương tự Như vậy nhà đầu tư với mục tiêu lựa chọn danh mục tối ưu Patero thì danh mục tối đa hóa lợi ích kỳ vọng cũng là danh mục tối thiểu hóa độ rủi ro với lợi suất kỳ vọng cho trước. Do vậy, ta chỉ cần xét một trong hai bài hoán là đủ. Ta sẽ xét bài toán tối thiểu hóa rủi ro vì các nhà đầu tư là được coi là những người e ngại rủi ro. 3. Phương pháp trung bình phương sai 3.1 Xét nhóm tài sản rủi ro Xét bài toán: 2 1 w’Vw→ Min        = = ∑ ∑ = = N i i P N i i i w rrw 1 1 1 Giải bài toán trên ta sẽ luôn có nghiệm duy nhất vì đó là bài toán quy hoạch lối toàn phương và tập phương án là tập Compact Đặt: [1] =               1 1 1  , A ≡ [1]V -1 [1], B ≡ ' r V -1 [1], C ≡ rVr 1 ' − , D = AC-B 2 Nghiệm bài toán: w( P r )= g + P r h Trong đó g = D 1 [C(V -1 [1])-B(V -1 r )] , h = D 1 [A(V -1 r )-B(V -1 [1])] Trị tối ưu: Lợi suất kỳ vọng : P r = )( P rP r , Phương sai : 2 P σ ( P r ) = D CrBrA PP +− 2 2 3.2. Xét nhóm tài sản có chứa tài sản phi rủi ro Bài toán: 2 1 w’Vw→ Min (w’, r )+[1-( w’,[1])] r f = r p Giải bài toán quy hoach lồi có tập phương án là tập compact ta thu được nghiêm duy nhất: w( p r )= H rf)-r ( p V -1 ( r -r f ) , 2 P σ = H 1 ( 2 )( fP rr − Vậy, cho dù danh mục P có hay không có tài sản phi rủi ro thì bài toán tối ưu luôn có nghiệm duy nhất. 4. Phân tích mô hình trung bình- phương sai 4.1. Danh mục biên duyên và tập danh mục biên duyên Với nhóm tài sản rủi ro, ta có nghiệm: w( P r )= g + P r h Lợi suất kỳ vọng: P r = )( P rP r Phương sai : 2 P σ ( P r ) = D CrBrA PP +− 2 2 Với nhóm tài sản có chứa tài sản rủi ro, ta có nghiệm W( p r )= H rf)-r ( p V -1 ( r -r f ) Lợi suất kỳ vọng : P r = )( P rP r Phương sai : 2 P σ = H 1 ( 2 )( fP rr − Khi P r ∈ (- +∞∞, ), tập danh mục P( P r ) là tập danh mục biên duyên P σ Ta có công thức xác định tập danh mục P khi P r ∈ (- +∞∞, ) như sau: Với nhóm tài sản rủi ro: W( P r ) = P(0) + P r [P(1)-P(0)] Trong đó P r = 0 là P(0) = g, danh mục có lợi suất kỳ vọng băng 0 P r = 1 là P(1) = g+h, danh muc biên duyên có lợi suất bằng 1 Khi lợi suât thay đổi ta giải bài toán tối ưu được nghiệm mới và thu được phương sai nhỏ nhất tương ứng với mức lợi suất đó. Tập hợp ( P r , P σ ) minh họa danh mục biên duyên trên đồ thị: Tập danh mục biên duyên không chứa tài sản phi rủi ro Với nhóm tài sản có chứa tài sản phi rủi ro: P σ Khi P r ∈ (- +∞∞, )Tập danh mục biên duyên P( P r ): {w( p r ), w O =[1- )( Pi rw ]} Lợi suất của tập danh mục biên duyên: P r = r f + σ p H nếu P r ≥ r f P r = r f - σ p H nếu P r ≤ r f Tập danh mục biên duyên khi danh mục P chứa tài sản phi rủi ro là hai đường thẳng có chung gốc tại mức lợi suất phi rủi ro. Minh họa sử dụng đồ thị ta có tập danh mục biên duyên P như hình sau: 4.2. Danh mục MVP: Ta có danh mục biên duyên là tập hợp các danh mục P( P r ) Danh mục MVP là danh mục biên duyên có phương sai nhỏ nhất Với nhóm tài sản rủi ro, danh mục MVP là danh mục có: MVP r = A B , 2 MVP σ = A 1 Trên hình vẽ là điểm gần trục lợi suất nhất Với danh mục có tài sản phi rủi ro, khi đầu tư vào danh mục P ta luôn hưởng mức lợi suất tối thiểu r f . Do đó lợi suất của danh mục biên duyên luôn luôn lớn hơn lãi suất phi rủi ro 4.3. Danh mục hiệu quả và biên hiệu quả Danh mục hiệu quả có lợi suất kỳ vọng lớn hơn lợi suất kỳ vọng của danh muc MVP. Như vậy danh mục hiêu quả có lợi suất P r > A B Tập hợp các danh mục hiệu quả cho ta một biên hiệu quả Với danh mục chỉ có tài sản rủi ro biên hiêu quả là nửa đường cong nằm phía trên tính từ danh mục MVP Với danh mục chứa tài sản phi rủi ro biên hiệu quả là nửa đường thẳng nằm trên 4.4. Danh mục tiếp tuyến: Danh mục buyên khi có tài sản phi rủi ro: P( P r ):{w( p r ),w O =[1- )( Pi rw ]}. Ta xét danh mục T: w O =0, w = )( 1 f ArB − V -1 ( r -[r f ]), ta có thể dễ dàng thấy được T là danh mục hiêu quả . Ta cũng tính được phương sai và lợi suất của danh mục T: f f T ArB BrC r − − = , 2 2 )( f T ArB H − = σ Vì T là danh mục duy nhất vừa là danh mục hiệu quả khi xét nhóm tài sản rủi ro và phi rủi ro. Do đó T là tiếp điểm của hai biên hiệu quả. T là danh mục tiếp tuyến: σ II. Đường thị trường vốn, đường thị trường chứng khoán và mô hình chỉ số đơn 1. Đường thị trường vốn CML: Nhà đầu tư khi tham gia đầu tư một danh mục tài sản với hàm lợi ích U( 2 , PP r σ ). Nhà đầu tư sẽ lựa chọn danh mục hiệu quả với hàm lợi ích là lớn nhất. Như vậy với nhà đầu tư, việc lựa chọn danh mục là giải quyết bài toán: Max U( 2 , PP r σ ) P r = r f + H P σ Ta dễ dàng thấy rằng danh mục tối ưu P* là đường mức của hàm lợi ích kỳ vọng U(P). Vì thế U(P) sẽ tiếp xúc với đường biên hiệu quả Trong trường hợp này, biên hiệu quả cũng là đường cung danh mục tối ưu cho các nhà đầu tư lựa chọn. Với ý nghĩa này ta có đường “ thị trường vốn” là đường biên hiệu quả. σ Nhà đầu tư lựa chọn trên đường thị trường vốn các danh mục đầu tư căn cứ vào lợi suất P r , và phương sai P σ của danh mục P Ta có đường CML: P T fT fP rr rr σ σ         − += Mô hình CML biểu diễn mức lợi suất kỳ vọng bằng mức lợi suất thị trường cộng thêm một lượng bù rủi ro. Ta có thể xem T fT rr σ − là giá của một đơn vị rủi ro và σ σ         − T fT rr là lượng rủi ro khi chọn P 2. Đường thị trường chứng khoán: Ta có tỷ suất lợi nhuận- rủi ro của một danh mục RRR i (P)= i P w r ∂ ∂ : i P w∂ ∂ σ = iP Pfi rr σ σ )( − Theo tính chất của danh mục tiếp tuyến ta có: iP Pfi rr σ σ )( − =         − T fT rr σ Ta có phương trình sau xuất phát từ phương trình CML: )( fPQPf rrrr Q −+= β Trong đó 2 ),cov( P QP PQ rr σ β = , Q là danh mục bất kỳ, P là danh mục hiệu quả Ta thấy danh mục Q bởi một tài sản i nào đó và danh mục P là danh mục tiếp tuyến T. Khi đó ta được phương trình: )( fTiTf rrrr i −+= β Ta có thể viết lại: iTiTiTf rrr i εββ ++−= )1( Đây là phương trình đường “thị trường chứng khoán ” SML, biểu diễn mối quan hệ giữa lợi suất của tài sản với hệ số beta riêng của các tài sản đó ( beta đặc trung của mỗi loại tài sản) [...]... toán theo lý thuyết thông qua lập mô hinh Tính lợi suất r thực tế của danh mục: ta có thể tính lợi nhuận thực thông qua tính giá trị danh mục đầu kỳ và cuối kỳ cùng với khoản nhận được trong quá trình thực thi danh mục : r = ( giá trị danh mục P cuối kỳ- giá trị danh mục P đầu kỳ+ các khoản nhận được khi thực hiện danh mục) / giá trị danh mục đầu kỳ Hệ số α-Jensen: αP = r- rP Nếu αP>0 thì danh mục P thực... tiêu đánh giá việc thực thi danh mục 1 Tỷ suất lợi nhuận - rủi ro ∂ rP = rP − r f ∂wk Lợi suất cận biên của danh mục tối ưu: Rủi ro biên của danh mục: ∂σ P σ Pk = ∂wk σp Tỷ suất lợi nhuận – rủi ro biên của danh mục: RRRk (P)= ∂ rP ∂wk : ∂σ P ∂wk (rk − r f )σ P = σ kP Từ ý nghĩa của lợi nhuận, rủi ro ta thấy nếu tài sản k có RRR k>1 thì khi điều chỉnh tăng vào tài sản k nhà đầu tư có lợi 2 Chỉ số Sharpe:... thuôc vào lợi suất của thị trường βi: hệ số beta riêng có của tài sản, nó thể hiện mức độ năng động của tài sản i Nếu βi>1 chứng tỏ tài sản năng động, vì nó phản ứng mạnh mẽ trước những biến động của thị trường, và ngược lại βi SB, Thông thường rP σ P rf , , được tính trung bình cộng của 20 quý cuối 3 Chỉ số Treynor: rP − r f Công thức tính chỉ số Traynor: TP = βP Ta tính TB, so sánh hai kết quả TP> TB thì danh mục thực thi tốt 4 Hệ số α-Jensen Xuất phát từ phương trình đường thị trường vốn: Tính rP  rT... các biến còn lại… Phương sai sai số thay đổi làm ước lượng OLS không còn hiệu quả nữa, ước lượng của phương sai của hệ số beta không còn chính xác và các kiểm định T và F không còn hiệu lực + Dạng hàm: dạng hàm không phù hợp dù mô hình có chạy tốt nhưng ta cũng không có được ứng dụng gì trong thực tế + U phân phối chuẩn: muốn sử dụng được các kiểm định liên quan đến T và F ta phải có U phân phối chuẩn...     với i = 1, N Xác định hệ số ngưỡng C* So sánh ERBi với Ci để tìm số thứ tự k: C*= C k với k sao cho: ERB i ≥ Ci với i > k Danh mục tiếp tuyến gồm các tài sản xếp từ 1 đến k Các tài sản từ (k+1) trở đi sẽ không có mặt trong danh mục Tính tỷ trọng tài sản trong danh mục tiếp tuyến: Tính zi : zi =  β j  ri − r f − C  η2  β j  j   zi N ∑z Tính tỷ trọng wi = i =1 i Ta áp dụng thuật toán trong... beta riêng có của mỗi tài sản 3 Mô hình chỉ số đơn Lợi suất của mỗi tài sản có mối liên hệ tuyến tính với lợi suất của danh mục tiếp tuyến T Danh mục tiếp tuyến T gồm tất cả các tài sản thuộc nhóm tài sản rủi ro Nếu ta xem xét tất cả các tài sản rủi ro trên thị trường ta có thể xem danh mục tiếp tuyến đại diện cho thị trường Như vậy lợi suất của mỗi tài sản có mối quan hệ với lợi suất của thị trường Trên . Phương pháp phân tích và quản lý danh mục đầu tư I. Phương pháp phân tích trung bình- phương sai 1. Mục tiêu tối ưu lý tư ng Lợi ích nhà đầu tư khi. ta có tập danh mục biên duyên P như hình sau: 4.2. Danh mục MVP: Ta có danh mục biên duyên là tập hợp các danh mục P( P r ) Danh mục MVP là danh mục biên