Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt ðƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ðỒ THỊ HÀM SỐ TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. ðường tiệm cận ñứng và ñường tiệm cận ngang: • ðường thẳng 0 y y= ñược gọi là ñường tiệm cận ngang ( gọi tắt là tiệm cận ngang) của ñồ thị hàm số ( ) y f x = nếu ( ) 0 lim x f x y →+∞ = hoặc ( ) 0 lim x f x y →−∞ = . • ðường thẳng 0 x x= ñược gọi là ñường tiệm cận ñứng ( gọi tắt là tiệm cận ñứng) của ñồ thị hàm số ( ) y f x= nếu ( ) 0 lim x x f x − → = +∞ hoặc ( ) 0 lim x x f x + → = +∞ hoặc ( ) 0 lim x x f x − → = −∞ hoặc ( ) 0 lim x x f x + → = −∞ . 2. ðường tiệm cận xiên: ðường thẳng ( ) 0 y ax b a= + ≠ ñược gọi là ñường tiệm cận xiên ( gọi tắt là tiệm cận xiên) của ñồ thị hàm số ( ) y f x= nếu ( ) ( ) ( ) lim 0 x f x f x ax b →+∞   = − + =   hoặc ( ) ( ) ( ) lim 0 x f x f x ax b →−∞   = − + =   .Trong ñó ( ) ( ) lim , lim x x f x a b f x ax x →+∞ →+∞   = = −   hoặc ( ) ( ) lim , lim x x f x a b f x ax x →−∞ →−∞   = = −   . Ví dụ : Tìm tiệm cận của hàm số : ( ) 2 1 ) 2 x a f x x − = + ( ) 2 1 ) x b f x x + = Giải : ( ) 2 1 ) 2 x a f x x − = + Hàm số ñã cho xác ñịnh trên tập hợp { } \ 2 ℝ . ( ) ( ) 1 1 2 2 2 1 2 1 lim lim lim 2 , lim lim lim 2 2 2 2 2 2 1 1 x x x x x x x x x x f x f x y x x x x →−∞ →−∞ →−∞ →+∞ →+∞ →+∞ − − − − = = = = = = ⇒ = + + + + là tiệm cận ngang của ñồ thị khi x → −∞ và x → +∞ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 lim lim , lim lim 2 2 2 x x x x x x f x f x x x x − − + + → − → − → − → − − − = = −∞ = = +∞ ⇒ = − + + là tiệm cận ñứng của ñồ thị khi ( ) 2x − → − và ( ) 2x + → − ( ) ( ) 1 2 2 1 lim lim lim 0 2 2 x x x f x x x x x x x →−∞ →−∞ →−∞ − − = = = ⇒ + + hàm số f không có tiệm cận xiên khi x → −∞ ( ) ( ) 1 2 2 1 lim lim lim 0 2 2 x x x f x x x x x x x →+∞ →+∞ →+∞ − − = = = ⇒ + + hàm số f không có tiệm cận xiên khi x → +∞ . ( ) 2 1 ) x b f x x + = Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Hàm số ñã cho xác ñịnh trên tập hợp { } \ 0 ℝ . ( ) 2 2 1 1 1 lim lim lim 1 1, 1 x x x x x f x y x x →−∞ →−∞ →−∞ − + = = − + = − ⇒ = − là tiệm cận ngang của ñồ thị khi x → −∞ . ( ) 2 2 1 1 1 lim lim lim 1 1, 1 x x x x x f x y x x →+∞ →+∞ →+∞ + = = + = ⇒ = là tiệm cận ngang của ñồ thị khi x → +∞ . ( ) ( ) 2 2 0 0 0 0 1 1 lim lim , lim lim 0 x x x x x x f x f x x x x − − + + → → → → + + = = −∞ = = +∞ ⇒ = là tiệm cận ñứng của ñồ thị khi 0x − → và 0x + → ( ) 2 2 2 2 1 1 1 lim lim lim 0 x x x x f x x x x x x →−∞ →−∞ →−∞ − + + = = = ⇒ hàm số f không có tiệm cận xiên khi x → −∞ ( ) 2 2 2 2 1 1 1 lim lim lim 0 x x x x f x x x x x x →+∞ →+∞ →+∞ + + = = = ⇒ hàm số f không có tiệm cận xiên khi x → +∞ BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1. Tìm tiệm của ñồ thị các hàm số sau : ( ) 2 ) 3 2 x a f x x − = + ( ) 2 2 ) 3 x b f x x − − = + ( ) 1 ) 2 3 c f x x x = + − − ( ) 2 3 4 ) 2 1 x x d f x x − + = + ( ) 2 2 1 ) 3 x e f x x x − = + − ( ) 3 2 2 ) 2 x f f x x x + = − ( ) 3 2 1 ) 1 x x g f x x + + = − ( ) 2 2 1 ) 5 2 3 x x h f x x x + + = − − + 2. Tìm tiệm cận ñứng và tiệm cận ngang của ñồ thị các hàm số sau : ( ) 1 ) 2 1 x a f x x + = + ( ) 1 ) 4 2 b f x x = + − ( ) 2 ) 1 x x c f x x + = − ( ) 3 ) 1 x d f x x + = + ( ) 1 ) 2 1e f x x x = − + ( ) 2 2 ) 3 x x f f x x + = − ( ) ( ) 2 1 ) 3 2 1 g f x x x = − + − ( ) 3 2 2 2 ) 1 x x h f x x − = + ( ) 2 2 2 1 ) 2 x i f x x x + = − ( ) 2 ) 1 x j f x x = − ( ) 3 2 ) 1 x k f x x = − ( ) 2 ) 4 x l f x x = − ( ) 2 ) 1m f x x x= − + ( ) 2 ) 2n f x x x x= + + ( ) 2 ) 3o f x x= + ( ) 2 )p f x x x = + ( ) 2 2 1 ) 1 x x q f x x + + = − 3. Tìm tiệm của ñồ thị các hàm số sau : ( ) 2 ) 3a f x x x= + + ( ) 2 ) 2 1b f x x x= + − ( ) 2 ) 4c f x x x= + + ( ) 2 ) 4 3d f x x x= − + ( ) 2 ) 1e f x x x= + − ( ) 2 ) 4f f x x= + Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt . Lạt ðƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ðỒ THỊ HÀM SỐ TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. ðường tiệm cận ñứng và ñường tiệm cận ngang: • ðường thẳng 0 y y= ñược gọi là ñường tiệm cận ngang. −∞ . 2. ðường tiệm cận xiên: ðường thẳng ( ) 0 y ax b a= + ≠ ñược gọi là ñường tiệm cận xiên ( gọi tắt là tiệm cận xiên) của ñồ thị hàm số ( ) y f x= nếu