LUYỆN THI TOÁN VÀO TRƯỜNG CHUYÊN - TRUNG TÂM BỒI DƯƠNG - LUYỆN THI ITH-BÌNH DƯƠNG Bộ giáo dục và đào tạo đại học tổng hợp hà nội Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập – Tự do – Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh vào các lớp chuyên 1994 Vòng 1. Môn Toán (Thời gian làm bài: 180 phút) Câu I: a) Giải phương trình: 2 4 1 x 2 1 xx =++++ b) Giải hệ phương trình:    =+ =++ 12xy8 0y12xy2x 22 23 Câu II: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: )yx4(yxA 2 −−= khi x, y thay đổi và thỏa mãn điều kiện: 6yx vµ 0y ; 0x ≤+≥≥ Câu III: Cho hình thoi ABCD. Gọi R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABD, ABC và a là độ dài cạnh hình thoi. Chứng minh rằng: 222 a 4 r 1 R 1 =+ Câu IV: Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Quay tam giác đó quanh O một góc 90 0 (theo chiều nào cũng được) ta nhận được tam giác A 1 B 1 C 1 . Tính diện tích phần chung của hai tam giác theo R. Câu V: Tìm tất cả các số nguyên dương a, b, c đôi một khác nhau sao cho biểu thức: ca 1 bc 1 ab 1 c 1 b 1 a 1 A +++++= nhận giá trị dương. 1 LUYỆN THI TOÁN VÀO TRƯỜNG CHUYÊN - TRUNG TÂM BỒI DƯƠNG - LUYỆN THI ITH-BÌNH DƯƠNG đại học quốc gia hà nội Trường đại học khoa học tự nhiên Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập-Tự do-Hạnh phúc ---------------o0o--------------- Đề thi tuyển sinh phổ thông trung học chuyên năm 1998 Môn thi : Toán cho tất cả thí sinh thi vào các khối chuyên Thời gian làm bài: 180 phút Câu I: 1) Giải phương trình: 48xx2 22 =++− 2) Giải hệ phương trình :    =++ =++ 21yyxx 7yxyx 4224 22 Câu II: Các số a và b thỏa mãn điều kiện :    =+ =+ 98ba3b 19ab3a 23 23 Hãy tính giá trị của biểu thức: 22 baP += Câu III: Cho các số [ ] 1 ; 0 c,b,a ∈ Chứng minh rằng: 1cabcabcba 32 ≤−−−++ Câu IV: Cho đường tròn )(ε bán kính R. A và B là hai điểm cố định trên đường tròn, (AB < 2R). Giả sử M là một điểm thay đổi trên cung lớn AB của đường tròn. 1) Kẻ từ B đường thẳng vuông góc với AM, đường thẳng này cắt AM tại I và cắt đường tròn )(ε tại N. Gọi J là trung điểm của MN. Chứng minh rằng khi M thay đổi trên đường tròn thì mỗi điểm I, J đều nằm trên một đường tròn cố định. 2) Xác định vị trí của điểm M để chu vi của AMB ∆ là lớn nhất. Câu V: 1) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho mỗi số n + 26 và n – 11 đều là lập phương của một số nguyên dương. 2) Cho các số x, y, z thay đổi thỏa mãn điều kiện: 1zyx 222 =++ Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: ( ) ( ) ( ) [ ] 2 2 2 2 2 2 yxzxzyzyx 2 1 zxyzxyP −+−+−+++= 2 LUYỆN THI TOÁN VÀO TRƯỜNG CHUYÊN - TRUNG TÂM BỒI DƯƠNG - LUYỆN THI ITH-BÌNH DƯƠNG đại học quốc gia hà nội Trường đại học khoa học tự nhiên Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập-Tự do-Hạnh phúc ---------------o0o--------------- Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 hệ phổ thông trung học chuyên năm 1999 Môn thi : Toán học (Thời gian làm bài: 150 phút) Câu I: Các số a, b, c thỏa mãn điều kiện :    =++ =++ 14cba 0cba 222 Hãy tính giá trị của biểu thức: 444 cba1P +++= Câu II: 1) Giải phương trình: 8x2x73x −=−−+ 2) Giải hệ phương trình:        =+ =+++ 2 5 xy 1 xy 2 9 y 1 x 1 yx Câu III: Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho : 2n9n 2 −+ chia hết cho 11n + Câu IV: Cho vòng tròn (C ) và điểm I ở trong vòng tròn. Dựng qua I hai dây cung bất kỳ MIN và EIF. Gọi F,E,N,M ′′′′ là các trung điểm của IM, IN, IE, IF. 1) Chứng minh rằng tứ giác FNEM ′′′′ là tứ giác nội tiếp. 2) Giả sử I thay đổi, các dây cung MIN, EIF thay đổi. Chứng minh rằng vòng tròn ngoại tiếp tứ giác FNEM ′′′′ có bán kính không đổi. 3) Giả sử I cố định, các dây MIN, EIF thay đổi nhưng luôn luôn vuông góc với nhau. Tìm vị trí của các dây cung MIN, EIF sao cho tứ giác FNEM ′′′′ có diện tích lớn nhất. Câu V: Các số dương x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện : x + y = 1 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:       +         += 2 2 2 2 x 1 y y 1 xP 3 LUYỆN THI TOÁN VÀO TRƯỜNG CHUYÊN - TRUNG TÂM BỒI DƯƠNG - LUYỆN THI ITH-BÌNH DƯƠNG Đại học quốc gia hà nội Trường đại học khoa học tự nhiên Đề thi tuyển sinh lớp 10 hệ THPT chuyên năm 2000 Môn thi : Toán (cho mọi thí sinh) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu I: 1) Tính : 2000.1999 1 . 3.2 1 2.1 1 S +++= 2) Giải hệ phương trình:        =++ =++ 3 y x y 1 x 3 y x y 1 x 2 2 Câu II: 1) Giải phương trình 1x11xxx1x 423 −+=++++− 2) Tìm tất cả các giá trị của a (a là số thực) để phương trình 07a4x) 2 11 a4(x2 22 =+++− , có ít nhất một nghiệm nguyên. Câu III: Cho đường tròn tâm O nội tiếp trong hình thang ABCD (AB//CD), tiếp xúc với cạnh AB tại E và với cạnh CD tại F (như hình vẽ) 1) Chứng minh rằng CF DF AE BE = 2) Cho biết AB = a, CB = b (a < b), BE =2 AE Tính diện tích hình thang ABCD. Câu IV: Cho x, y là hai số thực bất kỳ khác không. Chứng minh rằng 3 x y y x )yx( yx4 2 2 2 2 222 22 ≥++ + Đẳng thức xảy ra khi nào? 4 F E D C B A LUYỆN THI TOÁN VÀO TRƯỜNG CHUYÊN - TRUNG TÂM BỒI DƯƠNG - LUYỆN THI ITH-BÌNH DƯƠNG đại học quốc gia hà nội Trường đại học khoa học tự nhiên Đề thi tuyển sinh lớp 10 Hệ thpt chuyên năm 2001 Môn thi : toán (cho mọi thí sinh) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu I: Tìm các giá trị nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức: 22 y1x)2y( =++ Câu II: 1) Giải phương trình: 2 x2)1x(x)1x3(x =−−+ 2) Giải hệ phương trình:      =+ +=++ 2yx yx32xyx 22 2 Câu III: Cho nửa vòng tròn đường kính AB = 2a. Trên đoạn AB lấy điểm M. Trong nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa vòng tròn, ta kẻ 2 tia Mx và My sao cho 0 30BMyAMx =∠=∠ . Tia Mx cắt nửa vòng tròn ở E, tia My cắt nởa vòng tròn ở F. Kẻ EE ′ , FF ′ vuông góc xuống AB. 1) Cho 2 a AM = . Tính diện tích hình thang vuông FFEE ′′ theo a. 2) Khi điểm M di động trên AB, chứng minh đường thẳng EF luôn tiếp xúc với một vòng tròn cố định. Câu IV: Giả sử x, y, z là các số thực khác không thỏa mãn hệ thức:      =++ −=+++++ 1zyx 2) y 1 x 1 (z) x 1 z 1 (y) z 1 y 1 (x 333 Hãy tính giá trị của biểu thức: z 1 y 1 x 1 P ++= Câu V: Với x, y, z là những số thực dương, hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: )xz)(zy)(yx( xyz M +++ = 5 LUYỆN THI TOÁN VÀO TRƯỜNG CHUYÊN - TRUNG TÂM BỒI DƯƠNG - LUYỆN THI ITH-BÌNH DƯƠNG đại học quốc gia hà nội Trường đại học khoa học tự nhiên Đề thi tuyển sinh lớp 10 Hệ thpt chuyên năm 2002 Môn: Toán học (cho mọi thí sinh) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu I 1) Giải phương trình: 5x5x8 =−++ 2) Giải hệ phương trình:    =++++ =++ 17xy)1y(y)1x(x 8)1y)(1x( Câu II Cho a, b, c là độ dài các cạnh của mộ tam giác. Chứng minh rằng phương trình 0cabcabx)cba(x 2 =++++++ vô nghiệm. Câu III Tìm tất cả các số nguyên n sao cho n 2 + 2002 là một số chính phương. Câu IV Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: zx1 1 yz1 1 xy1 1 p + + + + + = trong đó x, y, z là các số thay đổi thoả mãn điều kiện: 3zyx 222 ≤++ Câu V Cho hình vuông ABCD. M là điểm thay đổi trên cạnh BC (M không trùng với B) và N là điểm thay đổi trên cạnh CD (N không trùng với D) sao cho: NADMABMAN ∠+∠=∠ 1) BD cắt AN và AM tương ứng tại P và Q. Chứng minh rằng năm điểm P, Q, M, C, N cùng nằm trên một đường tròn. 2) Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi M và N thay đổi. 3) Ký hiệu diện tích của tam giác APQ là 1 S và diện tích của tứ giác PQMN là 2 S . Chứng minh rằng tỉ số 2 1 S S không thay đổi khi M và N thay đổi. 6 ĐỀ SỐ 1 LUYỆN THI TOÁN VÀO TRƯỜNG CHUYÊN - TRUNG TÂM BỒI DƯƠNG - LUYỆN THI ITH-BÌNH DƯƠNG 7 . ---------------o0o--------------- Đề thi tuyển sinh phổ thông trung học chuyên năm 1998 Môn thi : Toán cho tất cả thí sinh thi vào các khối chuyên Thời gian làm bài:. ---------------o0o--------------- Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 hệ phổ thông trung học chuyên năm 1999 Môn thi : Toán học (Thời gian làm bài: 150 phút) Câu I: Các số a, b, c