BÀI 5 CHUỖI THỜI GIAN KHÔNG DỪNG 1. ĐẶT VẤN ĐỀ Từ đầu những năm 1980, một số trào lưu phát triển kinh tế lượng đã có ảnh hưởng sâu sắc đến vấn đề ứng dụng kinh tế lượng trong thực tiễn. Những phương pháp mới được các nhà kinh tế lượng quan tâm nhiều nhất đã tạo nên một cuộc cách mạng trong lĩnh vực mô hình hoá, đặc biệt trong các lớp mô hình cân bằng và mô hình động. Bài này sẽ trình bày những phương pháp đó. Ta sẽ bắt đầu bằng việc phân tích kỹ hơn các đặc tính thống kê của các chuỗi số liệu sử dụng trong các mô hình kinh tế lượng. Tính chất của chuỗi số liệu này có ý nghĩa quan trọng trong việc mô hình hóa mối quan hệ cân bằng. Trong các mô hình hồi quy cổ điển ta luôn giả thiết các sai số ngẫu nhiên thoả mãn các điều kiện sau: + Có kỳ vọng toán bằng không, + phương sai đồng đều, + Không tương quan với nhau. Đây là trường hợp riêng của chuỗi dừng. Trong thực tế đối với khá nhiều chuỗi thời gian các giả thiết trên có thể bị vi phạm. 2. CHUỖI THỐNG KÊ 'DỪNG' VÀ 'KHÔNG DỪNG' Chuỗi thời gian ( time series) có thể coi như được tạo bởi tập hợp các biến ngẫu nhiên sắp xếp theo trình tự thời gian (được gọi là một quá trình ngẫu nhiên - Stochastic or Random process). Chuỗi quan sát X t , t = 1, 2 . N, trong đó, mỗi quan sát ứng với một thời điểm có thể coi là 1 điểm ghi nhận của quá trình ngẫu nhiên tạo nên cơ sở số liệu đó. Chuỗi thời gian X t được coi là ‘dừng yếu' nếu thoả mãn 3 điều kiện sau đây: - Kỳ vọng toán không đổi theo thời gian E[X t ] = µ ; - Phương sai không đổi theo thời gian,var (X t ) = E[X t - µ] 2 = σ 2 ; - Tương quan giữa các số liệu chỉ phụ thuộc vào khoảng thời gian quan sát giữa 2 giá trị mà không phụ thuộc vào vị trí của khoảng thời gian đó, tức là: cov (X t ,X t+k ) = E[(X t - µ )( X t+k - µ )] = γ k Ví dụ: cov (X 1 , X 3 ) = cov (X 11 , X 13 ) = cov (X 26 , X 27 ); nghĩa là tương quan chỉ phụ thuộc và k mà không vào t. Nếu một trong 3 tiêu chuẩn trên bị vi phạm thì chuỗi X t được gọi là ‘không dừng'. Như vậy γ k là hiệp phương sai của X giữa hai thời điểm t và t+k. Nếu k=0 thì γ 0 chính là phương sai Var(X t ). Vì vậy γ k ρ k = ------- γ 0 chính là hệ số tự tương quan giữa X t và X t+k . Nếu xét các hệ số tự tương quan ρ k theo độ dài của trễ k ta sẽ thu được một hàm gọi là hàm tự tương quan ( Autocorrelation function- ACF). Như vậy tại điểm trễ k ta có: ACF(k) = ρ k = γ k /γ 0 = Cov(X t , X t+k )/ Var(X t ) Chú ý rằng nếu k = 0 thì ρ 0 = 1. ρ k không có đơn vị đo và luôn thoả mãn điều kiện: -1 ≤ ρ k ≤ 1. Ví dụ: Tệp số liệu ch12bt20 gồm các biến GDP, PDI ( thu nhập sau thuế), PCE ( tiêu dùng cá nhân), PROFIT (lãi sau thuế) và DIVIDENT ( lợi tức ròng) của Mỹ từ quý 1-1970 – quý 4-1991 quy đổi theo giá 1987. Hãy vẽ đồ thị của các biến trên theo thời gian và nhận xét về tính dừng của chúng. Các đồ thị đều cho thấy là các chuỗi thời gian trên đều là không dừng. 3. MỘT SỐ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN GIẢN ĐƠN 3.1. Nhiễu trắng ( White noise). Khái niệm nhiễu trắng được dùng để mô tả một quá trình hoàn toàn ngẫu nhiên. Xét chuỗi: X t = U t ~ iid (0, σ 2 ) Điều đó có nghĩa: chuỗi của ta là một tập hợp các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối với: - Kỳ vọng toán bằng 0, không phụ thuộc vào thờì gian t . - Phương sai σ 2 cũng có giá trị không đổi - Hiệp phương sai cov (X t , X t+k ) = 0 ∀ k ≠ 0 Cả 3 tính chất trên đều được thoả mãn do đó chuỗi này ‘dừng'. Hình 1: "Nhiễu trắng" - Đồ thị phần dư trong phương trình hồi quy cổ điển -2 -1 0 1 2 3 60 65 70 75 80 85 Y Residuals 3.2: Quá trình tự hồi quy ( Autoregressiv process-AR). Xét mô hình tự hồi quy bậc 1 sau đây : X t = β X t-1 + ε t Trong đó -1 <β < 1 và ε t là nhiễu trắng, tức là ε t ~ iid (0, σ 2 ). Ví dụ: nếu β =0.6 thì giá trị X t sẽ bằng 0.6 nhân với giá trị X tại thời điểm trước đó cộng với phần dư ngẫu nhiên, ε t . Trong mục trước ta đã biết hiện tượng nhiễu trắng là ‘dừng'. Để xác nhận X t có dừng hay không ta hãy biểu diễn X t dưới dạng ε t và xem xét kết quả. Có thể chứng minh được rằng: E(X t ) = β t E(X 0 ) Var(X t ) = ρ 2 ( β 2(t-1) + β 2(t-2) + . . . + β 2 + 1) Cov(X t , X t-k ) = β k Var(X t ) Do đó, AR(1) là một quá trình dừng nếu -1 < β < 1. Trường hợp chung, quá trình tự hồi quy bậc p - AR(p) có dạng: X t = β 0 + β 1 X t-1 + β 2 X t-2 + . . . + β p X t-p + u t Sẽ là dừng nếu -1 < β j < 1 ∀j. Hình 2 biểu diễn quan sát của quá trình AR(1) X t = 0,6X t-1 + ε t trong đó X nhận các giá trị bắt đầu từ quan sát X 0 = 1. HÌNH 2: DỪNG AR(1) 3. 3: Bước ngẫu nhiên ( Random walk). Xét quan hệ: X t = X t-1 + ε t Trong đó, cũng như trước, ε t là sai số ngẫu nhiên ε t ~ iid (0,σ 2 ), giá trị đầu tiên của X tại thời điểm t = 0, X 0 đã xác định. Đây là hiện tượng rất quan trọng trong kinh tế tài chính và ngày càng được sử dụng phổ biến để mô tả đặc tính của chỉ số chứng khoán. Giá một chứng khoán hôm nay sẽ bằng giá ngày hôm trước cộng thêm sai số ngẫu nhiên. Bước ngẫu nhiên có thể coi là một trường hợp đặc biệt của AR(1), trong đó β = 1 Để xác định rõ bước ngẫu nhiên có ‘dừng’ hay ‘không dừng’, ta biểu diễn giá trị trung bình của nó dưới dạng ε s và ước lượng kết quả. Với giá trị đầu tiên là X 0 , chuỗi số gồm các giá trị sau: X 0 X 1 = X 0 + ε 1 X 2 = X 1 + ε 2 = X 0 + ε 1 + ε 2 X 3 = X 2 + ε 3 = X 0 + ε 1 + ε 2 + ε 3 X t = X 0 + ε 1 + ε 2 + ε t t X t = X 0 + Σ ε i t = 1 Đối với một bước ngẫu nhiên: a. Giá trị trung bình của chuỗi không đổi: E [X t ] = E [X 0 ] + E[Σε i ] = X 0 Vì giá trị ban đầu của X 0 là 1 số đã xác định nên nhiễu trắng có giá trị trung bình là hằng số. b. Var (X t ) = var (X 0 + Σε I ) = var (X 0 ) + var ( Σε I ) Vì X 0 đã cho, var (X 0 ) = 0 Đồng thời: Σε I = ε 1 + ε 2 … + ε t Do đó: Var (X t )= var ( ε 1 + ε 2 … + ε t ) = tσ 2 Vì Var(X t ) không phải là hằng số mà biến đổi theo t, bước ngẫu nhiên là một chuỗi 'không dừng'. Tuy nhiên, cho một bước ngẫu nhiên: X t = X t-1 + ε t Ta có : ∆ X t = X t - X t-1 = ε t Bởi vì ε t dừng, sai phân cấp 1 của một bước ngẫu nhiên là dừng. Hình 3: Bước ngẫu nhiên Hình 3 biểu diễn 250 quan sát của một hiện tượng bước ngẫu nhiên, X t = X t-1 + ε t với giá trị đầu tiên X 0 = 0. So sánh Hình 3 với Hình 1 và Hình 2. Lưu ý sự khác biệt về bản chất giữa bước ngẫu nhiên ‘không dừng' với nhiễu trắng ‘dừng' và hiện tượng AR(1). Giá trị trung bình của bước ngẫu nhiên là giá trị ban đầu của nó (X 0 =0), nhưng lưu ý khoảng giá trị của X. Dãy bước ngẫu nhiên chạy rất xa khỏi giá trị trung bình của nó. 3.4: Bước ngẫu nhiên lệch (Random Walk with Drift). Bây giờ chúng ta xét mô hình sau: X t = a 0 + X t-1 + ε t Trong đó: ε t ~ iid (0,σ 2 ) và giá trị ban đầu của X 0 xác định. Mô hình này khác với mô hình trước ở chỗ đưa vào thêm một hằng số a 0 . Áp dụng cách biến đổi như đã làm với ví dụ trước, ta có thể tìm ra giá trị trung bình và phương sai của X t . Với giá trị ban đầu X 0 , chuỗi số tiến triển như sau: X 0 X 1 = a 0 + X 0 + ε 1 X 2 = a 0 + X 1 + ε 2 = a 0 + a 0 + X 0 + ε 1 + ε 2 X 3 = a 0 + X 2 + ε 3 = a 0 + a 0 + a 0 + X 0 + ε 1 + ε 2 + ε 3 X t = ta 0 + X 0 + ε 1 + ε 2 + ε t X t = ta 0 + X 0 + Σε i E[X t ] = ta 0 + X 0 Tương tự, có thể chỉ ra rằng var (X t ) = t σ 2 . Giá trị trung bình không phải hằng số mà thay đổi theo t. Phương sai cũng thay đổi theo t. Như vậy, bước ngẫu nhiên lệch là chuỗi 'không dừng' vì giá trị trung bình và phương sai không phải là hằng số. Lưu ý rằng, phương trình biểu diễn giá trị trung bình gồm cả số hạng ta 0 , đó là đường thẳng xác định bởi thay đổi của giá trị X t . Tuy nhiên, với Bước ngẫu nhiên 'lệch' đã cho: X 1 = a 0 + X 0 + ε 1 Trừ cả 2 vế cho X t-1 , ta có : ∆ X t = X t - X t-1 = a 0 + ε t Bởi vì a 0 + ε t là dừng, sai phân cấp 1 của Bước ngẫu nhiên là chuỗi dừng. Trong Hình 4 minh hoạ 250 quan sát của Bước ngẫu nhiên 'lệch'. X 1 = 0,6 + X 0 + ε 1 Với giá trị ban đầu X 0 = 0. Đường xu hướng thể hiện rất rõ và Bước ngẫu nhiên 'lệch' biểu diễn trong Hình 4 rất khác với đường biểu diễn Bước ngẫu nhiên trong Hình 3. Tuy nhiên, trong thực tế, rất khó có thể phân biệt 2 hiện tượng trên. Đối với những mẫu nhỏ, nếu như phương sai của chuỗi nhiễu trắng lớn và thành phần xác định 'lệch' a 0 mà nhỏ thì chuỗi số liệu của 2 mô hình trên nhìn khá tương tự. HÌNH 4: BƯỚC NGẪU NHIÊN 'LỆCH' 3.5. Quá trình trung bình trượt ( Moving Average). Chuỗi X t gọi là quá trình trung bình trượt bậc q - MA(q) nếu X t có dạng: X t = ε t + θ 1 ε t-1 + . + θ q ε t-q t = 1,2, . ,n Trong đó ε t là nhiễu trắng. Có thể chỉ ra rằng: E( X t ) = 0 Var(X t ) = σ 2 ( 1 + θ 1 2 + . + θ q 2 ) γ k = cov ( X t , X t+k ) = σ 2 ∑θ i θ i+k nếu k ≤ q và = 0 nếu k > q θ 0 = 1 Quá trình trung bình trượt sẽ dừng nếu -1< θ i < 1 ∀I . phương sai Var(X t ). Vì vậy γ k ρ k = -- -- - -- γ 0 chính là hệ số tự tương quan giữa X t và X t+k . Nếu xét các hệ số tự tương quan ρ k theo độ dài của trễ. ảnh hưởng sâu sắc đến vấn đề ứng dụng kinh tế lượng trong thực tiễn. Những phương pháp mới được các nhà kinh tế lượng quan tâm nhiều nhất đã tạo nên một