TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 03 tháng 01 năm 2010 ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ 1 Thể tích của khối đa diện. Bài 1 : Cho hình chóp S.ABC, trong đó SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Đáy là tam giác ABC cân tại A, độ dài trung tuyến AD là a , cạnh bên SB tạo với đáy một góc α và tạo với mặt (SAD) góc β . Tìm thể tích hình chóp S.ABC Bài 2 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với , 2 ,AB a AD a= = cạnh SA vuông góc với đáy, còn cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy góc 60 o . Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho 3 3 a AM = . Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.BCMN Bài 3 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bằng a , và SH là đường cao của hình chóp. Khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mặt bên (SDC) bằng b . Tìm thể tích hình chóp S.ABCD Bài 4 : Tính thể tích khối tứ diện ABCD biết , ,AB a AC b AD c= = = và các góc ,BAC∠ ,CAD DAB∠ ∠ đều bằng 60 o . Bài 5 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh ,a 60BAD∠ = o , ( ) SA mp ABCD⊥ và SA a= . Gọi C’ là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) qua AC’ và song song với BD cắt các cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B’, D’. Tìm thể tích hình chóp S.AB’C’D’ Bài 6: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a . Qua trung điểm I của cạnh AB dựng đường thẳng (d) vuông góc với mp(ABCD). Trên (d) lấy điểm S sao cho: 3 . 2 a SI = Tìm khoảng cách từu C đến mp(SAD). Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 29 tháng 01 năm 2010 Bài 7 : Cho hình chóp S.ABC có 3SA a= và ( ) .SA mp ABC⊥ ABC∆ có 2 ,AB BC a= = 120 .ABC∠ = o Tìm khoảng cách từ A đến mp(SBC). Bài 8 : Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a . Gọi K là trung điểm của DD’. Tìm khoảng cách giữa CK và AD’. Bài 9 : Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’. Gọi M là trung điểm của AA’. Chứng minh rằng thiết diện C’MB chia lăng trụ thành hai phần tương đương. Bài 10 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các mặt bên tạo với mp đáy góc 60 o . 1. Vẽ thiết diện qua AC và vuông góc với mp(SAD) 2. Thiết diện chia khối chóp thành hai phần có thể tích tương ứng là V 1 , V 2 . Tìm tỉ số 1 2 V V . ………………….Hết………………… BT Viên môn Toán hocmai.vn Trịnh Hào Quang Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 2 Page 2 of 8 TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA HOCMAI.VN A5+A6, 52 Nguyễn Chí Thanh Tel: 04.3775-9290 ………… , ngày ….tháng… năm … HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ 01 Thể tích khối đa diện. (Các em tự vẽ hình vào các bài tập) Bài 1: Cho hình chóp S.ABC, trong đó SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Đáy là tam giác ABC cân tại A, độ dài trung tuyến AD là a , cạnh bên SB tạo với đáy một góc α và tạo với mặt (SAD) góc β . Tìm thể tích hình chóp S.ABC HDG : Thể tích hình chóp S.ABC là: 1 . . 3 ABC V SA S ∆ = Tam giác ABC cân đỉnh A nên trung tuyến AD cũng là đường cao của tam giác. Theo giả thiết: ( ) ( ) ( ) ,SA mp ABC SBA SB mp ABC α ⊥ ⇒ ∠ = = ( ) BD mp SAD BSD β ⊥ ⇒ ∠ = Đặt BD = x suy ra: 2 2 2 2 .tanAB a x SA a x α = + ⇒ = + 2 2 2 2 2 2 2 sin sin sin tan sin sin os sin BD SA SB x a x a x c β α α α β β α β = = ⇒ = + ⇒ = + Do đó: 3 2 2 1 sin .sin . .tan . . 3 3 os( ) os( ) a V a x a x c c α β α α β α β = + = + − Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với , 2 ,AB a AD a= = cạnh SA vuông góc với đáy, còn cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy góc 60 o . Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho 3 3 a AM = . Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.BCMN HDG : Theo giả thiết : ( ) ( ) ( ) , 60 .tan 60 3 SA mp ABCD SBA SB mp ABCD SA AB a ⊥ ⇒ ∠ = = ⇒ = = o o Page 3 of 8 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 29 tháng 01 năm 2010 Trong mp(SAD) kẻ MN || AD (N thuộc cạnh SD) ( ) SD mp BCM N⇒ ∩ = Theo công thức tỉ số thể tích, ta có: . 2 . 2 2 1 3 3 3 4 4 2 . 9 9 9 SMBC SMBC SABC S ABCD SABC SMNC SMNC SADC S ABCD SADC V SM V V V V SA V SM SN SM V V V V SA SD SA = = ⇒ = =   = = = ⇒ = =  ÷   Vậy: 3 . . 5 5 1 10 3 . . . 9 9 3 27 S BCMN SMBC SMNC S ABCD ABCD V V V V SA S a = + = = = Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bằng a , và SH là đường cao của hình chóp. Khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mặt bên (SDC) bằng b . Tìm thể tích hình chóp S.ABCD HDG : Từ giả thiết suy ra H là tâm của hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của CD, và G là trực tâm ∆SCD (1)HG CD⇒ ⊥ Mà ( ) BD AD BD SAC BD SC BD SH ⊥  ⇒ ⊥ ⇒ ⊥  ⊥  và ( ) (2)SC DG SC BDG SC HG ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ Vì I là trung điểm của SH nên : ( ) ( ) ;( ) 2 ;( ) 2HG d H SCD d I SCD b= = = 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 1 1 1 4 à 4 4 4 2 3 16 b a ab GM b v h HG HM SH a b a V a b ⇒ = − = + ⇒ = − ⇒ = − Bài 4: Tính thể tích khối tứ diện ABCD biết , ,AB a AC b AD c = = = và các góc ,BAC∠ ,CAD DAB∠ ∠ đều bằng 60 o . HDG : Không mất tính tổng quát ta giả sử { } min , ,a a b c = Trên AC, AD lấy lần lượt hai điểm C 1 , D 1 sao cho AC 1 = AD 1 = a, từ giả thiết suy ra tứ diện ABC 1 D 1 là tứ diện đều cạnh a nên có 1 1 3 2 12 ABC D V a = Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 4 Page 4 of 8 TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA HOCMAI.VN A5+A6, 52 Nguyễn Chí Thanh Tel: 04.3775-9290 ………… , ngày ….tháng… năm … Theo công thức tỉ số thể tích: 1 1 2 1 1 . ABC D ABCD V AC AD a V AC AD bc = = 1 1 2 2 12 ABCD ABC D bc abc V V a ⇒ = = Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh ,a 60BAD∠ = o , ( ) SA mp ABCD⊥ và SA a= . Gọi C’ là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) qua AC’ và song song với BD cắt các cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B’, D’. Tìm thể tích hình chóp S.AB’C’D’ HDG: Gọi , 'O AC BD I AC SO= ∩ = ∩ , suy ra ' '||B D BD và ' 'B D đi qua I Tam giác SAC nhận I làm trọng tâm nên 2 ' ' 2 3 3 SI SB SD SO SB SD = ⇒ = = Theo công thức tỉ số thể tích: . ' ' . ' ' . . . ' ' 2 1 1 1 1 . . 3 2 3 3 6 S AB C S AB C S ABC S ABCD S ABC V SB SC V V V V SB SC = = = ⇒ = = . ' ' . ' ' . . . ' ' 2 1 1 1 1 . . 3 2 3 3 6 S AD C S AD C S ADC S ABCD S ADC V SD SC V V V V SD SC = = = ⇒ = = Vậy: 3 3 . ' ' ' ' . ' ' ' . ' ' ' . 1 1 3 3 . 3 3 6 18 S A B C D S A B C S A D C S ABCD a V V V V a= + = = = Bài 6: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a . Qua trung điểm I của cạnh AB dựng đường thẳng (d) vuông góc với mp(ABCD). Trên (d) lấy điểm S sao cho: 3 . 2 a SI = Tìm khoảng cách từ C đến mp(SAD). HDG: Ta có: 3 . 1 3 . . 3 6 S ABCD ABCD a V SI S = = Áp dụng pitago ta có: 2 2 2 2 5 4 a DI AI AD= + = , 2 2 2 2 SA SI AI a= + = , 2 2 2 2 2SD SI DI a= + = 2 2 2 SD SA DA SAD= + ⇒ ∆ vuông tại A nên 2 1 1 .SA 2 2 SAD S AD a ∆ = = Vậy khoảng cách cần tìm là: ( ) ( ) 3 3 3 , 2 2 SACD SABCD SAD SAD V V a d C SAD S S ∆ ∆ = = = Bài7: Cho hình chóp S.ABC có 3SA a = và ( ) .SA mp ABC ⊥ ABC∆ có 2 ,AB BC a = = 120 .ABC ∠ = o Tìm khoảng cách từ A đến mp(SBC). Page 5 of 8 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 29 tháng 01 năm 2010 HDG: Ta có: ( ) 2 2 1 1 . . .sin . 2 .sin120 3 2 2 ABC S BA BC B a a ∆ = = = o 2 3 . 1 1 . . .3 . 3 3 3 3 S ABC ABC V SA S a a a ∆ ⇒ = = = Áp dụng định lí hàm số cosin trong tam giác ABC có: 2 2 2 2 2 . .cos 12 2 3AC AB CB BA BC B a AC a = + − = ⇒ = Áp dụng pitago trong tam giác vuông: 2 2 2 2 2 2 2 2 13 13 21 21 SB SA BA a SB a SC SA AC a SC a = + = ⇒ = = + = ⇒ = Ta có: 2 2 2 15 4 os sin 2 . 273 91 SB SC BC c BSC BSC SB SC + − ∠ = = ⇒ ∠ = 2 1 . .sin 2 3 2 SBC S SB SC BSC a ∆ ⇒ = ∠ = Vậy khoảng cách cần tìm là: ( ) ( ) . 3 1 , 2 S ABC SBC V d A mp SBC a S ∆ = = Bài 8: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a . Gọi K là trung điểm của DD’. Tìm khoảng cách giữa CK và AD’. HDG: Kẻ AH || CK (H thuộc cạnh CC’), khi đó ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' , ' , ' , ' 3 ', ' AHD AHC D CK AD CK mp AHD C mp AHD V C mp AHD S ∆ = = = = Dễ thấy H là trung điểm của CC’ và tính được 3 ' ' ' ' 1 . . 3 12 AHC D HC D a V AD S ∆ = = Xét tam giác AHD có: 2 2 5 ' ' ; 2 2 a DH DC HC AD a= + = = 2 2 3 2 a AH AD HD= + = 2 ' 1 3 1 3 os ' sin ' . ' . ' .sin ' 2 4 10 10 AD H a c AD H AD H S D A D H AD H ∆ ⇒ ∠ = ⇒ ∠ = ⇒ = ∠ = Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng Ck và AD’ là: Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 6 Page 6 of 8 TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA HOCMAI.VN A5+A6, 52 Nguyễn Chí Thanh Tel: 04.3775-9290 ………… , ngày ….tháng… năm … ( ) ( ) ( ) ' ' 3 , ' , ' 3 AHD AHC D V a CK AD CK mp AHD S ∆ = = = Bài 9: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’. Gọi M là trung điểm của AA’. Chứng minh rằng thiết diện C’MB chia lăng trụ thành hai phần tương đương. HDG: Gọi 1 V là thể tích phần đa diện chưa điểm A, và V là thể tích lăng trụ. Kí hiệu h là khoảng cách từ B đến mp (ACC’A’), ta có: ( ) 1 . ' ' ' ' ' ' ' ' '. 1 1 . . . 3 3 1 1 1 3 1 . . . 3 2 2 2 2 B ACC A ACC M ACC AMC ACC ACC ACC C ABC V V h S h S S h S S h S V V ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ = = = +   = + = = =  ÷   Do đó thể tích phần còn lại cũng bằng 1 2 V nên ta có đpcm. Bài 10: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các mặt bên tạo với mp đáy góc 60 o . 3. Vẽ thiết diện qua AC và vuông góc với mp(SAD) 4. Thiết diện chia khối chóp thành hai phần có thể tích tương ứng là V 1 , V 2 . Tìm tỉ số 1 2 V V . HDG: 1. Vẽ thiết diện qua AC và vuông góc với (SAD): ( )DoAC SBD AC SD ⊥ ⇒ ⊥ . Kẻ ( ) ( ) ( )CM SD SD ACM ACM P⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ≡ Vậy (ACM) là thiết diện. 5. Đặt 1 .D ACM V V = Ta có: . . 1 2 S ACM S DAC V V SM V SD V ′ = = . Gọi N là trung điểm của CD 0 óc( ) 60HN CD SN CD g SNH⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = 0 1 óc( ) 60 2 . à 2; 3 2 1 5 2 5 HN CD SN CD g SNH HN SN SN DN m HN a HD a SH a V SC SD a CM a SM a V ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = ⇒ = ⇒ = = ⇒ = = ′ ⇒ = = ⇒ = ⇒ = ⇒ = Page 7 of 8 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 29 tháng 01 năm 2010 ………………….Hết………………… BT Viên môn Toán hocmai.vn Trịnh Hào Quang Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 8 Page 8 of 8 . HOCMAI.ONLINE P.2 512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 03 tháng 01 năm 2 010 ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ 1 Thể tích của khối đa diện. Bài 1 : Cho hình. , ngày ….tháng… năm … Theo công thức tỉ số thể tích: 1 1 2 1 1 . ABC D ABCD V AC AD a V AC AD bc = = 1 1 2 2 12 ABCD ABC D bc abc V V a ⇒ = = Bài 5: Cho