HÀM SỐ MŨ – LOGARÍT A. LÝ THUYẾT: I. Hàm số mũ: 1. Định nghĩa: Cho a 0,a 1> ≠ . Hàm số y = a x được gọi là hàm số mũ cơ số a. 2. Đạo hàm của hàm số mũ: ( ) ( ) x x e ' e u u e ' u 'e = = ( ) ( ) x x ' a u u ' u 'a a .ln a a .ln a = = 3. Khảo sát hàm số mũ x y a ,a 1= > x y a ,0 a 1= < < Tập xác định D = R x y' a .ln a 0, x= > ∀ x y' a .ln a 0, x= < ∀ x x lima 0; lima ; x x = = +∞ →−∞ →+∞ x x lima ; lim a 0 x x = +∞ = →−∞ →+∞ Tiệm cận ngang: trục Ox BBT x -∞ 0 1 +∞ y’ + y 1 a +∞ 0 BBT f(x)=2^x -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 x y f(x)=(1/2)^x -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 x y II. Hàm số logarit: 1. Định nghĩa: Cho a 0,a 1> ≠ . Hàm số y =log a x được gọi là hàm số logarit cơ số a 2. Đạo hàm của số logarit : ( ) ( ) 1 log x ' a x.ln a log ' a u.ln a u ' u = = ( ) ( ) 1 ln x ' x 1 ln u ' .u ' u = = 3. Khảo sát hàm số logarit y log x,a 1 a = > y log x,0 a 1 a = < < Tập xác định D = ( ) 0;+∞ 1 y' 0, x 0 x.ln a = > ∀ > 1 y' 0, x 0 x.ln a = < ∀ > lim ; lim y ; x 0 x y + = −∞ = +∞ → →+∞ lim ; lim y ; x 0 x y + = +∞ = −∞ → →+∞ HÀM SỐ MŨ – LOGARÍT kientqk@yahoo.com 1 x -∞ 0 1 +∞ y’ - y +∞ 1 a 0 Tiệm cận đứng : trục Oy BBT x 0 +∞ y’ + y +∞ -∞ BBT 4 2 -2 -4 -10 -5 5 10 4 2 -2 -4 -10 -5 5 1 0 B. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau. 1) y = 1 − x x e e 2) y = 1 12 − − x e 3) y = ln       − − x x 1 12 4) y = log(-x 2 – 2x ) 5) y = ln(x 2 -5x + 6) 6) y =         − +− x xx 31 132 log 2 2 Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau. 1) y = (x 2 -2x + 2).e x 2) y = (sinx – cosx).e 2x 3) y = xx xx ee ee − − + − 4) y = 2 x - x e 5) y = ln(x 2 + 1) 6) y = x xln 7) y = (1 + lnx)lnx 8) y = 1ln. 22 + xx 9) y = 3 x .log 3 x 10) y = (2x + 3) e 11) y = x x . π π 12) y = 3 x Bài 3: Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây thỏa mãn hệ thức tương ứng đã cho. 1) y = e sinx ; y’cosx – ysinx – y’’ = 0 2) y = ln(cosx) ; y’tanx – y’’ – 1 = 0 3) y = ln(sinx) ; y’ + y’’sinx + tan 2 x = 0 4) y = e x .cosx ; 2y’ – 2y – y’’ = 0 5) y = ln 2 x ; x 2 .y’’ + x. y’ = 2 Bài 4: Cho hàm số 2 x x y e − + = . Giải phương trình y y 2y 0 ′′ ′ + + = Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 1) .= x y x e trên đoạn [ 1; 2]− 2) = + x x e y e e trên đoạn [ln 2 ; ln 4] 3) y = −ln x x . 4) ( ) 2 y x ln 1 2x= − − trên [-2; 0] ( TN08-09) 5) y = 2 2 log 2 log 2 x x − + trên đoạn [8; 32] 6) y = f(x) = x 2 - 8. lnx trên đoạn [1 ; e] HÀM SỐ MŨ – LOGARÍT kientqk@yahoo.com 2 x 0 +∞ y’ - y +∞ -∞ 7) f(x) = (x 2 – 3x +1)e x trên đoạn [0;3] 8) y = x – lnx + 3 trên 1 ;e e       9) f(x) = x 2 e -x trên đoạn [-1;1] 10) 2 ln ( ) x f x x = trên đoạn [1;e 3 ] HÀM SỐ MŨ – LOGARÍT kientqk@yahoo.com 3