một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức Th viện SKKN của Quang Hiệu http://quanghieu030778.violet.vn/ Phần A: đặt vấn đề I. lí do: Mục tiêu giáo dục hiện nay là nâng cao chất lợng, hiệu quả của việc dạy và học, làm cho kết quả học tập của học sinh ngày một nâng cao. Muốn đáp ứng đợc yêu cầu đó thì nhiệm vụ của giáo viên và học sinh là: Phải dạy và học thế nào để đạt hiệu quả cao nhất. Cùng với các môn học khác, môn toán là môn học giữ vai trò rất quan trọng. Thông qua môn toán học sinh nắm vững kiến thức toán học, từ đó có cơ sở thuận lợi để học các môn học khác, cũng nh ứng dụng các kiến thức đã học vào thực tiễn. Dạy toán tức là dạy phơng pháp suy luận. Học toán là rèn luyện khả năng t duy logic. Giải toán là hoạt động hấp dẫn và bổ ích. Nó giúp các em nắm vững thêm kiến thức, phát triển từng bớc năng lực t duy, hình thành kĩ năng kĩ xảo. Đối với học sinh bậc trung học cơ sở hiện nay thì nhiều phần trong môn đại số là rất khó. Một trong các phần đó là phần bất đẳng thức. Các bài toán về bất đẳng thức thờng khó nhng lại hay, loại toán này rất đa dạng và phong phú, có nhiều ứng dụng, đặc biệt rèn luyện tốt t duy sáng tạo, kĩ năng suy luận. Để giải tốt loại toán này cần vận dụng rất nhiều kiến thức một cách linh hoạt. Trong sách giáo khoa không đề cập nhiều đến dạng toán này, tuy nhiên trong các đề thi học sinh giỏi, thi vào trung học phổ thông thì lại thờng xuyên có loại toán này. Bên cạnh đó nếu học tốt các bất đẳng thức sẽ giúp học sinh học tốt hơn các phần khác. Qua tìm hiểu thực tế tôi thấy học sinh rất sợ dạng bài chứng minh bất đẳng thức. Trớc thực trạng nh vậy chúng ta không khỏi băn khoăn, trăn trở phải làm thế nào để tháo gỡ giúp các em bớt đi khó khăn khi gặp các bài toán về bất đẳng thức. Trong phạm vi nhỏ hẹp này tôi xin đợc trình bày một số ý kiến nhỏ mà qua thực tế giảng dạy tôi thấy đã làm giảm bớt khó khăn cho học sinh khi giải các bài toán về bất đẳng thức, làm cho các em say mê, hứng thú học toán hơn. Trang 1 một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức II. Cơ sở lí luận và thực tiễn: Bất đẳng thức là một vấn đề lớn trong chơng trình toán phổ thông. Vấn đề này đợc đa vào một cách xuyên suốt từ lớp một trở lên. Nhng ở các lớp dới bất đẳng thức cha đợc trình bày một cách cụ thể mà thờng đợc thể hiện dới dạng ẩn. Cụ thể là: - ở lớp một, lớp hai, lớp ba thể hiện dới dạng bài tập : Điền dấu < , > , = thích hợp vào ô trống: 4 2 . . . - ở lớp bốn, lớp năm còn có thêm dạng: tìm số tự nhiên x biết rằng: 34 < x < 38 - ở lớp sáu, lớp bẩy bất đẳng thức thể hiện dới dạng: so sánh luỹ thừa, so sánh phân số, so sánh hai số hữu tỷ. Trong hình học 7 thì có bất đẳng thức tam giác. - Đến lớp tám, SGK mới chính thức dành riêng một mục trình bày định nghĩa và một vài tính chất của bất đẳng thức, thờng chỉ ở dạng đơn giản ngắn gọn. Cũng từ đó lợng bài tập về bất đẳng thức cũng nhiều và khó hơn, chẳng hạn: chứng minh biểu thức luôn dơng hay luôn âm, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức . . . Do vừa mới đợc làm quen và cha đi sâu nghiên cứu về nó, SGK cũng không nêu ra các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức nên khi giải bài tập học sinh thờng mắc sai lầm và nhiều khi không biết bắt đầu từ đâu. Vì thế, học sinh rất sợ các bài tập chứng minh bất đẳng thức. Do đó giáo viên và học sinh rất vất vả trong việc nghiên cứu, su tầm và tuyển chọn các bài tập của dạng toán này. Trong những năm trớc khi dạy ôn thi, bồi dỡng HSG thì phần bất đẳng thức tôi chỉ hớng dẫn các em qua các bài tập cụ thể mà không tổng hợp, phân dạng cho các em. Với cách làm nh vậy, tôi thấy khi phải làm các bài tập khác tơng tự các em rất lúng túng khi tìm lời giải, mặc dù vẫn có một số em làm đợc. Với mong muốn khắc phục tình trạng này một trong những biện pháp tôi đã thử nghiệm thấy hiệu quả hơn đó là: đa ra phơng pháp giải rồi áp dụng. Cách làm đó tạo cho các em hiểu và ghi nhớ có hệ thống, từ đó sẽ dễ dàng hơn khi giải bài tập về bất đẳng thức. Trang 2 một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức III . đối tợng, phơng pháp ngnhiệm vụ 1. Đối tợng và phơng pháp nghiên cứu *Đối tợng nghiên cứu : học sinh THCS *Phơng pháp nghiên cứu : + Điều tra, thực nghiệm, khảo sát kết quả học tập của học sinh. + Thực nghiệm giảng dạy bồi dỡng học sinh giỏi lớp 8, 9. + Trao đổi trong các nhóm chuyên môn. + Điều tra, đánh giá kết quả của học sinh sau khi thực nghiệm đề tài. 2. Nhiệm vụ của đề tài - Đa ra những kiến thức cơ bản nhất về bất đẳng thức. - Đề xuất một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức. - Rèn cho học sinh kĩ năng phân tích tìm lời giải bài toán chứng minh bất đẳng thức. - Rèn cho học sinh biết lựa chọn phơng pháp giải hợp lí cho mỗi bài toán. Muốn vậy phải rèn khả năng phân tích, xem xét bài toán dới nhiều góc độ khác nhau, cũng nh tính đặc thù của mỗi bài toán, từ đó mà lựa chọn cách giải phù hợp. Nó giúp phát huy khả năng t duy sáng tạo, linh hoạt, tạo đợc lòng say mê, tự tin và không ngại ngùng khi gặp bài toàn về bất đẳng thức. IV.nội dung đề tài I : Các kiến thức cần nắm vững. II : Một số phơng pháp thờng dùng để chứng minh bất đẳng thức. III : Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng. IV : Trang 3 một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức Phần B: nội dung i: các kiến thức cần nắm vững 1-Định nghĩa: Hai số a và b bất kỳ: a > b a - b > 0 a < b a - b < 0 Chú ý: với dấu hay cũng tơng tự. 2 . Tính chất: 2.1 a > b b < a 2.2 nếu a > b và b > c thì a > c 2.3 nếu a > b, c bất kỳ thì a + c > b + c 3. Hệ quả: a + c > b + c a > b a + c > b a > b - c a > b; c > 0 ac > bc a > b; c < 0 ac < bc 4. Một số kiến thức bổ sung : 4.1 a > b; c > d a + c > b + d 4.2 a > b; c < d a c > b - d 4.3 a > b 0; c > d 0 ac > bd 4.4 Nếu a > b và a.b > 0 thì < a 1 b 1 4.5 a > b > 0 a n > b n ( n N*) 4.6 a > b a n > b n (n N*, n lẻ ) ba > a n > b n (n N*, n chẵn ) 4.7 So sánh hai lũy thừa cùng cơ số m > n, m; n N* Nếu a > 1 thì a m > a n Nếu a = 1 thì a m = a n Nếu 0 < a < 1 thì a m < a n 4.8 a 2 0 a ;- a 2 0 a dấu = xảy ra a = 0 4.9 a0a dấu = xảy ra a = 0 Trang 4 một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức 4.10 - aaa a dấu = xảy ra a = 0 4.11 baba ++ dấu =xảy ra ab 0 baba dấu = xảy ra ab 0 và ba 4.12 a 2 +b 2 2ab a ,b 4.13 ba,ab 2 ba 2 ba 2 2222 + + 0)2(ab b a a b 4.15 0)b0,(a ba 4 b 1 a 1 4.14 >+ >> + >+ 4.16 2(a 2 +b 2 ) (a+b) 2 a,b 4.17 3(a 2 +b 2 +c 2 ) (a+b+c) 2 4.18 (Bất đẳng thức Côsi) Đối với hai số không âm: 21 2 21 aa 2 aa + Dấu= xảy ra 21 aa = Mở rộng đối với n số không âm : n21 n n21 a .aa n a .aa +++ . Dấu = xảy ra n21 a .aa === 4.19 (Bất đẳng thức Bunhiacôpxki) Đối với bốn số bất kì: )bb)(aa()baba( 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2211 +++ Mở rộng đối với 2n số bất kì : )b .bb)(a .aa()ba .baba( n 2 2 2 1 2 n 2 2 2 1 2 nn2211 +++++++++ Dấu = xảy ra n1; với ==== i0a a b . a b a b i n 2 2 2 1 1 Trang 5 một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức II: một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức thờng dùng Trong kinh nghiệm này tôi chỉ đa ra cách chứng minh bất đẳng thức dạng A > B, các bất đẳng thức dạng khác cũng chứng minh tơng tự 1. Dùng định nghĩa. Để chứng minh A > B ta xét hiệu A- B và chứng minh A- B > 0 *Ví dụ 1: Chứng minh rằng: (a + b) 2 4ab với mọi a, b R Hớng dẫn: Xét hiệu: (a + b) 2 - 4ab = a 2 + 2ab + b 2 - 4ab = a 2 - 2ab + b 2 = (a - b) 2 Vì (a b) 2 0 với mọi a, b R nên (a + b) 2 4ab với mọi a, b R Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b Vậy (a + b) 2 4ab với mọi a, b R *Ví dụ 2: Chứng tỏ rằng với mọi a, b R ta có : 3344 abbaba ++ Hớng dẫn: Xét hiệu : a 4 +b 4 a 3 b - ab 3 = a 3 (a-b) - b 3 ( a-b) = (a-b) (a 3 - b 3 ) = (a b) 2 (a 2 +b 2 +ab) = (a-b) 2 Rba,0 4 3b ) 2 b (a 2 2 ++ Dấu = xảy ra khi a = b. Vậy a 4 + b 4 a 3 b + ab 3 2. Dùng các phép biến đổi tơng đơng Muốn chứng minh A > B ta biến đổi A > B (1) A 2 2 k 1 1 2 k 1 . 3 k 1 2 k 1 1) 2(k 1 . 2 1 k 1 1 1 k 1 S 1 k + + + ++ + + + = + ++ ++ + ++ = + > B 1 A n > B n (2) Trong đó (1) là bất đẳng thức cần chứng minh. (2) là bất đẳng thức đã có (đề bài cho hoặc là hằng bất đẳng thức). Trang 6 một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức *Ví dụ 3: Cho các số dơng a và b thỏa mãn điều kiện: a + b = 1. Chứng minh rằng: ( ) 1 9 + + b 1 1 a 1 1 Hớng dẫn: 9 b 1b a 1a (1) ++ . ab +a+b+1 9ab (vì ab > 0) a+b+1 8ab 2 8ab (vì a + b =1) 1 4ab (a+b) 2 4ab (vì a + b =1) (a-b) 2 0 (2) Bất đẳng thức (2) đúng, mà các phép biến đổi là tơng đơng . Vậy bất đẳng thức (1) đợc chứng minh. *Ví dụ 4: Cho các số a, b > 0 chứng minh rằng: 4 ab ba ab2 + (1) Hớng dẫn: Do a > 0; b > 0 nên ta có thể chia hai vế của bất đẳng thức cho 4 ab (1) 1 ba ab 2 4 + 2 4 ab ba + ( Do 0ba >+ ) bab2a0 4 + ( ) 2 44 ba0 (2) Ta thấy (2) đúng với mọi a, b > 0. Do đó (1) đúng Dấu = xảy ra a = b Vậy bất đẳng thức đợc chứng minh. *Ví dụ 5: Cho các số a, b > 0. Trang 7 một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức Chứng minh rằng: ( ) 22 ba2ba ++ (1) Hớng dẫn: Vì a > 0; b > 0 0ba >+ Cả hai vế của (1) không âm, bình phơng hai vế ta đợc ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )2(0ba 2 + +++ ++ 0b2aba 2b2ab2aba ba2ba(1) 22 2222 2 22 2 Ta thấy (2) đúng nên (1) đúng Chứng tỏ a > 0; b > 0 thì ( ) 22 ba2ba ++ Dấu = xảy ra a = b 3. Dùng các tính chất của bất đẳng thức - Sử dụng các tính chất của bất đẳng thức để biến đổi dữ kiện đề bài cho thành điều phải chứng minh. - Sử dụng tính chất bắc cầu Để chứng minh A > B ta chứng minh A > C > D > > M > B. Từ đó suy ra A > B. Chú ý: Một số bớc trung gian có thể xảy ra dấu = hoặc *Ví dụ 6: Cho a + b + c = 1 Chứng minh rằng a 2 + b 2 + c 2 3 1 Hớng dẫn Từ các bất đẳng thức: a 2 2ab +b 2 0 với mọi a, b (1) a 2 2ac +c 2 0 với mọi a, c (1) b 2 2bc +c 2 0 với mọi b, c (3) Do a + b + c = 1 ( ) 1cba 2 =++ 12ac2bc2abcba 222 =+++++ (4) Cộng từng vế của (1), (2), (3), (4) ta đợc ( ) 1cba3 222 ++ 3 1 cba 222 ++ *Ví dụ 7 : Cho a, b > 0. Chứng minh rằng 4 b 1 a 1 b)(a ++ Hớng dẫn: Trang 8 một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức Vì a > 0 , b > 0 nên 0 b 1 ;0 a 1 >> Với hai số dơng a, b và hai số dơng b 1 ; a 1 ta có: )2( ab 1 2 b 1 a 1 )1(ab2ba + + (Theo Côsi) Vì các vế của các bất đẳng thức (1) và (2) đều dơng, nhân từng vế ta đợc: ab 1 2.ab2 b 1 a 1 )ba( ++ = 4 Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b Vậy với a, b > 0 thì 4 b 1 a 1 b)(a ++ *Ví dụ 8: Cho 0 < a, b, c, d < 1. Chứng minh rằng: (1- a).(1- b).(1- c).(1- d) >1- a- b- c- d (1) Hớng dẫn: Ta có (1- a)(1- b) = 1- a - b + ab Do a > 0; b > 0 nên ab > 0 từ đó suy ra: (1 - a)(1 - b)>1- a - b (1) Do c <1 nên 1- c > 0 nhân cả hai vế của (1) với 1- c ta đợc : (1- a)(1- b)(1- c) >(1- a- b)(1- c)=1- a - b - c + ac + bc Do a, b, c > 0 nên ac + bc > 0 vì vậy 1- a- b - c + ac + bc > 1- a- b- c Do đó (1- a)(1- b)(1- c) > 1- a- b - c (2) Nhân hai vế của (2) với 1- d > 0 ta đợc : (1- a)(1- b)(1- c)(1- d) > (1- a- b - c)(1- d) Mà 1- a- b- c- d + ad + bd + cd > 1-a-b-c-d (vì ad + bd + cd > 0) Vậy (1- a)(1- b)(1- c)(1- d) >1- a - b - c - d *Ví dụ 9: Chứng minh rằng: a 4 + b 4 + c 4 abc(a + b + c) với mọi a, b, c Hớng dẫn áp dụng ví dụ 1 Trang 9 một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức )2)(cba(abccbcaba )bc)(ac()bc)(ab()ac)(ab(cbcaba )1(cbcabacba 222222 222222 222222444 ++++ ++++ ++++ Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh. *Ví dụ 10: Chứng minh bất đẳng thức: nn 1 . 2n 1 1n 1 222 + ++ + + + <1 *)Nn( Hớng dẫn Ta có: hạngsố n n 1 . n 1 n 1 nn 1 . 2n 1 1n 1 )n;1k( n 1 n 1 kn 1 222 22 +++< + ++ + + + ==< + suy ra 1 nn 1 . 2n 1 1n 1 222 < + ++ + + + 4. Sử dụng một số bất đẳng thứcđã biết Xuất phát từ các bất đẳng thức đã biết nh bất đẳng thức Côsi, bất đẳng thức Bunhiacôpxki, để chứng minh bất đẳng thức đã cho. Chú ý: Khi sử dụng các bất đẳng thức đã cho cần xét đến điều kiện. * Ví dụ 12: Cho a, b là 2 số dơng. Chứng minh (a + b) .(ab + 1) 4ab. * Hớng dẫn: Vì a > 0, b > 0 ab > 0 áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 cặp số dơng (a, b) và (ab;1) ta có: ( ) ( ) 2 ab2 ab.12 1 1 ab2 b =+ + ab a Vì 2 của các bất đẳng thức (1) và (2) đều dơng nên ta có ( )( ) 4ab ab2 1 b =++ ab2.aba Vậy (a + b) . (ab + 1) 4ab Dấu "=" xảy ra khi 1 b a 1 ab b == = = a Trang 10 [...]... nên (2) đúng Vậy chứng tỏ (1) đúng (Điều phải chứng minh) 7 Phơng pháp quy nạp áp dụng với các bài tập tổng quát Ta thử vào bất đẳng thức với giá trị nhỏ nhất theo dữ kiện của bài Giả sử bất đẳng thức đúng với k Chứng minh bất đẳng thức đúng với k + 1 Từ đó suy ra điều phải chứng minh *Ví dụ 18: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n > 1 Ta đều có: Trang 13 (2) một số phơng pháp chứng minh bất đẳng...một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức * Ví dụ 13: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki chứng minh: a - Cho x, y R thoả mãn x2 + y2 = 1 Chứng minh: 2 x +y 2 4 b- Cho x, y R thoả mãn x + 2y = 2 Chứng minh: x 2 + y 2 5 Hớng dẫn: a) áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có: (x + y)2 = (1 x + 1 y)2 (12 +... phạm vi áp dụng của đề tài: Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức đợc áp dụng trong các tiết dạy bồi dỡng học sinh giỏi các khối 8, 9 và ôn tập cho các em lớp 9 thi vào THPT Trang 26 một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức Phần C: Kết luận Trên đây, tôi đã tổng hợp lại một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức Đó là công cụ cần thiết để chứng minh bất đẳng thức Mỗi phơng pháp có một u thế... c) b (2) 1 1 4 4 + = p-a p-c (p - a) +(p - c) c (3) Trang 11 một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức Cộng (1), (2), (3) theo từng vế ta có: 2( 1 1 1 1 1 1 + + ) 4( + + ) p-a p-b p-c a b c Vậy 1 1 1 1 1 1 + + 2( + + ) p-a p-c p-b a b c Đó là điều phải chứng minh Dấu = xảy ra khi a = b = c 5 Dùng phản chứng: Muốn chứng minh A > B (1) Ta giả sử A B, từ đó ta chỉ ra điều mâu thuẫn với giả thiết hoặc... + 2 2k 24 Ta đi chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1 Thật vậy với n = k + 1 ta có: S k +1 = 1 1 1 1 1 1 1 + + + = + + + + k +1 +1 k +1 + 2 2(k + 1) k + 2 k + 3 2k + 1 2k + 2 Xét S k +1 - S k = 1 1 1 1 + = 2k + 1 2k + 2 k + 1 2(k + 1)(2k + 1) Hiện S k +1 - S k = 1 > 0 khi k >1 2(k + 1)(2k + 1) Do đó S k + 1 > S k > 13 Vậy bất đẳng thức đã đợc chứng minh 24 *Ví dụ 19: Chứng minh rằng: 2n > n2... N, n 5) Hớng dẫn: + Với n = 5 bất đẳng thức (1) đúng vì 25 > 52 + Giả sử bài toán đúng với n = k; k 5 Tức là ta có: 2k > k2 Ta phải đi chứng minh: 2k+1> (k+1)2 Thật vậy: Ta có 2k > k2 2k+1 > 2k2 (2) Ta đi chứng minh: 2k2 > (k+1)2 Trang 14 một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức Xét hiệu: 2k2 - (k+1)2 = k2 - 2k - 1 = k(k - 2) - 1 Do k 5 k - 2 3 k(k - 2) 15 k (k - 2) - 1 > 0 2k2 > (k+1)2 (3)... liên quan đến biến của bất đẳng thức đã cho bằng một biến mới Sau đó chứng minh bất đẳng thức theo biến mới là đúng Kết luận bất đẳng thức đã cho là đúng *Ví dụ 21: 1 Cho a + b + c = 1 Chứng minh rằng a 2 + b2 + c2 3 Hớng dẫn: Đặt a = Trang 15 1 3 +x, b = 1 3 +y, c = 1 3 +z Vì a + b + c = 1 nên x + y + z = 0 một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức a 2+ b2+c2= ( 1 3 +x)2+( 1 3 +y)2+( 1 3 +z)2 1 1... = k Chứng minh : a 12 + a 2 + + a 2 2 n k2 n Nhận xét chung: Trên đây là một số phơng pháp phổ biến dùng để chứng minh bất đẳng thức ngoài ta cùng còn một số phơng pháp khác nhng ít dùng hơn Để học tốt về bất đẳng thức học sinh cần nắm vững các phơng pháp cơ bản tuỳ theo đặc thù từng bài cụ thể mà vận dụng linh hoạt các phơng pháp đó Cần lu ý rằng một bài toán có thể vận dụng nhiều cách chứng minh. .. cần chứng minh là tích của hai tổng không âm vì a, b, c > 0 Do vậy chúng ta có thể kết hợp với tính chất của bất đẳng thức: A > B 0 AC > BD C> D 0 Trang 17 một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dơng a, b, c và 3 số dơng 1 1 1 ; ; a b c Ta có: a + b + c 33 abc 1 1 1 1 1 1 + + 33 a b c a b c Nhân từng vế của (1) và (2) ta có: 1 1 1 Điều phải chứng minh. .. b, c là cạnh của tam giác: Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ac) Hớng dẫn: Sử dụng bất đẳng thức tam giác Vì là 3 cạnh của 1 tam giác nên (a + b) > c (a + b) c > c2 (1) (a + c) > b (a + c) b > b2 (2) (b + c) > a (b + c) a > a2 (3) Cộng từ vế của (1); (2); (3) ta có: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ac) Điều phải chứng minh Bài số 3: Trang 18 một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức Cho hàm . dạng khác cũng chứng minh tơng tự 1. Dùng định nghĩa. Để chứng minh A > B ta xét hiệu A- B và chứng minh A- B > 0 *Ví dụ 1: Chứng minh rằng: (a +. phơng pháp chứng minh bất đẳng thức II: một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức thờng dùng Trong kinh nghiệm này tôi chỉ đa ra cách chứng minh bất đẳng