¤n tËp ch­¬ng IV PhÇn I: Ph­¬ng tr×nh bËc hai PhÇn II: BÊt ph­¬ng tr×nh vµ hÖ bÊt PT bËc hai PhÇn III: Ph­¬ng tr×nh vµ bÊt PT qui vÒ bËc hai PhÇn IV: HÖ ph­¬ng tr×nh bËc hai Hệ phương trình bậc hai 1. Hệ gồm một phương trình bậc hai và một phương trình bậc nhất của hai ẩn Cách giải: Từ PT bậc nhất của x và y rút 1 ẩn theo ẩn kia rồi thế vào PT bậc 2, ta được một PT bậc hai theo một ẩn 2. Hệ phương trình đối xứng đối với x và y Định nghĩa : Hệ phương trình đối xứng đối với x và y là hệ mà mỗi PT của hệ không thay đổi khi ta thay x bởi y và y bởi x Cách giải: Đặt S = x + y ; P = xy biến đổi hệ PT về 2 ẩn S và P Sau khi tìm được S và P thì x, y là nghiệm của PT bậc 2 X 2 - SX + P = 0 Bµi 5 (trang 128) Gi¶i c¸c hÖ ph­¬ng tr×nh sau: a) x 2 - 5xy + y 2 = 7 2x + y = 1 b) c) x 2 + y 2 + x + y = 8 xy + x + y = 5 x 2 + y 2 - x + y = 2 xy + x - y = -1 a) x 2 - 5xy + y 2 = 7 (1) 2x + y = 1 (2) Bµi gi¶i : Tõ PT (2) y = 1 - 2x ⇒ ThÕ vµo PT (1) ta ®­îc : x 2 - 5x(1-2x) + (1-2x) 2 = 7 ⇔ x 2 - 5x + 10x 2 + 1 - 4x ⇔ + 4x 2 - 7 = 0 15x 2 - 9x - 6 = 0 ⇔ x = 1 x = - 2 5 Víi x = 1 Ta cã y = -1 Víi x = - 2 5 Ta cã y = 9 5 VËy: HÖ PT ®· cho cã 2 nghiÖm: (1;-1) vµ ( 9 5 5 - 2 ; ) b) x 2 + y 2 + x + y = 8 xy + x + y = 5 Đặt: S = x + y; P = xy Hệ đã cho trở thành S 2 - 2P + S = 8 (1) P + S = 5 (2) Từ PT (2) P = 5 - S Thế vào PT (1) Ta được: S 2 - 2(5-S) + S = 8 S 2 + 3S - 18 = 0 S = 3 S = - 6 Khi S = 3 thì P = 2, do đó ta có : x + y = xy = 3 2 x, y là nghiệm của PT bậc hai X 2 - 3X +2 = 0 X= 1 X = 2 Trường hợp này hệ PT đã cho có hai nghiệm (1;2) và (2;1) Khi S = -6 thì P =11 Dễ thấy S 2 - 4P = 36 - 44 = -8 <0 Suy ra hệ vô nghiệm Kết luận Hệ PT đã cho có 2 nghiệm: (1;2) và (2;1) c) x 2 + y 2 - x + y = 2 xy + x - y = -1 (I) §Æt t = -x ta ®­îc hÖ ph­¬ng tr×nh t 2 + y 2 + t + y = 2 - ty - t - y = - 1 ⇔ t 2 + y 2 + t + y = 2 ty + t + y = 1 (II) §¸p sè HÖ PT (II) cã 2 nghiÖm t = 0 y = 1 vµ t = 1 y = 0 Do ®ã hÖ PT (I) cã 2 nghiÖm x = 0 y = 1 vµ x = -1 y = 0 Bài tập Giải hệ phương trình sau x + 1 y + 2 + x + y = 5 = 4 Giải: Điều kiện x + 1 0 y + 2 0 x - 1 y - 2 Đặt u = x + 1 v = y + 2 ( u 0 ; v 0 ) Hệ phương trình đã cho trở thành: u + v = 4 u 2 + v 2 = 8 Đặt S = u +v , P = uv ta có hệ phương trình: S =4 S 2 - 2P = 8 P = 4 S = 4 Do đó u + v = 4 uv = 4 u = 2 v = 2 Vì vậy theo cách đặt ban đầu ta có: x + 1 y + 2 = 2 = 2 x = 3 y = 2 Vậy hệ PT có 1 nghiệm x = 3 y = 2 Tìm chỗ sai trong lời giải bài toán sau: Bài toán: Cho hệ phương trình x 2 + y 2 = m xy = 1 - m Tìm những giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm Bài giải: Đặt S = x + y ; P = xy hệ PT đã cho trở thành S 2 - 2P = m P = 1 - m Thay P = 1 - m vào PT thứ nhất ta có S 2 - 2(1 - m) = m S 2 = 2 - m (*) Hệ PT đã cho có nghiệm khi và chỉ khi PT (*) có nghiệm tức là: 2 - m 0 m 2 Bài giải: Đặt S = x + y ; P = xy hệ PT đã cho trở thành S 2 - 2P = m P = 1 - m Thay P = 1 - m vào PT thứ nhất ta có S 2 - 2(1 - m) = m S 2 = 2 - m (*) Hệ PT đã cho có nghiệm khi và chỉ khi PT (*) có nghiệm S thoả mãn S 2 - 4P 0 tức là ta phải có điều kiện 2 - m 0 3m - 2 0 m m 2 2 3 2 m 2 3 Vậy: 2 m 2 3 thì hệ phương trình đã cho có nghiệm Với . Bµi gi¶i : Tõ PT (2) y = 1 - 2x ⇒ ThÕ vµo PT (1) ta ®­îc : x 2 - 5x(1-2x) + (1-2x) 2 = 7 ⇔ x 2 - 5x + 10x 2 + 1 - 4x ⇔ + 4x 2 - 7 = 0 15x 2 - 9x - 6 = 0. 5xy + y 2 = 7 2x + y = 1 b) c) x 2 + y 2 + x + y = 8 xy + x + y = 5 x 2 + y 2 - x + y = 2 xy + x - y = -1 a) x 2 - 5xy + y 2 = 7 (1) 2x + y = 1 (2) Bµi