Hớng dẫn chấm và thang điểm thi vào lớp 10 chuyên Bài 1 ( 2,0 điểm ) Do a + b + c +d = 0 nên a + b + c = -d 0,5 Ta biến đổi các nhân tử trong căn : bc ad = bc + a(a +b + c ) = bc + a( a +b) +ac = (a + b )( a+ c ). Tơng tự ca bd = ( b + c)( b +a ) ; ab cd = (c +a)(c+b) 0,5 Suy ra : ( ab cd)(bc ad )( ca bd ) = ( ) [ ] 2 ))(( accbba +++ 0,5 Vì a ; b ; c là các số hữu tỉ nên :( a + b )( b + c)( c + a)là các số hữu tỉ và ( ) [ ] 2 ))(( accbba +++ là số hữu tỉ không âm nên = ))()(( bdcaadbccdab = ))()(( accbba +++ là một số hữu tỉ. 0,5 Bài 2 (2,0 điểm) Với k * N ta có ) 12006 1 200520006 1 ( 2006 1 )12006)(20052006( 1 + = + kkkk 1,0 Vậy S 2006 = ) 12006 1 20052006 1 . 4013 1 2007 1 2007 1 1( 2006 1 + +++ nn = 12006 ) 12006 1 1( 2006 1 + = + n 0,5 Biến đổi S 2006 = 2006 1 ) 12006 1 1( 2006 1 ) 12006 112006 ( 2006 1 < + = + + nn n 0,5 Bài 3 (2,0 điểm ) Trờng hợp 1 : xét x 1 khi đó bất phơng trình 3 > x . Tập nghiệm T 1 (x) = ( ) { } 3:3 >=+ xRx 1,0 Trờng hợp 2 : Xét x < 1 khi đó bất phơng trình 51 > (vô lý) . Vậy tập nghiệm của bất phơng trình là T(x) = { } 3; > xRxx Bài 4 ( 2,0 điểm) Để hai nphơng trình có nghiệm chung hệ =++ =++ 0 01 2 2 mxx mxx có nghiệm 0,5 Đặt y = x 2 ta có hệ : =+ =+ myx ymx 1 ta có D = m 1 , D x = m 1 , D y = 1- m 2 0,5 Trờng hợp 1 : D = 0 thì hệ vô nghiệm 0,5 Trờng hộ 2 : D 0 ta có = = 1 1 my x 0,5 Để hệ ban đầu có nghiệm 211 2 === mmxy 0,5 Vậy với m = -2 thì hai phơng trình có nghiệm chung Bài 5 ( 2,0 điểm) Tập xác định 01 + x 1 x vậy D = [ ) + ;1 0,5 Bình phơng 2 vế ta đợc phơng trình : x( x + 1)( x 2 x 1 ) = 0 1,0 = = = 2 51 1 0 x x x . Vậy phơng trình có tập nghiệm T(x) = 2 51 ;1;0 0,5 Bài 6 (2,0 điểm) Giao của (d) và Ox : A( 1-m ; 0 ) ; giao của (d) và Oy : B ( 0, m-1) 0,5 Ta có OA = 1;11 == mOBmm 0,5 để S OAB = 9 18)1(18119. 2 1 2 === mmmOBOA 0,5 = += = = 231 231 231 231 m m m m . Kết luận : với m = 231 thoả mãn yêu cầu 0,5 Bài 7 (2,0 điểm) Do vai trò của x ; y; z bình đẳng nên giả sử 1 zyx thì chỉ xảy ra 4 khả năng 0,5 Khả năng 1 : x = y = z = 1; thay vào ta có 1 = 12 ( vô lí ) Khả năng 2 : x >1 ; y = z = 1; thay vào ta có x = x + 11 ( vô lí) 0,5 Khả năng 3 : 1;1 => zyx ; thay vào ta có xy = 10 + x + y .11)1)(1(11)1()1(10 === yxyyxyxxy Vì 1 > yx nên : = = = = = 1 2 12 11 111 z y x y x .Hoán vị ta đợc 6 nghiệm là : T(x) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } 1;12;2;12;1;2;2;12;1;12;2;1;2;1;12;1;2;12 0,5 Khả năng 4: 1 > zyx . Đặt ẩn phụ += += += = = = 0; 2 2 2 2 2 2 tvu tz vy ux raSuy zt yv xu Thay vào phơng trình ta có ( u+ 2)( v + 2)( t + 2) = 15 + u + v +t 8)(4)(215 +++++++=+++ tvutuvtuvuvttvu )(3)(27 tvutuvtuvuvt ++++++= +) u = v = t ( loại ) do 7 = 0 +) u 1 ( loại ) do 7 = 3u +) 0;1 = tvu ( loại ) do 7 = 2uv + 3(u +v ) có 2uv + 3(u + v) 8 +) 1 tvu ( loại ) do uvt + 2( uv + vt + tu) +3( u + v + t) >7 . Vậy phơng trình có 6 nghiệm nguyên Bài 8 ( 2,0 điểm ) B C M K N A Kẻ MH AB tại H ; MK AC tại K 0,5 Theo tính chất phân giác thì MH = MK (1) 0,5 Mặt khác MCA = MNA (2) ( hai góc có cạnh tơng ứng vuông góc) 0,5 Từ (1) và (2) suy ra MKC = MHN MNMC = 0,5 Bài 9 ( 2,0 điểm ) Diện tích tam giác đều ABC là 4 3 2 1 a S = 0,5 Diện tích của hình quạt của đờng tròn bán kính a và có góc ở tâm 60 0 là : S 2 = 6 2 a 0,5 A B C H Diện tích của hình viên phân tạo bởi một cạnh ABC và cung nhỏ trơng bởi cạnh ấy là : S 3 = S 2 S 1 = 12 )332( 2 a 0,5 Vậy diện tích chung của 3 đờng tròn là : S = S 1 + 3S 3 = )3( 2 2 a 0,5 Bài 10 (2,0 điểm ) B A d M o M A Gọi A là diểm đối xứng của A qua (d) nên A và B nằm về hai phía có bờ là (d) 0,5 Gọi M o là giao điểm của A B và (d) . Ta sẽ chứng minh M o A + M o B nhỏ nhất 0,5 Lấy M ;);( ' o MMd ta có M A + M B = M A + M B (1) M A + M B > A B (2) ( Bất đẳng thức trong tam giác) A B = M o A + M o B (3) ; M o A + M o B = M o A + M o B (4) 0,5 Từ (1) ; (2) ; (3) ; (4) ta có : M A + M B > M o A + M o B . Vậy M o là điểm cần tìm . 0,5 Bài 9 ( 2,0 điểm ) Diện tích tam giác đều ABC là 4 3 2 1 a S = 0,5 Diện tích của hình quạt của đờng tròn bán kính a và có góc ở tâm 60 0 là : S 2 =. yxyyxyxxy Vì 1 > yx nên : = = = = = 1 2 12 11 111 z y x y x .Hoán vị ta đợc 6 nghiệm là : T(x) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } 1;12;2;12;1;2;2;12;1;12;2;1;2;1;12;1;2;12