Phụ lục Mục Nội dung Trang A Đặt Vấn đề 2 I Lời nói đầu 2 II Thực trạng hiệu quả của vấn đề nghiên cứu 3 1 Thực trạng 3 2 Kết quả 4 B Giải quyết vấn đề 4 I Các giải pháp thực hiện 4 1 Giải pháp 1: Nghiên cứu cơ sỏ lý luận 4 2 Giải pháp 2: 4 3 Giải pháp 3: 4 II Các biện pháp tổ chức thực hiện 5 1 Đa thức bậc hai một ẩn 5 1.1 Lý thuyết 5 1.2 Bài tập minh hoạ 5 2 Đa thức bậc hai hai ẩn 6 2.1 Cơ sở lý thuyết 6 2.2 Bài tập minh hoạ 6 3 Bài tập vận dụng 7 3.1 Bài tập vân dụng của đa thức bậc hai một ẩn 7 3.2 Tìm cực trị của phân thức 8 3.3 Bài tập vân dụng của đa thức bậc hai hai ẩn 10 C Kết quả 13 1 Kết quả của nghiên cứu 13 2 Kết luận 14 A. đặt vấn đề: I. Lời nói đầu: Đa thức bậc hai là biểu thức toán học thờng xuyên xuát hiện trong chơng trình toán học thcs nói chung đặt biệt là ở lớp 8; lớp 9. soay quanh nó là nhũng dạng toán rất đa dạng, phong phú và thú vị, gây cho ngời làm có cảm giác vừa lạ vừa quen. Khi nào thi đa thức đật giá trị lớn nhất? Khi nào thi đa thức đạt giá trị nhỏ nhất? Đó là nhũng câu hỏi làm say mê biêt bao thế hệ yêu toán. 1 Trong thời gian gần 4 năm trực tiếp giảng dạy ở trơng THCS Nga Điền Tôi nhận thấy: Dạng toán tìm cực trị của đa thức, đặt biệt là đa thức bậc hai, bậc ba một ẩn, hai ẩn luôn có mặt trong các đề thi học sinh giỏi các cấp và cả thi vào Ptth. Nhng học sinh lại gặp rất nhiều khó khăn trong khi giải dạng toán này. Vậy dạng toán này nó mang thông điệp gì? Nó muốn giáo dục con ngời cái gì?. vấn đề này tuỳ mỗi ngời có một cách lý giải khác nhau cách nhìn nhận khác nhau và cảm nhận khác nhau. Theo tôi nếu chúng ta không đặt vấn đề này trong khuôn khổ của toán học nũa, về khía cạnh của con ngời. đâu là giá trị lớn nhất của con ngời? Đâu là giá trị nhỏ nhất của con ngời? Khi nào thì chúng xẩy ra? Có phải ai cũng giống ai không? Thì tôi tin chắc rằng quý vị cũng sẻ có những cảm nhận rất riêng của chính minh. Chẳng hạn một vận động viên cử tạ Anh ta chỉ có thể nâng đợc 250kg nhng nếu thêm vào 2kg nữa thì anh ta không thể nâng đợc. Vậy có ng- ời cho răng 250 kg anh ta còn nâng đợc thi thêm vào 2kg nữa thì có đáng kể gì nhng tại sao anh ta lại thất bại? phải chăng giới hạn cử tạ lớn nhất của anh ta là 250kg. Tôi đồng ý, thiết nghĩ không phải là 2kg thậm chí chỉ là 20g thôi nếu thêm vào thì cha chắc anh ta đã thành công. Bởi vì ngỡng lớn nhất của anh là 250 kg thôi . Vậy cực trị nó là cái gì? Là ngỡng là giới hạn lớn nhất hay nhỏ nhất mà chủ thể đó đạt đợc không thể vợt qua đợc nữa. Mỗi chủ thể khác nhau thì có những ngỡng cũng khác nhau trong những điều kiện cũng khác nhau. Trong toán học cũng thế mỗi biểu thức khác nhau có thể đạt cực trị khác nhau và với những cách làm riêng biệt. Tuy nhiên đây lại là khó khăn thực sự của không ít học sinh. Theo đánh giá chủ quan của tôi thì không đến 10% học sinh nắm, vận dụng vào giải toán đợc. Trớc thực trạng tôi xin đợc chình bầy ý kiến của mình về dạng toán thú vị này. Đó là đôi điều về đa thức và cực trị II. Thực trạng: 1. Thực trạng. 2 Qua một thời gian công tác tại Nga Điền, tôi đã tích cực đi sâu tìm hiểu các nguyên nhân dẫn đến chất lợng học tập của học sinh còn khiêm tốn. Đặt biệt là chất lợng của môn toán nh sau: * Nga Điền là một địa phơng thuộc xã bãi ngang còn nhiều khó khăn về điều kiện cơ sở vật chất phục vụ cho công tác dạy và học. * Đa số các học sinh là con em gia đình công giáo đẻ nhiều, điều kiện kinh tế còn khó khăn, thờng xuyên đi làm ăn xa nên cha thực sự quan tâm đến việc học tập của các em. * Học sinh đa số là tham gia đầy đủ nhng cha thực sự say xa vào học tập, các em còn mãi chơi. Còn mất nhiều thời gian ham gia các hoạt động tôn giáo * Về phía giáo dục thờng xuyên luân chuyển cán bộ cha ổn định. ảnh hởng đến tâm lý, phơng pháp giáo dục phải thờng xuyên thay đổi. Đây cũng là một vấn đề gây khó khăn cho học sinh * Nhiều vấn đề trong học tập chỉ đợc học tập ở mức độ cơ bản, đại khái cha giảng dạy một cách có hệ thống, mở rộng, đào sâu. * Về môn toán: đây là môn học mang tính hệ thống, khả năng t duy trừu tơng cao. Muốn học tốt đòi hỏi học sinh phải say xa học tập thực sự, có kiến thức cơ bản tốt, biết tìm tòi sáng tạo. nhng đa số các em còn lời học ngại tìm tòi Theo tôi đấy là những nguyên nhân chính dẫn đến cho chất lợng giáo dục của Nga Điền còn nhiều khiêm tốn, cha cao. 2. Kết quả. Vì các nguyên nhân trên, dẫn đến chất lợng học tập của học sinh về dạng toán này còn tơng đối thất cụ thể còn gặp những khó khăn là: * Còn mơ hồ cha thực sự hiểu đợc cực trị là gì.( cực đại, cực tiểu) * Cha định hình, cha xác định rõ ràng đợc hớng giải quyết một bài toán cực trị. * Việc vận dụng cực trị vào giải các bài toán khác dờng nh không biết làm Cụ thể số lợng học sinh nắn đợc qua các năm nh sau: Lớp Năm 2007 - 2008 Năm 2008 - 2009 sl % sl % 3 8: 13 10,2 14 13,1 9 13 13 14 14,2 Với những thực trang trên tôi xin phép đợc nêu lên những suy nghĩ của mình về dạng toán đa thức và cực trị, một cách có hệ thống. Góp thêm một cách nhiền về dạng toán thuc vị này. B. Giải quyết vấn đề: I. Các giải pháp thực hiện: 1. Giải pháp 1: Nghiên cứu cơ sở lý luận * Tim trong các tài liệu tham khảo nh: - một số vấn đề phát triển đại toán của Vũ Hữ Bình - tạp trí toán học tuổi trẻ - trên internet 2. Giải pháp 2: - Thảo luận tranh thủ trao đổi ý kiến của các đồng nghiệp về các vấn đề liên quan - Hội giảng tìm những phơng pháp lý giải dễ hiểu nhất giúp học sinh tiếp cận dễ dàng hơn 3. Giải pháp 3: - Tổ trức dạy thí điểm trên lớp có khảo sát kết quả cụ thể - Đa vào dạy bồi dỡng học sinh khá giỏi II. các biện pháp tổ chức thực hiện: 1. Đa thức bậc hai một ẩn: 1.1:Lý thuyết: Cho đa thức f(x) = ax 2 + bx + c với ( 0 a ) Đa f(x) về dạng: f(x) = [g(x)] 2 + M (*) Biến đổi tơng đơng biểu thức f(x) ta có: ] 4 ) 2 [()()( 2 2 2 a a b xa a c a bx xaxf +=++= = aa b xa 4 ) 2 ( 2 + với acb 4 2 = 4 * Nếu a>0 thì f(x) a4 a xM 4 )inf( = khi a b x 2 = * Nếu a<0 thì a xMaxf a xf 4 )( 4 )( = khi a b x 2 = 1.2: Bài tập minh hoạ Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất các biểu thức sau: a. A = 3x 2 - 6x + 10 b. B = -2x 2 + 5x - 7 c. C = ( x+1) 2 + (x - 3) 2 Giải a). trong niểu thức A có a = 3 > 0 nên A sẽ đạt giá trị nhỏ nhất: A = 77)1(3] 3 7 )12[(3) 3 10 2(3 222 +=++=+ xxxxx 7 = MinA khi x-1 = 0 x = 1 Nhận xét: Đây là cách giải theo quy trình biến đổi, còn nếu áp dụng ngay lý thuyết ở trên thi chúng ta có cách giải ngọn ngàng sau: a =3 > 0 nên MinA = 7 12 84 4 4 2 == a bac khi x = 1 b) B = 8 31 8 31 ) 4 5 (2] 16 31 ) 4 5 [(2) 16 31 16 25 4 5 2(2 222 =+=++ xxxx 8 31 = MaxB khi 4 5 0 4 5 == xx Nhận xét: áp dụng công thức đã xây dựng ở trên thì: MaxB = 8 31 8 2556 = khi 4 5 4 5 2 = = = a b x c) C = x 2 + 2x +1 + x 2 -6x + 9 = 2x 2 - 4x + 10 = 2( x 1) 2 + 8 8 MinC = 8 khi x 1 =0 x = 1 Nhận xét: áp dụng công thức trên thì ta cũng có kết quả rơng tự 2. Đa thức bậc hai hai ẩn: 2.1. Cơ sở lý thuyết: xét đa thức bậc hai f(x;y) = ax 2 + by 2 + cxy + dx +ey + h với ( a 2 +b 2 > 0) không làm mất tính tổng quát giả sử 0 a . Biến đổi tơng đơng biểu thức trên : f(x;y) = )( 22 a h a ey a dx a cxy y a b xa +++++ 5 = ] 4 2 44 ) 4 2 4 2 2 4 2 2[( 2 22 2 2 22 22 2 2 22 2 a h y a e y a b a cdy a d a yc a cdy a d a d x a yc a cy xxa ++++++++ = a dah y a cdae y a cab a d a cy xa 4 4 2 2 4 4 ) 22 ( 2 2 2 2 + + +++ = ]) 4 2 ( 4 4 )) 4 2 ( 4 2 2[( 4 4 ) 22 ( 2 22 2 2 22 2 2 2 cab cdae cab dah cab cdae cab cdae yy a cab a d a cy xa + + + +++ = M cab cdae y a cab a d a cy xa + + +++ 2 2 2 2 ) 4 2 ( 4 4 ) 22 ( với = )4(4 )2( 4 4 2 22 caba cdae a dah *Nếu 04 0 2 > > cab a thì f(x;y) M Min f(x;y) = M khi 0 4 2 0 22 2 = =++ cab cdae x a d a cy x *Nếu 04 0 2 < < cab a thì f(x;y) M Max f(x;y) = M khi 0 4 2 0 22 2 = =++ cab cdae x a d a cy x 2.2 Bài tập minh hoạ: Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các đa thức sau: a) A = x 2 + xy + y 2 - 3x 3y + 2008 b) B = -5x 2 2xy 2y 2 +14x + 10y 1 Giải Từ A = x 2 + xy + y 2 - 3x 3y + 2008 thực hiện quy trình trình biến đổi ta có A = 2008 4 9 2 3 4 3 4 9 2 3 2 2 2 3 2 42 2 22 2 +++++ yyy x yy xx 2005)12( 4 3 ) 2 3 2 ( 22 ++++= yy y x 20052005)1( 4 3 ) 2 3 2 ( 22 +++= y y x Min A = 2005 khi x = y = 1 b) B = -5x 2 2xy 2y 2 +14x + 10y 1 -5B = 25x 2 +10xy +10y 2 70x 50y +5 = 25x 2 + y 2 + 49 + 10xy 70x 14y + 9y 2 36y - 44 = (5x + y - 7) 2 + 9y 2 36y + 36 80 = (5x + y - 7) 2 + ( 3y - 6) 2 80 80 6 -5B 80 B 16 MaxB = 16 khi x = 1; y = 2 Nhận xét: Sử dụng phơng đã xây dựng ở trên. Đa các ẩn vào trong các hằng đẳng thức sau đó mới đánh giá. 3. Bài tập vận dụng: 3.1 Bài tập vận dụng của đa thức bậc hai một ẩn Bài 3: Tìm giá tri lớn nhất của các biểu thức sau: a) 114 3 2 ++ = xx A b) 2 247 xxB = Giải a) 114 3 2 ++ = xx A Phân tích đa thức dới mẫu 114 2 ++ xx về dạng (*) khi đó A có dạng sau: A= 7 3 7)2( 3 2 ++ x Nhận xét: Biểu thức A đạt giá trị lớn nhất khi x 2 + 4x +11 đạt giá trị nhỏ nhất( nhng giá trị đó phải dơng) b) Để tìm đợc lớn nhất của B ta phải đa B về đa thức và vận dụng phơng pháp trên để tìm từ 2 247 xxB = B 2 = 7 4x 2x 2 = 9 2( x 2 2x + 1) = 9 2(x-1) 2 9 => 33 = MaxBB khi x = 1 Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất a) C = x(x+1)(x+2)(x+3) b) D = (x+5) 4 +(x+1) 4 Giải a) Nhận xét: Để tìm đợc cực trị của biểu thức thì thơng đa C về đa thức bậc hai. Để đa đa thức C về bậc hai thi đặt ẩn phụ nh sau: C = ( x 2 + 3x)( x 2 + 3x +2) (1) Đặt t = x 2 + 3x khi đó (1) có dạng : C = t 2 + 2t = (t 2 + 2t + 1) -1 = (t+1) 2 - 1 1 Min C = -1 khi t = -1 hay x 2 + 3x = -1 7 b) Nhận xét: Cũng nh câu trên ta cũng phải đa về đa thức xậc hai: từ D = (x+5) 4 +(x+1) 4 (2) đặt x = t 3 thì (2) có dạng: D = (t+2) 4 + (t 2) 4 = 2t 4 +32t 2 +32 32 => Min D = 32 khi t = 0 hay x =-3 ở đây 2t 4 +32t 2 +32 là đa thức bậc hai của t 2 Bài 5:Tìm giá trị nhỏ nhất của C = x 3 + y 3 + xy + 2 biết x + y = 1 Giải: a) từ x + y = 1 y = 1- x thay vào C ta có: C = x 2 + (1- x) 2 +2 = 2x 2 - 2x +3 = 2( x 2 x + 4 1 ) + 2 5 2 5 Min C = 2 5 khi x = 2 1 thay vào x + y =1 thi x = y = 2 1 3.2 Tìm cực trị của phân thức: ở đây chỉ đa ra những dạng phân thức có mẫu thức dơng và với phơng pháp giải chỉ sử dụng kiến thức của lớp 8: Phơng pháp: - Xét phân thức: )( )( xM xN có M(x) > 0 - Thêm bớt vào phân thức một số a thích hợp sau đó đa phân thức về dạng: a xM xA k xM xN += )( )( )( )( 2 (**) với 1 = k * Nếu k = 1 thì phân thức đạt giá trị nhỏ nhất * Nếu k = -1 thì phân thức đạt giá trị lớn nhất Bài 6. Tìm giá trị lớn, nhất nhỏ của phân thức: 2 12 2 + + = x x M Giải Từ 2 12 2 + + = x x M - Nhận xét: Rễ thấy nếu ( 0)1()12()12()2 222 =+=+++ xxxxx nên thêm bớt vào phân thức -1 thì đa phân thức về dạng (**) 8 11 2 )1( 1 2 )12( 11 2 12 2 2 2 2 2 + + =+ + + =+ + + = x x x xx x x M 1 = MaxM khi x 1 = 0 1 = x - Nhận xét: Nếu 0)2(44)12(22 222 +=++=+++ xxxxx nên nhân phân thức với 2 sau đó thêm bớt 1 vào phân thức và đa về dạng (**) 11 2 )2( 1 2 44 11 2 24 2 24 2 2 2 2 2 22 + + = + ++ =+ + + = + + = x x x xx x x x x M 2 1 2 1 12 = MinMMM khi x + 2 = 0 x = -2 Vậy Max M = 1 khi x = 1. Min M = 2 1 khi x = -2 Bài 7. Tìm giá trị của biểu thức: 2 )10( + = x x C Giải Nhân xét: Nhận thấy 0)10(40)10( 22 =++ xxx nên nhân 40 vào C sau đó thêm bớt -1. Từ 2 )10( + = x x C 11 )10( )10( 11 )10( 40 )10( 40 40 2 2 22 + + =+ + = + = x x x x x x C 40 1 40 1 140 = MaxCCC khi 10010 == xx Vậy 40 1 = MaxC khi x = 10 3.3 Bài tập vận dụng của đa thức bậc hai hai ẩn Bài 8 : cho a + b+ c =1 tìm giái trị nhỏ nhất của: P = a 3 + b 3 +c 3 + a 2 (b+c) + b 2 (c +a) + c 2 ( a+b) Giải Nhận xét: P là biểu thức chứa ba ẩn và bậc ba bằng cách sử dụng điều kiện của bài toán để đa về dạng quen thuộc. Dể thấy từ a + b+ c =1 b +c = 1 a; a + c = 1 b; a + b =1 c thay vào p: P = a 3 + b 3 +c 3 + a 2 (1-a) + b 2 (1-b) + c 2 ( 1-c) 9 = a 2 + b 2 + c 2 (3) Mặt khác từ a + b+ c =1 c = 1-a-b thay vào (3) ta có P = a 2 + b 2 + (1 a-b) 2 = 2a 2 + 2b 2 -2a -2b + 2ab +1 = 2[( a 2 + ] 4 1 24 3 ) 4 2 4 1 42 2 22 ++++ bbb a bb a = 2(a 3 1 ) 9 1 3 2 ( 2 3 ) 2 1 2 22 ++++ bb b = 3 1 3 1 ) 3 1 ( 2 3 ) 2 1 2 (2 22 +++ b b a MinP = 3 1 khi a = b = c = 3 1 Bài 9: cho M = 3x 2 +3y 2 -2x -2y +6x + 1. tìm gái trị của M biết xy =1; yx + đạt giá trị lớn nhất. Giải Nhận xét: Để tìm đợc giá trị của M thì phải tìm đợc giái trị lớn nhất của ; yx + .Từ xy =1 y = x 1 ; yx + = x x 1 + 2 1 += x x ; yx + đạt giá trị lớn nhất khi 111 === yxx * với x = y = 1 thì M = 8. * với x = y - 1 thì M = 0 Bài 10: Tìm cặp (x;y) với y nhỏ nhất thoả mãn x 2 + 5y 2 + 2y - 4xy - 3 =0. (4) Giải: Từ (4) x 2 -4xy +4y 2 +y 2 +2y +1 =4 (x-2y) 2 +(y+1) 2 =4 Vì (x-2y) 2 0 (y+1) 2 4 (y+1+2)(y+1-2) 0 (y+3)(y-1) 0 13 y Min y = -3 ; thây y = -3 vào (4) x = -6 Vậy cặp số cần tìm là ( -6;-3) Nhận xét: Dựa vào hằng đẳng thức (x-2y) 2 0 mà ta đánh giá đợc (y+1) 2 4 . Từ đó tìm đợc giới hạn giá trị của y 10 [...]... x + y2 2M 3 MaxM = Vậy Min M = 1 2 3 2 khi x = y khi x = -y 12 nên nhân 2 vào Max M = 3 2 khi x = y C Kết quả: 1 Kết quả của nghiên cứu Sau một năm 2009 2010 thử nghiệm áp dung các kỹ năng tôi đã trinh bầy Tôi nhận thấy học sinh đã có những chuyển biến cụ thể sau: * Đã nhận thức rõ dàng hơn về cực trị đa thức * Hiểu và dần làm nhũng dạng toán cực trị cơ bản * Đa có vận dụng vào làm các dạng toán . = a dah y a cdae y a cab a d a cy xa 4 4 2 2 4 4 ) 22 ( 2 2 2 2 + + +++ = ]) 4 2 ( 4 4 )) 4 2 ( 4 2 2[( 4 4 ) 22 ( 2 22 2 2 22 2 2 2 cab cdae cab dah. 22 ( 2 22 2 2 22 2 2 2 cab cdae cab dah cab cdae cab cdae yy a cab a d a cy xa + + + +++ = M cab cdae y a cab a d a cy xa + + +++ 2 2 2 2 )