Chủ đề 1 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC ĐẠI SỐ I. Tóm tắt lý thuyết 1. Trên tập xác định của biểu thức f(x,y, ) a. Số A được gọi là giá trị lớn nhất của f(x,y, .) nếu ( , , .)f x y A≤ và có (x 0 ; y 0 ; ) sao cho 0 0 ( , , .)f x y A= Ký hiệu Max Af = b. Số B được gọi là giá trị nhỏ nhất của f(x,y, .) nếu ( , , .)f x y B≥ và có (x 0 ; y 0 ; ) sao cho 0 0 ( , , .)f x y B= Ký hiệu Min Bf = 2. Cách tìm giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của một biểu thức đại số - Tìm tập xác định của biểu thức - Trên tập xác định của biểu thức, chứng minh rằng ( , , .)f x y A≤ hoặc ( , , .)f x y B≥ - Chỉ ra bộ số (x 0 ; y 0 ) sao cho 0 0 ( , , .)f x y A= hoặc 0 0 ( , , .)f x y B= - Kết luận: Max Af = khi x = x 0 ; y = y 0 Min Bf = khi x = x 0 ; y = y 0 . 3. Các kiến thức thường dùng + 0 2 ≥ x , x ∈R. Tổng quát [ ] 2 ( ) 0 k f x ≥ với  x Từ đó xuy ra: [ ] 2 ( ) k f x m m+ ≥ , x ∈R [ ] 2 ( ) k M f x M− ≤ , x ∈R + 0 ≥ x ,x ∈R. + x x≥ , x ∈R. Dấu bằng khi x ≥ 0 + |x| ≥ -x, x ∈R. Dấu bằng khi x ≤ 0 + yxyx +≤+ Dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi 0 ≥ xy + yxyx −≥− Dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi 0 ≥ xy và |x| ≥ |y| II. Các dạng bài tập thường gặp §1. ĐA THỨC BẬC NHẤT CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của a. 57 −= xA 1 b. 358 +−= xB Giải a. Biểu thức A xác định với mọi x thuộc tập số R Ta có 057 ≥− x Nên .0 ≥ A 0570 =−⇔= xA 7 5 =⇔ x Vậy min A = 0 khi 7 5 = x b. Biểu thức B xác định với mọi x thuộc tập số R Ta có: 058 ≥− x 3358 ≥+−⇒ x Nên min B = 3 khi 5 8 = x Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 125 −−= xD Giải Biểu thức D xác định với mọi Rx ∈ Ta có 012 ≥− x Nên 5125 ≤−− x Vậy max D = 5, khi 2 1 = x Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 20092008 −+−= xxC Giải Biểu thức C xác định với mọi Rx ∈ Áp dụng bất đẳng thức yxyx +≤+ Dấu bằng xảy ra khi 0 ≥ xy ta được 20092008 −+−= xxC xxxx −+−≥−+−= 2009200820092008 Nên 1 ≥ C Vậy min C = 1 khi (x – 2008)(2009 – x) ≥ 0 Tức 20092008 ≤≤ x Bài tập 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a. 1415 −−= xM b. 41 −+−= xxN c. 57 ++−= xxP 2. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức a. 5312 −−= xC b. 32 1 +− = x D 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của a. bxaxE −+−= với a b < b. 5432 −+−+−+−= xxxxF c. 121 22 −++++= xxxxM §2. ĐA THỨC BẬC HAI Ví dụ 1: a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 263 2 −−= xxA 2 b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 343 2 ++−= xxB Giải a. Biểu thức A xác định với mọi x thuộc tập số thực R Ta có: 263 2 −−= xxA 2)2(3 2 −−= xx 55)1(3 2 −≥−−= x Do 0)1( 2 ≥− x với mọi x, nên 5 −≥ A 1015 =⇔=−⇔−= xxA Vậy min A = -5 khi x = 1 b. Biểu thức B xác định với mọi x thuộc tập số thực R Ta có 343 2 ++−= xxB 2 2 2 ) 3 2 (3 3 13 9 13 ) 3 2 (3 )1 9 4 9 4 3 2 .2(3 −−=       −−= −−+−= x x xx Do 0) 3 2 ( 2 ≥− x với mọi x nên 5 13 ≤ B 3 2 3 13 =⇔= xB Ví dụ 2: Với giá trị nào của x, y thì các biểu thức sau đây: a. 449125 22 +−+−= xyxyxC đạt giá trị nhỏ nhất b. 22 1624101015 yxyxxD −+−−= đạt giá trị lớn nhất Giải a. Biểu thức C xác định với mọi x thuộc tập số thực R 449125 22 +−+−= xyxyxC 0)32()2( )9124()44( 22 222 ≥−+−= +−++−= yxx yxyxxx 020 =−⇔= xC Và 032 =− yx 2 =⇔ x và 3 4 = y Vậy min C = 0 ⇔ x = 2 và 3 4 = y b. 22 1624101015 yxyxxD −+−−= 40)43()5(40 )16249()2510(40 22 222 ≤−−+−= +−−++−= yxx yxyxxx Max D = 40 khi 4 15 ;5 −=−= yx Ví dụ 3: a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 22222 22 ++−++= yxyxyxE b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 510242 22 +++−+−= yxyxyxF Giải a. Biểu thức E xác định với mọi x thuộc tập số thực R 22222 22 ++−++= yxyxyxE 3)44()2221( 222 −+−++++++= xxxyyxyxE 33)2()1( 22 −≥−−+++= xyx 013 =++⇔−= yxE và 02 =− x 3 Min E = -3 2=⇔ x và 3 −= y b. Biểu thức F xác định với mọi x thuộc tập số thực R )44(3)2221(18 222 +−−+−−++−= yyyxxyyxF 18)2()1(18 22 ≤−−−−−= yyx 0118 =−−⇔= yxF và 02 =− y Max F = 18 3=⇔ x v à 2 = y Bài tập 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a. xxA −= 2 b. 1144 2 ++= xxB c. 53202 2 +− xx 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: a. 2 85 xxD −−= b. 145 2 +−−= xxE c. 2 1 xxF −−− 3. Với giá trị nào của x, y thì các biểu thức sau đây đạt giá trị nhỏ nhất a. 7641210 22 ++++= xyxyxG b. 20098 43234 ++−+−−= xxyyxyxxyxM c. yxyxyxC 33 22 −−++= 4. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức a. 152222 22 −−+−−−= yxxyyxA b. B = 22 912561 xxyyy −−−+ §3. BIỂU THỨC CÓ DẠNG PHÂN THỨC 1. Phân thức có tử số là hằng số, mẫu số là tam thức bậc hai Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 1 2 5 A x x = − − Giải 2 2 1 1 2 5 ( 1) 4 A x x x = = − − − − + Ta có 2 2 ( 1) 0 ( 1) 4 4x x− ≥ ⇒ − + ≥ 4 1 4)1( 1 2 ≤ +− ⇒ x 4 1 4)1( 1 2 −≥ +− −⇒ x Vậy min 4 1 −= A khi x = 1 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của 944 7 2 +− = xx B Giải 8)12( 7 944 7 22 +− = +− = xxx B Ta có 88)12(0)12( 22 ≥+−⇒≥− xx 4 8 7 8)12( 7 2 ≤ +− ⇒ x Vậy max 8 7 = B khi 2 1 = x 2. Phân thức có mẫu số là bình phươngcủa một nhị thức Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 )1( 1 + ++ = x xx C Giải Biểu thức C có giá trị xác định với mọi 1 −≠ x 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 )1(4 )1( 4 3 )1(4 )1()1(3 )1(4 444 )1(4 )1(4 )1( 1 + − += + −++ = + ++ = + ++ = + ++ = x x x xx x xx x xx x xx C Vì 4 3 0 )1(4 )1( 2 2 ≥⇒≥ + − C x x vậy min 4 3 = C khi x = 1 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của 2 )1( + = x x D Giải Biểu thức D có giá trị xác định với mọi 1 −≠ x 222 )1( 1 1 1 )1( 11 )1( + − + = + −+ = + = x x x x x x D Đặt y x = + 1 1 4 1 ) 2 1 ( 4 1 ) 4 1 4 1 2 1 .2()( 2222 ≤−−=−+−−=−−=−= yyyyyyyD 4 1 = D khi 1 2 1 1 1 2 1 =⇔= + ⇔= x x y Vậy max 4 1 = D khi x = 1 3. Các phân thức khác Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức 1 1 2 2 +− + = xx x M Ta có 2 1 3 1 ( ) 0 2 4 x x x− + = − + > nên biểu thức M có giá trị xác định với x ∀ ∈ R • Tìm giá trị lớn nhất của M 1 )1( 2 1 )12()1(2 1 1 2 2 2 22 2 2 +− − −= +− +−−+− = +− + = xx x xx xxxx xx x M Vì 2 2 1 0 ( 1) 0 x x x − + > − ≥ nên 2 1 )1( 2 2 2 ≤ +− − −= xx x M Vậy max M = 2 khi x = 1 • Tìm giá trị nhỏ nhất của M )1(3 )12()1(2 )1(3 )1(3 1 1 2 22 2 2 2 2 +− ++++− = +− + = +− + = xx xxxx xx x xx x M 3 2 )1(3 )1( 3 2 2 2 ≥ +− + += xx x 5 Min 3 2 = M khi x = -1 Bài tập 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a. 2 956 2 xx P −− = b. 12 683 2 2 +− +− = xx xx Q c. 12 1 2 2 ++ ++ = xx xx S 2. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: a. 544 3 2 +− = xx K b. 126 146 2 2 +− +− = xx xx E c. 22 4 )1( 1 + + = x x F §4. BIỂU THỨC CÓ BIẾN BỊ RÀNG BUỘC BỞI MỘT HỆ THỨC CHO TRƯỚC Ví dụ: Cho hai số x, y thoả mãn điều kiện: 3x + y = 1 a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức yxA −= 2 2 b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 += xyB Giải Do xyyx 3113 −=⇒=+ ta có a.       −+=−+=+−=−−= 16 17 ) 4 3 (2) 2 1 2 3 (2312)31(2 2222 xxxxxxxA 8 17 ) 4 3 (2 2 −+= x nên 8 17 −≥ A Vậy min 8 17 −= A khi 4 3 −= x ; 4 13 = y b. ) 3 1 3 (3131)31( 22 −−−=+−=+−= x xxxxxB 22 ) 6 1 (3 12 13 36 13 ) 6 1 (3 −−=       −−−= xx Nên 12 13 ≤ B vậy max 12 13 = B khi 6 1 = x và 2 1 = y Bài tập 1. Cho x, y là hai số thoả mãn điều kiện: 4 4 1 2 2 2 2 =++ y x x Tìm giá trị nhỏ nhất của x.y 6 2. Cho hai số thực x, y thoả mãn điều kiện 1 22 =+ yx . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của x + y. 3. Cho x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 33 yxP += Chủ đề 2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO I. Phương trình bậc cao là phương trình có dạng: f(x) = 0 trong đó f(x) là một đa thức bậc n )2( ≥ n đối với x II. Một số phương pháp giải phương trình bậc cao. 1. Phương pháp đưa về phương trình tích. Ví dụ 1: Giải phương trình: 065 234 =−+−+ xxxx Giải [ ] 0)3)(1)(2( 0)1(3)1()2( 0)33)(2( 065 2 22 23 234 =++−⇔ =+++−⇔ =+++−⇔ =−+−+ xxx xxxx xxxx xxxx * 202 =⇔=− xx * 303 −=⇔=+ xx * 2 2 0 1 0x x≥ ⇒ + > Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 2; x = -3 Ví dụ 2: Giải phương trình: 0120106194 234 =−+−− xxxx Giải 7 [ ] [ ] 0)5)(4)(3)(2( 0)20)(3)(2( 0)3(20)3()3()2( 0)6020()3()3()2( 0)60232)(2( 0)2(60)2(23)2(2)2( 0)12060()4623()42()2( 0120106194 2 2 223 23 23 22334 234 =+−−−⇔ =−+−−⇔ =−−−+−−⇔ =−−−+−−⇔ =+−−−⇔ =−+−−−−−⇔ =−+−−−−−⇔ =−+−− xxxx xxxx xxxxxx xxxxxx xxxx xxxxxxx xxxxxxx xxxx 505* 404* 303* 202* −=⇔=+ =⇔=− =⇔=− =⇔=− xx xx xx xx Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm x = 2; x = 3; x = 4; x = -5 Ví dụ 3: Giải phương trình: 01565124 234 =−−++ xxxx Giải [ ] [ ] 0)332)(52)(1( 0)52(3)5(3)52(2)1( 0)156()156()104()1( 0)1521164)(1( 0)1(15)1(21)1(16)1(4( 015152121161644 01565124 2 2 223 23 23 22334 234 =+++−⇔ =+++++−⇔ =+++++−⇔ =+++−⇔ =−+−+−+−⇔ =−+−+−+−⇔ =−−++ xxxx xxxxxx xxxxxx xxxx xxxxxxx xxxxxxx xxxx Vì ) 2 3 2 3 (2332 22 ++=++ xxxx 2 3 3 2( ) 0 2 4 x= + + > với mọi x Nên: 101 =⇔=− xx Hoặc: 5,2052 −=⇔=+ xx Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1, x = -2,5 Ví dụ 4: Giải phương trình: 08422 234 =−++− xxxx Giải 0)42)(2)(2( 0)222)(2( 0)2(2)2(2)2)(2( 0)42()42()4( 08422 2 22 2222 234 234 =+−+−⇔ =+−+−⇔ =−+−−+−⇔ =−+−−−⇔ =−++− xxxx xxx xxxxx xxxx xxxx 8 202* 202* −=⇔=+ =⇔=− xx xx * 042 2 =+− xx (vô nghiệm) Vì 2 2 2 4 ( 1) 3 0x x x− + = − + > Vậy phương trình có hai nghiệm: 2 = x ; 2 −= x 2. Phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 1: Giải phương trình: 40)5)(4)(2)(1( =++++ xxxx Giải [ ] [ ] 2 2 ( 1)( 2)( 4)( 5) 40 ( 1)( 5) . ( 2)( 4) 40 ( 6 5)( 6 8) 40 0 x x x x x x x x x x x x + + + + = ⇔ + + + + = ⇔ + + + + − = Đặt: txx =++ 56 2 ta có 0)8)(5( 0403 040)3( 2 =+−⇔ =−+⇔ =−+ tt tt tt + Nếu t = 5 thì 556 2 =++ xx 2 6 0 ( 6) 0x x x x⇔ + = ⇔ + = 0 =⇔ x hoặc x = -6 + Nếu t = -8 thì 856 2 −=++ xx 0136 2 =++⇔ xx Phương trình này vô nghiệm vì 2 2 6 13 ( 3) 4 0x x x+ + = + + > với mọi x Vậy: Phương trình đã cho có hai nghiệm x = 0; x = -6 Ví dụ 2: Giải phương trình: 16)8()6( 44 =−+− xx Giải 16)8()6( 44 =−+− xx Đặt: x – 7 = y, phương trình chở thành: 076 16)1()1( 24 44 =−+⇔ =−++ yy yy Đặt: 0 2 ≥= zy ta có: 0)7)(1( 076 2 =+−⇔ =−+ zz zz • Nếu 101 =⇔=− zz thoả mãn điều kiện 0 ≥ z • 707 −=⇔=+ zz (loại) 9 Với z = 1 ta có 1 ±= y * 8171 =⇔=−⇒= xxy * 6171 =⇔−=−⇒−= xxy Vậy phương trình có hai nghiệm x = 6, x = 8 Ví dụ 3: Giải phương trình: 323232 )123()352()43( −−=+−+−+ xxxxxx Giải Đặt 43 2 −+= xxu 352 2 +−= xxv 123 2 −−=+ xxvu Phương trình có dạng: 333 )( vuvu +=+ 0)(3 033 0)33( 0)( 22 322333 333 =+⇔ =−−⇔ =+++−+⇔ =+−+⇔ vuuv uvvu vuvvuuvu vuvu 0=⇔ u hoặc 0 = v hoặc 0 =+ vu 043 2 =−+⇔ xx hoặc 0352 2 =+− xx hoặc 0123 2 =−− xx + 043 2 =−+ xx 0)4)(1( =+−⇔ xx 1 =⇔ x hoặc 4 −= x + 0352 2 =+− xx 0)1)(32( =−−⇔ xx 2 3 =⇔ x hoặc x = 1 + 0123 2 =−− xx 0)1)(13( =−+⇔ xx 3 1 −=⇔ x hoặc x = 1 Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm: 4; 2 3 ; 3 1 ;1 −==−== xxxx Ví dụ 4: Giải phương trình: 333 )12()2()1( −=−++ xxx Giải 333 )12()2()1( −=−++ xxx Đặt: x + 1 = y; x – 2 = z; 1 – 2x = t Thì y + z + t = 0; z + t = - y Do đó: (y + z + t) 3 = 0 10 [...]... + 99 x − 3 − 1) + ( − 1) + ( − 1) 99 98 97 x 2 + 99 x − 4 x 2 + 99 x − 5 x 2 + 99 x − 6 =( − 1) + ( − 1) + − 1) 96 95 94 x 2 + 99 x − 100 x 2 + 99 x − 100 x 2 + 99 x − 100 ⇔ + + 99 98 97 2 2 2 x + 99 x − 100 x + 99 x − 100 x + 99 x − 100 = + + 96 95 94 1 1 1 1 1 1 ⇔ ( x 2 + 99 x − 100)( + + − − − )=0 99 98 97 96 95 94 ( Vì: 1 1 1 1 1 1 + + − − − ≠ 0 do đó: 99 98 97 96 95 94 x 2 + 99 x − 100 = 0 ⇔ (... 1: a) x 4 + x 2 + 6 x − 8 = 0 b) ( x 2 +1) 2 = 4( 2 x −1) c) ( x − 1) 3 + (2 x + 3) 3 = 27 x 3 + 8 Bài 2: a) ( x 2 + 5 x) 2 − 2( x 2 + 5 x) = 24 b) ( x 2 + x − 2)( x 2 + x − 3) = 12 c) ( x 2 + x + 1) 2 = 3( x 4 + x 2 + 1) Bài 3: a) x( x +1)( x −1)( x + 2) = 24 b) ( x − 4)( x − 5)( x − 6)( x − 7) = 1 680 c) (12 x + 7) 2 (3x + 2)(2 x +1) = 3 d) (2 x +1)( x +1) 2 ( 2 x + 3) = 18 Bài 4: a) ( x 2 − 6 x +... NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG BÀI TOÁN HÌNH HỌC I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 Trong hình học có nhiều bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của một đại lượng hình học nào đó như độ dài đoạn thẳng, chu vi, diện tích của một hình Các bài toán này được gọi là bài toán “cực trị hình học” 2 Đường lối chung để giải bài toán cực trị trong hình học Cách 1: Chỉ ra một hình rồi chứng minh hình đó có đại lượng cần... + 4 x + 4 x +5 x +5 x +6 8 1 1 1 ⇔ − = x +2 x +6 8 ⇔ x 2 + 8 x − 20 = 0 ⇔ ( x +10)( x − 2) = 0 * x + 10 = 0 ⇔ x = −10 (Thoả mãn ĐKXĐ) * x − 2 = 0 ⇔ x = 2 (Thoả mãn ĐKXĐ) Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x = 2, x = - 10 Ví dụ 2: Giải phương trình x 2 + 99 x − 1 x 2 + 99 x − 2 x 2 + 99 x − 3 x 2 + 99 x − 4 x 2 + 99 x − 5 x 2 + 99 x − 6 + + = + + 99 98 97 96 95 94 11 Giải Cộng vào hai vế của phương... + 3x( x 2 + 1) + 2 x 2 = 0 c) ( x 2 − 9) 2 = 12 x + 1 Bài 5: a) ( x + 1) 4 + ( x − 3) 4 = 82 12 b) ( x −1) 4 + ( x − 2) 4 = 1 c) ( x − 2,5) 4 + ( x −1,5) 4 = 1 Bài 6: a) ( x + 1) 3 + ( x − 2) 3 = (2 x −1) 3 b) ( x − 7) 4 + ( x − 8) 4 = (15 − 2 x) 4 Bài 7: a) x 4 − 3x 3 + 4 x 2 − 3x + 1 = 0 b) 6 x 4 + 5 x 3 − 38 x 2 + 5 x + 6 = 0 c) x 5 + 2 x 4 + 3x 3 + 3x 2 + 2 x + 1 = 0 d) 6 x 4 + 7 x 3 − 36 x 2 −... +1)(c +1) ≥ 8 16 b) Cho a, b là các số không âm Chứng minh rằng: (a +1)(ab +1) ≥ 4ab Bài tập 3: Cho hai số a, b thoả mãn điều kiện a + b = 1 chứng minh: a) a 2 + b 2 ≥ 1 2 b) a 4 + b 4 ≥ 1 8 Bài tập 4: Cho a, b, c có tổng bằng 1 Chứng minh: 1 1 1 + + ≥9 a b c Bài tập 5: Cho a, b, c là các số dương Chứng minh rằng: 1< a b c + + . của 944 7 2 +− = xx B Giải 8) 12( 7 944 7 22 +− = +− = xxx B Ta có 88 )12(0)12( 22 ≥+−⇒≥− xx 4 8 7 8) 12( 7 2 ≤ +− ⇒ x Vậy max 8 7 = B khi 2 1 = x 2. Phân. thuộc tập số thực R )44(3)2221( 18 222 +−−+−−++−= yyyxxyyxF 18) 2()1( 18 22 ≤−−−−−= yyx 01 18 =−−⇔= yxF và 02 =− y Max F = 18 3=⇔ x v à 2 = y Bài tập 1. Tìm