ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ I A) ĐẠI SỐ : Lý thuyết : 1) Căn bậc hai : * Định nghĩa CBHSH : Với số dương a, số a được gọi là căn bậc hai số học của a. Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0 * 2 2 x 0 x a x ( a) a ≥   = ⇔  = =   * Điều kiện tồn tại căn thức bậc hai : A có nghĩa ⇔ A ≥ 0 * Hằng đẳng thức 2 A(A 0) A A A(A 0) ≥  = =  − <  * Qui tắc khai phương một tích – nhân hai căn thức bậc hai A.B A. B= ( A ≥ 0 ; B ≥ 0) * Qui tắc khai phương một tích – Chia hai căn thức bậc hai A A B B = ( Với A ≥ 0 , B > 0 ) Công thức biến đổi : 1) 2 A B A B= (B ≥ 0 ) 2) 2 A B A B= (A ≥ 0 ; B ≥ 0) 3) 2 A B A B= − ( A < 0 ; B ≥ 0 ) 4) A 1 AB B B = ( A.B ≥ 0 ; B ≠ 0 ) 5) A A B B B = ( B > 0 ) 6) 2 C C( A B) A B A B = − ± m (A ≥ 0, A ≠ B 2 ) 7) C C( A B) A B A B = − ± m ( A ≥ 0, B ≥ 0 , A ≠ B) 2) Hàm số và đồ thị : * Định nghĩa hàm số : * Hàm số bậc nhất : + Đn : Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b Trong đó a , b là các số cho trước và a ≠ 0. + Tính chất : Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị của x thuộc R và có tính chất sau : - Đồng biến trên R , khi a > 0. - Nghịch biến trên R, khi a < 0 + Đồ thị hàm số bậc nhất : Đồ thị hàm số y = ax + b ( a ≠ 0 ) là một đường thẳng : - Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b. - Song song với đường thẳng y = ax nếu b ≠ 0 , trùng với đường thẳng y = ax nếu b = 0. + Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b Đồ thị hàm số y = ax + b là đường thẳng cắt Oy tại A( 0; b) cắt Ox tại điểm B b ( ;0) a − Đồ thị hàm số y = ax + b là đường thẳng đi qua hai điểm A (0; b ); B (1 ; a+b) Hệ số góc , đường thẳng song song , đường thẳng cắt nhau, trùng nhau Cho hàm số y = ax + b ( a ≠ 0) : a hệ số góc ; b tung độ gốc a = a’ = 1 ; b ≠ b’(3 ≠ -1) 0 < α < 90 0 180 0 >α > 90 0 a ≠ a’ (3/2 ≠ -1) Cho hai hàm số y = ax + b (d) ; y = a’x + b ( d’) + d // d’ ⇔ a = a’ và b ≠ b’ + d cắt d’ ⇔ a ≠ a’ Nếu b = b’ thì điểm cắt nhau nằm trên trục tung. + d ≡ d’ ⇔ a = a’ ; b = b’ 3) Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn Phương trình bậc nhất hai ẩn : ax + by = c ( a 2 + b 2 ≠ 0 ) * S = a c (x;y)/ x R,y x b b −   ∈ = +     * NTQ : x R a c y x b b ∈    − = +   * Tập nghiệm được biểu diễn bởi đường thẳng a c y x b b − = + Chú ý : * a = 0 ⇒ 0x + by = c S = c (x;y)/ x R,y b   ∈ = +     NTQ : x R c y b ∈    =   Tập nghiệm được biểu diễn bởi đường thẳng c y b = * b = 0 ⇒ ax + 0y = c S = c (x;y)/ y R,x a   ∈ =     NTQ : y R c x a ∈    =   Tập nghiệm được biểu diễn bởi đường thẳng c x a = B) .HÌNH HỌC Lý thuyết : 1) Hệ thức lượng trong tam giác vuông : * AB 2 = BH . BC (c 2 = a . c’). AC 2 = CH . BC ( b 2 = a. b’) * AH 2 = BH .CH ( h 2 = b’ . c’) * AH . BC = AB . AC (b.c = a.h) * 2 2 2 1 1 1 AH AB AC = + ( 2 2 2 1 1 1 h b c = + ) * BC 2 = AB 2 + AC 2 2) Tỉ số lượng giác của góc nhọn : c.ñoái sinB c.huyeàn = c.keà cosB c.huyeàn = c.ñoái tgB c.keà = c.keà cotgB c.ñoái = Chú ý : với α , β các góc nhọn và α + β = 90 0 * 0 < sinα ; cosα < 1 * sin α = cos β ; tgα = cotgβ. * sin 2 α + cos 2 β = 1 . * sin tg cos α α = α ; cos cotg sin α α = α 3) Liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông : AB = BC . sinC = BC .cosBhoặc AB = AC . tgC = AC cotgB AC = BC . sinB = BC . cosC hoặc AC = AB . tgB = AB cotgC. 4) Đường tròn : Nội dung Kí hiệu Hình vẽ 1. định nghĩa : Vị trí tương đối của một điểm với đường tròn . Trong đường tròn đk là dây lớn nhất. 2. Quan hệ giữa đk và dây. - Đường kính vuông góc với dây . - Đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm. 3. Quan hệ giữa dây và khoảng cách tâm. AB và CD hai dây, OH và OK khoảng cách tâm của hai dây. 4. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn . d2 tiếp tuyến của (O), M tiếp điểm Đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn khi đ/ thẳng và đường tròn có 1 điểm chung. a)Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến b)Tính chất hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm. 5. Vị trí tương đối của hai đường tròn - Hai đường tròn cắt nhau. (có 2 tiếp tuyến chung) - Hai đường tròn tiếp xúc nhau.( t/x ngoài có 3 t/t chung, t/x trong có 1t/t chung) (O , R ) M∈ (O) ⇔ OM = R (OM : bk) M nằm trong (O) ⇔ OM < R M nằm ngoài (O) ⇔ OM > R (O, R) AB đường kính, CD dây AB ≥ CD AB : đường kính, CD dây không đi qua tâm. AB ⊥ CD ⇔ IC = ID. AB = CD ⇔ OH = OK AB < CD ⇔ HO > OK d1 cắt (O) ⇔ OI < R d2 tiếp xúc (O) ⇔ OM = R d3 khg cắt (O) ⇔ OK > R d là tiếp tuyến (O) ⇔ d ⊥ OM tại M AB, AC hai tiếp tuyến (O) ⇒ - AB = AC - · · BAO CAO= - · · AOB AOC= * R – r < d < R + r * d = R + r ( tiếp xúc ngoài) B. BÀI TẬP : ĐẠI SỐ : Xem lại các bài tập : 1, 2 , 4, 6,12,14,15,32,33,50,51,52,54,55,58,62,64,65.(SGK) 1) Rút gọn biểu thức : 1) 75 48 300+ − 2) 9 16 49 ( 0)a a a a− + ≥ 3) 98 72 0,5 8+ − 4) (2 3 5) 3 60+ − 5) (5 2 2 5) 5 250+ − 6) ( 28 12 7) 7 2 21− − + 7) ( 99 18 11) 11 3 22− − + 8) 2 40 12 2 75 3 5 48− − 9) 2 2 3 1 3 1 − − + 10) 1 1 2 3 3 2 3 3 − − + 11) a b a b a b a b + − − − + 12) 3 3 a b a b a b a b − − − − − 13) 2 (2 3) 4 2 3− + − 14) 15 6 6 33 12 6− + − 15) (15 200 3 450 2 50) : 10− + 3) Tìm x : 1) 25 35x = 2) 3 12x = 3) 25 35x ≤ 4) 2 10x ≥ 5) 2 ( 2) 3x − = 6) 2 ( 3) 9 2x x− = − 4) Cho biểu thức : x 1 2 x 2 5 x P 4 x x 2 x 2 + + = + + − − + a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Rút gọn P. c) Tìm x để P = 2. 5) Cho biểu thức : x x 9 3 x 1 1 Q : 9 x 3 x x 3 x x     + + = + −  ÷  ÷  ÷  ÷ − + −     Tương tự K= 1 1 2 : 1 1 1 x x x x x x     − +  ÷  ÷  ÷ − − − +     a) Rút gọn C. a) Rút gọn K. b) Tìm x sao cho C < 1 b) Tìm các giá trị của x để K < 0. 6) Cho biểu thức c) Tính K với x = 4 2 3− 3 1 1 1 1 1 x x M x x x x x − = + + − − − + − Tương tự : H = 2 4 : 1 1 1 x x x x x x x   + −   − +  ÷  ÷  ÷ − + +     a) Rút gọn M. a) Rút gọn H. b) Tìm x để M > 0 b) Tìm x để H = 1 2 . c) Tính giá trị của P nếu x = 53 9 2 7− c) Tìm giá trị nhỏ nhất của H và giá trị tương ứng của x 7) Cho biểu thức : N = 2 4 2 4 2 3 ( ) : ( ) 4 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x + − − + + − − − − + − − a) Rút gọn N. b) Tìm các giá trị của x để N > 0, N < 0. c) Tìm giá trị của x để N = - 1. 8) Cho hai hàm số : y = 4/3x + 4 và y = -x + 4 a) Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng hệ trục toạ độ . b) Tính các góc của tam giác tạo bởi hai đồ thị hàm số với trục Ox. c) Tính diện tích của tam giác tạo bởi Ox với hai đồ thị hàm số. 9) Cho hàm số bậc nhất y = (2-3m)x + m – 2.(d) a) Tìm giá trị của m để hàm số là hàm số đồng biến , nghịch biến. b) Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = 2x + 1. c) Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2. d) Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua điểm M(2;-3). 10) Cho đường thẳng : y = (1 – m)x + m – 2 (d) a) Với giá trị nào của m thì đường thẳng đi qua điểm A( 2; 1). b) Với giá trị nào của m thì đường thẳng (d) tạo với Ox một góc nhọn, góc tù. c) Với giá trị nào của m thì đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3. 11) Cho hai đường thẳng : y = kx + (m – 2) (d 1 ) y = (5 – k)x + (4 – m) (d 2 ) Với giá trị nào của k và m thì (d 1 ) và (d 2 ) a) Song song nhau. b) Trùng nhau. c) Cắt nhau tại một điểm trên trục tung. 12) Cho hai phương trình : 2x – y = 3 và 3x + 2y = 1. a) Viết tập nghiệm, nghiệm tổng quát, biểu diễn tập nghiệm trên hệ trục toạ độ. b) Tìm nghiệm chung của hai phương trình bằng đồ thị, kiểm tra bằng phép tính. HÌNH HỌC : 1) Cho đường tròn (O), đường kính AB. Gọi I là trung điểm OA, vẽ đường tròn tâm I bán kính IA.Trên Đường tròn (I) lấy điểm M, tia AM cắt (O) tại điểm thứ hai N. a) Hai đường tròn (O) và (I) có vị trí như thế nào ? b) Chứng minh IM // ON. c) Tìm vị trí của điểm M để BM là tiếp tuyến của đường tròn (I). 2) Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. Từ A và B kẻ hai tia Ax và By vuông góc với AB ( Ax, By cùng nằm trên nửa mặt phẳng với nửa đường tròn bờ là AB). Trên nửa đường tròn lấy điểm M bất kỳ, tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax, By lần lượt tại C và D. a) Chứng minh góc COD vuông . b) Chứng minh CD = AC + BD. c) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD. d) Gọi I là giao điểm của AD và BC . Chứng minh MI ⊥ AB. 3) Cho hình vuông ABCD cạnh a vẽ đường tròn (A. a). Trên BC lấy điểm M, từ M vẽ tiếp tuyến với đường tròn cắt cạnh CD tại N. a) Chứng minh chu vi tam giác CMN bằng 2a. b) Tìm số đo góc MAN. 4) Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Gọi I là trung điểm của AO, qua I kẻ dây CD vuông góc với OA. a) Tứ giác ACOD là hình gì ? Tại sao ? b) Chứng minh tam giác BCD đều. c) Tính chu vi và diện tích tam giác BCD theo R. 5) Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Gọi I là trung điểm của BO, qua I kẻ dây CD vuông góc với OB. Tiếp tuyến của (O) tại C cắt tia AB tại E. a) Tính độ dài OE theo R. a) Tứ giác ACED là hình gì ? Tại sao ? b) Chứng minh ED là tiếp tuyến của (O). c) Chứng minh B là trực tâm tam giác CDE . 6) Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn (A, AH). Kẻ tiếp tuyến BD, CE với đường tròn ( D, E khác điểm H). Chứng minh rằng : a) Ba điểm D, A, E thẳng hàng. b) DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC. 7) Cho hai đường tròn (O, R) và (O’, R’) tiếp xúc ngoài tại A (R > R’). Kẻ các đường kính AB với (O), AC với (O’). Gọi M là trung điểm của BC , qua M kẻ dây DE ⊥ BC . a) Tứ giác BDCE là hình gì ? Tại sao ? b) CE cắt (O’) tại điểm thứ hai là F. Chứng minh ba điểm A, D, F thẳng hàng. c) Chứng minh EA ⊥ CD tại một điểm nằm trên đường tròn (O’). 8) Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC , B∈ (O), C∈ (O’). kẻ tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC tại I. a) Chứng minh rằng · 0 BAC 90= . b) Tính số đo góc OIO’. c) Tính độ dài BC biết OA = 9cm, O’A = 4cm. 9) Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài DE , D∈ (O), E∈ (O’). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt ED tại I. Gọi M là giao điểm của OI với AD, N giao điểm AE với O’I. a) Từ giác AMIN là hình gì ? Tại sao ? b) Chứng minh hệ thức IM . IO = IN . IO’. c) Chứng minh OO’ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DE. d) Tính độ dài DE theo R và R’. 10) Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến của (O’)tại A cắt (O) tại điểm thứ hai là C, tiếp tuyến của (O)tại A cắt (O’) tại điểm thứ hai là D. Gọi M là trung điểm của OO’, I là điểm đối xứng của A qua M, E là điểm đối xứng của A qua B. Chứng minh rằng : a) IB ⊥ AB. b) Bốn điểm A, C, E, D cùng nằm trên một đường tròn. 11) Cho đường tròn (O, R), đường kính AB. Qua A và B vẽ lần lượt hai tiếp tuyến (d) và (d’) với đường tròn (O). Một đường thẳng qua O cắt đường thẳng (d) ở M và cắt đường thẳng (d’) ở P. Từ O vẽ một tia vuông góc với MP và cắt đường thẳng (d’) ở N. a) Chứng minh OM = OP và ΔNMP cân. b) Hạ OI ⊥ MN. Chứng minh OI = R và MN là tiếp tuyến của (O). c) Chứng minh AM. BN = R 2 . d) Tìm vị trí của M để diện tích tứ giác AMNB là nhỏ nhất. Vẽ hình minh họa. 12) Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài BC, với B∈(O), C∈(O’). Tiếp tuyến chung trong cắt AB tại M. a) Chứng minh MB = MC và ΔABC vuông. b) MO cắt AB ở E, MO’ cắt AC ở F. Chứng minh tứ giác MEAF là hình chữ nhật. c) Chứng minh hệ thức ME.MO = MF.MO’ d) Gọi S là trung điểm của OO’. Chứng minh BC là tiếp tuyến của đường tròn (S) đường kính OO’. . Tiếp tuyến chung trong t i A cắt ED t i I. G i M là giao i m của OI v i AD, N giao i m AE v i O I. a) Từ giác AMIN là hình gì ? T i sao ? b) Chứng minh. G i I là trung i m của AO, qua I kẻ dây CD vuông góc v i OA. a) Tứ giác ACOD là hình gì ? T i sao ? b) Chứng minh tam giác BCD đều. c) Tính chu vi và diện