Đang tải... (xem toàn văn)
Sức bền vật liệu (SBVL) là môn học kĩ thuật cơ sở của các ngành kĩ thuật (Xây dựng, Cơ khí, Cầu đường, Kiến trúc,...). Mục đích của SBVL là nghiên cứu các qui luật ứng xử, ứng suất và biến d
49Chương 3 TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT 3.1. KHÁI NIỆM. 3.1.1. Khái niệm. Như trong bài toán kéo nén đúng tâm, ta đã thiết lập công thức tính ứng suất trên mặt cắt nghiêng bất kỳ: ⎪⎩⎪⎨⎧ασ=τασ=σαα)b(2sin21)a(cos2 Trong đó α là góc giữa pháp tuyến của mặt cắt và trục thanh. Rõ ràng khi α thay đổi, các ứng suất pháp σα, ứng suất tiếp τα đều thay đổi theo qui luật (a) và (b). Nhưng trong những thanh chịu lực phức tạp hơn (thanh bị uốn, xoắn v.v .) thì vấn đề xác định qui luật biến thiên của ứng suất theo góc nghiêng α của mặt cắt cũng phức tạp hơn. Trong chương này, chúng ta sẽ xác định qui luật biến thiên đó. Vì thế nếu biết được qui luật biến thiên ứng suất tại một điểm thì ta có thể xác định được tại điểm đó mặt cắt nào có ứng suất lớn nhất. Định nghĩa trạng thái ứng suất: Trạng thái ứng suất tại một điểm là trạng thái chịu lực của điểm đang xét, được đặc trưng bởi tập hợp các giá trị ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên những mặt cắt vô cùng bé (VCB) khác nhau đi qua điểm đó. Để xác định ứng suất tại một điểm trong vật thể đàn hồi, ta tách riêng ra một hình hộp có kích thước vô cùng bé VCB (gọi là phân tố) bao quanh điểm đó. Chú ý rằng các cạnh của phân tố là VCB, nên ta có thể coi phân tố là điểm đang xét và ứng suất trên các mặt của phân tố được xem như ứng suất trên các mặt đi qua điểm đó. Trong lý thuyết đàn hồi, người ta đã chứng minh được rằng: "Tại một điểm bất kỳ thuộc vật thể đàn hội chịu lực, ta luôn luôn có thể tách ra được một phân tố sao cho trên các mặt của nó chỉ có các ứng suất pháp mà không có ứng suất tiếp, τ = 0". Phân tố đó được coi là phân tố chính, các mặt của phân tố gọi là mặt chính, các ứng suất pháp trên các mặt gọi là các ứng suất chính, phương pháp tuyến của các mặt gọi là phương chính. Một phân tố hình hộp có sáu mặt, như vậy nói chung có sáu thành phần ứng suất chính. Nhưng do điều kiện cân bằng, các mặt đối diện có các thành phần ứng suất chính bằng nhau về trị số và ngược chiều nhau, do đó chỉ có ba ứng suất chính. Ta ký hiệu các ứng suất chính σ1, σ2, σ3 với thứ tự qui ước σ1 >σ2 >σ3 (so sánh như số thực). Hình 3.1:Phân tố vô ùbéσ1=2 KN/cm2 Hình 3.2: Phân tố chinhσ1σ3 σ3= -10KN/cm2σ2=3 KN/cm2σ2 50Ví dụ: σ1 = 2KN/cm2; σ2 = 3KN/cm2; σ3=-10KN/cm2 3.1.2. Phân loại trạng thái ứng suất. Căn cứ vào các ứng suất chính trên một phân tố chính, ta phân ba loại trạng thái ứng suất: a) Trạng thái ứng suất đơn: Trên phân tố chính chỉ có một ứng suất chính khác không và hai ứng suất chính khác bằng không. Đó là trường hợp thanh chịu kéo (hay nén) đúng tâm, (xem hình 3.3a). b) Trạng thái ứng suất phẳng: Trên phân tố chính chỉ có hai ứng suất chính khác không và một ứng suất chính bằng 0, (xem hình 3.3b) c) Trạng thái ứng suất khối: Trên phân tố chính có đủ ba ứng suất chính khác không, (xem hình 3.3c). Trong giáo trình sức bền vật liệu, chúng ta chủ yếu chỉ quan tâm đến trạng thái ứng suất phẳng. Từ đó có thể suy ra trạng thái ứng suất đơn. Còn trạng thái ứng suất khối được nghiên cứu kỹ trong giáo trình lý thuyết đàn hồi. 3.2. TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT PHẲNG. 3.2.1. Ứng suất trên mặt cắt nghiêng . Giả sử tại K, ta tách ra khỏi vật thể đàn hồi chịu lực một phân tố có các mặt song song với mặt phẳng của hệ tọa độ, trong đó mặt vuông góc với trục Oz là một mặt chính không có ứng suất pháp tác dụng (hình 3.4), còn các mặt kia là bất kỳ nên có đủ các thành phần ứng suất. Ta ký hiệu các ứng suất đó như sau: - Ứng suất pháp σ có kèm theo một chỉ số, chỉ số này biểu diễn phương của pháp tuyến của mặt cắt có ứng suất tác dụng (σx - Ứng suất pháp theo phương x). - Ứng suất tiếp có hai chỉ số: Chỉ số thứ 1 chỉ phương của pháp tuyến của mặt cắt có ứng suất tiếp tác dụng, chỉ số thứ 2 biểu diễn phương song song với ứng suất tiếp (τxy là ứng suất tiếp trên mặt phẳng có pháp tuyến ngoài là x và ứng suất này nằm theo phương y). c) σ2 σ2σ3σ3σ1b)σ1σ1σ3σ3a) σ1 σ1σ1Hình 3.3.Các trạng thái ứng suất:a- Trạng thái ứng suất đơn; b-Trạng thái ứng suất phẳng; c- Trạng thái ứng suất khối. 51 Giả sử đã biết σx, σy và τxy, bây giờ ta thiết lập công thức tính ứng suất pháp và tiếp trên mặt cắt nghiêng bất kỳ song song với Oz. Tưởng tượng cắt phân tố bởi một mặt cắt (R) có pháp tuyến u làm với trục x một góc α. Mặt (R) // Oz, mặt này cắt phân tố ra hai phần (A) và (B), xem hình 3.5. Giả sử xét cân bằng phần (A). Gọi σu, τuv tác dụng trên mặt cắt nghiêng (α). Ta xét các lực tác dụng trên các mặt của phần (A), (xem hình 3.6, 3.7). Gọi các cạnh lần lượt là dx, dy, dz, ds. Trên diện tích dy.dz có các hợp lực σxdydz và τxydydz. Trên diện tích dx.dz có các hợp lực σydzdx và τyxdzdx. Trên diện tích dz.ds có các hợp lực σudzds và τuvdzds. Dễ dàng xác định ds = α=α sindxcosdy - Viết phương trình mô men với điểm O': 02dy.dzdx2dx.dydz0myxxy'o=τ−τ⇒=∑ yxxyyxxyτ−=τ⇒τ=τ⇒ (3-1) Kết quả này được gọi là định luật đối ứng của ứng suất tiếp trên hai mặt cắt vuông góc nhau. τyxdxdzσydxdz τxydydzσxdydzσudzds τudzds αu v y z xuvO’ α τuv τyx τxy σx σy Hình 3.6: Các lực tác dụng lên phần A của phân tốHình 3 .7: Các lực tác dụng lên phần A của phân tốO’ Hình 3.4:Phân tố có một mặt chính không có ứng suất phápσy σy σyσyσx σx σx σx y yxxz zτxyτxyτxyτyxτyxτyxτyxAB Hình 3.5: Thiết lập ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt cắt nghiêng bất kì song song τxy(R) 52 - Viết phương trình chiếu tất cả các lực lên trục u ta có: ∑ατ−ασ−σ+σ+σ=σ⇒=2sin2cos220Uxyyxyxu (3-2) - Viết phương trình chiếu tất cả các lực lên trục V ta có: ∑ατ+ασ−σ=τ⇒=2cos2sin20Vxyyxuv (3-3) Biểu thức (3-2) và (3-3) cho phép xác định ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên các mặt cắt nghiêng (α) song song với một phương chính (mặt cắt này vuông góc với mặt cắt đang xét) không có ứng suất. Bây giờ ta xét ứng suất trên mặt cắt nghiêng (β), với β = 2π+α. βτ−βσ−σ+σ+σ=σ⇒2sin2cos22xyyxyxv ατ+ασ−σ−σ+σ=σ2sin2cos22xyyxyxv (3-4) Thực hiện phép cộng các phương trình (3-2) và (3-4) theo vế có: σU + σv = σx + σy = const (3-5) Biểu thức (3-5) được gọi là định luật bất biến bậc nhất của ứng suất pháp trên hai mặt cắt vuông góc nhau. 3.2.2. Phương chính và ứng suất chính. Muốn xác định phương chính và ứng suất chính, thì theo định nghĩa ta phải tìm mặt nghiêng nào có ứng suất tiếp bằng không (tức là mặt cắt không có ứng suất tiếp). Mặt cắt nghiêng (α) là mặt chính khi τuv = 0. (3-6) Gọi α0 là góc nghiêng của phương chính với trục x, từ (3-6) và (3-3), ta có: 02cos2sin20xy0yxuv=ατ+ασ−σ=τ (3-7) yxxy022tgσ−στ−=α=> Đặt zk,2k22tg0yxxy∈π+β=α⇒σ−στ−=β Hay ⎢⎢⎢⎢⎣⎡π+β=αβ=α2220201 Như vậy từ (3-7) luôn luôn tìm được hai giá trị của α0 là α01 và α02 chênh lệch nhau 532π. Vậy luôn luôn có hai phương chính thẳng góc nhau. Lần lượt thay α01, α02 vào (3-2) ta sẽ được các ứng suất chính cần tìm. Những ứng suất chính còn là những ứng suất cực trị, nghĩa là ứng suất trên mặt chính sẽ có giá trị cực trị. Rõ ràng đạo hàm bậc nhất của giá trị ứng suất pháp bằng 0 cũng đồng nghĩa với ứng suất tiếp ở mặt đó triệt tiêu. Thực vậy uvxyyxu22cos22sin22ddτ−=ατ−ασ−σ−=ασ τuv = 0 , cũng có nghĩa là 0ddu=ασ Như vậy, khi thay ,2cos1cα 2c2cos α , 1c2sin α và 2c2sin α , suy từ (3-7) với sự biến đổi α+α±=α2tg12tg2cos2 và α+±=α2tg112sin2, ta có được hai giá trị ứng suất chính ở hai mặt chính vuông góc với nhau và thường trong trạng thái ứng suất phẳng, ta ký hiệu các ứng suất chính là σmax, σmin. Ta có : 2xy2yxyxminmax/4)(212τ+σ−σ±σ+σ=σ (3-8) dấu + ứng với σmax, dấu − ứng với σmin. 3.2.3. Vòng tròn ứng suất (vòng Mohr) Chúng ta để ý đến hai biểu thức (3-2) và (3-3) thì thấy rằng: σu và τuv đều là hàm của góc nghiêng α. Do đó giữa chúng chắc sẽ có một mối liên hệ nào đó. Thật vậy từ (3-2) và (3-3) ta được: ατ−ασ−σ=σ+σ−σ 2sin2cos22xyyxyxu ατ+ασ−σ=τ 2cos2sin2xyyxuv Bình phương cả 2 vế của hai phương trình này, sau đó cộng các vế lại ta sẽ được: +⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ατ−ασ−σ=τ+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛σ+σ−σ2xyyx2uv2yxu2sin2co22 2xyyx2cos2sin2⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ατ+ασ−σ+ Sau khi thu gọn ta được: 2xy2yx2uv2yxu22τ+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛σ−σ=τ+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛σ+σ−σ (3-9) Trong hình học giải tích ta đã biết phương trình chính tắc của đường tròn bán kính R: (x-a)2 + (y-b)2 = R2; (a,b) tọa độ tâm vòng tròn đó. Nếu lập hệ trục mà trục hoành là σu và trục tung τuv thì (3-9) chính là phương trình của một vòng tròn trong đó: σu, τuv - Tọa độ của những điểm trên vòng tròn. 54 ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛σ+σ0,2yx - Tọa độ của tâm vòng tròn. 2xy2yx2τ+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛σ−σ - Bán kính của vòng tròn. Ta có thể kết luận: Sự liên hệ giữa ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt cắt bất kỳ có thể biểu diễn bằng một vòng tròn là vòng tròn ứng suất (hay vòng Mohr). Cách dựng vòng Mohr như sau: Xét một phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng, trong đó phương Oz là một phương chính không có ứng suất, còn hai phương Ox, Oy là bất kỳ và giả sử đã biết các ứng suất σx, σy, τxy = -τyx , với giả thiết σx > σy > 0; τxy> 0. Ta lập hệ trục tọa độ (theo một tỉ lệ nhất định ,vị dụ 1cm ứng với 1KN/cm2). * Trục hoành song song với Ox, biểu diễn ứng suất pháp. * Trục tung song song với Oy, biểu diễn ứng suất tiếp. Xác định tâm C của vòng Mohr: Trên trục hoành lấy các đoạn xyOB;OAσ=σ= . Điểm chính giữa C của AB chính là tâm vòng Mohr, vì: 22OBOAOCxyσ+σ=+= * Tìm bán kính vòng Mohr: Ứng với điểm A ta lấy D có tung độ xyADτ= nằm về phía dương của trục tung (vì giả thuyết τxy> 0). CD chính là bán kính của vòng Mohr, vì: 222ADACCD += = 2xy2yx2τ+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛σ−σ Với tâm C và bán kính CD ta lập được vòng Mohr. D (σy, τxy ): Gọi là điểm cực của của vòng Mohr có tâm C và bán kính CD.Ta hoàn toàn có thể vẽ vòng tròn Mohr ứng suất (hình 3.9). y Hình 3.8:Phân tố ứng suất phẳng xσxσx σy σy τxyτxy τyx τyx τuvσuτxyO AC B Dσy2yxσσ+σxHình 3.9: Vẽ vòng tròn Mohr 55 Chúng ta chú ý đến điểm Mo (σx, τxy), hình 3.11, tức là tọa độ của nó thể hiện ứng xuất pháp σx, ứng suất tiếp τxy trên mặt chuẩn có pháp tuyến x, nên điểm Mo gọi là điểm gốc của vòng tròn ứng suất, MO cũng là bán kính của vòng Mohr. Bây giờ ta hãy chứng minh tính chất sau: - Nếu lấy một điểm M thuộc vòng Mohr và kí hiệu góc giữa các bán kính CM và CMo là 2α, thì tọa độ điểm M đó sẽ là σu, τuv trên mặt cắt có pháp tuyến u xiên góc α với trục x (xem hình 3.11). Theo hình ta tính được: )2cos(CMOCCTOCOT α+γ+=+= = αγ−αγ+ 2sin.sinCM2cos.cosCMOC Vì 2CBcosCMcosCMyx0σ−σ==γ=γ Và xy00BMsinCMsinCM τ==γ=γ ατ−ασ−σ+σ+σ= 2sin2cos22OTxyyxyx So sánh với (3-2) => uOT σ= Tương tự uvTM τ= Nối DM => 0MDM = α => DM // u * Chú ý: a) Khi biểu diễn các giá trị σx, σy, τxy trong hệ trục (σ, τ) cần lưu ý dấu. b) α > o, khi quay ngược chiều kim đồng hồ kể từ trục x. Ví dụ: Tính ứng suất trên mặt cắt có pháp tuyến u nghiêng một góc α = 300 so với trục x. * Tính theo phương pháp đồ thị: Lập hệ trục σ // x; τ // y, chọn tỉ xích 5mm =1KN/cm2. y Hình 3.10: Ứng suất trên mặt cắt xiênxτyxτyxτxyτxyσy σyσx σx σu τuvα Ou τuvα2α γ OAC T B σuσx τxyτxyDMMO Hình 3.11: Cách dựng vòng tròn ứng suất σy 56 Trên trục σ lấy 8OB;4OAxy=σ==σ=. Trung điểm C của AB là tâm vòng Mohr. Cực D (4,2), CD là bán kính vòng Mohr ứng với phân tố đã cho. Từ D kẻ đường thẳng song song với u cắt vòng Mohr tại M. Đo tọa độ , ta nhận được: σu = x(M) = 5,3 k/cm2; τuv - y(M)== 2,7k/cm2 * Tính theo phương pháp giải tích: 200ucmKN268,560sin260cos248248=−−++=σ 200uvcmkN732,260s0c260sin248=+−=τ * Ứng dụng chủ yếu của vòng Mohr là để xác định phương chính và ứng suất chính. Ta biết rằng mặt chính là mặt không có ứng suất tiếp. Do đó để xác định phương chính ta chỉ việc tìm trên vòng tròn Mohr những điểm có tung độ bằng không. Đó là hai điểm M1, M2, các phương này hợp với phương ngang những góc α1 và α2. Ở đây ta qui ước chiều dương của các góc α là chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ. Giá trị của các ứng suất chính có thể đo trực tiếp trên các trục (σ, τ). Đó là các đoạn 1OM và 2OM ;max1OM σ=;min2OM σ= , (xem hình 3.15) Nhờ vòng Mohr ta có thể rút ra công thức tính ứng suất chính: 2xy2yxyx2min22CMOCτ+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛σ−σ−σ+σ=−=σ 2xy2yxyx1max22CMOCτ+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛σ−σ+σ+σ=+=σ τ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛2cmKN ⎟⎠⎞⎜⎝⎛2cmkNσ45,382,7 2 M2CBM1 MD300 Hình 3.13: Cách tìm ứng suất trên mặt xiên bằng vòng MohrOHình 3.12: Xác định ứng suất tạimặtxiêny 300 4 28 τuv u x O A 57 Viết gộp: 2xy2yxyxminmax/22τ+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛σ−σ±σ+σ=σ (3-10) dấu + ứng với σma x, dấu −ứng với σmin. Theo hình trên thì ta sắp xếp các ứng suất chính theo thứ tự : σ1 = σmax, σ2 = σmin, σ3 = 0 Gọi: α1- Góc giữa phương chính có σmax với phương ngang. α2- Góc giữa phương chính có σmin với phương ngang. thì từ vòng Mohr ta rút ra: maxyxyymaxxy11AMADtgσ−στ=σ−στ−=−=α minyxy22AMADtgσ−στ=−=α Viết gộp: tg α1/2min/maxyxyσ−στ= (3-11) Trên vòng tròn Mohr còn có hai điểm đặc biệt M3 và M4 là hai điểm có tung độ lớn nhất và bé nhất. Dựa vào vòng Mohr, ta có: 2xy2yx3max2CMτ+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛σ−σ==τ 2xy2yx4min2CMτ+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛σ−σ−==τ y Hình 3.14:Phân tố ứng suất phẳngxσy σy σx σx τxy τxy τyx τyx τσ2σ2σ1σ1σα1 α2τxy OM2ACB M1Dσ2 2yxσσ+σx σ1Hình 3.15: Xác định ứng suất chính bằng vòng Mohr 58 Viết gộp: 2xy2yxminmax/2τ+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛σ−σ±=τ (3-12) 3.3. TRẠNG THÁI TRƯỢT THUẦN TÚY. Trạng thái trượt thuần túy tại một điểm trong vật thể đàn hồi. Nếu tại một điểm nào đó ta tách ra được một phân tố mà trên các mặt của nó chỉ có ứng suất tiếp (không có ứng suất pháp, tức σ = 0) xem hình 3.16, trong trường hợp này, vòng tròn Mohr có tâm C ở gốc O, (vì σx = σy = 0). Cực D (0, τ) ∈ trục tung. Dựa vào vòng Mohr, ta có: σ1 = σmax = τxy; σ2 = 0; σ3 = σmin = -τxy Như vậy trạng thái trượt thuần túy có đặc điểm là hai ứng suất chính σ1 và σ3 bằng nhau nhưng ngược chiều (kéo, nén). Phương chính xiên góc 450 so với phương của ứng suất tiếp (hình 3.16; 3.17). 3.4. LIÊN HỆ GIỮA ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG - ĐỊNH LUẬT HOOKE TỔNG QUÁT. Trong trường hợp tổng quát, trên các mặt của phân tố có các ứng suất pháp và ứng suất tiếp. 3.4.1. Biến dạng dài theo một cạnh của phân tố. Đó là biến dạng do tác dụng của cả ba ứng suất pháp theo ba phương x, y, z gây ra. Để tính biến dạng này ta dùng nguyên lý độc lập tác dụng: "Tác dụng gây ra đồng thời do nhiều yếu tố thì bằng tổng những tác dụng do các yếu tố riêng rẽ gây ra". Nguyên lý đó thể hiện bằng biểu thức toán học sau: εx= )(z)(yx)(x)(x)(xzyzyxEσσσσσµε−µε−σ=ε+ε+ε εx= [])(E1EEEzyxzyxσ+σµ−σ=σµ−σµ−σ (3-13) Ta suy ra cho biến dạng các phương khác: Hình 3.16: Trạng thái ứng suất trượt thuần tuý y xττσ1=τσ3=τ σ1=τ σ3=τ-τ τσ τOCM3M1 DHình 3.17: Vòng Mohr để xác định ứng suất chính yHình 3.18: Xác định biế d tỉ đốiεxzσy σy σZσZσx σx Ody dxdz [...]... trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt : σ td = σ 2 + 3 2 ≤ [σ] ( 3- 2 9) 5) Thuyết bền Mohr (thuyết bền V) Điều kiện bền : σtd = σ1 - α 3 ≤ [σ] ( 3- 3 0) k σ với α= 0 n σ0 * Vật liệu dẻo: α = 1 trở về thuyết bền III * Vật liêụ giòn: α < 1 Đối với phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt: 1− α 1+ α σtd = ( 3- 3 1) σ+ σ 2 + 4 τ 2 ≤ [ σ] 2 2 Kết luận: a) Dùng thuyết bền I trong trường hợp trạng thái ứng suất đơn... nhau - Vật liệu dẻo: σtd = max (|σ1|, | 3| ) ( 3- 2 3) => điều kiện bền σtd ≤ [σ] - Vật liệu giòn: σ 1 = σ1 ≤ [σ]k td σ II = | 3| ≤ [σ]n td 2) Thuyết bền biến dạng tỷ đối lớn nhất (thuyết bền II) σ1 ( 3- 2 4) σtd σ2 3 3 σ2 σ1 σtd Hình 3. 24: Trạng Hình 3. 24: Trạng thái ứng suất phức thái ứng suất đơn tạp tương đương Hai trạng thái ứng suất phức tạp và đơn sẽ có độ bền tương đương nếu biến dạng dài tỷ đối lớn... − 2µ 1 − 2 ⋅ 0 ,3 => ∆V = ∑ V = 2.10 4 ( 3, 57 ⋅ 2 − 15) ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = −0,443mm 3 E Như vậy là thể tích bị giảm 3/ Kiểm tra theo thuyết bền III: σtd = σ1 - 3 = -3 ,57 - (-1 5) = 11, 43 KN/cm2 < [σ] Vậy khối thép đủ bền Ví dụ 3: Trên hai mặt tạo với nhau một góc 600 và đi qua một điểm ở trạng thái ứng suất phẳng có các ứng suất σy=3KN/cm2, τ yx = −5 KN cm 2 , τ uv = 6 KN cm 2 , hình 3. 28 σuv [ τ uv... 2 ⎞ σ 2 phẳng đặc biệt ⎟ 3 = − ⎜ ⎜ 4 + τ ⎟ = σ min 2 ⎝ ⎠ cho nên : σtd = σ1 - 3 = σ 2 + 4τ 2 ≤ [σ ] ( 3- 2 6) 4) Thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng (thuyết bền IV) Hai trạng thái ứng suất phức tạp và đơn sẽ có độ bền tương đương nếu như thế năng riêng biến đổi hình dạng của chúng bằng nhau Điều kiện bền σtd = 2 2 σ1 + σ 2 + σ 3 − σ1 σ 2 − σ 2 σ 3 − σ 3 σ1 ≤ [ σ] K 2 ( 3- 2 8) Đối với phân tố ở trạng... 50 =− = 3. 98 KN cm 2 F π ⋅ 42 4 0 ,31 (− 3, 98) = −1,79 KN cm 2 ⇒ σx = σy = 1 − 0 ,31 h Biến dạng ∆h của trụ A: ∆h = h ⋅ σ z = σ z − µ(σ x + σ y ) E 10 [− 3, 98 − 0 ,31 (− 1,79 − 1,79)] = −2,61 ⋅ 10 3 cm = 1,1 ⋅ 10 4 1 − 2µ ∑ Biến dạng thể tích ∆V của trụ A: ∆V = V0 θ = V0 E 3, 14 ⋅ 4 2 = −2,61 ⋅ 10 3 × =-0 , 032 789cm3 4 σz = − [ ] CÂU HỎI TỰ HỌC : 3. 1 Thế nào là trạng thái ứng suất tại một điểm ? 3. 2 Hai... song song với phương của 3 và 2 xiên một góc 450 so với các phương của σ1, σ2 σ − 3 - Ứng suất tiếp trên mặt cắt song song với σ1 và xiên một góc τ2 .3 = 2 2 450 so với các phương của σ2, 3 σ − 3 - Ứng suất tiếp trên mặt cắt song song với σ2 và xiên góc 450 3. 1 = 1 2 với các phương σ1 và 3 Trong 3 ứng suất tiếp lớn nhất này, thì ứng suất tiếp 3. 1 là lớn nhất: σ − 3 τmax= 3. 1 = 1 2 Điều này rất quan... chứng minh được: 64 τmax = σ1 −σ 3 2 σ td => σtd = σ1 - 3 ( 3- 2 5) Ở trạng thái ứng suất đơn: τmax = 2 và điều kiện bền σtd ≤ [σ] Đối với trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt (xem hình 3. 26) là trạng thái ứng suất thường gặp ở các bài toán của sức bền vật liệu như uốn, sức chịu phức tạp , mà chúng ta sẽ nghiên cứu sau: σ ⎛σ 2 ⎞ σ 2 τ ⎟ σ1 = + ⎜ ⎜ 4 + τ ⎟ = σ max 2 ⎝ ⎠ Hình 3. 26: Trạng σ2 = 0 thái ứng suất... Xu.l + Yu⋅m + Zu.n hay σu = σ1l2 + σ2m2 + σ3n2 ( 3- 2 0) 60 Và ta có giá trị ứng suất tiếp τu là: τu = p2 − σ2 u u ( 3- 2 1) b) Ứng suất trên mặt cắt nghiêng song song với một ứng suất chính: * Trên mặt cắt song song với 3: Pháp tuyến u của mặt cắt này sẽ vuông góc với phương x (phương tác dụng của ứng suất chính 3) , lúc đó n = 0 và công thức ( 3- 1 9), (32 20), ( 3- 2 1) sẽ là: P 2 = σ1 l 2 + σ 2 m 2 u 2 σu... Các ứng suất trên mặt chỉ phụ thuôc vào σ1 và 3 cho nên ta cũng sẽ có: 2 2 P 2 = σ1 l 2 + σ 3 n 2 u σu = σ1l2 + σ3n2 τu = (σ 1- 3) l.n Dựa vào σ1 và 3 ta cũng xây dựng được vòng tròn Mohr ứng suất có tâm ⎛ σ + 3 ⎞ ⎛ σ − 3 ⎞ ,0⎟ , bán kính r2 = ⎜ 1 C2 ⎜ 1 ⎟ Tọa độ của một điểm trên vòng tròn này cũng ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ z 3 t a) σ1 b) x σ2 O 3 C2 σ1 61 y Hình 3. 21 Xác định ứng suất trên mặt cắt σ là giá... trạng thái ứng suất khối 3 vòng tròn C1, C2 và C3, (hình 3. 23) * Nhận xét chung: 1- Tổng ứng suất pháp trên 3 mặt vuông góc với nhau đi qua một điểm là hằng số: σ 1 + σ2 + 3 = σx + σy + σz ( 3- 2 1) 62 Ta gặp lại luật bất biến bậc nhất đối với trạng thái ứng suất khối tương tự như đã gặp ở trạng thái ứng suất phẳng ở trên 2- Những ứng suất tiếp lớn nhất sẽ là: σ −σ 2 τ1.2 = 1 - Ứng suất tiếp trên mặt . giảm. 3/ Kiểm tra theo thuyết bền III: σtd = σ1 - 3 = -3 ,57 - (-1 5) = 11, 43 KN/cm2 < [σ]. Vậy khối thép đủ bền. Ví dụ 3: Trên hai mặt. thuyết bền III hay thuyết bền IV đối với vật liệu dẻo (vì 2 thuyết bền này rất phù hợp đối với vật liệu dẻo). c) Dùng thuyết bền V đối với vật liệu