Sáng kiến kinh nghiệm Diện tích đa giác A- Phần mở đầu I- Lý do chọn đề tài - Dạy học toán 8 ta bắt gặp các công thức tính diện tích đa giác và tính chất diện tích đa giác. Nhìn chung việc khai thác công thức diện tích và tính chất diện tích để giải các dạng toán là còn khá khiêm tốn. Hiện nay cha có nhiều tài liệu khai thác công thức diện tích đa giác để giải các dạng toán, có chăng chỉ là những bài viết vận dụng công thức diện tích để giải một vài dạng toán đơn lẽ chứ cha có tính tổng hợp. - Khi nghiên cứu về diện tích đa giác nếu chúng ta biết nhìn các công thức khô khan đó dới nhiều khía cạnh khác nhau và vận dụng khéo léo ta sẽ giải đợc khá nhiều dạng toán. - Để học sinh có kỹ năng vận dụng diện tích vào các dạng toán, cũng nh góp thêm vào kho tàng toán học một điều nhỏ bé, tôi đã chọn đề tài áp dụng diện tích để giải các dạng toán THCS để nghiên cứu. II- Mục đích nghiên cứu của đề tài - Củng cố kiến thức về diện tích đa giác - Hình thành và rèn luyện kỹ năng để giải một số dạng toán ở THCS - Trao đổi với đồng nghiệp một số kinh nghiệm giảng dạy III- Nhiệm vụ của đề tài - Nhắc lại kiến thức cơ bản về diện tích đa giác (lớp 8,9) - Khai thác diện tích đa giác dới nhiều góc đô, áp dụng giải một số dạng toán ở THCS nh : Tính độ dài đoạn thẳng Tính tỷ số của các đoạn thẳng Chứng minh các đẳng thức hình học Chứng minh các đẳng thức hình học Giải các bài toán đại số thông qua các bài tập cụ thể. - Tổng hợp hệ thống các dạng toán giải bằng phơng pháp sử dụng diện tích tam giác đã có, đồng thời tìm tòi các dạng khác cũng nh giải bằng phơng pháp sử dụng diện tích đa giác. IV- Phạm vi đề tài - Cũng cố và khai thác kiến thức về diện tích đa giác ở toán THCS (chủ yếu ở toán 8) - Nghiên cứu giải các dạng toán ở THCS (chủ yếu ở lớp 8, lớp 9) V- Đối tợng nghiên cứu - Diện tích đa giác ở toán 8 THCS - Học sinh THCS: Lớp 8, 9 VI- Phơng pháp nghiên cứu - Tham khảo tài liệu, tổng hợp, hệ thống hoá - Phân tích, tơng tự hoá, đặc biệt hoá, khái quát hoá - Trao đổi, thảo luận, rút kinh nghiệm - Kiểm tra, đánh giá, rút kinh nghiệm 1 Sáng kiến kinh nghiệm Diện tích đa giác B. Nội dung I- Các kiến thức cơ bản 1. Khái niệm diện tích đa giác Số đo của phần mặt phẳng bị giới hạn bởi 1 đa giác là diện tích đa giác đó Mỗi đa giác có một diện tích xác định. Diện tích của đa giác là một số dơng Các tính chất của đa giác: T/c 1. Hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau T/c 2. Nếu một đa giác đợc chia thành những đa giác không có điểm chung thì diện tích của đa giác đó bằng tổng diện tích của những đa giác đó T/c 3. Nếu chọn hình vuông có có cánh 1 cm, 1dm, 1m, làm đơn vị diện tích thì đơn vị diện tích tơng úng là: 1 cm 2 , 1dm 2 , 1m 2 , Diện tích đa giác thờng đợc kí hiệu bằng chữ S. (Ví dụ: Diện tích đa giác ABCD thì đợc kí hiệu là S ABCD hoặc S ) 2. Công thức tính diện tích của một số đa giác 2.1 Hình chữ nhật, hình vuông, tam giác vuông a) Hình chữ nhật: Diện tích hình chữ nhật bằng tích 2 kích thớc của nó S = a.b b) Hình vuông: Diện tích hình vuông bằng bình phơng cạnh của nó S = a 2 c) Tam giác vuông: Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông S = 2 1 a.b 2.2 Diện tích tam giác: Diện tích tam giác bằng nữa tích của 2 cạnh với chiều cao tơng ứng cạnh đó. S = 2 1 a.h 2.3 Diện tích hình thang: Diện tích hình thang bằng nữa tổng hai đáy với chiều cao S = 2 1 (a+b).h 2.4 Diện tích hình bình hành: Diện tích hình bình hành bằng tích của 1 cạnh với chiều cao tơng ứng với cạnh đó 2 a h h a a b a b a b Sáng kiến kinh nghiệm Diện tích đa giác S = a.h 2.5 Diện tích tứ giác có hai đờng chéo vuông góc, diện tích hình thoi: a) Diện tích tứ giác có hai đờng chéo vuông góc: Diện tích tứ giác có hai đờng chéo vuông góc bằng nữa tích hai đờng chéo S = 2 1 d 1 .d 2 b) Diện tích hình thoi: + Diện tích hình thoi bằng nữa tích hai đòng chéo S = 2 1 d 1 .d 2 + Diện tích hình bình hành bằng tích của một cạnh với chiều cao tơng ứng cạnh đó. S = a.h 3. Phơng pháp diện tích 3.1 Phơng pháp diện tích là phơng pháp sử dụng kiến thức diện tích đa giác ( tính chất, công thức tính diện tích) để giải các dạng toán liên quan. 3.2 Một số kết quả liên quan đến diện tích cần ghi nhớ a) Hai tam giác đồng dạng thì tỉ số diện tích bằng bình phơng tỉ số đồng dạng b) Hai tam giác có chung đáy (hai đáy bằng nhau) thì tỉ số diện tích bằng tỉ số hai đờng cao c) Hai tam giác có hai đờng cao bằng nhau thì tỉ số diện tích bằng tỉ số hai đáy II- Các dạng toán sử dụng phơng pháp diện tích đa giác Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng Bài 1: Cho tam giác ABC, A = 90 , AB = 3 cm, AC = 4 cm, đờng cao AH. Tính AH Giải: SC = 22 ACAB + = 5(cm) S ABC = 2 1 AB.AC = 6(cm 2 ) Lại có S ABC = 2 1 AH.BC AH= BC S ABC 2 = 2,4 cm Bài 2: Cho hình thoi ABCD cạnh 3cm, hai đờng chéo AC=6cm, BD=5cm.Tính khoảng cách từ đỉnh A đến các cạnh đối diện? 3 2 d 1 d 2 d 1 d h a Sáng kiến kinh nghiệm Diện tích đa giác Giải: Khoảng cách từ đỉnh A đến hai cạnh BC và CD đều bằng nhau. Kẻ AH vuông góc với CD(H thuộc CD) S ABCD = 2 1 AC.BD= 15cm Lại có: S ABCD = AH.DC AH= CD S ABC = 3,75cm Dạng 2: Tính tỉ số đoạn thẳng Bài 1: Cho a//b, trên a lấy B và C, trên b lấy D và E, sao cho góc ADB bằng góc AEC và bằng 90 .Giả sử CE= 2, DB=3, DB=4, EA=5.Tính AC AB Giải: a//b khoảng cách từ D và E đến a là bằng nhau AC AB = AEC ADB S S (chiều cao bằng nhau) AC AB = 25 21 Bài 2: Trên các cạnh AC và AB của tam giác ABC lấy B 1 và C 1 tơng ứng.Gọi 0 là giao điểm của BB 1 và CC 1 . Hãy tính 1 AC OB nếu biết 1 1 AC BC =m và 1 1 AB CB =n. Giải: Nối A với O, kẻ BI và AH CC 1 1 OB BO = OCB BOC S S 1 OCB AOC S S 1 = CB CA 1 = CB CBAB 1 11 + =1 + CB AB 1 1 =1+ h 1 BOC và AOC có chung OC nên AOC BOC S S = AH BI , mà AH BI = 1 1 AC BC =m 1 OB BO = OCB BOC S S 1 = AOC BOC S S . OCB AOC S S 1 =m.( 1+ h 1 ) Dạng 3: Chứng minh hệ thức hình học Bài 1: Chứng minh định lý Talet trong tam giác: Cho tam giác ABC, nếu DE//BC thì: AB AD = AC AE Giải: Nối B với C; C với D ta có: AB AD = SABE S ADE (2 tam giác chung đờng cao) (1) AC AD = ACD ADE S S (2 tam giác chung đờng cao) (2) S BEC =S DBC (chung đáy BC, hai đờng cao bằng nhau) S ABC S BEC = S ABC - S DBC S ABC = S ACD (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: AB AD = AC AE Bài 2: Chứng minh tính chất đờng phân giác 4 Sáng kiến kinh nghiệm Diện tích đa giác Trong tam giác ABC, nếu AD là đờng phân giác thì: DC DB = AC AB Giải: DC DB = ADC ABD S S ( chung đờng cao) (1) AD là đờng phân giác DH=DI AC AB = ADC ABD S S (2) (Vì hai đờng cao kẽ từ D bằng nhau) Từ (1) và (2) suy ra DC DB = AC AB Bài 3: Cho ABC cântại A, M bất kỳ thuộc BC. Kẽ MH và MK lần lợt vuông góc với AB, AC(H và C thuộc AB và AC).BI là đờng cao của ABC. Chứng minh rằng MH+MK=BI Giải: S ABM = 2 1 MH.AB MH = AB S ABM 2 Tơng tự ta có: MK = AC S ACM 2 MH+ MK = AC SS ACMABM )(2 + (Vì AB = AC) MH+MK = AC S ABC 2 = BI Bài 4: (Định lý Xêra)Cho ABC, lấy điểm 0 trong tam giác; AO, BO,CO lần lợt cắt AB, BC, CD tại A 1 , B 1 , C 1 .Chứng minh: CB AB 1 1 . BA CA 1 1 . AC BC 1 1 =1 Giải: 1 1 AC BC = ABD ACD S S ; AC BC 1 1 = D AC BCD S S ; CB AB 1 1 = D BC ABD S S Nhân vế theo vế của 3 đẳng thức ta có đpcm. Bài 5: Cho ABC, lấy điểm 0 trong tam giác; AO, BO,CO lần lợt cắt AB, BC, CD tại A 1 , B 1 , C 1 .Chứng minh: 1 1 BB OB + 1 1 AA OA + 1 1 CC OC =1 Giải: Đặt S = S ABC , S 1 =S OBC , S 2 = S OAC , S 3 = S OAB 1 1 AA OA = 1 1 A AB OBA S S = 1 1 ACA OCA S S 1 1 AA OA = ABC OBC S S = S S 1 Tơng tự ta có: 1 1 BB OB = S S 2 ; 1 1 CC OC = S S 3 Do đó 1 1 BB OB + 1 1 AA OA + 1 1 CC OC = S S 1 + S S 2 + S S 3 =1 Bài 6. Cho hình bình hành ABCD. Các điểm M,N theo thứ tự thuộc các cạnh AB, BC sao cho AN = CM. Gọi K là giao điểm của AN và CM. Chứng minh rằng KD là tia phân giác của góc AKC. 5 Sáng kiến kinh nghiệm Diện tích đa giác Giải: Kẻ DH KA, DI KC, ta có: DH.AN = 2 S ADN (1) DI.CM = 2 S CDM (2) Lại có S ADN = 2 1 S ABCD S CDM = 2 1 S ABCD S ADM = S CDM (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra DH.AN = DI.CM Do AN = CM suy ra DH = DI suy ra KD là phân giác góc AKC Dạng 4: Chứng minh BĐT hình học Bài 1: Cho tam giác ABC (AC >AB), đờng cao BI. D là điểm nằm giữa B và C. Gọi BH và CK theo thứ tự là các đờng vuông góc kẻ từ B và C đến đờng thẳng AD. Chứng minh rằng: BH + Ck > BI Giải: Ta có : BI = AC S ABC 2 (1) BH = AD S ABD 2 CK = AD S ACD 2 BH + CK = AD SS ACDABD )(2 + = AD S ABC 2 (2) Lại có AD < AC (3) (Ta dễ dàng chứng minh đợc điều này khi xét các trờng hợp của góc BAC) Từ (1), (2) và (3) suy ra BH + Ck > BI Bài 2: Gọi h a , h b , h c là ba đờng cao của một tam giác chứng minh rằng a h 1 < b h 1 + c h 1 Giải: Gọi diện tích tam giác là S, ba cạnh ứng với 3 đờng cao h a , h b , h c là a, b, c ta có: a = a h S2 ; b = b h S2 ; c = c h S2 a < b + c ( BĐT tam giác) suy ra a h S2 < b h S2 + c h S2 suy ra a h 1 < b h 1 + c h 1 Bai 3: Trong tam giác ABC ta lấy M, ký hiệu khoảng cách từ M tới đỉnh A của Tam giác là R a , còn khoảng cách tới cạnh CA và AB là d b và d c . Chứng minh rằng: a.R a c. d c + b.d b Giải: Vẻ BK và CL vuông góc với AM ( K và L thuộc AM) 6 Sáng kiến kinh nghiệm Diện tích đa giác Đặt BK = a 1 , CL = a 2 ta có: a 1 +a 2 a Suy ra cbABMACMaaa cdbdSSRaRaaR 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 12 +=+=+ suy ra đpcm. Bài 4: Cho tam giác ABC, M nằm trong tam giác. Các đờng thẳng AM, BM, CM cắt các cạnh của tam giác tơng ứng tại các điểm A 1 , B 1 , C 1 . Chứng minh rằng 8 111 MC CM MB BM MA AM Giải: Đặt a = S MBC , b = S MAC , c = S MAB ta có: 1+ a ba a cba S S MA AA MA MAAM MA AM MBC ABC + += ++ === + = 1 1 1 1 1 1 suy ra a cb MA AM + = 1 (1) Chứng minh tơng tự ta có b ac MB BM + = 1 và c ba MC CM + = 1 (2) Ta biết rằng với các số dơng a, b và c ta có (a+b) 2 4ab (b+c) 2 4bc (c+a) 2 4ac Suy ra (a+b)(b+c)(c+a) 8abc Từ (1) và (2) suy ra đpcm Dạng 5: Giải toán Đại số bằng phơng pháp diện tích Bài 1: Tìm nghiệm nguyên của các phơng trình sau: a) x 2 +10x = 39 b) x 2 -8x = 33 Giải: a) Giả sử x là cạnh của một hình vuông thì x 2 là diện tích của hình vuông đó. Kéo dài 2 cạnh hình vuông thêm 5 đơn vị ta đợc hình vuông mới có cạnh là x+5, có diện tích bằng: (x+5) 2 = x 2 + 10x + 25 = 39 + 25 = 64 suy ra x = 3 b) Giả sử x là cạnh của một hình vuông. Giảm hai cạnh của hình vuông đi 4 đơn vị ta đợc hình vuông mới có cạnh là x 4, có diện tích bằng: (x-4) 2 = x 2 -8x+16 = 33 + 16 = 49 suy ra x = 11 Bài 2: Với x, y, z, t dơng thì ))(())(())(( 22222222 tzyxtytxzyzx +++++++ 7 Sáng kiến kinh nghiệm Diện tích đa giác Gải: Vì x, y, z, t > 0 nên luôn tồn tại tứ giác ABCD có AC BD tại O, vói OA= x, OC=y, OB= z, OD=t. Dễ thấy AB= 22 zx + BC = 22 zy + CD= 22 ty + AD = 22 tx + S ABC = ACBCABh . 2 1 2 1 1 S ADC = ADDCADh . 2 1 2 1 2 S ABCD = S ABC +S ADC S ABCD = ))(( 2 1 tzyx ++ Vậy ))(())(())(( 22222222 tzyxtytxzyzx +++++++ C. Kết quả thu đợc Sau 5 năm công tác dạy học ở trờng THCS, tôi đã tổng họp, bổ sung và phát triển những dạng toán giải đợc bằng phơng pháp diện tích. Đồng thời đã đa vào giảng dạy(Dạy đại trà và dạy bồi dỡng học sinh giỏi) và thu đợc: - Học sinh nắm chắc, sâu sắc hơn về diện tích đa giác - Chất lợng giảng dạy thu đợc sau khi tiến hành kiểm tra là: Giỏi 20%, khá 35% , trung bình 45% - Hứng thú và sự sáng tạo trong giải toán của học sinh đợc nâng lên rõ rệt. D. Kết luận Đề tài chỉ khai thác một phần kiến thức nhỏ, song theo tôi nó rất hữu ích trong dạy học toán. Với học sinh, đề tài phát huy đợc t duy sáng tạo, rèn luyện đợc kỹ năng vận dụng và hình thành cho các em niềm say mê học toán. Với các bạn đồng nghiệp, đề tài là tài liệu tham khảo bổ ích phục vụ cho công tác giảng dạy, nghiên cứu toán. ở đề tài này, mặc dù tôi đã dày công nghiên cứu song không thể không có những thiếu sót, vì vậy rất mong đợc sự đóng góp chân thành của các bạn đồng nghiệp. Tôi xin chân thành cảm ơn ! Yên Thành, tháng 5 năm 2008 Ngời viết Vũ Văn Quý 8 . toán giải bằng phơng pháp sử dụng diện tích tam giác đã có, đồng thời tìm tòi các dạng khác cũng nh giải bằng phơng pháp sử dụng diện tích đa giác. IV- Phạm. + Diện tích hình bình hành bằng tích của một cạnh với chiều cao tơng ứng cạnh đó. S = a.h 3. Phơng pháp diện tích 3.1 Phơng pháp diện tích là phơng pháp