SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT NGUYỄN HUỆ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 12 Năm học 2010 -2011 Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) Câu 1: (5 điểm) Cho hàm số: 3 1 x y x + = − (C) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2. Cho điểm 0 0 0 ( ; ) ( )M x y C∈ . Tiếp tuyến của ( C) tại M 0 cắt các tiệm cận của (C) lần lượt tại A và B. Chứng minh M 0 là trung điểm đoạn AB. Câu 2: ( 6 điểm) 1. Tính tích phân: I = 1 0 7 x x x x e e dx e e − − + + ∫ 2. Giải phương trình: 2 2 2x x= + + 3. Giải phương trình: sinx cos 2 2 cos sinx x x− = − Câu 3: (3 điểm) 1. Biến đổi sau đúng hay sai? Giải thích? 5 5 5 2. 5 2 2 2 2 ( 1) ( 1) (( 1) ) (1) 1− = − = − = = 2. Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số, chia hết cho 7? Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC với A(-1;3). Xác định tọa độ đỉnh B,C biết a. Hai đường cao: BH : 5x+3y-25=0 và CK :3x+8y-12=0 b. Đường trung trực của AB là 3x+2y -4 =0 và tọa độ trọng tâm G(4;-2) Câu 5: (3 điểm) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng với D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh rằng MN vuông góc với BD, tính độ dài đoạn vuông góc chung của MN và AC. ------------------- Hết ----------------------- HƯỚNG DẪN GIẢI Câu1: 5 điểm 1. HS tự giải 3 điểm 2. 2 điểm • Tính 0 0 0 3 1 x y x + = − • Đưa ra phương trình tiếp tuyến: 0 0 2 0 4 ( ) ( 1) y x x y x = − − + − • Xác đinh giao điểm với tiệm cận ngang y=1, tiệm cận đứng x=1 lần lượt tại A(2x 0 -1;1) và B(1; 0 0 7 1 x x + − ). • Tìm tọa độ trung điểm của AB => đpcm Câu 2: 6 điểm 1. Tính tích phân: I = 1 1 0 0 7 4( ) 3( ) x x x x x x x x x x e e e e e e dx dx e e e e − − − − − + + + − = + + ∫ ∫ = 1 1 0 0 ( ) 4 3 x x x x d e e dx e e − − + + + ∫ ∫ = 4 + 2 1 1 0 0 1 4 3ln( ) 4 3ln 2 x x e x e e − + + + = + 2. Đk: 2x ≥ − Đặt 2t x= + , 0t ≥ ta có { 2 2 2 2 t x x t = + =+ Giải hệ phương trình đối xứng suy ra nghiệm x=2, thỏa mãn điều kiện bài toán. 3. Giải phương trình: sinx cos 2 2 cos sinx x x− = − • Sinx >cosx ta có VT>0, VP <0 => phương trình vô nghiệm • Sinx <cosx ta có VT<0, VP >0 => phương trình vô nghiệm • Phương trình có nghiệm khi : Sinx =cosx , (k ) 4 x k π π ⇔ = + ∈Ζ Câu 3: 3 điểm 1. Biến đổi như vậy là sai vì: Dấu “ =” thứ hai xảy ra khi : • Cơ số âm thì số mũ phải nguyên • Số mũ không nguyên thì cơ số phải dương. Dễ thấy biểu thức trái với 2 điều kiện trên nên không đúng 2. Số tự nhiên có 3 chữ số chia hết cho 7 nhỏ nhất là 105 Số tự nhiên có 3 chữ số chia hết cho 7 lớn nhất là 994 Bài toán trở thành: “Cho cấp số cộng có U 1 =105,d=7, U n =994. Tìm n?” Áp dụng công thức: U n =U 1 +(n-1)d suy ra n =128. Câu 4: 3 điểm 1. Viết phương trình AC, Lấy giao AC và CK suy ra tọa độ C Viết phương trình AB, Lấy giao AB và BH suy ra tọa độ B 2. Tìm tọa độ B: đối xứng với A qua đường trung trực. Tìm tọa độ C: Sử dụng công thức tọa độ trọng tâm. Câu 5: 3 điểm . Đề TSĐH khối B năm 2007. Đáp số d = 2 4 a ----------------- Hết ------------------ . e − − − − − + + + − = + + ∫ ∫ = 1 1 0 0 ( ) 4 3 x x x x d e e dx e e − − + + + ∫ ∫ = 4 + 2 1 1 0 0 1 4 3ln( ) 4 3ln 2 x x e x e e − + + + = + 2. Đk: 2x. HUỆ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 12 Năm học 2010 -2011 Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) Câu 1: (5 điểm) Cho hàm số: 3 1 x y x + =