Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định Chuyên đề: tứ giác nội tiếp I) Các kiến thức cần nhớ 1) Khái niệm: Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đờng tròn đợc gọi là tứ giác nội tiếp đờng tròn (Gọi tắt là tứ giác nột tiếp) 2) Định lí - Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180 0 -Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180 0 thì tứ giác đó nội tiếp đờng tròn. 3) Dấu hiệu nhận biết (các cách chứng minh) tứ giác nội tiếp - Tứ giác có tổng số do hai góc đối diện bằng 180 0 . - Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện. - Tứ giác có bón đỉnh cách đều một điểm(mà ta có thể xác định đợc). Điểm đó là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác. - Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dới một góc . II) Bài tập Bài tập 1 Cho ABC vuông ở A. Trên AC lấy diểm M và vẽ đờng tròn đờng kính MC. Kẻ BM cắt đờng tròn tại D. Đờng thẳng DA cắt Đờng tròn tại S. Chứng minh rằng: a) Tứ giác ABCD nội tiếp. b) ã ã A B D A CD= c) CA là phân giác của ã SCB Bài tập 2 Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đờng tròn đờng kính AD. Hai đờng chéo AC và BD cắt nhau tại E. Vẽ EF vuông góc với AD. Chứng minh: a) Tứ giác ABEF, tứ giác DCEF nội tiếp . b) CA là phân giác của BCF. c) Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh tứ giác BCMF nội tiếp Bài tập 3 O A B C D Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính AD . Hai đờng chéo AC , BD cắt nhau tại E . Hình chiếu vuông góc của E trên AD là F . Đờng thẳng CF cắt đờng tròn tại điểm thứ hai là M . Giao điểm của BD và CF là N . Chứng minh : a) CEFD là tứ giác nội tiếp . b) Tia FA là tia phân giác của góc BFM . c) BE . DN = EN . BD Bài tập 4 Cho tam giác ABC vuông ở A và một điểm D nằm giữa A và B . Đờng tròn đờng kính BD cắt BC tại E . Các đờng thẳng CD , AE lần lợt cắt đờng tròn tại các điểm thứ hai F , G . Chứng minh : a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD . b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp đợc trong một đờng tròn . c) AC song song với FG . d) Các đờng thẳng AC , DE và BF đồng quy . Bài tập 5 Cho tam giác vuông ABC ( 0 90A = ; AB > AC) và một điểm M nằm trên đoạn AC (M không trùng với A và C). Gọi N và D lần lợt là giao điểm thứ hai của BC và MB với đơng tròn đờng kính MC; gọi S là giao điểm thứ hai giữa AD với đờng tròn đờng kính MC; T là giao điểm của MN và AB. Chứng minh: a. Bốn điểm A, M, N và B cùng thuộc một đờng tròn. b. CM là phân giác của góc BCS . c. TA TC TD TB = . Bài tập 6 Cho đờng tròn (O) và điểm A nằm ngoài đờng tròn. Qua A dựng hai tiếp tuyến AM và AN với đ- ờng tròn (M, N là các tiếp điểm) và một cát tuyến bất kì cắt đờng tròn tại P, Q. Gọi L là trung điểm của PQ. a/ Chứng minh 5 điểm: O; L; M; A; N cùng thuộc một đờng tròn. b/ Chứng minh LA là phân giác của ã MLN c/ Gọi I là giao điểm của MN và LA. Chứng minh MA 2 = AI.AL d/ Gọi K là giao điểm của ML với (O). Chứng minh rằng KN // AQ. e/ Chứng minh KLN cân. Bài tập 7 Cho ng trũn (O; R) tip xỳc vi ng thng d ti A. Trờn d ly im H khụng trựng vi im A v AH <R. Qua H k ng thng vuụng gúc vi d, ng thng ny ct ng trũn ti hai im E v B ( E nm gia B v H) 1. Chng minh gúc ABE bng gúc EAH v tam giỏc ABH ng dng vi tam giỏc EAH. 2. Ly im C trờn d sao cho H l trung im ca on AC, ng thng CE ct AB ti K. Chng minh AHEK l t giỏc ni tip. 3. Xỏc nh v trớ im H AB= R . [...]... CMIN lµ h×nh g× ? Bµi tËp 68 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) Đường tròn đường kính BC cắt AB, AC theo thứ tự tại E và F Biết BF cắt CE tại H và AH cắt BC tại D a) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp và AH vuông góc với BC b) Chứng minh AE.AB = AF.AC c) Gọi O là tâm đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC và K là trung điểm của BC Tính tỉ OK số BC khi tứ giác BHOC nội tiếp d) Cho HF = 3cm , HB = 4cm ,... đường tròn tâm O và cát tuyến CAB (C ở ngồi đường tròn) Từ điểm chính giữa của cung lớn AB kẻ đường kính MN cắt AB tại I, CM cắt đường tròn tại E, EN cắt đường thẳng AB tại F 1) Chứng minh tứ giác MEFI là tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh góc CAE bằng góc MEB 3) Chứng minh: CE.CM = CF.CI = CA.CB Bµi tËp 92 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A vµ cã AB > AC, ®êng cao AH Trªn nưa mỈt ph¼ng bê BC chøa ®iĨm A, vÏ nưa... AMB ®ång d¹ng víi ∆ HMK Bµi tËp 77 Cho nửa đường tròn đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn Gọi C là điểm trên nửa đường tròn sao cho cung AC bằng cung CB Trên cung CB lấy điểm D khác C và B Các tia AC, AD cắt Bx lần lượt tại E và F a, Chứng minh ∆ABE vng cân b, Chứng minh ∆ ABF ∼ ∆ BDF c, Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp d, Chứng minh AC.AE = AD.AF Bµi tËp 78 Cho tø gi¸c ABCD cã hai ®Ønh... của AB Từ M kẻ đường thẳng vng góc với AB cắt đường tròn tâm O tại D và E Nối DC cắt đường tròn tâm O’ tại I Chứng minh: a/ AD // BI b/ BE // AD; I, B, E thẳng hàng c/ MD = MI d/ DM2 = AM.MC e/ Tứ giác DMBI nội tiếp Bµi tËp 87 Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A Trªn AC lÊy mét ®iĨm D, dùng CE vu«ng gãc víi BD a Chøng minh tø gi¸c ABCE néi tiÕp ®êng trßn b Chøng minh AD.CD = ED.BD c Tõ D kỴ DK vu«ng gãc víi... ®Þnh vÞ trÝ cđa M ®Ĩ kho¶ng c¸ch O1O2 lµ ng¾n nhÊt Bµi tËp 66 Cho điểm A bên ngồi đường tròn (O ; R) Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE đến đường tròn (O) Gọi H là trung điểm của DE a) Chứng minh năm điểm : A, B, H, O, C cùng nằm trên một đường tròn · b) Chứng minh HA là tia phân giác của BHC c) DE cắt BC tại I Chứng minh : AB2 = AI.AH Bµi tËp 67 Cho tam gi¸c nhän ABC néi tiÕp ®êng trßn... ABC vng cân tại A AD là trung tuyến thuộc cạnh BC Lấy M bất kì thuộc đoạn AD (M khơng trùng A, D) Gọi I, K lần lượt là hình chiếu vng góc của M trên AB, AC H là hình chiếu vng góc của I trên đoạn DK a /Tứ giác AIMK là hình gì? b/ A, I, M, H, K thuộc một đường tròn Tìm tâm đường tròn đó c/ B, M, H thẳng hàng Bµi tËp 84 Cho tam gi¸c ABC (cã ba gãc nhän) Hai ®êng cao AD vµ BF gỈp nhau t¹i H a/ Chøng minh . Nam Định Chuyên đề: tứ giác nội tiếp I) Các kiến thức cần nhớ 1) Khái niệm: Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đờng tròn đợc gọi là tứ giác nội tiếp đờng. thì tứ giác đó nội tiếp đờng tròn. 3) Dấu hiệu nhận biết (các cách chứng minh) tứ giác nội tiếp - Tứ giác có tổng số do hai góc đối diện bằng 180 0 . - Tứ