Dãy Số Viết theo quy luật B i toán 1 : Tính các tổng sau 1. A = 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 + 2 10 2. B = 1 + 3 + 3 2 + 3 3 + 3 4 + . + 3 100 Giải : 1. 2A = 2 + 2 2 + 2 3 + . + 2 10 + 2 11 . Khi đó : 2A A = 2 11 1 2. 3B = 3 + 3 2 + 3 3 + . + 3 100 + 3 101 . Khi đó : 3B B = 2B = 3 101 1 . Vậy B = Ta nghĩ tới bài toán tổng quát là : Tính tổng S = 1 + a + a 2 + a 3 + . + a n , a Z + , a > 1 và n Z + Nhân 2 vế của S với a ta có aS = a + a 2 + a 3 + a 4 + . + a n + a n+1 . Rồi trừ cho S ta đợc : aS S = ( a 1)S = a n+1 1 . Vậy : 1 + a + a 2 + a 3 + . + a n = . Từ đó ta có công thức : a n+1 1 = ( a 1)( 1 + a + a 2 + a 3 + . + a n ) . B i tập áp dụng : Tớnh cỏc tng sau: 2 3 2007 2 3 100 ) 1 7 7 7 . 7 ) 1 4 4 4 . 4 a A b B = + + + + + = + + + + + c) Chứng minh rằng : 14 14 1 chia hết cho 3 d) Chứng minh rằng : 2009 2009 1 chia hết cho 2008 Bài toán 2 : Tính các tổng sau 1) A = 1 + 3 2 + 3 4 + 3 6 + 3 8 + . + 3 100 2) B = 7 + 7 3 + 7 5 + 7 7 + 7 9 + . + 7 99 Giải : 1) A = 1 + 3 2 + 3 4 + 3 6 + 3 8 + . + 3 100 . Vấn đề đặt ra là nhân hai vế của A với số nào để khi trừ cho A thì một loạt các lũy thừa bị triệt tiêu ?.Ta thấy các số mũ liền nhau cách nhau 2 đơn vị nên ta nhân hai vế với 3 2 , rồi trừ cho A ta đợc : 3 2 A = 3 2 + 3 4 + 3 6 + 3 8 + . + 3 100 + 3 102 A = 1 + 3 2 + 3 4 + 3 6 + 3 8 + . + 3 100 3 2 A A = 3 102 1 . Hay A( 3 2 1) = 3 102 1 . Vậy A = ( 3 102 1): 8 Từ kết quả này suy ra 3 102 chia hết cho 8 2 ) Tơng tự nh trên ta nhân hai vế của B với 7 2 rồi trừ cho B , ta đợc : 7 2 B = 7 3 + 7 5 + 7 7 + 7 9 + . + 7 99 + 7 101 B = 7 + 7 3 + 7 5 + 7 7 + 7 9 + . + 7 99 7 2 B B = 7 101 7 , hay B( 7 2 1) = 7 101 7 . Vậy B = ( 7 101 7) : 48 Tơng tự nh trên ta cũng suy ra 7 101 7 chia hết cho 48 ; 7 100 - 1 chia hết cho 48 Trong một số trờng hợp khi gặp bài toán tính tổng hữu hạn S n = a 1 + a 2 + a n (1) Bằng cách nào đó ta biết đợc kết quả (dự đoán , hoặc bài toán chứng minh khi đã cho biết kết quả). Thì ta nên sử dụng phơng pháp này và hầu nh thế nào cũng chứng minh đợc . Ví dụ 1 : Tính tổng S n =1+3+5 + . + (2n -1 ) Thử trực tiếp ta thấy : S 1 = 1 S 2 = 1 + 3 =2 2 S 3 = 1+ 3+ 5 = 9 = 3 2 . . . Ta dự đoán Sn = n 2 Với n = 1;2;3 ta thấy kết quả đúng giả sử với n= k ( k 1) ta có S k = k 2 (2) ta cần phải chứng minh S k + 1 = ( k +1 ) 2 ( 3) Thật vậy cộng 2 vế của ( 2) với 2k +1 ta có 1+3+5 + . + (2k 1) + ( 2k +1) = k 2 + (2k +1) vì k 2 + ( 2k +1) = ( k +1) 2 nên ta có (3) tức là S k+1 = ( k +1) 2 theo nguyên lý quy nạp bài toán đợc chứng minh vậy Sn = 1+3=5 + . + ( 2n -1) = n 2 Tơng tự ta có thể chứng minh các kết quả sau đây bằng phơng pháp quy nạp toán học . 1, 1 + 2+3 + + n = 2 )1( + nn 2, 1 2 + 2 2 + . + n 2 = 6 )12)(1( ++ nnn 3, 1 3 +2 3 + . + n 3 = 2 2 )1( + nn 4, 1 5 + 2 5 + + n 5 = 12 1 .n 2 (n + 1) 2 ( 2n 2 + 2n 1 ) Bài tập có HD Bi1- Tớnh A = 1.2+2.3+3.4+ .+99.100 HD: 3A = 1.2.3+2.3(4-1)+3.4.(5-2)+ .+99.100.(101-98) 3A = 1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+ .+99.100.101-98.99.100 3A = 99.100.101 Bi 2- Tớnh A = 1.3+2.4+3.5+ .+99.101 HD: A = 1(2+1)+2(3+1)+3(4+1)+ .+99(100+1) A = 1.2+1+2.3+2+3.4+3+ .+99.100+99 A = (1.2+2.3+3.4+ .+99.100)+(1+2+3+ .+99) Bi 3- Tớnh A = 1.4+2.5+3.6+ .+99.102 HD: A = 1(2+2)+2(3+2)+3(4+2)+ .+99(100+2) A = 1.2+1.2+2.3+2.2+3.4+3.2+ .+99.100+99.2 A = (1.2+2.3+3.4+ .+99.100)+2(1+2+3+ .+99) Bi 4 Tớnh: A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+ .+98.99.100 HD: 4A = 1.2.3.4+2.3.4(5-1)+3.4.5.(6-2)+ .+98.99.100.(101-97) 4A = 1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+ .+98.99.100.101-97.98.99.100 4A = 98.99.100.101 Bi 5- Tớnh A = 1 2 +2 2 +3 2 + .+99 2 +100 2 HD: A = 1+2(1+1)+3(2+1)+ .+99(98+1)+100(99+1) A = 1+1.2+2+2.3+3+ .+98.99+99+99.100+100 A = (1.2+2.3+3.4+ .+99.100)+(1+2+3+ .+99+100) Bi 6- Tớnh A = 2 2 +4 2 +6 2 + .+98 2 +100 2 HD: A = 2 2 (1 2 +2 2 +3 2 + .+49 2 +50 2 ) Bi 7- Tớnh A = 1 2 +3 2 +5 2 + .+97 2 +99 2 HD: A = (1 2 +2 2 +3 2 + .+99 2 +100 2 )-(2 2 +4 2 +6 2 + .+98 2 +100 2 ) A = (1 2 +2 2 +3 2 + .+99 2 +100 2 )-2 2 (1 2 +2 2 +3 2 + .+49 2 +50 2 ) Bi 8- Tớnh A = 1 2 -2 2 +3 2 -4 2 + .+99 2 -100 2 A = (1 2 +2 2 +3 2 + .+99 2 +100 2 )-2(2 2 +4 2 +6 2 + .+98 2 +100 2 ) Bi 9- Tớnh A = 1.2 2 +2.3 2 +3.4 2 + .+98.99 2 HD: A = 1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+ .+98.99(100-1) A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+ .+98.99.100-98.99 A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+ .+98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+ .+98.99) Bi 10 - Tớnh A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+ .+98.99.100 Bi 11-Tớnh:A = 1 2 +2 2 +3 2 + .+99 2 +100 2 Bi 12-Tớnh :A = 2 2 +4 2 +6 2 + .+98 2 +100 2 Bi 13-Tớnh A = 1 2 +3 2 +5 2 + .+97 2 +99 2 Bi 14-Tớnh A = 1 2 -2 2 +3 2 -4 2 + .+99 2 -100 2 Bi 15-Tớnh:A = 1.2 2 +2.3 2 +3.4 2 + .+98.99 2 II . Ph ơng pháp khử liên tiếp : Giả sử ta cần tính tổng (1) mà ta có thể biểu diễn a i , i = 1,2,3 .,n , qua hiệu hai số hạng liên tiếp của 1 dãy số khác , chính xác hơn , giả sử : a 1 = b 1 - b 2 a 2 = b 2 - b 3 . a n = b n b n+ 1 khi đó ta có ngay : S n = ( b 1 – b 2 ) + ( b 2 – b 3 ) + + ( b n – b n + 1 ) = b 1 – b n + 1 VÝ dô 2 : tÝnh tæng : S = 100.99 1 . 13.12 1 12.11 1 11.10 1 ++++ Ta cã : 11 1 10 1 11.10 1 −= , 12 1 11 1 12.11 1 −= , 100 1 99 1 100.99 1 −= Do ®ã : S = 100 9 100 1 10 1 100 1 99 1 . 12 1 11 1 11 1 10 1 =−=−++−+− • D¹ng tæng qu¸t S n = )1( 1 3.2 1 2.1 1 + +++ nn ( n > 1 ) = 1- 11 1 + = + n n n VÝ dô 3 : tÝnh tæng S n = )2)(1( 1 5.4.3 1 4.3.2 1 3.2.1 1 ++ ++++ nnn Ta cã S n =         ++ − + ++       −+       − )2)(1( 1 )1( 1 2 1 4.3 1 3.2 1 2 1 3.2 1 2.1 1 2 1 nnnn S n =         ++ − + ++−+− )2)(1( 1 )1( 1 4.3 1 3.2 1 3.2 1 2.1 1 2 1 nnnn S n = )2)(1(4 )3( )2)(1( 1 2.1 1 2 1 ++ + =         ++ − nn nn nn VÝ dô 4 : tÝnh tæng S n = 1! +2.2 ! + 3.3 ! + + n .n! ( n! = 1.2.3 n ) Ta cã : 1! = 2! -1! 2.2! = 3 ! -2! 3.3! = 4! -3! . . . n.n! = (n + 1) –n! VËy S n = 2! - 1! +3! – 2 ! + 4! - 3! + + ( n+1) ! – n! = ( n+1) ! - 1! = ( n+ 1) ! - 1 VÝ dô 5 : tÝnh tæng S n = [ ] 222 )1( 12 . )3.2( 5 )2.1( 3 + + +++ nn n Ta cã : [ ] ; )1( 11 )1( 12 222 + −= + + ii ii i i = 1 ; 2 ; 3; ; n Do đó S n = ( 1- + ++ + 22222 )1( 11 . 3 1 2 1 ) 2 1 nn = 1- 22 )1( )2( )1( 1 + + = + n nn n III . Ph ơng pháp giải ph ơng trình với ẩn là tổng cần tính: Ví dụ 6 : Tính tổng S = 1+2+2 2 + . + 2 100 ( 4) ta viết lại S nh sau : S = 1+2 (1+2+2 2 + . + 2 99 ) S = 1+2 ( 1 +2+2 2 + + 2 99 + 2 100 - 2 100 ) => S= 1+2 ( S -2 100 ) ( 5) Từ (5) suy ra S = 1+ 2S -2 101 S = 2 101 -1 Ví dụ 7 : tính tổng S n = 1+ p + p 2 + p 3 + . + p n ( p 1) Ta viết lại S n dới dạng sau : S n = 1+p ( 1+p+p 2 + + p n-1 ) S n = 1 + p ( 1+p +p 2 + . + p n-1 + p n p n ) S n = 1+p ( S n p n ) S n = 1 +p.S n p n+1 S n ( p -1 ) = p n+1 -1 S n = 1 1 1 + p P n Ví dụ 8 : Tính tổng S n = 1+ 2p +3p 2 + + ( n+1 ) p n , ( p 1) Ta có : p.S n = p + 2p 2 + 3p 3 + . + ( n+ 1) p n +1 = 2p p +3p 2 p 2 + 4p 3 p 3 + + (n+1) p n - p n + (n+1)p n p n + ( n+1) p n+1 = ( 2p + 3p 2 +4p 3 + +(n+1) p n ) ( p +p + p + p n ) + ( n+1) p n+1 = ( 1+ 2p+ 3p 2 +4p 3 + . + ( n+1) p n ) ( 1 + p+ p 2 + + p n ) + ( n +1 ) p n+1 p . S n =S n - 1 1 )1( 1 1 + + ++ n n Pn P P ( theo VD 7 ) Lại có (p-1)S n = (n+1)p n+1 - 1 1 1 + P p n S n = 2 11 )1( 1 1 )1( + ++ P p p Pn nn IV . Ph ơng pháp tính qua các tổng đã biết Các kí hiệu : n n i i aaaaa ++++= = 321 1 Các tính chất : 1, = = = +=+ n i n i n i iiii baba 1 1 1 )( 2, == = n i i n i i aaaa 11 . Ví dụ 9 : Tính tổng :S n = 1.2 + 2.3 + 3.4 + . + n( n+1) Ta có : S n = == == +=+=+ n i n i n i n i iiiiii 11 1 22 1 )()1( Vì : 6 )12)(1( 2 )1( 321 1 2 1 ++ = + =++++= = = nnn i nn ni n i n i (Theo I ) cho nên : S n = 3 )2)(1( 6 )12)(1( 2 )1( ++ = ++ + + nnnnnnnn Ví dụ 10 : Tính tổng :S n =1.2+2.5+3.8+ .+n(3n-1) ta có : S n = = = = n i n i iiii 1 1 2 )3()13( = === n i n i ii 11 2 3 Theo (I) ta có : S n = )1( 2 )1( 6 )12)(1(3 2 += + ++ nn nnnnn Ví dụ 11 . Tính tổng S n = 1 3+ +2 3 +5 3 + . + (2n +1 ) 3 ta có : S n = [( 1 3 +2 3 +3 3 +4 3 + +(2n+1) 3 ] [2 3 +4 3 +6 3 + +(2n) 3 ] = [1 3 +2 3 +3 3 +4 3 + . + (2n +1 ) 3 ] -8 (1 3 +2 3 +3 3 +4 3 + + n 3 ) S n = 4 )1(8 4 )22()12( 2222 + ++ nnnn ( theo (I) 3 ) =( n+1) 2 (2n+1) 2 2n 2 (n+1) 2 = (n +1 ) 2 (2n 2 +4n +1) V/ Vận dụng trực tiếp công thức tính tổng các số hạng của dãy số cách đều (Học sinh lớp 6 ) Cơ sở lý thuyết : + để đếm số hạng của 1 dãy số mà 2 số hạng liên tiếp của dãy cách nhau cùng 1 số đơn vị , ta dùng công thức: Số số hạng = ( số cuối số đầu ) : ( khoảng cách ) + 1 + Để tính tổng các số hạng của một dãy số mà 2 số hạng liên tiếp cách nhau cùng 1 số đơn vị , ta dùng công thức:Tổng = ( số đầu số cuối ) .( số số hạng ) : 2 Ví dụ 12 : Tính tổng A = 19 +20 +21 + + 132 Số số hạng của A là : ( 132 19 ) : 1 +1 = 114 ( số hạng ) A = 114 ( 132 +19 ) : 2 = 8607 Ví dụ 13 : Tính tổng B = 1 +5 +9 + .+ 2005 +2009 số số hạng của B là ( 2009 1 ) : 4 + 1 = 503 B = ( 2009 +1 ) .503 :2 = 505515 VI / Vân dụng 1 số công thức chứng minh đợc vào làm toán Ví dụ 14 : Chứng minh rằng : k ( k+1) (k+20 -9k-1)k(k+1) = 3k ( k +1 ) Từ đó tính tổng S = 1 2+2.3 + 3.4 + + n (n + 1) Chứng minh : cách 1 : VT = k(k+1)(k+2) (k-1) k(k+1) = k( k+1) [ ] )1()2( + kk = k (k+1) .3 = 3k(k+1) Cách 2 : Ta có k ( k +1) = k(k+1). 3 )1()2( + kk = 3 )1)(1( 3 )2)(1( + ++ kkkkkk * 3k ( k-1) = k (k+1)(k+2) (k-1) k(k+1) => 1.2 = 1.2.3 0.1.2 3 3 2.3.4 1.2.3 2.3 3 3 . ( 1)( 2) ( 1) ( 1) ( 1) 3 3 n n n n n n n n = + + + + = S = 1.2.0 ( 2) ( 1) ( 1) ( 2) 3 3 3 n n n n n n + + + + + = Ví dụ 15 : Chứng minh rằng : k (k+1) (k+2) (k+3) (k-1) k(k+1) (k+2) =4k (k+1) (k+2) từ đó tính tổng S = 1.2 .3 + 2.3 .4 +3.4.5 + + n(n+1) (n+2) Chứng minh : VT = k( k+1) (k+2) [ ] )1()3( + kk = k( k+1) ( k +2 ) .4 Rút ra : k(k+1) (k+2) = 4 )2)(1()1( 4 )3)(2)(1( ++ +++ kkkkkkkk ¸p dông : 1.2.3 = 4 3.2.1.0 4 4.3.2.1 − 2.3.4 = 4 4.3.2.1 4 5.4.3.2 − n(n+1) (n+2) = 4 )2)(1()1( 4 )3)(2)(1( ++− − +++ nnnnnnnn Céng vÕ víi vÕ ta ®îc S = 4 )3n)(2n)(1n(n +++ * Bµi tËp ®Ò nghÞ : TÝnh c¸c tæng sau 1, B = 2+ 6 +10 + 14 + . + 202 2, a, A = 1+2 +2 2 +2 3 + .+ 2 6.2 + 2 6 3 b, S = 5 + 5 2 + 5 3 + . + 5 99 + 5 100 c, C = 7 + 10 + 13 + + 76 3, D = 49 +64 + 81+ + 169 4, S = 1.4 + 2 .5 + 3.6 + 4.7 + + n( n +3 ) , n = 1,2,3 , 5, S = 100.99 1 4.3 1 3.2 1 2.1 1 ++++ 6, S = 61.59 4 9.7 4 7.5 4 +++ 7, A = 66.61 5 26.21 5 21.16 5 16.11 5 ++++ 8, M = 2005210 3 1 . 3 1 3 1 3 1 ++++ 9, S n = )2)(1( 1 . 4.3.2 1 .3.2.1 1 ++ +++ nnn 10, S n = 100.99.98 2 . 4.3.2 2 3.2.1 2 +++ 11, S n = )3)(2)(1( 1 5.4.3.2 1 4.3.2.1 1 +++ +++ nnnn 12, M = 9 + 99 + 999 + + 99 . .9 50 ch÷ sè 9 13, Cho: S 1 = 1+2 S 3 = 6+7+8+9 S 2 = 3+4+5 S 4 = 10 +11 +12 +13 + 14 TÝnh S 100 =? Trong quá trình bồi dỡng học sinh giỏi , tôi đã kết hợp các dạng toán có liên quan đến dạng tính tổng để rèn luyện cho các em , chẳng hạn dạng toán tìm x : 14, a, (x+1) + (x+2) + (x+3) + + ( x+100 ) = 5070 b, 1 + 2 + 3 + 4 + .+ x = 820 c, 1 + 1991 1989 1 )1( 2 10 1 6 1 3 1 = + ++++ xx Hay các bài toán chứng minh sự chia hết liên quan 15, Chứng minh : a, A = 4+ 2 2 +2 3 +2 4 + . + 2 20 là luỹ thừa của 2 b, B =2 + 2 2 + 2 3 + + 2 60 3 ; 7; 15 c, C = 3 + 3 3 +3 5 + + 3 1991 13 ; 41 d, D = 11 9 + 11 8 +11 7 + + 11 +1 5 phân số viết theo quy luật Dãy 1: Sử dụng công thức tổng quát Chứng minh naanaa a naa na naa ana naa n + = + + + = + + = + 11 ).().().( )( ).( Bài 1: Tính a) 2009.2006 3 . 14.11 3 11.8 3 8.5 3 ++++= A b) 406.402 1 . 18.14 1 14.10 1 10.6 1 ++++= B c) 507.502 10 . 22.17 10 17.12 10 12.7 10 ++++= C d) 258.253 4 . 23.18 4 18.13 4 13.8 4 ++++= D Bài 1: Tính: a) 509.252 1 . 19.7 1 7.9 1 9.2 1 ++++= A b) 405.802 1 . 17.26 1 13.18 1 9.10 1 ++++= B c) 405.401 3 304.301 2 . 13.9 3 10.7 2 9.5 3 7.4 2 +++= C Bài 1: Tìm số tự nhiên x, thoả mãn: a) 8 5 120 1 . 21 1 15 1 10 1 2008 = x b) 45 29 45.41 4 . 17.13 4 13.9 4 9.5 47 =+++++ x c) 93 15 )32)(12( 1 . 9.7 1 7.5 1 5.3 1 = ++ ++++ xx + = + na 1 a 1 n)a.(a n Bài 4: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n khác 0 ta đều có: a) 46)23)(13( 1 . 11.8 1 8.5 1 5.2 1 + = + ++++ n n nn b) 34 5 )34)(14( 5 . 15.11 5 11.7 5 7.3 5 + = + ++++ n n nn Bài 5: Chứng minh rằng với mọi 2; nNn ta có: 15 1 )45)(15( 3 . 24.19 3 19.14 3 14.9 3 < + ++++ nn Bài 6: Cho 403.399 4 . 23.19 4 19.15 4 +++= A chứng minh: 80 16 81 16 << A Bài 7: Cho dãy số : ; . 25.18 2 ; 18.11 2 ; 11.4 2 a) Tìm số hạng tổng quát của dãy b) Gọi S là tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy. Tính S. Bài8: Cho 2222 9 1 . 4 1 3 1 2 1 ++++= A . Chứng minh 9 8 5 2 << A Bài 9: Cho 2222 2007 2 . 7 2 5 2 3 2 ++++= A . Chứng minh: 2008 1003 < A Bài 10: Cho 2222 2006 1 . 8 1 6 1 4 1 ++++= B . Chứng minh: 2007 334 < B Bài 11: Cho 222 409 1 . 9 1 5 1 +++= S . Chứng minh: 12 1 < S Bài 12: Cho 2222 305 9 . 17 9 11 9 5 9 ++++= A . Chứng minh: 4 3 < A Bài 13: Cho 2 201 202.200 . 49 48 25 24 9 8 ++++=B . Chứng minh: 75,99 > B Bài14: Cho 1764 1766 . 25 27 16 18 9 11 ++++= A . Chứng minh: 21 20 40 43 20 40 << A Bài15: Cho 100.98 99 . 6.4 5 5.3 4 4.2 3 3.1 2 22222 +++++= B . Tìm phần nguyên của B. Bài 16: Cho 2500 2499 . 16 15 9 8 4 3 ++++= C . Chứng minh C > 48 Bài 17: Cho 59 321 1 . 4321 1 321 1 ++++ ++ +++ + ++ =M . Chứng minh 3 2 <M [...]... 15 403 + 3 + + 100 Chứng minh: L < 4,5 2 3 3 3 Bài 14: Cho K = + Bài 15: Cho L = + Dãy 3: Dãy dạng tích các phân số viết theo quy luật: Bài 1: Tính: A= Bài 2: Cho dãy số: 1 8 15 24 2499 9 16 25 2500 1 1 1 1 1 ,1 ,1 ,1 ,1 , 3 8 15 24 35 a) Tìm số hạng tổng quát của dãy b) Tính tích của 98 số hạng đầu tiên của dãy Bài 3: Tính: Bài4:Cho 1 1 1 1 1 B = 1 1 1 1 1 3 6 10 15 780 ... minh: I< 1 3 N 4 3 Bài 28: Cho dãy số: 1 ;1 1 1 1 1 ;1 4 ;1 8 ;1 16 ; 2 3 3 3 3 a) Tìm số hạng tổng quát của dãy b) Gọi A là tích của 11 số hạng đầu tiên của dãy Chứng minh c) Tìm chữ số tận cùng của B= n 5 13 97 32 + 2 2 Bài 29: Cho A = 2 4 n 6 6 6 62 a) Chứng minh : M = A B 1 3 2A là số tự nhiên 3 3 2A n và B = 1 6 2 n +1 1 với n N là số tự nhiên b) Tìm n để M là số nguyên tố n 7 37 1297 62 +1... ( k 1)( k + 1) k +1 k 1 k2 1 k áp dụng vào bài toán với m {2; 2 , ., 2 } v k { 2005, 2005 , 2005 2 2006 } ta có: 2 2 22 = 2005 + 1 2005 1 2005 2 1 22 2005 2 + 1 = 22 2005 2 1 23 2 2005 2 1 Dãy 2: Dãy luỹ thừa 1 2 1 1 1 1 1 + 3 4 + + 99 100 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 + 5 + + 99 3 2 2 2 1 2 với n tự nhiên 1 1 1 + 3 + + 100 2 2 2 2 1 2 1 n a 1 1 1 1 + 7 10 + 58 4 2 2 2 2 Bài 1: Tính : A =... Tìm n để M là số nguyên tố n 7 37 1297 62 +1 Bài 30: Cho A = 2 4 2n 3 3 3 3 1 1 1 1 1 B = 1 + 1 + 2 1 + 4 .1 + 8 1 + 2n với n 3 3 3 3 3 N a) Chứng minh : 5A 2B là số tự nhiên b) Chứng minh với mọi số tự nhiên n khác 0 thì 5A 2B chia hết cho 45 n n 5 13 97 3 2 + 2 2 Bài 31: Cho A = 2 4 .( với n n 3 3 3 32 N ) Chứng minh: A < 3 ...Bài18: Cho 1.4 2.5 3.6 98.101 + + + + 2.3 3.4 4.5 99.100 N = Chứng minh 97 < N < 98 Mở rộng với tích nhiều thừa số: 2n 1 1 = a ( a + n)(a + 2n ) a ( a + n) ( a +n)(a +2n) Chứng minh: 2n ( a + 2 n) a a + 2n a 1 1 = = = a (a + n)(a + 2n) a( a + n)(a + 2n) a (a + n)(a + 2n) a (a + n)(a + 2n) a( a + n) (a + n)(a . thuyết : + để đếm số hạng của 1 dãy số mà 2 số hạng liên tiếp của dãy cách nhau cùng 1 số đơn vị , ta dùng công thức: Số số hạng = ( số cuối số đầu ) : ( khoảng. tính tổng các số hạng của một dãy số mà 2 số hạng liên tiếp cách nhau cùng 1 số đơn vị , ta dùng công thức:Tổng = ( số đầu số cuối ) .( số số hạng ) : 2