ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2009-2010 MÔN : TOÁN 11 Thời gian làm bài: 90 phút I - PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7,0 điểm) Câu I ( 1,5 điểm) Tìm giới hạn các dãy số sau: 1) lim 2 2 2009 9 3 n n n + + + 2) lim ( ) 2 n n n− − Câu II ( 1,5 điểm) Tính giới hạn các hàm số 1) 2 2 2 2 lim 4 x x x → + − − 2) ( ) 3 2 lim 2 5 2009 x x x →−∞ − + − Câu III ( 1,5 điểm ) 1) Tính đạo hàm của hàm số: y = 2 2 2 1 x x x + − + 2) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x 3 – 3x 2 – 3 tại điểm có hoành độ 0 1x = Câu IV (2,5 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA bằng a , đáy là tam giác vuông cân có AB = BC = a . 1) Chứng minh BC vuông góc với mặt phẳng (SAB). 2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC) . II - PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm) Thí sinh học theo chương trình nào thì chỉ được làm phần dành riêng cho chương trình đó ( phần 1 hoặc 2 ) 1.Theo chương trình nâng cao : Câu Va (1,5 điểm) 1) Cho 4 số lập thành một cấp số cộng . Biết tổng của chúng bằng 22 và tổng bình phương của chúng bằng 166 . Tìm 4 số đó . 2) Chứng minh rằng phương trình 2sin 3 x + (m+1)cos5x -1 = 0 luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. Câu VIa (1,5 điểm ) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a . Hình chiếu vuông góc của đỉnh A lên mặt phẳng (A’B’C’) trùng với trung điểm của cạnh B’C’. 1) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy của hình lăng trụ . 2) Chứng minh BB’C’C là hình chữ nhật . 2. Theo chương trình chuẩn : Câu Vb (1,5 điểm) 1) Xét tính liên tục của hàm số : ( ) 3 8 khi x 2 2 8 khi x = 2 x f x x  − ≠  = −    tại x = 2. 2) Chứng minh rằng phương trình: x 2 cosx + xsinx + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; π ). Câu VIb (1,5 điểm ) Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a , cạnh bên bằng 3a . Tính góc giữa đường chéo của mặt bên và mặt đáy . _____________Hết ______________Đáp án và thang điểm.lớp 11hkIInăm 2009 CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM Câu 1 (1,5 điểm) a) lim 2 2 2009 9 3 n n n + + + = 2 2 2 2 1 9 2009 lim 3 1 n n n n n   + −  ÷     +  ÷   = 2 2 1 9 2009 lim 3 1 n n n   + −  ÷     +  ÷   =2009 b) lim ( ) 2 n n n− − = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 lim lim n n n n n n n n n n n n n n n − − − + − − = − + − + = 1 1 lim lim 2 1 1 1 1 1 1 n n n n − − = = −     − + − +  ÷  ÷     0,5 0,25 0,5 0,25 Câu 2 ( 1,5 điểm) a) 2 2 2 2 lim 4 x x x → + − − = ( ) ( ) ( ) 2 2 lim 2 2 2 2 x x x x x → − − + + − = ( ) ( ) 1 1 lim 16 2 2 2 x x x →∞ = + + + b) ( ) 3 2 lim 2 5 2009 x x x →−∞ − + − = 3 3 5 2009 lim 2 x x x x →∞   − + −  ÷   = +∞ 0,5 0,25 0,5 0,25 Câu 3 (1,5 điểm) a) y = 2 2 2 1 x x x + − + y’ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 x x x x x x x + − + − + − + + = ( ) 2 2 2 2 5 2 1 x x x + + + b) Với x 0 = 1 thì y 0 = - 5 và y’(x 0 ) = -3 Phương trình tiếp tuyến là y = -3x - 2 0,5 0,25 0,5 0,25 Câu 4 ( 2,5 điểm) H S A B C a) Do BC AB và BC SA Suy ra BC (ABC) b) Do AH SB và AH BC nên AH là khoảng cách từ A đến mp(SBC). SB = 2a Suy ra AH = 2 2 a . 0,5 1 0,5 0,5 Câu 5a (1,5 điểm) 1) Ta có 1 2 2 1 1 4 6 22 4 12 14 166 u d u u d d + =   + + =  Suy ra d = 3 hoặc d = -3. Vậy có hai CSC: 1; 4; 7; 10 và 10; 7; 4; 1 2) f(x) = 2sin 3 x + (m+1)cos5x -1 1 2 3 3 2 f f π π   =  ÷     = −  ÷   Vì hàm f liên tục trên ¡ và 3 . 0 2 2 f f π π     <  ÷  ÷     nên pt đã cho có ít nhất một nghiệm 0,25 0,5 0,5 0,25 Câu 5b (1,5 điểm) H A' B A C B' C' 1) Khoảng cách giữa hai đáy là độ dài đoạn thẳng AH. Trong tam giác vuông AA’H ta có: 0,5 0,25 AH = 2 2 ' ' 2 a AA A H− = 2) Vì B’C’ mp(AA’H) nên B’C’ AA’ do đó CC’ B’C’ suy ra BCC’B’ là hình chữ nhật. 0,25 0,5 Câu 6a (1,5 điểm) 1) f(2) = 8 ( ) 3 2 2 2 8 lim lim 2 4 10 2 x x x x x x → → − = + + = − Vì ( ) ( ) 2 lim 2 x f x f → ≠ nên hàm số gián đoạn tại x = 2 2) f(x) = x 2 cosx + xsinx + 1 f(0) = 1 ( ) 2 1f π π = − + Vì hàm f liên tục trên ¡ và f(0). ( ) f π <0 nên pt đã cho có ít nhất một nghiệm 0,25 0,5 0,25 0,5 Câu 6b (1,5 điểm) A' B A C B' C' Do hình lăng trụ đã cho là lăng trụ đứng và đáy là tam giác đều nên góc giữa đường chéo mặt bên với mặt đáy luôn bằng góc giữa A’B và mặt đáy của lăng trụ là góc Trong tam giác vuông BB’A’ ta có: tan · ' 'BA B = ' 3 ' ' BB A B = nên · ' 'BA B = 60 0 0,5 0,5 0,5 . + − Câu III ( 1,5 điểm ) 1) Tính đạo hàm của hàm số: y = 2 2 2 1 x x x + − + 2) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x 3 – 3x 2 – 3 tại điểm. + =   + + =  Suy ra d = 3 hoặc d = -3. Vậy có hai CSC: 1; 4; 7; 10 và 10; 7; 4; 1 2) f(x) = 2sin 3 x + (m+1)cos5x -1 1 2 3 3 2 f f π π   =  ÷  