TRƯỜNG THPT ĐẶNG HUY TRỨ ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2009-2010 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn TOÁN – LỚP 11 ĐỀ SỐ 2 Thời gian: 90 phút, không kể thời gian giao đề. ------------------------------------------- I. PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ HỌC SINH: (7,0 điểm) Câu 1: (2,0 điểm) a) Tìm điều kiện xác định và tính đạo hàm y' của hàm số x y = sin3x . (1,0 điểm) b) Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đồ thị (C) của hàm số 3 y = f(x) = 2x 3x +1 − tại giao điểm của (C) với trục tung. (1,0 điểm) Câu 2: (1,0 điểm) Tính: x 2 2x 3x +10 lim x 2 → − − . Câu 3: (1,5 điểm) Cho hàm số 4 x + 8x ˆ ne u x > 2 f(x) = (m R) x + 2 ˆ mx -1 ne u x 2  ′ −  ∈   ′ ≤ −  . Xác định giá trị của m để hàm số đã cho liên tục trên tập xác định của nó ? Câu 4: (2,5 điểm) Cho hình chóp S.MNPQ, có đáy MNPQ là hình vuông cạnh a và O là tâm của nó. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (MNPQ) và SO = a 6 6 . Gọi A là trung điểm của PQ. a) Chứng minh rằng PQ ⊥ mp(SAO). (1,25 điểm) b) Tính góc giữa đường thẳng SN và mp(MNPQ); tính theo a khoảng cách từ điểm O tới mp(SPQ). (1,25 điểm) II. PHẦN RIÊNG: (3,0 điểm) 1. Dành cho học sinh học theo chương trình chuẩn: Câu 5.a: (2,0 điểm) a) Cho hàm số y = xcosx . Chứng minh rằng: 2(cosx y') + x(y'' + y) = 0 − . (1,0 điểm) b) Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số thực m: 2 2007 (1 m )x 3x 1 = 0 − − − . (1,0 điểm) Câu 6.a: (1,0 điểm) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = m, BC = n, CC' = p. Chứng tỏ rằng tất cả các đường chéo của hình hộp đều bằng nhau và tính độ dài của các đường chéo đó. Từ đó suy ra độ dài đường chéo của hình lập phương cạnh m. 2. Dành cho học sinh học theo chương trình nâng cao: Câu 5.b: (2,0 điểm) a) Cho dãy số (u n ) với n 1 n n 3 u ( 5) + = − . Chứng tỏ (u n ) là một cấp số nhân. Hãy tính 1 2 n lim(u u u ) + +×××+ . (1,0 điểm) b) Cho hàm số 1 1 x ˆ ne u x 0 f(x) = (a R) x ˆ a ne u x = 0  − − ′ ≠  ∈   ′  . Xác định a để hàm số f có đạo hàm tại điểm 0x = . Khi đó tính đạo hàm của hàm số tại điểm 0x = . (1,0 điểm) Câu 6.b: (1,0 điểm) Cho hình lập phương ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 cạnh a. Tính góc giữa hai mặt phẳng (AB 1 C 1 ) và (AC 1 D 1 ). ------------------------ Hết ------------------------ ĐÁP ÁN & THANG ĐIỂM ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II Môn: TOÁN 11 – NĂM HỌC 2009-2010 Câu Ý Nội dung Điểm 1 2,0 đ a Tìm điều kiện xác định và tính đạo hàm y' của hàm số cos2 x y x = . 1,0 đ Hàm số xác định cos2 0x ⇔ ≠ 0,25 2 , 2 4 2 x k x k k π π π π ⇔ ≠ + ⇔ ≠ + ∈ ¢ . 0,25 2 ( )'cos2 (cos2 )' ' cos 2 x x x x y x − = 0,25 2 cos2 2 sin 2 ' cos 2 x x x y x + = 0,25 b Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đồ thị (C) của hàm số 3 ( ) 2 3 1y f x x x= = − + − , tại giao điểm của (C) với trục tung. 1,0 đ (C) cắt Oy tại M(0; −1). 0,25 2 ' '( ) 6 3y f x x = = − + 0,25 Hệ số góc của tiếp tuyến: '(0) 3f = . 0,25 Vậy phương trình tiếp tuyến ∆ của (C) tại M là: 3 1y x= − . 0,25 2 Tìm giới hạn: 1 2 3 lim 1 x x x x → − + − . 1,0 đ ( ) 2 1 1 2 3 4 3 lim lim 1 ( 1) 2 3 x x x x x x x x x x → → − + − − = − − + + 0,25 ( ) 1 ( 1)(4 3) lim ( 1) 2 3 x x x x x x → − + = − + + 1 4 3 lim 2 3 x x x x → + = + + 0,50 1 2 3 7 lim 1 4 x x x x → − + = − . 0,25 3 Xác định giá trị của a để hàm số 4 8 ˆ , 2 ( ) ( ) 2 ˆ 1, 2 x x ne u x f x a x ax ne u x  − ′ <  = ∈ −   ′ + ≥  ¡ liên tục trên tập xác định của nó ? 1,5 đ TXĐ: D = ¡ . 0,25 Với mọi x < 2 , hàm số 4 8 ( ) 2 x x f x x − = − liên tục trên khoảng (−∞; 2). Với mọi x > 2 , hàm số ( ) 1f x ax = + liên tục trên khoảng (2; +∞). 0,25 f(2) = 2a + 1; 2 2 lim ( ) lim( 1) 2 1 x x f x ax a + + → → = + = + 0,25 3 2 2 2 2 ( 8) lim ( ) lim lim ( 2 4) 24 2 x x x x x f x x x x x − − − → → → − = = + + = − 0,25 Để hàm số liên tục trên ¡ , đk cần và đủ là nó liên tục tại điểm x = 2; tức là: 2 23 lim ( ) (2) 2 1 24 2 x f x f a a → = ⇔ + = ⇔ = . Vậy 23 2 a = là giá trị cần tìm. 0,50 4 2,5 đ a Chứng minh rằng CD ⊥ mp(SMO). 1,25 đ ϕ MO C A D B S H 0,50 Vì S.ABCD là hình chóp đều nên SO ⊥ (ABCD), suy ra CD ⊥ SO (1) 0,25 CD ⊥ BC (gt), BC // OM ⇒ CD ⊥ OM (2) 0,25 Từ (1) và (2), suy ra CD ⊥ mp(SMO). 0,25 b Tính góc giữa đường thẳng SA và mp(ABCD); tính khoảng cách (theo a) từ điểm O tới mp(SCD). 1,25 đ Gọi ϕ là góc giữa đường thẳng SA và mp(ABCD). Vì SO ⊥ (ABCD) nên OA là hình chiếu của SA lên mp(ABCD). Do đó · ( ; )SA OA SAO ϕ = = 0,25 Trong tam giác SAO vuông tại O, ta có: 0 6 tan 3 60 2 SO a AO a ϕ ϕ = = = ⇒ = . Vậy góc giữa đường thẳng SA và mp(ABCD) bằng 60 0 . 0,50 Từ O ta kẻ OH vuông góc với SM (H thuộc SM). Vì CD ⊥ mp(SMO) nên mp(SCD) ⊥ mp(SOM), suy ra OH ⊥ (SCD). Do đó d(O; (SCD)) = OH. 0,25 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 4 14 42 3 3 14 a OH OH OS OM a a a = + = + = ⇒ = Vậy 42 ( ;( )) 14 a d O SCD = . 0,25 5.a 2,0 đ a Cho hàm số siny x x = . Chứng minh rằng: 2( ' sin ) ( '' ) 0y x x y y − − + = . 1,0 đ TXĐ: ¡ . Ta có ( ) ' sin sin cosy x x x x x ′ = = + ; 0,25 ( ) '' sin cos 2cos siny x x x x x x ′ = + = − ; 0,25 Do đó: 2( ' sin ) ( '' )y x x y y − − + 2(sin cos sin ) (2cos sin sin )x x x x x x x x x x = + − − − + 2 cos 2 cos 0x x x x = − = (đpcm). 0,50 b Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số thực m: 2 2009 (1 ) 3 1 0m x x − − − = . 1,0 đ Đặt 2 2009 ( ) (1 ) 3 1f x m x x = − − − . Ta có: (0) 1 0f = − < . 0,25 2 2 ( 1) (1 ) 3 1 1 0, f m m m − = − − + − = + > ∀ suy ra: 2 ( 1). (0) ( 1) 0, f f m m− = − + < ∀ 0,25 Mặt khác hàm số 2 2009 ( ) (1 ) 3 1f x m x x = − − − liên tục trên đoạn [−1; 0] 0,25 Do đó theo tính chất của hàm số liên tục, tồn tại số ( 1; 0)c∈ − sao cho ( ) 0f c = . Vậy phương trình ( ) 0f x = có ít nhất một nghiệm trên khoảng 0,25 (−1; 0) với mọi m. 6.a 1,0 đ B C A B 1 D 1 C 1 A 1 D Ta có các mặt chéo ACC 1 A 1 và BDD 1 B 1 là hai hình chữ nhật bằng nhau nên các đường chéo AC 1 , A 1 C, BD 1 và B 1 D bằng nhau. 0,25 Áp dụng định lý Pithagore, ta được: AC 1 2 = AC 2 + CC 1 2 = AB 2 + BC 2 + CC 1 2 = 2 2 2 a b c + + . 0,25 Vậy AC 1 = A 1 C = BD 1 = B 1 D = 2 2 2 a b c + + . 0,25 Suy ra độ dài đường chéo của hình lập phương có cạnh a là 3a . 0,25 5.b 2,0 đ a Cho dãy số (u n ) với n 1 n n ( 2) u 3 + − = . Chứng tỏ (u n ) là một cấp số nhân. Hãy tìm giới hạn 1 2 n lim(u u u ) + +×××+ . 1,0 đ Ta có: * n u 0, n ≠ ∀ ∈ ¥ ; n 2 n * n 1 n+1 n 1 n u ( 2) 3 2 , u 3 ( 2) 3 n + + + − = × = − ∀ ∈ − ¥ . 0,25 Vậy (u n ) là một cấp số nhân, với u 1 = 4 3 và công bội 2 3 q = − . 0,25 Ta có: n n 1 2 n 1 1 q 4 2 u u u u 1 1 q 5 3   −   + + ×××+ = = − −  ÷  ÷  ÷ −     ; 0,25 Do đó: n 1 2 n 4 2 4 lim(u u u ) lim 1 5 3 5     + + ×××+ = − − =  ÷  ÷  ÷     (vì n 2 lim 0 3   − =  ÷   ). Chú ý: Học sinh có thể giải như sau: Do |q| = 2/3 < 1 nên (u n ) là một cấp số nhân lùi vô hạn, do đó: 1 1 2 n 1 2 n u 4 lim(u u u ) u u u 1 q 5 + + ×××+ = + +×××+ + ×××= = − 0,25 b Cho hàm số 1 1 ˆ , 0 ( ) ( ) ˆ , 0 x ne u x f x m x m ne u x  − − ′ ≠  = ∈   ′ =  ¡ . Xác định m để hàm số có đạo hàm tại điểm 0x = . Khi đó tính đạo hàm của hàm số f tại điểm 0x = . 1,0 đ Để hàm số có đạo hàm tại điểm x = 0 thì điều kiện cần là nó phải liên tục tại điểm đó, tức là 0 lim ( ) (0) x f x f → = . 0,25 f(0) = m; 0 0 0 1 1 1 1 lim ( ) lim lim 2 1 1 x x x x f x x x → → → − − − = = = − − + Vậy khi 1 2 m = − thì hàm số liên tục tại điểm x = 0. 0,25 Lúc đó , ta có: 1 1 ˆ , 0 ( ) 1 ˆ , 0 2 x ne u x x f x ne u x  − − ′ ≠   =   ′ − =   . 2 0 0 0 1 1 1 ( ) (0) 2 1 2 2 lim lim lim 0 2 x x x x f x f x x x x x x → → → − − + − − + − = = − 0,25 2 2 0 0 4(1 ) ( 2) 1 1 lim lim 8 2 (2 1 2) 2(2 1 2) x x x x x x x x x → → − − − − = = = − − − + − − + . Vậy 1 2 m = − thì hàm số có đạo hàm tại điểm 0x = và 1 '(0) 8 f = − . 0,25 6.b Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Tính góc giữa hai mặt phẳng (AB'C') và (AC'D'). 1,0 đ A B C D A ' B ' C ' D ' M Gọi M là hình chiếu vuông góc của B' lên đường thẳng AC'. Do ∆AB'C' = ∆AC'D' (c.c.c) nên D'M = B'M và D'M ⊥ AC'. Suy ra AC' ⊥ mp(B'MD'). Do đó góc α giữa hai mp(AB'C') và mp(AC'D') bằng góc giữa hai đường thẳng B'M và D'M. 0,25 Tính · ' 'B MD ? Ta có: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 3 ' ' ' ' 2 2B M AB B C a a a = + = + = 2 2 2 2 ' ' 3 a B M D M ⇒ = = 0,25 · · 2 2 2 2 0 2 2 4 2 2 ' ' ' 1 3 cos ' ' ' ' 120 4 ' 2 3 a a B M B D B MD B MD a B M − − = = − ⇒ = 0,25 Vậy · . định cos2 0x ⇔ ≠ 0 ,25 2 , 2 4 2 x k x k k π π π π ⇔ ≠ + ⇔ ≠ + ∈ ¢ . 0 ,25 2 ( )'cos2 (cos2 )' ' cos 2 x x x x y x − = 0 ,25 2 cos2 2 sin 2 '. 0 ,25 Áp dụng định lý Pithagore, ta được: AC 1 2 = AC 2 + CC 1 2 = AB 2 + BC 2 + CC 1 2 = 2 2 2 a b c + + . 0 ,25 Vậy AC 1 = A 1 C = BD 1 = B 1 D = 2 2 2