- 1 - Chuyên đề 1: DÃY SỐ TỰ NHIÊN VIẾT THEO QUY LUẬT Tiết 1: DÃY CỘNG 1) Ví du 1ï: Xét các dãy số sau: a) Dãy số tự nhiên: 0; 1; 2; 3; … b) Dãy số lẻ: 1; 3; 5; … c) Dãy các số chia cho 3 dư 1: 1; 4; 7; 10;…. Trong các dãy số trên, mỗi số hạng, kể từ số hạng thứ hai, đều lớn hơn số hạng đứng liền trước nó cùng một số đơn vò, số đơn vò này là 1 ở dãy a), là 2 ở dãy b), là 3 ở dãy c). Ta gọi các dãy trên là dãy cộng. 2) Khái niệm: Dãy cộng là dãy số có mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) đều lớn hơn số hạng đứng liền trước nó cùng một số đơn vòù Xét dãy cộng 4; 7; 10; 13; 16; 19; …. Hiệu giữa hai số liên tiếp của dãy là 3. số hạng thứ 6 của dãy là 19 = 4 + (6 - 1).3; số hạng thứ 10 của dãy là: 4 + ( 10 – 1).3 = 31. Tổng quát 1: Nếu một dãy cộng có số hạng đầu là a 1 và hiệu giữa hai số hạng liên tiếp là d thì số hạng thứ n của dãy ( kí hiệu là a n ) bằng: a n = a 1 + (n – 1).d Ví dụ2: a) Tìm số hạng thứ 100 của dãy số: 1, 3, 5, 7, … b) Tìm số hạng thứ 80 của dãy số : 4, 7, 10, 13, … Giải: a) Số hạng thứ 100 của dãy số: 1, 3, 5, 7, … là: a 100 = 1 + (100 – 1).2 = 199 b) Số hạng thứ 80 của dãy số: 4, 7, 10, 13,… là: a 80 = 4 + (80 – 1).3 = 241 Tổng quát 2: Chú ý; Dãy các số tự nhiên liên tiếp từ a đến b có: (b – a ) + 1 số Dãy các số tự nhiên lẽ (chẳn) từ m đến n có: (n – m): 2 + 1 số Ví dụ 3: Tính tổng các số hạng của dãy cộng sau: 4 + 7 + 10 +…. + 25 + 28 + 31 (gồm 10 số) Giải: S = ( ) 4 31 .10 175 2 + = Ví dụ 4: a) Bạn Tâm phải dùng bao nhiêu chữ số để đánh số trang sách bằng các số tự nhiên từ 1 -> 100. b) Bạn Lâm đánh số trang một cuốn sách dày 284 trang bằng dãy số chẳn 2, 4, 6, 8,…. Biết mỗi chữ số viết mất 1 giây. Hỏi bạn Lâm cần bao nhiêu phút để đánh số trang sách? Giải: a) Bạn Tâm phải dùng: 9 + 90.2 + 1.3 = 192 chữ số. b) Dãy 2, 4, 6, 8 có 4 số, gồm 4 chữ số. Nếu một dãy cộng có n số hạng, số hạng đầu là a 1 , số hạng cuối là a n Thì tổng của n số hạng đó là: S = 1 ( ) 2 n a a n+ - 2 - Dãy 10, 12, 14, 16,….98 có: (98 – 10): 2 + 1 = 45 (số) có hai chữ số, gồm 45.2 = 90 chữ số. Dãy 100, 102, 104, …284 có: (284 – 100): 2 + 1 = 93(số) có 3 chữ số, gồm 93.3 = 279 (chữ số) Do đó bạn Lâm phải viết tất cả: 4 + 90 + 279 = 373 (chữ số), hết 373 giây hay 6 phút13 giây. Tiết 2: LUYỆN TẬP Bài 1: Tính tổng sau: 6 + 12 + 18 +… + 1992 Giải: Tổng 6 + 12 + 18 +… + 1992 có : (1992 - 6): 6 + 1 = 332 số hạng. Vậy tổng: 6 + 12 + 18 +… + 1992 = (6 + 1992) .332 331668 2 = Bài 2: Cần bao nhiêu chữ số để đánh số trang của một cuốn sách có tất cả là: a) 358 trang. b) 1031 trang. Giải: a) Muốn đánh số từ 1 đến 358( kể cả 358), Ta phải dùng: 9 số có một chữ số. (99 -10) + 1 = 90 số có hai chữ số. Và (358 – 100) + 1 = 259 số có ba chữ số. Vây ta phải dùng: 9 + 90.2 + 259. 3 = 966 (chữ số). b) Tương tự, Ta phải dùng: 9 + 90 .2 + 900 .3 + 32 .4 = 3017 chữ số để đánh số trang của một cuốn sách có 1031 trang. Bài 3: Người ta viết liền nhau dãy các số tự nhiên 12345… Hỏi chữ số chỉ đơn vò của số : a) 53 đứng ở hàng thứ mấy? b) 328 đứng ở hàng thứ mấy? c) 1587 đứng ở hàng thứ mấy? Giải: a) Từ số 1 đến số 53 ( kể cả 53) Có: 9 + (53 -10 +1).2 = 97 chữ số . Vậy 3 ở hàng thứ 97. b) Vậy 8 ở hàng thứ 876. c) Vậy 7 ở hàng thứ 5241. Bài 4: Cần bao nhiêu chữ số để đánh số trang của một cuốn sách có tất cả là: a) 752 trang. b) 1251 trang. Giải: HS tự giải Đáp số: a) 2148 chữ số. c) 3897 chữ số. Bài 5: Tính số trang của một cuốn sách. Biết rằng để đánh số trang của cuốn sách đó người ta phải dùng 3897 chữ số? Giải: Phải dùng 9 + 90.2 + 900.3 = 2889 chữ số để viết tất cả các trang có 1, 2, và 3 chữ số. Vì 2889 < 3897 nên số phải tìm là số có 4 chữ số. Tất cả các số có 4 chữ số đã viết là: 3897 2889 1008 252 4 4 − = = (số). Số thứ nhất có 4 chữ số là 1000, vậy số thứ 252 có 4 chữ số là:1000 + 252 – 1 = 1251. Vậy cuốn sách có 1251 trang. Bài 6 * : Bạn Lâm đánh số trang một cuốn sách dày 284 trang bằng dãy số chẳn 2, 4, 6, 8,…. Giải: Chữ số 300 của dãy số trên là chữ số nào? - 3 - Viết dãy số chẵn từ 2 đến 98 phải dùng: 4 + 90 = 94 (chữ số), còn lại 300 - 94 = 206 (chữ số) để viết các số chẵn có ba chữ số kể từ 100. Ta thấy: 206:3 = 68 dư 2. Số chẵn thứ 68 kể từ 100 là: 100 + (68 – 1) . 2 = 234. hai chữ số tiếp theo là 2 và 3 thuộc số 236. Vậy chữ số thứ 300 của dãy là chữ số 3 thuộc số 236. Tiết 3: CÁC DÃY KHÁC Ghi nhớ: Tổng của n số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 bằng: 1 + 2 + 3 + …….+ n = ( 1) 2 n n + Ví dụ: Tìm số hạng thứ 100 của các dãy số được viết theo quy luật: a) 3, 8, 15, 24, 35,… (1) b) 3, 24, 63, 120, 195,… (2) c) 1, 3, 6, 10, 15,…. (3) d) 2, 5, 10, 17, 26,… (4) Giải: a) Dãy (1) có thể viết dưới dạng: 1.3, 2.4, 3.5, 4.6, 5.7,… Mỗi số hạng của dãy (1) là tích của hai thừa số, thừa số thứ hai lớn hơn thừa số thứ nhất 2 đơn vò. Các thừa số thứ nhất làm thành một dãy: 1, 2, 3, 4, 5, …; Dãy này có số hạng thứ 100 là 100. Số hạng thứ 100 của dãy (1) bằng: 100.102 = 10200. b) Dãy (2) có thể viết dưới dạng: 1.3, 4.6, 7.9, 10.12, 13.15,… Số hạng thứ 100 của dãy 1, 4, 7, 10, 13,… là: 1 + (100 – 1 ).3 = 298. Số hạng thứ 100 của dãy (2) bằng: 298 . [ ] 3 + (100 - 1). 3 = 89400. c) Dãy (3) có thể viết dưới dạng: 1.2 2.3 3.4 4.5 5.6 , , , , , . 2 2 2 2 2 Số hạng thứ 100 của dãy (3) bằng: 100.101 5050 2 = d) Dãy (4) có thể viết dưới dạng: 1 + 1 2 , 1 + 2 2 , 1 + 3 2 , 1 + 4 2 , 1 + 5 2 …. Số hạng thứ 100 của dãy (4) bằng: 1 + 100 2 = 10001 Bài tập: Để đánh số trang một cuốn sách người ta phải dùng tất cả 600 chữ số. Hỏi quyển sách đó có bao nhiêu trang? Giải: 99 trang đầu cần dùng 9.1 +90.2 = 189 Chữ số. 999 trang đầu cần dùng: 9.1 + 90.2 + 900.3 = 2889 chữ số Vì: 189 < 600 < 2889 nên trang cuối cùng phải có 3 chữ số. Số chữ số để đánh số các trang có 3 chữ số la: ø 600 – 189 = 411 (chữ số) Số trang có 3 chữ số là 411: 3 = 137 trang. Vậy quyễn sách có tất cả là: 99 +137 = 236 trang. - 4 - Tiết 4: LUYỆN TẬP CHUNG 1/ a) Tính tổng các số lẽ có hai chữ số. b) Tính tổng các số chẳn có hai chữ số. 2/ Tính tổng: A = 3 + 7 + 11 + 15 + …. + 407 B = 2 + 9 + 16 + 23 +… + 709 3/ Viết liên tiếp dãy số tự nhiên từ 1 đến 100 tạo thành một số A. Tính tổng các chữ số của A. Giải: 1/ a) Tập hợp các số lẽ có hai chữ số có: (99 – 11):2 + 1 = 45 số. Vậy tổng của chúng là: S = ( ) 11 99 .45 2475 2 + = b) Tập hợp các số chẳn có hai chữ số có: (98 – 10 ):2 + 1 = 45 số Vậy tổng của chúng là: S = ( ) 10 98 .45 2430 2 + = 2/ Tổng A có (407 – 3 ):4 +1 = 102 số hạng. Tổng B có: (709 – 2):7 + 1 = 102 số hạng. Vậy: ( ) 3 407 .102 20910 2 A + = = ( ) 2 709 .102 36221 2 B + = = 3/ Theo đề bài ta có: A = 123456789101112… 9899100. Hay A = 0123456789101112….9899100. Từ 0 đến 99 có 100 số ghép thành 50 cặp số (0 và 99), (1 và 98),….; Mỗi cặp có tổng các chữ số bằng 18. Tổng các chữ số của 50 cặp số đó bằng 18.50 = 9.2.50 = 900. Thêm số 100 có tổng các chữ số bằng 1. Vậy tổng các chữ số của số A là: 900 + 1 = 901 . 1: DÃY SỐ TỰ NHIÊN VIẾT THEO QUY LUẬT Tiết 1: DÃY CỘNG 1) Ví du 1ï: Xét các dãy số sau: a) Dãy số tự nhiên: 0; 1; 2; 3; … b) Dãy số lẻ: 1; 3; 5; … c) Dãy. vò, số đơn vò này là 1 ở dãy a), là 2 ở dãy b), là 3 ở dãy c). Ta gọi các dãy trên là dãy cộng. 2) Khái niệm: Dãy cộng là dãy số có mỗi số hạng (kể từ số