Tổ Toán Tin Trờng THPT Thái Hoà Chuyên đề số phức Ôn thi tốt nghiệp: Kiến thức và kĩ năng cần đạt: 1.Nắm đợc định nghĩa dạng đại số của số phức và các khái niệm liên quan: phần thực và phần ảo của số phức, số ảo (số thuần ảo). 2.Tính toán thành thạo các phép toán cộng, trừ , nhân , chia hai hay nhiều số phhức ở dạng đại số VD. Tính: a)(5+2i)-3(-7+6i) b)(2- 3 i)(1- 3 i) c)(1+ 2 i) 2 d) 2 15 3 2 i i + e) ( ) ( ) 1 3 2 2 i i i + 3.Biết cách biểu diễn hình học của số phức , môđun của số phức, số phức liên hợp Vd.Biểu diễn hình học các số phức z trên mặt phẳng phức biết: a) z = 2 b) z = -3i c) 1z = d) 2 1z = e) 2z i = f) 2 3 3z i+ = g) z 2 là số ảo h) 2z z i+ = + 4 .Tính căn bậc hai của số phức VD.Tính căn bậc hai của số phức 3 + 4i, 5 12i 5.Biết cách nhân chia hai số phức ở dạng lợng giác VD.Tính : a) 7 7 cos sin cos sin 12 12 12 12 i i + + ữ ữ b) cos sin 12 12 7 7 cos sin 12 12 i i + ữ + ữ 6.Sử dụng công thức Moavrơ và ứng dụng công thức để xác định sin 3 ,cos 3 ,sin 4 ,cos 4 theo sin , cos VD.Xác định 1+i, 1- 3 i dới dạng lợng giác, từ đó đa về dạng đại số các biểu thức sau : Tổ Toán Tin Trờng THPT Thái Hoà a)(1+i) 15 b)(1+i) 15 .(1- 3 i) 10 c) ( ) ( ) 10 15 1 3 1 i i + Ôn thi đại học Dạng 1.Bài toán liên quan đến các phép biến đổi số phức VD1: Cho hai số phức 1 2 ,z z thoả mãn điều kiện 1 2 1 2 1, 3z z z z= = + = . Tính 1 2 z z VD2: Tìm số phức z biết 2z = và 2 z là số thuần ảo (đề thi khối D năm 2010) VD3: Tìm phần ảo của số phức z biết ( ) ( ) 2 2 1 2z i i= + (đề thi khối A năm 2010) VD4: Cho số phức z thoả mãn ( ) 3 1 3 1 i z i = . Tìm môđun của số phức z iz+ (đề thi khối A năm 2010) Dạng 2: Bài toán liên quan đến phơng trình nghiệm phức VD1.Tìm hai số thực x, y thoả mãn phơng trình x(3+5i)+y(1-2i) 3 = 9+14i VD2: a)z 3 -1 = 0 b)z 3 + (1-i)z 2 +(1-i)z-i=0 c)z(z-1)(z+2)(z+3)=10 d)(z+4) 4 + (z+6) 4 =82 e)z 4 + z 3 + 1 2 z 2 + z +1 = 0 Lu ý: Các phơng trình bậc 3, bậc 4 nên dừng lại ở việc giải các phơng trình bậc 3 nhẩm đợc 1 nghiệm dễ dàng hoặc phơng trình bậc 4 có thuật toán giải. Không nên ra cho học sinh những bài toán đánh đố. VD: Xuất phát từ: (z+1+2i)(z 2 + 2z +3) = 0 z 3 +(3+2i)z 2 +(5+4i)z+3+6i = 0 (z 2 -2z+2)(z 2 + 3z -1) = 0 z 4 + z 3 -2z 2 +12z -2 =0 mà đa ra các bài toán giải phơng trình : z 3 +(3+2i)z 2 +(5+4i)z+3+6i = 0; z 4 + z 3 -2z 2 +12z -2 =0 thì chỉ có ngời ra đề là giải đ- ợc. Nếu có thì nên có gợi ý cho học sinh VD: Giải phơng trình ( ) 3 2 2 1 4(1 ) 8 0z i z i z i + + + = biết rằng phơng trình có một nghiệm thuần ảo VD3.Tìm các số nguyên x, y sao cho số phức z = x + yi là nghiệm của phơng trình z 3 =18 + 26i VD4.Cho z 1 ,z 2 là hai nghiệm phơng trình: (1+i 2 )z 2 (3+2i)z +1 i = 0 Tổ Toán Tin Trờng THPT Thái Hoà Tính: a) 2 2 1 2 z z+ b) 1 2 2 1 z z z z + Dạng 3: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức thoả mãn điều kiện cho trớc B1: Gọi số phức có dạng z = x + yi (không nên gọi z = a + bi) B2: Biến đổi điều kiện cho trớc để tìm mối liên hệ giữa x và y (hoành độ và tung độ các điểm cần tìm tập hợp) B3: Dựa vào đặc trng của phơng trình đó để nêu tập hợp điểm VD: ax + by + c = 0=> đờng thẳng (x-a) 2 + (y-b) 2 = 0 => đờng tròn . VD1: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức các số phức z thoả mãn: a) 3 4z z i= + (biến đổi về 6x+8y=25 => đờng thẳng ) b) 1 z i z i = + (biến đổi về y = 0 => trục thực Ox) c) 1 2z z + = (hợp của hai đờng tròn x 2 + y 2 -2y -1 = 0, x 2 + y 2 + 2y -1 = 0) VD2:Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thoả mãn: ( ) 1z i i z = + (đề thi khối B năm 2010) Tuy nhiên có những bài toán giải theo cách trên rất khó VD3.(bài 20 SGK ban KHTN trang 214) Xác định tập hợp các điểm biểu diễn số phức (1+i 3 )z + 2 trong đó 1 2z Ta dùng cách giải đặc biệt: đặt z= (1+i 3 )z + 2 => z = ' 2 1 3 z i + . Khi đó : ' 3 3 ' 2 ' 3 3 1 2 1 2 2 2 2 1 3 1 3 ' 3 3 4 z i z z i z i i z i + + Tập hợp là hình tròn tâm I(3; 3 ), bán kính R = 4 Vì phần số phức mới đa vào chơng trình nên mức độ các câu hỏi trong các đề thi tốt nghiệp và tuyển sinh đại học (năm 2009;2010) còn đang ở mức độ trung bình và không khó để học sinh định hớng tìm lời giải. Sau khi thống nhất, chúng tôi đa ra một số vấn đề phức tạp hơn trong nội dung này, mang tính dự đoán các câu hỏi của các đề thi những năm tới. Vấn đề 1: Xuất phát từ định nghĩa: i 2 =-1 =>i 3 =-i, i 4 =1 Nâng cao: VD1: (bài 7 SGK ban KHTN ) Chứng minh với mọi số nguyên m >0, ta có:i 4m = 1, i 4m+1 = i, i 4m+2 =-1, i 4m+3 = -i Tổ Toán Tin Trờng THPT Thái Hoà Nhận xét: i n {1,i,-1,-i} và hai số hạng i n và i n+2 trái dấu . Điều này có thể vận dụng vào bài toán tính tổng khi áp dụng nhị thức Niutơn. VD: Tính tổng S = 0 2 4 2010 2010 2010 2010 2010 .C C C C+ + + + . Học sinh giải bài toán bằng cách khử các chập lẻ bởi khai triển: (1+x) 2010 +(1-x) 2010 và thay x = 1 để đa ra đáp số . Tuy nhiên nếu ta giải bài toán: VD2: Tính tổng S = 0 2 4 2010 2010 2010 2010 2010 .C C C C + thì không thể giải theo cách trên vì xuất hiện dấu trừ. Ta có thể đa về tổng bởi các dấu (+): S = 0 2 2 4 4 2010 2010 2010 2010 2010 2010 .C i C i C i C+ + + + . Do đó có thể giải nh sau: C1: S = 2010 2010 (1 ) (1 ) 2 i i+ + C2: S là phần thực của số phức (1+i) 2010 (do (1+i) 2010 và (1-i) 2010 là hai số phức liên hợp) VD3: Tính S = 0 2 2 4 10 20 20 20 20 20 3 3 . 3C C C C + + (đề thi thử lần II trờng THPT Thái Hoà năm 2010) VD4: Cho số nguyên dơng n. 1)Biểu diễn số phức sau theo dạng đại số: (1 + i) 4n 2)Chứng minh rằng ( ) ( ) 2 2 2 4 6 4 1 3 5 7 4 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 1 . . 16 n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C + + + + + + = (đề thi thử lần III trờng THPT Thái Hoà năm 2010) Vấn đề 2: Bất đẳng thức trong số phức: VD1.Chứng minh với mỗi số phức z, có ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau xẩy ra: 2 1 1 ; 1 1 2 z z+ + VD2.Cho số phức z 0 thoả mãn: 3 3 1 2z z + . Chứng minh rằng: 1 2z z + VD3.Cho số phức z thoả mãn : 2 2 1z i + = . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z . thuần ảo). 2.Tính toán thành thạo các phép toán cộng, trừ , nhân , chia hai hay nhiều số phhức ở dạng đại số VD. Tính: a)(5+2i)-3(-7+6i) b)(2- 3 i)(1- 3. bài toán bằng cách khử các chập lẻ bởi khai triển: (1+x) 2010 +(1-x) 2010 và thay x = 1 để đa ra đáp số . Tuy nhiên nếu ta giải bài toán: VD2: Tính tổng S