Nguồn tài liệu : http://violet.vn/thpt-vinhchan-phutho GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ *Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên [ ] a;b ta thực hiện theo các bước: • Tính f ’ (x) , giải phương trình f ’ (x) = 0 để tìm tất cả các nghiệm x 1 , x 2 … x n trong [ ] a;b (chú ý ta phải tìm tất cả các giá trị của x mà tại đó đạo hàm khơng tồn tại). • Tính và so sánh f(a); f(x 1 ) … f(x n ) (hoặc dùng bảng biến thiên và dựa vào bảng biến thiên để kết luận về max và min) Kết luận : Vậy GTLN M= ( ) ( ) ( ){ } bfxfxfaf n ; ;;)( 1 GTNN m= ( ) ( ) ( ){ } bfxfxfaf n ; ;;)( 1 * Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên miền [ ] D a;b≠ ta thực hiện. • Tính f ’ (x), giải phương trình f ’ (x) = 0 để tìm tất cả các nghiệm x 1 , x 2 … x n trong D • Lập bảng biến thiên của hàm số y = f(x) • Từ bảng biến thiên ⇒ kết luận. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số 3 2 y x 3x 9x 1= − − + trên [ ] 2;4− Maxy = 6 tại x = -1 Miny = -26 tại x = 3. Ví dụ2: Tìm giá trò lớùn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = x 2 −2x+3 trên [0;3]. Kq: ]3;0[ Min f(x)=f(1)=2 và ]3;0[ Max f(x)=f(3)=6. Ví dụ 3: Tìm giá trò lớùn nhất của hàm số y = f(x) = 1 44 2 − +− x xx với x<1. Kết quả : )1;( −∞ Max f(x) = f(0) = −4 Ví dụ 4: Tìm giá trò lớn nhất của hàm số y = 1 24 2 ++ xx x . Kết quả : R Max y = f(±1) = 3 1 Ví dụ 5: Tìm GTNN y = x – 5 + x 1 với x > 0. Kết quả: );0( +∞ Min y=f(1)= −3 Ví dụ 6: Tìm GTLN, GTNN y = x – 5 + 2 x4 − . Kết quả: 522)2( ]2;2[ −== − fyMax ; 7)2( ]2;2[ −=−= − fyMin Ví dụ 7: Cho 2 số dương x; y thỏa mãn x + y = 5 4 . Tìm GTNN của biểu thức 4 1 S x 4y = + . Ví dụ 8 : Cho x, y ≥ 0, x+y=1. T×m Max, Min cđa biểu thức 11 + + + = x y y x S Ví dụ 9 : T×m Max,Min cđa 22 22 4 )4( yx yxx S − −− = víi x 2 + y 2 > 0 Ví dụ 10 : Cho x,y > 0 , x+y=1. T×m Min cđa y y x x S − + − = 11 Ví dụ 11: Tìm gá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số : 2 4 xxy −+= Vậy [ ] 22 max 2;2 = − y ; [ ] 2 min 2;2 −= − y Ví dụ 12: Tìm GTLN, GTNN của hàm số ( ) 3 26 14 xxy −+= trên đoạn [ ] 1;1− . Lời giải Đặt t = x 2 với [ ] [ ] x 1;1 t 0;1∈ − ⇒ ∈ . duchoa_7804@yahoo.com 1 Nguồn tài liệu : http://violet.vn/thpt-vinhchan-phutho Vậy Max y = 4 đạt được tại x = 0 Min y = 4 9 đạt được tại x = 2 3 ± . Chú ý : trong một số bài tốn để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ta sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để đơn giản bài tốn . Khi sử dụng phương pháp này cần lưu ý : • Đặt ẩn phụ t , tìm điều kiện của ẩn phụ với tương ứng ItDx ∈⇒∈ •Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số đối với biến t trên tập I Ví dụ 12: Tìm GTLN ,GTNN của biểu thức: 2 2cos cos 1 cos 1 x x A x + + = + Vậy maxA = 2 , minA=1 Ví dụ 13 :Tìm giá trò nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y = 3 sinx – 4 cosx. Ví dụ 14 : Cho hàm số ( ) πα α αα ;0 1cos2 cos2cos 2 2 ∈ +− +− = xx xx y . Chứng minh rằng : −1≤ y ≤ 1 Ví dụ 15 : Tìm giá trò LN và giá trò NN của hàm số y=2sinx − x 3 sin 3 4 trên đoạn [0;π] Kết quả: ];0[ Max π f(x)=f(π /4)= f(3π /4)= 3 22 ; ];0[ Min π f(x)=f(0)=f(π )=0 Ví dụ 16 : Cho 0 ≠ ab tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a b b a a b b a a b b a F ++         +−+= 2 2 2 4 4 4 4 Hướng dẫn : Đặt a b b a t += , do a b b a ; cùng dấu nên 222 ≥⇒=≥+=+= t ba ab a b b a a b b a t khi đó: ;2 2 2 2 2 2 −=+ t a b b a 24 24 4 4 4 4 +−=+ tt a b b a nên ( ) 45224 24224 ++−=⇔+−−+−= tttFttttF Chú ý : trong một số bài tốn khi tính đạo hàm mà khơng giải được nghiệm hoặc khơng nhận xét được dấu của đạo hàm thì cách thơng thường nhất là ta tiếp tục tính đạo hàm cấp 2, cấp 3 . đến khi nào tìm được nghiệm hoặc nhận xét được dấu thì dừng và thực hiện ngược lại như bài tốn trên Ví dụ 17: Tìm giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất của hàm số : xxy cos3sin 5 += Hướng dẫn : Vì xx 45 sinsin ≤ nên xxxxy cos3sincos3sin 45 +≤+= Ta tìm GTLN của hàm số xxy cos3sin 4 += TLN là 3 đạt được khi π 21cos 1cos sinsin 45 kxx x xx =⇔=⇔    = = Tương tự ta có Vì xx 45 sinsin −≥ nên xxxxy cos3sincos3sin 45 +−≥+= Ta tìm GTNN của hàm số xxy cos3sin 4 +−= GTNN là 3 − đạt được khi ππ 21cos 1cos sinsin 45 kxx x xx +=⇔−=⇔    −= −= Chú ý : trong một số bài tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số ta cần nhận xét đánh giá để chuyển về một hàm trung gian rồi đi tìm GTLN ,GTNN của hàm trung gian đó. Mà mục đích là để sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để đơn giản bài tốn Ví dụ 18: Tìm a để GTNN của hàm số 2 2 y 4x 4ax a 2a= − + − trên [ ] 2;0− bằng 2. duchoa_7804@yahoo.com 2 Nguồn tài liệu : http://violet.vn/thpt-vinhchan-phutho KL: Vậy a = -1 hoặc 1 3a = + thì GTNN của hàm số bằng 2. Bài tập tự giải Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau : 1. y x 2 4 x= − + − 2. y=2x 3 +3x 2 −1 trên đoạn       − 1; 2 1 Kết quả: 4)1( ]1; 2 1 [ == − fyMax ; 1)0( ]1; 2 1 [ −== − fyMin 3. y=f(x)=x 2 −2x+3. Kq: R Min f(x) = f(1) = 2. 4. y = x 4 -2x 2 +3. Kết quả: R Min y=f(±1)=2; Không có R Max y 5. y = x 4 +4x 2 +5. Kết quả: R Min y=f(0)=5; Không có R Max y 6. 2cos 1sin22 + − = x x y . Kết quả: R Min y= 3 7 − ; R Max y=1 7. 1 33 2 2 ++ ++ = xx xx y . Kết quả: R Min y= 3 1 ; R Max y=3 8. y sin x 3sin 2x= + 9. (ĐHCSND) y 5cosx cos5x= − trên đoạn ; 4 4 π π   −     10. (ĐHKTQD - 97) 3 2 y x 3x 72x 90= + − + trên đoạn [ ] 5;5− Bài 2: Tìm GTNN của 1. (HVNH – 98) 1 1 y sinx cos x = + với 0; 2 x π   ∈  ÷   2. (HVCNBCVT – 99) 2 f (x) 2sin x 4sin xcosx+ 5= + Bài 3: Tìm GTLN , GTNN của các hàm số sau: 1. (ĐHGT – 98) 2 2 2x 4x y sin cos 1 1 x 1 x = + + + + 2. (ĐHSPI –2001): 2 2 3cos4x 4sin x y 3sin x 3cos4x + = + 3. (HVQHQT – 2001) y x 1 9 x= − + − với 3 6x ≤ ≤ 4. (ĐHNT –2001) x y P 1 x 1 y = + − − với x>0; y>0 và x +y = 1 5. xx xx y 44 66 cossin1 cossin1 ++ ++ = 6. xx xx y 24 24 cos2sin3 sin4cos3 + + = 7. )cos1(sin xxy += 8. xxy 2sin3sin += 9. xx y cos4 1 sin4 1 − + + = 10. a tgx tgx a x x y + − + +− − + = 1 1 )1( 2sin1 2sin1 víi       ∈ 4 ;0 π x 11. xx xxxx y sincos sincoscos.sin 66 + + = B i 5: à Cho 2 0 π ≤≤ x vµ 2 ≤ m , Zn ∈ . T×m Max,Min cđa xxy nm cos.sin = B i 6:à a. Cho 1 ≤ a T×m Min cđa xaxay sincos +++= b. T×m Max,Min cđa xxy sin.21cos.21 +++= duchoa_7804@yahoo.com 3 Nguồn tài liệu : http://violet.vn/thpt-vinhchan-phutho Bài 7: (ĐHAN Khối A – 97) Tìm tập giá trị của hàm số sau: 2 2 2 4 2 4y x x x x= + + − − + Bài 8: gọi x 1 ; x 2 là các nghiệm của phương trình: 2 2 2x 2(m 1)x m 4m 3 0+ + + + + = Tìm GTLN của 1 2 1 2 2( )A x x x x= − + Bài 9: Cho hàm số 4 2 2 y x 6bx b= + + Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [ ] 2;1− 65) Cho hàm số 2 13 2 ++ + = xx x y . Chứng minh rằng : 1y 7 9 ≤≤− 55) Muốn xây hồ nước có thể tích V = 36 m 3 , có dạng hình hộp chữ nhật (không nắp) mà các kích thước của đáy tỉ lệ 1:2. Hỏi: Các kích thước của hồ như thế nào để khi xây ít tốn vật liệu nhất? Kết quả : Các kích thước cần tìm của hồ nước là: a=3 m; b=6 m và c=2 m 57) Đònh m để hàm số y = f(x) = x 3 −3(m+1)x 2 +3(m+1)x+1 nghòch biến trên khoảng( −1;0). Kết quả : m ≤ 3 4 − 58) Tìm trên (C): y = 2 3 2 − − x x điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất. Kết quả :M(0; 2 3 ) BT10 Gi¶ sư 0 12 4612 2 22 =+−+− m mmxx cã nghiƯm x 1, x 2 T×m Max,Min cđa 3 2 3 1 xxS += BT15 (§H Th ¬ng m¹i 2000) T×m Max,Min cđa xxaxxy cos.sin.cossin 66 ++= BT16 (HVQY 2000) T×m Max,Min cđa 1cos.sincossin 44 +++= xxxxy BT17 (§H C¶nh S¸t 2000) T×m Max,Min cđa xxy 5coscos5 −= Víi       − ∈ 4 ; 4 ππ x BT18 (§HQG TPHCM 1999) Cho mxxxxxf +−++= 2sin3)cos.(sin22cos)( 32 T×m Max,Min cđa f(x) . Tõ ®ã t×m m ®Ĩ xxf ∀≤ .36)( 2 2)- Sư dơng GTLN, GTNN cđa hµm sè trong ph ¬ng tr×nh, bpt ,hpt, hbpt BT1 GPT: 16 1 )1( 55 =−+ xx BT2(§H Thủ S¶n 1998) T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh sau cã nghiƯm mxxxx =+−−++− )2)(2(22 BT3(§H Y TPHCM 1997) T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh sau cã nghiƯm a) mxxxx ++−=−+ 99 2 b) mxxxx =−+−−++ )6)(3(63 BT4 T×m m ®Ĩ bÊt ph¬ng tr×nh sau cã nghiƯm 13. +≤−− mxxm BT5(§HQG TPHCM 1997) T×m m ®Ĩ 42)1( 222 ++≤++ xxmx ®óng víi mäi x thc [0;1] BT7(§HGT 1997) duchoa_7804@yahoo.com 4 Nguồn tài liệu : http://violet.vn/thpt-vinhchan-phutho T×m m ®Ó )352()3).(21( 2 −−+≥−+ xxmxx ®óng       − ∈∀ 3; 2 1 x BT8 T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh sau cã 4 nghiÖm ph©n biÖt mxxxxxx +−=+−−+− 42224)22( 2232 BT9 T×m a dÓ BPT sau ®óng víi mäi x thuéc R 0122436cos.15sin363cos5cos3 224 >−++−−− aaxxxx BT10 a)T×m m ®Ó mxxxx +−≤−+ 2)6)(4( 2 ®óng víi mäi x thuéc [-4;6] b)T×m m ®Ó 182)2)(4(4 2 −+−≤+−− mxxxx ®óng víi mäi x thuéc [-2;4] BT11(§HQG TPHCM 1998) T×m a ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt axx x x +−= − − 12 12 13 2 BT12 (§H QGTPHCM 1997-1998) a) T×m m dÓ ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm mxxxxx =−+−+ 4sin)cos(sin4)cos(sin4 26644 b) T×m m dÓ ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm mxxx =+ cos.sin.64cos c)T×m m dÓ ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm xmxx 4cos.cossin 2244 =+ BT13 (§H CÇn Th¬ 1997) T×m m dÓ ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm xxmxxx 2cos31.cos2cossin2cos3 22446 +=−++ BT14(§HGT 1999) a)T×m m ®Ó 02cos.sin42cos. =−+− mxxxm Cã nghiÖm       ∈ 4 ;0 π x b)T×m m ®Ó mxxx = 3sin.2cos.sin Cã ®óng 2 nghiÖm       ∈ 2 ; 4 ππ x BT15 T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm 6 9.69.6 mx xxxx + =−−+−+ BT16 T×m a ®Ó bÊt ph¬ng tr×nh sau ®óng víi mäi x thuéc R 13)1(49. >+−+ aaa xx BT17 T×m a ®Ó bÊt ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm ( ) ).(log1log 2 2 2 axax +<+ BT18 T×m a ®Ó hÖ bÊt ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm      <++ <−+ 01.3 0123 2 2 mxx xx 3)- Sö dông GTLN, GTNN chøng minh bÊt ®¼ng thøc BT1 CMR 13122 2 ≤−+≤− xx Víi mäi x thuéc TX§ BT2 a)T×m m ®Ó 28 2 +=+ xxm cã 2 nghiÖm ph©n biÖt b)Cho a + b + c = 12 CMR 6.6888 222 ≥+++++ cba BT3 duchoa_7804@yahoo.com 5 Nguồn tài liệu : http://violet.vn/thpt-vinhchan-phutho CMR 3 2 4sin 4 1 3sin 3 1 2sin 2 1 sin ≥+++ xxxx víi       ∈ 5 3 ; 5 ππ x BT4 CMR 1123cos2cos6cos4cos17 22 +≤+−+++≤ aaaa BT5 CMR 3 3 2 2sin xx x − < víi       ∈ 2 ;0 π x BT6 CMR 3)()(2 222333 ≤++−++ xzzyyxzyx víi [ ] 1,0,, ∈∀ zyx BT7 CMR ABC CAA gCgBgA ∆∀       ++≤+++ sin 1 sin 1 sin 1 233cotcotcot duchoa_7804@yahoo.com 6 . ] 2;4− Maxy = 6 tại x = -1 Miny = -2 6 tại x = 3. Ví dụ2: Tìm giá trò lớùn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = x 2 −2x+3 trên [0;3]. Kq: ]3;0[ Min f(x)=f(1)=2. == − fyMax ; 1)0( ]1; 2 1 [ −== − fyMin 3. y=f(x)=x 2 −2x+3. Kq: R Min f(x) = f(1) = 2. 4. y = x 4 -2 x 2 +3. Kết quả: R Min y=f(±1)=2; Không có R Max y