Đang tải... (xem toàn văn)
seminar5 -Tích Phân Hình Học 4-2009-5
Tích phân hình học và biến phân nhiều chiềuKhi nghiên cứu một số vấn đề hình học ta cần các công cụ khác nhau để đokích cỡ của tập (e.g. độ dài, diện tích, các tích phân vật lý, . ). Cách xây dựngkinh điển của Carathéodory cho phép sinh ra rất nhiều độ đo (e.g. độ đo vớisố chiều thấp hơn n trong không gian Rn), phù hợp cho nhiều áp dụng khácnhau.Bài này phần đầu nêu cách xây dựng tổng quát của Carathéodory và một sốví dụ về các độ đo hình học đáng quan tâm. Các ý tưởng chính bắt đầu từHausdorff (1918) và Carathéodory (1914). Sau khi so sánh các độ đo đã nêu,phần còn lại sẽ nêu một số công thức cần dùng đối với độ đo Hausdorff: côngthức area, công thức co-area, công thức chiếu và công thức Cauchy-Crofton.Nội dung.1. Carathéodory’s construction.2. Các độ đo hình học thông dụng.3. Quan hệ giữa các độ đo hình học.4. Một số công thức cần dùng.Tham khảo.Federer H, Geometric measures theory, Springer-Verlag (1969)Simon L., Lectures on geometric measure theory, Proceedings of the CentreMathematical Analalysis, Australian National University, Vol. 3 (1983)88 1. Carathéodory’s construction.Cho F là một họ các tập con trong Rn(các tập “kiểm tra”).Cho ζ : F → [0, +∞] (hàm gauge - định cỡ/ đánh giá).Các độ đo ban đầu φδ, 0 < δ ≤ ∞, được định nghĩa: Với A ⊂ Rn,φδ(A) = inf{S∈Gζ(S) : G đếm được ,G ⊂ F ∩{S : diam (S) ≤ δ},A ⊂S∈GS}Do tính chất là nếu 0 < δ1< δ2, thì φδ1≥ φδ2, nên ta có thể đặtψ(A) = limδ→0+φδ(A) = supδ>0φδ(A)Khi đó ψ được gọi là độ đo được xây dựng từ ζ trên F, còn φδđược xemnhư là độ đo xấp xỉ cỡ δ,Mệnh đề.(1) φδ, ψ là các độ đo trên Rn, i.e. các hàm tập, dưới cộng tính.(2) ψ là độ đo Borel chính qui, i.e. mọi tập Borel là ψ-đo được.(3) Nếu mọi phần tử của F là tập Borel, thì ψ là độ đo Borel chính qui, i.e.mọi tập A đều chứa trong một tập Borel˜A có cùng độ đo ψ.(4) Nóichung φδkhông là độ đo Borel.Chứng minh: (1) là rõ ràng.(2) Theo tiêu chuẩn Carathéodory, để chứng minh các tập Borel là ψ - đođược, ta cần chứng minh(C) ψ(A∪ B) ≥ ψ(A) + ψ(B), khi d(A, B) > 0Dễ thấy φδ(A ∪ B) ≥ φδ(A) + φδ(B), khi d(A, B) > δ. Cho δ → 0, ta có (C).(3) Rõ ràng.(4) Ví dụ: n = 1, F họ mọi tập mở, ζ(S) = (diam (S))1/2.Khi đó với A = (0, δ/2), B = (δ/2, δ), ta cóφδ(A ∪ B) = δ1/2≥ φδ(A) + φδ(B) = (δ/2)1/2+ (δ/2)1/2✷2. Các độ đo hình học thông dụng.Với cách xây dựng trên ta có nhiều độ đo khác nhau.• Độ đo Hausdorff (Hausdorff 1918). Với α > 0, dùng hàm định cỡ (dựatrên thể tích cầu)ζ1(S) = c(α)(diam S/2)α89 trong đó c(α) =Γ(12)αΓ(α2+ 1)(Khi α nguyên c(α) là thể tích hình cầu α - chiều,có đường kính là 1).Khi F là họ mọi tập con khác rỗng, độ đo được xây dựng tương ứng được gọilà độ đo Hausdorff α - chiều, ký hiệu là Hα.• Độ đo cầu (Hausdorff 1918). Với F là họ các cầu mở, và ζ = ζ1, độđo được xây dựng tương ứng được gọi là độ đo cầu, ký hiệu là Sα.Ta cóHα≤ Sα≤ 2αHα• Độ đo Federer (Federer 1969). Với mỗi số nguyên 0 < m ≤ n, ta dùnghàm định cỡ (dựa trên thể tích hộp bình hành)ζ2(S) = c(m)2−msup{|(a1− b1) ∧ ··· ∧ (am− bm)| : a1, b1,··· , am, bm∈ S}Khi F là họ mọi tập con khác rỗng, độ đo được xây dựng tương ứng được gọilà độ đo Federer m - chiều, ký hiệu là Jm.Do |(a1− b1) ∧ ··· ∧ (am− bm)| ≤mi=1|ai− bi|, ta có Jm≤ Hm.• Độ đo Gross (Gross 1918). Với mỗi số nguyên 0 ≤ m ≤ n, ký hiệuO∗(n, m) là tập mọi phép chiếu trực giao từ Rnlên Rm, và Lmlà độ đoLebesgue m - chiều. Định nghĩa hàm định cỡζ3(S) = sup{Lm(p(S)) : p ∈ O∗(n, m)}Khi F là họ mọi tập Borel, ta có độ đo Gross m-chiều, ký hiệu là Gm.• Độ đo Carathéodory (Carathéodory 1914). Khi F là họ mọi tập lồi mởtrong Rn, và hàm định cỡ là ζ3, cách xây dựng trên cho độ đo Carathéodorym-chiều, ký hiệu là Cm.Khi m = 1, ζ3(S) = diam (S) với S lồi, vậy C1= H1.Cho m là số nguyên 0 < m ≤ m. Nhóm compact O(n) tác động truyềnứng (transitively) lên O∗(n, m) bằng hợp bên phải, nên sinh ra một độ đo xácsuất Haar θ∗n,mtrên O∗(n, m). Với mỗi 1 ≤ t ≤ ∞, định nghĩa hàm định cỡζ4,t(S) =1βt(n, m)O∗(n,m)|Lm(p(S))|tdθ∗n,mp1/t,trong đó|(Λmp)ξ|tdθ∗n,mp1/t= βt(n, m)|ξ|, với mọi m-vector đơn ξ trongRn.90 • Độ đo tích phân hình học (Favard 1932, Federer 1969). Khi F là họ mọitập con khác rỗng, và ζ = ζ4,t, cách xây dựng của Carathéodory cho ta độ đotích phân hình học m-chiều với số mũ t, ký hiệu là Im. Độ đo này có thể xemnhư là đo mọi hình chiếu của tập, rồi lấy trung bình (mũ t, theo độ đo xácsuất Haar)• Độ đo Gillespie (Gillespie 1940). Khi F là họ mọi tập lồi mở, và ζ = ζ4,t,cách xây dựng trên cho ta độ đo Gillespie m-chiều với số mũ t, ký hiệu là Qmt3. Quan hệ giữa các độ đo hình học.Mệnh đề. Với mỗi số nguyên 0 < m ≤ n, và 1 ≤ s ≤ t ≤ ∞, ta có mốiquan hệ sau giữa các độ đoSm≥ Hm≥ Jm≥ Cm= Qm∞≥ βt(n, m)Qmt≥ βs(n, m)QmsIV IV IV IVGm≥ I∞≥ βt(n, m)Imt≥ βts(n, m)ImsKhi m = n, thì các độ đô nêu trên đều bằng độ đo Lebesgue Ln.Khi m = 0, thì các độ đo đều là độ đo điểm.Chứng minh: Xem [F] 2.10.6 và 2.10.35. ✷Tập cầu phương được. Cho m là số nguyên 0 < m ≤ n. Tập E ⊂ Rnđược gọi là (Hm, m) cầu phương được (retifiable) nếuuE ⊂ E0∪∞j=1Fj(Aj)trong đó Hm(E0) = 0, Fj: Rm→ Rnlà Lipschitz, và Hm(E) < ∞.Định lý. Nếu E ⊂ Rnlà (Hm, m) - cầu phương được, thìHm(E) = Sm(E) = Jm(E) = Gm(E) = Cm(E) = Imt(E) = Qmt(E)Chứng minh: Xem [F] Th.3.2.26 ✷4. Một số công thức cơ bản.Phần này nêu lên các công thức cơn bản của tích phân hình học đối vớiđộ đo Hausdorff: công thức area, công thức co-area, công thức chiếu và côngthức Cauchy-Crofton.91 Trước hết ta có các gợi ý sau:Định thức và thể tích. Cho λ : Rn→ Rnlà ánh xạ tuyến tính. Khiđó định thức và thể tích n chiều quan hệ theo công thức sauLn(λ(A)) = | det λ|Ln(A), A ⊂ RnĐịnh lý (Rademacher 1919). Nếu f : Rn→ Rmlà ánh xạ Lipschitz, thì fkhả vi Ln- hầu khắp nơi và đạo hàm df là hàm đo được.Chứng minh: Xem [F] 3.1.6. ✷Ta muốn mở rộng công thức trên cho các số chiều khác nhau và cho cácánh xạ không là tuyến tính.• Công thức area.Trường hợp tuyến tính: Cho λ : Rn→ Rmlà ánh xạ tuyến tính, với m ≥ n.Ta xem Rn= Rn× O ⊂ Rm. Khi đó tồn tại g : Rm→ Rm∈ O(m), sao chog(λ(Rn)) ⊂ Rn. Theo công thức trên cho g ◦ λ : Rn→ Rn, ta cóHn(g ◦ λ(A)) = | det g ◦ λ|Hn(A), A ⊂ RnMặt khác, (g ◦ λ)∗◦ (g ◦ λ) = λ∗◦ λ.Ta có công thức area cho trường hợp tuyến tínhHn(λ(A)) =√det λ∗◦ λ Hn(A), A ⊂ RnTrường hợp C1: Cho f : Rn→ Rmthuộc C1, và n ≤ m. Khi đó với mọiA ⊂ Rnlà tập đo được và f là 1 − 1 trên A, ta cóHn(f(A)) =AJf(x)dHn(x)trong đó Jf(x) =det df(x)∗◦ df(x) (Jacobi suy rộng khi n ≤ m).Định lý (Fedrerer 1945). Cho f : Rn→ Rmlà ánh xạ Lipschitz, và n ≤ m.Khi đó(1) Với mọi A ⊂ Rnlà tập đo được, ta cóAJf(x)dHn(x) =Rm#(f−1(y)∩ A)dHm(y)92 (2) Với mọi hàm u : Rn→ R, Hn- khả tích, ta cóRnu(x)Jf(x)dHn(x) =Rmx∈f−1(y)u(x)dHn(y)(3) Với mọi hàm g : Rm→ R, Hm- khả tích, ta cóAg(f(x))Jf(x)dHn(x) =Rmg(y)#(f−1(y)∩ A)dHn(y)Chứng minh: Xem [F] 3.2.3, 2.3.5 ✷Ví dụ.(1) Độ dài đường cong: Cho γ : [a, b] → Rnlà đường cong, thỏa điều kiệnLipschitz. Khi đó theo công thức area, độ dài γ làH(γ([a, b])) =baγ(t)dt(2) Diện tích n-chiều của đa tạp: Cho M ⊂ Rmlà đa tạp n-chiều, lớp C1. Khiđó về mặt địa phương, mỗi điểm của M có tồn tại lân cận mở U trong Rnvàtham số hóa (ϕ, W, U), trong đó W là tập mở trong Rn, ϕ : W → Rmlớp C1và ϕ(W ) = M ∩ U. Theo công thức area, ta cóHn(M ∩ U) =Wdet(< Diϕ(x), ∆jϕ(x) >)1≤i,j≤ndx(3) Công thức (3) ở trên là mở rộng của công thức đổi biến.• Công thức co-area.Trường hợp tuyến tính: Cho λ : Rn→ Rmlà ánh xạ tuyến tính, với m ≤ n.Đồng nhất Rm= Rm× O, Rn−m= O × Rn−m⊂ Rn= Rm× Rn−m.Với p : Rn→ Rmlà phép chiếu chính tắc, theo công thức Fubini, ta cóHn(A) =RmHn−m(p−1(y)∩ A)dHm(y)Trường hợp λ toàn ánh, khi đó F = λ−1(0) là không gian vector con (n− m)-chiều. Vậy tồn tại g : Rn→ Rn∈ O(n), sao cho g(F ) = Rn−m, g(F⊥) = Rm.Dễ kiểm tra λ = σ ◦ p ◦ g, với σ : Rn−m→ Rn−mlà song ánh.93 Khi đó với A ⊂ Rn, ta cóHn(A) = Hn(g(A))=RmHn−m(p−1(y)∩ g(A))dHm(y)=RmHn−m(g−1◦ p−1(y)∩ A)dHm(y)=RmHn−m(g−1◦ p−1◦ σ−1(z) ∩ A)| det σ−1| dHm(z) (đổi biến y = σ(z))Vậy | det σ|Hn(A) =RmHn−m(λ−1(z) ∩ A)dHm(z).Mặt khác, λ ◦ λ∗= (σ ◦ p ◦ g) ◦ (σ ◦ p ◦ g)∗= σ ◦ σ∗.]Ta có công thức co-area cho trường hợp tuyến tính:√det λ ◦ λ∗Hn(A) =RmHn−m(λ−1(z) ∩ A)dHm(z), A ⊂ RnTrường hợp C1: Cho f : Rn→ Rmthuộc C1, và n ≥ m. Khi đó với mọiA ⊂ Rnlà tập đo được, ta cóAJf(x)dHn(x) =RmHn−m(f−1(y)∩ A)dHm(y)trong đó Jf(x) =det df(x) ◦ df(x)∗(Jacobi suy rộng khi n ≥ m).Định lý (Fedrerer 1959). Cho f : Rn→ Rmlà ánh xạ Lipschitz, và n ≥ m.Khi đó(1) Với mọi A ⊂ Rnlà tập đo được, ta cóAJf(x)dHn(x) =RmHn−m(f−1(y)∩ A)dHm(y)(2) Với mọi hàm u : Rn→ R, Hn- khả tích, ta cóRnu(x)Jf(x)dHn(x) =Rm(f−1(y)u(x)dHn−m(x))dHn(y)(3) Với mọi hàm g : Rm→ R, Hm- khả tích, ta cóAg(f(x))Jf(x)dHn(x) =Rmg(y)#(f−1(y)∩ A)dHn(y)Chứng minh: Xem [F] 3.2.11, 3.2.12 và 3.2.20. ✷94 Ví dụ.(1) Công thức co-area là mở rộng của định lý Fubini.(2) Định lý Sard yếu: áp dụng công thức (1) cho tập điểm kỳ dị A = {x ∈ Rn:Jf(x) = 0}. Khi đó vế trái bằng 0, vậy Hn−m(A ∩ f−1(y)) = 0 với Lm-hầukhắp nơi y ∈ Rm.(3) Công thức (3) ở trên là mở rộng của công thức đổi biến.• Công thức chiếu. Với m ∈ {1, . . . , n}, đặt Λ(n, m) là tập mọi hàm tăngtừ {1, . . . , m} vào {1, . . . , n}. Với mỗi λ ∈ Λ(n, m), tương ứng phép chiếupλ: Rn→ Rm, pλ(x1, . . . , xn) = (xλ(1), . . . , xλ(m)).Định lý Pythagore tổng quát: Nếu A là hộp bình hành m-chiều trong Rn,thìVolm(A)2=λ∈Λ(n,m)Volm(pλ(A))2Từ đó dùng công thức co-area, ta chứng minh được:Định lý (Federer) Cho A ⊂ Rnlà tập (Hm, m) - cầu phương được. Đặtaλ=Rm#(A ∩ p−1λ(y))dHm(y)Khi đó(λ∈Λ(n,m)aλ2)12≤ Hm(A) ≤λ∈Λ(n,m)aλChứng minh: Xem [F] 3.2.7. ✷• Công thức Cauchy-Crofton. Từ mối quan hệ giữa độ đo Hausdorff và độđo tích phân hình học, và cách biểu diễn của độ đo tích phân hình học, ta cócông thức sau:Định lý (Federer 1947). Cho m ≤ n. Nếu A ⊂ Rnlà tập (Hm, m) - cầuphương được, thìHm(A) = c(n, m)O∗(n,m)Rm#(A ∩ p−1(y))dHm(y)dθ∗n,m(p)trong đó c(n, m) =Γ(n+12)Γ(12)Γ(m+12)Γ(n−m+12), và Γ(s) =+∞0e−tts−1dt (s > 0).Chứng minh: Xem [F] 2.10.15 and 3.2.26. ✷95 Ví dụ. áp dụng công thức trên cho C ⊂ Rnlà đường cong khả trường,khi đó độ dài của C làH1(C) = c(n, 1)O∗(n,1)#(A ∩ p−1(y))dydθ∗n,1(p)• Tổng quát hóa. Các công thức trên có thể mở rộng trên không gian metrichay trên các đa tạp.Tài liệu đọc thêm.Federer H., Geometric measures theory, Springer-Verlag (1969)Krantz G.G và Parks H.R, Geometric Integration Theory, Birkh¨auser (2008)Lin F. và Yang X., Geometric Measure Theory - An Introduction, Science Pressvà Interational Press (2002)Morgan F., Geometric Measure Theory - A Beginer’s Guide, Academic Press(2000)Simon L., Lectures on geometric measure theory, Proceedings of the CentreMathematical Analalysis, Australian National University, Vol. 3 (1983)Tạ Lê LợiĐà lạt, tháng 3, năm 200996 . Tích phân hình học và biến phân nhiều chiềuKhi nghiên cứu một số vấn đề hình học ta cần các công cụ khác nhau để đokích. tích phân hình học (Favard 1932, Federer 1969). Khi F là họ mọitập con khác rỗng, và ζ = ζ4,t, cách xây dựng của Carathéodory cho ta độ đotích phân hình học