decuong on tap mon so hoc

8 493 3
decuong on tap mon so hoc

Đang tải... (xem toàn văn)

Thông tin tài liệu

Chuyên đề 1: chia hết trên tập hợp số nguyên Bài 1. a) Chứng minh rằng với n N thì 11 n+2 + 12 2n+1 133 b) Chứng minh rằng với n N thì 16 n - 15 n - 1 225 Giải: a) Đặt A = 11 n+2 + 12 2n+1 Ta có A = 121 . 11 n + 12 . 144 n = 11 n (133 - 12) + 12 (133 + 11) n = 11 n . 133 - 11 n . 12 + 12 (133a + 11 n ) với a Z = 11 n . 133 - 11 n . 12 + 12 . 133a + 12 . 11 n = 11 n . 133 + 12 . 133a = 133(11 n + 12a) 133 với n N b) Đặt B = 16 n - 15n - 1 ta có B = (16 n - 1) - 15n = 15 [(16 n-1 + 16 n-2 + . + 16 + 1) - n] = 15 [(16 n-1 - 1) + (16 n-2 - 1) + . + (16 - 1) + (1 - 1)] Vì 16 K - 1 16 - 1 hay 16 K - 1 15 với K N nên (16 n-1 - 1) + (16 n-2 - 1) + . + (16 - 1) 15 Suy ra 15 [(16 n-1 - 1) + (16 n-2 - 1) + . + (16 - 1)] 15 . 15 hay B 225 đpcm Chú ý: Có thể chứng minh theo phơng pháp quy nạp. Bài 2. Chứng minh rằng tổng lập phơng của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 9. Giải: Ta có: (n - 1) 3 + n 3 + (n + 1) 3 = 3 (n 3 + 2n) = 3(n 3 - n + 3n) = 3 [(n 3 - n) + 3n] = 3 [(n -1) n(n + 1) + 3n] = 3 (n - 1) n(n + 1) + 9n 9. Bài 3. Chứng minh rằng m là số nguyên lẻ thì: (m 3 + 3m 2 - m - 3) 48. Giải: Ta có:m 3 + 3m 2 - m - 3 = m 2 (m + 3) - (m + 3) = (m - 1) (m + 3) (m + 3) Nếu m = 2k + 1 thì m 3 + 3m 2 - m - 3 = 8k (k + 1)(k + 2) Vì k (k + 1) (k + 2) chia hết cho 6 nên 8k (k + 1) (k + 2) chia hết cho 48 Bài 4: Cho n N. Chứng minh: A = 6 2n + 19 n - 2 n-1 17 Giải: Ta có A = 36 n + 19 n - 2.2 n = (36 n - 2 n ) + (19 n - 2 n ) Vì 36 n - 2 n 34 nên 36 n - 2 n 17 (1) Và 19 n - 2 n 17 (2) Từ (1 ), (2) A = [(36 n - 2 n ) + (19 n - 2 n )] 17. 1 Bài 5. Chứng minh rằng: Với n Z thì n 3 + 11n 6. Giải: Ta có:n 3 + 11n = n 3 - n + 12n = n(n - 1) (n + 1) + 12n Vì 12n 6 n Z. Vậy n 3 + 11n 6 khi n (n - 1) (n + 1) 6 Mà n(n - 1) (n + 1) là 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3 và 2 nên n(n - 1) (n + 1) sẽ chia hết cho 6. Vậy n 3 + 11n n Z. Bài 6. Tìm số nguyên n, sao cho: (2n + 1) (n - 5) (1) Giải : (1) 2n - 10 + 11 n 5 2(n - 5) + 11 n 5 11 n - 5 n - 5 = 1 n = 6 n - 5 = -1 n = 4 n - 5 = -11 n = -6 n - 5 = 11 n = 16 Vậy để 2n + 1 n - 5 n bằng: -6, 4, 6, 16. Bài 7 Chứng minh rằng với n là số tự nhiên thì 9 2n + 14 5. Giải: Ta có:9 2n + 14 = 81 n - 1 + 15 5 khi 81 n - 1 5. Mà 81 n - 1 81 - 1 hay 81 n - 1 80 81 n - 1 5 Vậy 9 2n + 14 5, n N. Bài 8. Chứng minh rằng với n 1 thì 4 n + 15n - 1 9. Giải: Với n - 1, ta có: 4 1 + 15.1 - 1 = 18 9 Giả sử n = k, ta có: 4 k + 15k - 1 9 4 k + 15k - 1 = 9m, m Z (1) Với n = k + 1 : 4 k+1 + 15 (k + 1) - 1 = 4.4 k + 15k + 14 (2) Từ (1) 4 k = 9m - 15k + 1 thay vào (2) Ta có: 4 k+1 + 15(k + 1) - 1 = 4(9m - 15k + 1) + 15k + 14 = 36m - 45k + 18 9 Vậy 4 n + 15n - 1 9, n 1. Bài 9. Chứng minh rằng : 5 15 16 2+ chia hết cho 33. Giải: Ta có : 5 15 4 5 15 20 15 15 5 15 16 2 (2 ) 2 2 2 2 (2 1) 2 .33+ = + = + = + = Vì 33 chia hết cho 33 15 2 .33 33 M Vậy 5 15 16 2+ chia hết cho 33. Bài 10. Chứng minh rằng: a 3 - 13a 6, a Z và a > 1. Giải: Ta có :a 3 - 13a = (a - 1)a (a + 1) - 12a. (a - 1) a (a + 1) 6, a N 2 12a 6, a N Do đó: a 3 - 13a 6, a N. Bài 11. Chứng minh: 10 n + 18n - 28 27, với n 1. Giải: Với n = 1; ta có: 10 + 18 - 28 = 0 27 Giả sử n = k, ta có: 10 k + 18k - 28 27 10 k + 18k - 28 = 27m (m Z) 10 k = 27m - 18k + 28 (1) Với n = k + 1, ta có: 10 k+1 + 18(k + 1) - 28 = 10. 10 k + 18k - 10 (2) Thay (1) vào (2) ta đợc: 10 k+1 + 18(k + 1) - 28 = 10 (27m - 18k + 28) + 18k - 10 = 270m - 162k + 270 27. Vậy 10 n + 18n - 28 27 với n 1. Bài 12. Chứng minh tích của hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8. Giải: Nếu số chẵn nhỏ là a = 2k, k N Thì số chẵn liền sau là a + 2 = 2k + 2 = 2 (k + 1) Tích của chúng là: T = a(a + 2) = 2k . 2(k + 1) = 4k (k + 1) Vì k và k + 1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên ta có một số chia hết cho 2. Do đó: T = a (a + 2) = 4 . 2m = 8m với m N Vậy T 8. Bài 13. Chứng minh rằng: 14 97 12 128 2 256 + chia hết cho 48. Giải: Ta có: 14 97 12 98 97 96 96 2 96 92 4 92 14 97 12 128 2 256 2 2 2 2 (2 2 1) 2 .3 2 .2 .3 2 .48 48 (128 2 256 ) 48. + = + = + = = = +M M Chuyên đề 2: phơng trình nghiệm nguyên Bài 1. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: a) 12x-19y+21=0 Ta có: x= = 12 2119y 2y-3-5. 12 3 y (*) Đặt: 12 3 y = t Z y=12t+3, thay vào (*) Ta đợc: x=2(12t+3)-3-5t=19t+3 Vậy nghiệm của phơng trình là: x=19t+3 y=12t+3; t Z b) 2x+3y+4z=5 Ta có: 2x+3(y+z)+z=5, đặt y+z=t; x=u 2u+3t+z=5 3 z=-2u-3t+5 y=t-z=t-5+2u+3t=2u+4t-5 Vậy nghiệm của phơng trình là: x=u y=2u+4t-5 z=-2u-3t+5; t,u Z Bài 2. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x 2 +x+6=y 2 4x 2 +4x+24=4y 2 (2y) 2 -(2x+1) 2 =23 (2y-2x-1)(2y+2x+1)=23 (3) Từ (3) dẫn đến việc tìm nghiệm nguyên của các hệ phơng trình sau: 2y-2x-1=23 2y+2x+1=1 2y-2x-1=-23 2y+2x+1=-1 2y-2x-1=1 2y+2x+1=23 2y-2x-1=-1 2y+2x+1=-23 Giải 4 hệ trên ta đợc nghiệm của phơng trình là (x,y) {(5,6); (-6,-6); (-6,6); (5,-6)} Bài3. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x 3 -y 3 =2y 2 +3y+1 x 3 =y 3 + 2y 2 +3y+1 (4) Ta có: (y-1) 3 =y 3 -3y 2 +3y-1= y 3 + 2y 2 +3y+1-(5y 2 +2)< y 3 + 2y 2 +3y+1 (y+1) 3 =y 3 +3y 2 +3y+1= y 3 + 2y 2 +3y+1+y 2 y 3 + 2y 2 +3y+1 Do đó: (y-1) 3 <x 3 (y+1) 3 Gọi (x 0 ,y 0 ) là nghiệm nguyên của phơng trình đã cho Ta có: (y 0 -1) 3 <x 3 0 (y 0 +1) 3 Nên x 0 =y 0 hoặc x 0 =y 0 +1 - Nếu x 0 =y 0 , thay vào (4) ta đợc 2 y 3 0 +3 y 0 +1=0 nên y 0 =-1 (vì y nguyên) Do đó x 0 =-1. Vậy là - Nếu x 0 =y 0 +1, thay vào (4) ta đợc y 0 =0 nên x 0 =1. Vậy (1,0) là một nghiệm của ph- ơng trình Kết luận: Phơng trình đã cho có 2 nghiệm (-1,-1) và (1,0) Bài4. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: 6x 2 +5y 2 =74 Ta có: 5y 2 =74-6x 2 74 nên y 2 9 Mà y chẵn nên y 2 =0 hoặc y 2 =4 - Nếu y 2 =0 thì 6x 2 =74: Không có x thoả mãn - Nếu y 2 =4 thì 6x 2 =74-20=54 hay x 2 =9 nên x= 3 Vậy phơng trình đã cho có 4 nghiệm: (x,y) {(3,2); (-3,2) (3,-2) (-3,-2,)} Bài5. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: 2x+3y=xy+4 (2-y)x=4-3y (6) Dễ thấy y=2 không phải là nghiệm của phơng trình. Vậy y 2 (6) x= y y 2 34 = y y 2 2)2(3 =3- y 2 2 x Z y 2 2 Z 2-y là ớc của 2 Hay (2-y) { 1; 2} y {0;1;3;4} 4 Vậy nghiệm tập nghiệm của phơng trình là: (x,y) {(2;0), (1;1), (5;3), (4;4)} 1. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x 3 -y 3 =3xy+1 áp dụng hằng đẳng thức: a 3 +b 3 +c 3 -3abc=(a+b+c)(a 2 +b 2 +c 2 -ab-bc-ca) Ta có: x 3 -y 3 =3xy+1 x 3 + (-y) 3 +(-1)-3x(-y).(-1)=0 (x-y-1)( x 2 +y 2 +1 2 +xy-y+x)=0 x-y-1=0 hoặc x 2 +y 2 +1 2 +xy-y+x=0 x=y+1 hoặc (x+y) 2 +(x+1) 2 +(y-1) 2 =0 x=y+1 hoặc x=-1; y=1 Vậy nghiệm của phơng trình là: (-1,1) và (k+1,k) với k Z Bài 7 . Giải phơng trình tìm nghiệm nguyên: a) x 1 + y 1 = 3 1 (1) 3x + 3y = xy x = 3 3yxy x = 3 )3( xy y = 33 3 x x y = 3 + 3 9 x Do y nguyờn dng 3 9 x cng phi nguyờn dng (x - 3) l c > 0 ca 9 (x - 3) = {1 ; 3 ; 9} +) x - 3 = 1 x = 4 ; y = 12 +) x - 3 = 3 x = 6 ; y = 6 +) x - 3 = 9 x = 12 ; y = 4 - Vy pt cú cỏc cp nghim nguyờn l (x ; y) = (4 ; 12) ; (6 ; 6) ; (12 ; 4) b) x 1 + y 1 + z 1 = 2 (2) Do vai trũ bỡnh ng ca x, y, z, trc ht ta xột x y z. Ta cú : 2 = x 1 + y 1 + z 1 3. x 1 => x 2 3 => x = 1. Thay x = 1 vo (2) ta cú : y 1 + z 1 + 1 = 2 => 1 = y 1 + z 1 y 2 => y 2 => y = 1 => z 1 = 0 (vụ lớ) hoc y = 2 => z 1 = 2 => z = 2. Vy nghim nguyờn dng ca phng trỡnh (2) l cỏc hoỏn v ca (1 ; 2 ; 2). Bài 8 . Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: a) xy + x - 2y = 3 y(x - 2) = - x + 3. Vỡ x = 2 khụng tha món phng trỡnh nờn xy + x - 2y = 3 y = 2 )3( = x x y = -1 + 2 1 x Ta thy : y l s nguyờn tng ng vi x - 2 l c ca 1 hay x - 2 = 1 hoc x - 2 = -1 vi x = 1 hoc x = 3. T ú ta cú nghim (x ; y) l (1 ; -2) v (3 ; 0). b) 5x 7y = 15 5 b) Vì UCLN(5,15) = 5 nên phơng trình có nghiệm y chia hết cho 5 Đặt y = 5t (t Z) Thay y = 5t vào pt 5x 7y = 15 ta đợc x = 7t +5 Vậy PT 5x 7y = 15 có nghiệm tổng quát là: x = 7t +5 (t Z) y = 5t Bài 9. Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình: xy 2 + 2xy 243y + x = 0 x(y + 2y +1) 243y = 0 x(y + 1) 2 = 243y x = 2)1( 243 = y y (*) Ta thấy (y, y+1) = 1 (y+1) 2 là ớc của 243 mà 243= 3 5 Mặt khác (y+1) 2 là số chính phơng nên (y+1) 2 chỉ có thể là một trong các số sau: 1 2 ; 3 2 ; 3 4 + Nếu (y+1) 2 =1 y+1= 1 y= 0 x= 0. + Nếu (y+1) 2 = 9 y+1= 3 y= 2 x= 54 + Nếu (y+1) 2 = 81 y+1= 9 y= 8 x= 24 Bài 10. Giải Phơng trình với nghiệm nguyên 3x +17y=159 Giả sử x,y l các số thỏa mãn ph ơng trình trên , ta thấy *159 chia hết cho 3 * 3x chia hết cho 3 17y chia hết cho 3 y chia hết cho 3 Đặt y =3t ( t Z) thay v o PT ta cs 3x + 17.3t =159 x+17t =53 Do đó x=53 -17t y=3t Thay các biểu thức của x,y v o PT đ ợc nghiệm đúng Vậy nghiệm của phơng trinh là: x=53-17t (t Z) y=3t Chuyên đề 3: đồng d * Bài 1: Tìm d trong phép chia 1991 1991 cho 13 Hớng dẫn: Theo định lý Fecma ta có: 2 12 1 (mod 13) vì (2, 13) = 1 2 1991 = (2 12 ) 165 + 11 1. 2 11 (mod 13) 2 11 7 (mod 13) Nên 1991 1991 2 1991 (mod 13) 2 11 (mod13) 7 (mod 13) Vậy 1991 1991 chia cho 13 d 7 * Bài 2: Chứng minh rằng: 2 70 + 3 70 chia hết cho 13 Hớng dẫn: Ta có: (2, 13) = 1 (3, 13) = 1 Theo trờng hợp đặc biệt của định lý Fecma 2 12 1 (mod 13) 2 70 = (2 12 ) 5 . 2 10 2 10 (mod 13) 10 (mod 13) (1) 3 12 1 (mod 13) 3 70 = (3 12 ) 5 . 3 10 3 10 (mod 13) 3 (mod 13) (2) Từ (1) và (2) 2 70 + 3 70 0 (mod 13) hay 2 70 + 3 70 chia hết cho 13. * Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên a ta có: a). 2 a 1+ không chia hết cho 7. Xét pt 2 a 1 0 (mod 7)+ 2 2 a 1 0 (mod 7) a 6 (mod 7)+ Vì a nguyên nên không có giá trị của a để 2 a 6= . b). 2 a 2 không chia hết cho 13. 6 Xét pt 2 a 2 0 (mod13) 2 2 a 2 0 (mod13) a 2 (mod13) Vì a nguyên nên không có giá trị của a để 2 a 2= . * Bài 4. Tìm chữ số hàng chục của 2005 23 1 23 23(mod100) ; 2 23 29(mod100) ; 4 23 41(mod100) ( ) 5 420 2000 100 123 23 (mod100) 23 1 1(mod100) 2005 1 4 2000 23 23 23 23 23 41 1 43(mod100)ì ì ì ì Vậy chữ số hàng chục của 2005 23 là 4. * Bài 5. Giải phơng trình 5x 4(mod 11) (5;11) 1= nên có 1 k 5 1 4 k 1; 2;3; 4 = = Vậy 5x 4(mod 11) 5x 4 1.11(mod 11) 15(mod 11) + Vậy 5x = 15 x = 3 Vậy nghiệm ptrình x 3(mod 11) * B i 6: Giải phơng trình 7x 6(mod 13) Cách 1. 6x 6(mod 13)7x 6(mod 13) 6x 6 x 1 = = Vậy x 1(mod 13) x 12(mod 13) Cách 2. Nghiệm ptr (13) 1 .x 7 6(mod 13) Ta có: { } * 13 1; 2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12= Vậy (13) 12= hay (13) 1 13(1 ) 12 13 = = (13) 1 11 . .x 7 6(mod 13) x 7 6(mod 13) Ta có: ( ) 5 2 2 5 7 7(mod13);7 10(mod13); 7 10 4(mod13) Vậy 11 10 .7 7 7 4.7(mod13) 2(mod 13) Vậy 11 . .x 7 6(mod 13) x 2 6(mod 13) 12(mod 13) * B i 7 : Giải phơng trình 6x 27(mod 33) (6;33) 3 U(27)= 6x 27(mod 33) 2x 9(mod 11) 2x 9 11.1(mod 11) 2x 20(mod 11) x 10(mod 11) + Vậy ptr có 3 nghiệm là: x 10(mod 33) ; x 10 11(mod 33) 21(mod 33) + ; x 10 11.2(mod 33) 32(mod 33) + * B i 8 : Giải phơng trình 15x 25(mod 70) (15;70) 5 U(25)= Ta có: 15x 25(mod 70) 3x 5(mod14) 3x 5 14.2(mod14) 3x 33(mod14) + 3x 33 x 11 = = Vậy ptr có 5 nghiệm là: x 11(mod 70) ; x 11 14(mod 70) 25(mod 70) + ; x 11 14.2(mod 70) 39(mod 70); + x 11 14.3(mod 70) 53(mod 70) + ; x 11 14.4(mod 70) 67(mod 70) + * Bài 9. Tìm các nghiệm nguyên của phơng trình 31x 43y = 5. Ta giải ptr đồng d: 31x 5 (mod 43) 31x 5 (mod 43) -12x 5 (mod 43) -12x 5+43 (mod 43) -12x 48 (mod 43) x -4 (mod 43) x = -4 + 43t, t  7 Vậy 31x - 5 31(-4 + 43t) - 5 y = 43 43 3 31t= = + Nghiệm tổng quát ptr: x = -4 + 43t (t ) y = -3 + 31t  * Bài 10. Tìm các nghiệm nguyên của phơng trình 65x 200y = 7m + 24 (m số nguyên cho trớc). Ta có (65;200) 5= . Vậy để ptr có nghiệm nguyên thì 7m 24 0 (mod 5)+ 2m 6 0 (mod 5) m 3 (mod 5) m 3 5k,k = +  Vậy ptr đã cho 65x 200y 7(5k 3) 24 65x 200y 35k 45 13x 40y 7k 9 = + + = + = + Giải ptr đồng d: 13x (7k 9)(mod 40) 13x 39(7k 9)(mod 40) x 3(7k 9)(mod 40) + + + x ( 21k 27)(mod 40) x 12k 27 40t, t = +  13x 7k 9 13( 21k 27 40t) 7k 9 280k 360 13.40t y 7k 9 13t 40 40 40 + + = = = = + Vậy, m 5k 3, k= +  ptr có nghiệm tổng quát: x 12k 27 40t t y 7k 9 13t = + = +  m 5k, k=  ptr vô nghiệm. 8 . x Ta thy : y l s nguyờn tng ng vi x - 2 l c ca 1 hay x - 2 = 1 hoc x - 2 = -1 vi x = 1 hoc x = 3. T ú ta cú nghim (x ; y) l (1 ; -2) v (3 ; 0). b) 5x. 1 = 2 => 1 = y 1 + z 1 y 2 => y 2 => y = 1 => z 1 = 0 (vụ lớ) hoc y = 2 => z 1 = 2 => z = 2. Vy nghim nguyờn dng ca phng trỡnh (2) l

Ngày đăng: 29/09/2013, 20:10

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan