Xác suất thống kê –Chương 3 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 09020324 Bài 61: Đầu vào có phân phối đều trên khoảng [ -4d; 4d ] nên ta có: f X ( x)= { 1 8d n ế u x∈ [ −4d ;4d ] 0nế u khác Biến cố Z = X – q(X) có hàm phân bố xác suất trên khoảng [ -4d; 4d ] là: F Z (z)=P[ { X −q( X ) } ≤ z∨X ∈ [ −4d ;4d ] ] Trong đó q(X) có phân phối đều trên mọi khoảng thuộc [ −4d ;4d ] theo ví dụ 3.19 •Xét trong khoảng [ −4d;−3d ) : q(X) ánh xạ vào điểm −7d 2 , do đó: F Z (z)=P [ { X −q(X ) } ≤ z∨ X ∈ [ −4d ;−3d ) ] ¿ P [ { X + 7d 2 } ≤ z∨X ∈ [ −4d ;−3d ) ] ¿ P [ −d 2 ≤ z< d 2 ] ¿ 1 8 . z+ d 2 d = 1 8 . 2z+d 2d • Tương tự với các khoảng còn lại [ −3d ;−2d ) ,…, [ 2d ;3d ) , [ 3d ;4d ] : F Z (z)=P[ { X−q( X ) } ≤ z∨X ∈ [ −3d ;−2d ) ] =… ¿ P [ { X −q( X ) } ≤ z∨ X ∈ [ 3d ; 4d ] ] ¿ 1 8 . 2z +d 2d Suy ra trên toàn khoảng [ −4d ;4d ] ta có: F Z (z)= 2z+d 2d Từ đó, hàm mật độ f Z ( z) trên toàn khoảng [ −4d ;4d ] được xác định: f Z ( z)= d F Z (z) dz = 1 d = 1 d 2 − ( −d 2 ) 1 Trang 1 Xác suất thống kê –Chương 3 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 09020324 Vậy biến cố Z = X – q(X) có phân phối đều trên khoảng [ d 2 ;− d 2 ] . Bài 63: Đề sai?!? Bài 65: Do biến ngẫu nhiên rời rạc đều nên ta có : xác suất của các thành phần là n px k X P 1 )( == Kỳ vọng của bnn rời rạc: E(X)= 2 1 2 )1( .) 321()( 1 + = + ==++++= ∑∑ n p nn pipnxx n k X n k k P Phương sai của bnn rời rạc: VAR(X)= )(( 22 ) XEXE − = 2 )1 2 2 1 2 ( . + ∑ − n p i n = 12 1 ) 2 1 3 12 ( 2 )1( 4 ( 6 )12)(1( 2 2 )1 − = + − ++ =− ++ + n n nnnnn Bài 66. a. Tìm kỳ vọng và phương sai cảu biến ngẫu nhiên nhị thức Gọi X là biến ngẫu nhiên nhị thức S X = {0,1,2,…,n} ( 1 ) k k n k k n p C p q q p − = = − Giá trị kỳ vọng : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 ! ! !( )! 1 1 ! 1 ! 1 1 ! n k k n k n k n n n k k n k k k k n n k k k E X kC p q np n kn p q p q k n k n k n np p q n k − = − − − − − = = − − − − − = = − = = − − − − − = − − − ∑ ∑ ∑ ∑ Đặt j = k -1 ta có 2 Trang 2 Xác suất thống kê –Chương 3 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 09020324 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 0 0 1 ! ( ) 1 ! n n j n j j j n j n n j j n E X np p q np C p q np p q n j − − − − − − − − = = − = = = + − − ∑ ∑ mặt khác ta có q = 1- p Vậy E(X) = np. b.Tìm phương sai của biến ngẫu nhiên nhị thức Ta có VAR(X)= [ ] ( ) 2 2 2 2 E X E X E X np     − = −     ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 0 1 1 1 1 ! ! ! 1 ! 1 ! 1 1 n n k k n k k n k n k k n n k k k n E X k C p q k p q k n k n np k p q k n k − − = = − − − − −   = =   − − = − − − − ∑ ∑ ∑ Đặt j = k – 1 suy ra k = j + 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 1 1 1 1 1 0 0 0 1 ! 1 ! 1 ! n n n j n j j j n j j j n j n n j j j n E X np j p q np jC p q C p q j n j − − − − − − − − − − − = = =   −   = + = +     − −   ∑ ∑ ∑ Như vậy ta có giá trị tổng thứ nhất chính là giá trị kỳ vọng của biến X ( ) 1,n p β −: và tổng thứ hai thì bằng 1.Như vậy ta có ( ) 2 1 1E X np n p     = − +     Vậy thay vào ta có giá trị phương sai là VAR(X)= [ ] ( ) 2 2 2 2 E X E X E X np     − = −     Vậy suy ra VAR(X)= ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 (1 )np n p np np np np np np np np p npq   − + − = − + − = − = − =   b, Nếu X là số lần suất hiện mặt ngửa trong n lần tung đồng xu. Ta có nếu ta đặt j I là hàm chỉ tiêu của biến cố A(xuất hiện mặt ngửa) trong phép thử thứ j, thì khi đó ta có: 1 2 . n X I I I = + + + Nghĩa là X là tổng của các biến ngẫu nhiên Bernoulli tương ứng với mỗi phép thử trong n phép thử độc lập. Vậy suy ra E(X) = E(I 1 ) + E(I 2 )+…+E(I n ) = p + p + … + p = np. Vậy giá trị E(X) chính là kỳ vọng của biến ngẫu nhiên nhị thức. X là số lần xuất hiện thành công trong n phép thử Bernoulli và là tổng của n biến ngẫu nhiên Bernoulli độc lập, cùng phân phối. Bài 67. 3 Trang 3 Xác suất thống kê –Chương 3 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 09020324 a, Biến ngẫu nhiên poisson: P x = ! . x e x α α = S x = (0,1,2,3…) Biến ngẫu nhiên rời rạc kỳ vọng là: E(x) = ∑ ∞ = − 0 ! . . x x x e x α α Mà ∑ ∞ =1x P k =1= ∑ ∞ = − 0 ! . x x x e α α (1) Vậy E(x) = ∑ ∞ = − − 1 )!1( . x x x e α α = ∑ ∞ = −− − 1 1 1 )!1( . x x x e α α α = 1 α . ∑ ∞ = −− − 1 1 )!1( . x x x e α α = 1 α E(x 2 ) = ∑ ∞ = − 0 2 ! . x x x e x α α = ∑ ∞ = − −− 0 )!2).(1( . x x xx e x α α = ∑ ∞ = − −− +− 0 )!2).(1( .).11( x x xx ex α α = ∑ ∞ = − −− + 0 )!2.( . ). 1 1 1( x x x e x α α = ∑ ∞ = − − 0 )!2( . x x x e α α + ∑ ∞ = − − 0 )!1( . x x x e α α = αα + 2 Vậy theo tính chất V(x) = E(x 2 ) – [E(x)] 2 = αααα =−+ 22 b, Khi t. λα = => P k = ! .)( . x et tx α λ − => E(x) = ∑ ∞ = − 0 . ! .)( x tx x et x α λ => E(x) = t. λ Bài 71 Chứng minh rằng E[X] của biến ngẫu nhiên với hàm phân phối x x F x 1 1)( −= với x>1 là không tồn tại LG Ta có E[X] = ∫ +∞ ∞− dttt f x )( Mà x F f F f xxtt x x x x 2 1 )( ' )()( ' )( ==⇒= 4 Trang 4 Xác suất thống kê –Chương 3 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 09020324 ⇒ E[X] = ∫ ∫ ∫ +∞ ∞− +∞ ∞− +∞ ∞− −+∞=−∞−+∞= ∞− ∞+ === )1ln()ln()ln()ln()ln( 11 )( 2 xdx x dxxdxxx x f x Vì x>1 hay x ∈ ( 1 , + ∞ ) Ta có ln(+ ∞ ) không tồn tại vì vậy mà E[X] không tồn tại Bài 69 . Tìm kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên Gauss bắng cách tích phân trực tiếp các hệ thức (3.57) và (3.65) Ta có X là biến ngẫu nhiên với hàm mật độ xác suất Gauss có TB m và độ lệch tiêu chuẩn σ F x (x) = 1 2 πσ . 2 2 2. ( )x m e σ − − ( x−∞ < < +∞ ) Mà giá trị kỳ vọng E[X] = ( ) x x dx F +∞ −∞ ∫ → E[x] = 2 2 2 ( ) 1 . . 2 x m x e σ πσ +∞ −∞ − − ∫ dx = 2 2 2 ( ) 1 . 2 x m x dx e σ πσ +∞ −∞ − − ∫ Đặt x m z σ − = → x z m σ = + ; dx dz σ = → 2 2 1 ( ) ( ) 2 z E x z m dz e σ π +∞ −∞ − = + ∫ = 2 2 2 2 1 2 2 z z m z dz dz e e σ π π +∞ +∞ − −∞ −∞ − + ∫ ∫ 2 2 z dz e +∞ − −∞ ∫ = 2 π (Tích phân Poison) 5 Trang 5 Xác suất thống kê –Chương 3 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 09020324 → [ ]=0+ 2 2 m E x π π = m → [ ]=mE x + Phương sai 2 2 2 2 ( ) 1 [x]= . 2 ( ) x m V dx x m e σ σ π +∞ −∞ − − − ∫ Đặt 2 x m z − = → x – m = z. σ → dx = σ .dz 2 2 2 2 [x]= 2 z V dz e z π σ +∞ − −∞ → ∫ Đặt 2 2 ' . u z z v z e − =     =  → 2 2 ' 1u z v e − =     = −  2 2 2 2 2 2 [x]= . 2 2 z z V z dz e e π σ σ +∞ − −∞ − ∞ → + −∞ ∫ = 2 2 2 0 2 π π σ σ + = → σ x = [x]=V σ Bài 71 Bài 73 Chứng minh các hệ thức (3.68),(3.69)và (3.70) + hệ thức (3.68) VAR[c] = 0 Ta có E[c] = 0 E[cX] = cE[X] Mà VAR[X] = E[X 2 ] – E[X] 2 = E[X.X] – E[X].E[X] = =X.E[X] - E[X].E[X] Thay X = c 6 Trang 6 Xác suất thống kê –Chương 3 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 09020324 Ta được VAR[X] = c*c - c*c = 0 (dpcm) + hệ thức (3.69) VAR[X + c] = VAR[X] Xét Y = ax + b ⇒ bxbaxa Y 222 2 2 ++= E[Y] = aE[X] + b ⇒ E[X + b] = 1*E[X] + b ⇒ VAR[Y] = E[Y 2 ] – E[Y] 2 = E[ bxba X a 2 2 2 2 ++ ] - (aE[X] + b) 2 = )][2][(][2][ 2 2 22 2 2 bbaabba X a XEXEXEE ++−++ = E[X 2 ] – E[X] 2 = VAR[X] Thay Y = X + c vào ta được VAR[X + c] = VAR[X] (dpcm) + hệ thức (3.70) VAR[cX] = c 2 VAR[X] Đặt Y = cX ⇒ VAR[Y] = E[ Y 2 ] – E[Y] 2 = E[ X c 2 2 ] – [cE[X]] 2 = 2 2 2 2 ])[(][ XEE c X c − = = ][ 2 XVAR c (dpcm) Bài 74: Cho Y Acosωt c , ở đây A có kỳ vọng m và phương sai σ 2 , và ω và c là các hằng số. Tìm kỳ vọng và phương sai của Y. E ( Y ) =¿ ¿ E ( Acosωt c ) 7 Trang )][][( 22 2 XEXE c − 7 Xác suất thống kê –Chương 3 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 09020324 ¿ E ( Acosωt ) +E ( c ) ¿cosωt ∙ E ( A ) +c ¿m∙cos ωt+c VAR ( Y ) =¿ ¿VAR ( Acos ωt c ) ¿VAR ( Acos ωt ) +VAR ( c ) ¿ ( cosωt ) 2 VAR ( A ) ¿σ 2 ( cos ωt ) 2 Bài 75 Chi phí cho n lần tung là : nd $ Chi phí cho X lần ngửa là bXaX + 2 Chi phí cho n-X lần xấp là nd – ( bXaX + 2 )  Kì vọng cho tổng chi phí : E(X) = ∫∫ − +−++ Xn X dtbtatndtdtbtatt 0 2 0 2 )](.[).( = XnX btatndtbtat − −−++ 0 342 0 34 |) 342 (|) 34 ( = 3 )( 4 )( 2 )( 34 342 34 XnbXnaXnnd bXaX − − − − − ++ = 3 ])([ 4 ])([ 2 )( 33442 XnXbXnXaXnnd −− + −− + − 8 Trang 8 Xác suất thống kê –Chương 3 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 09020324 Nếu chi phí cho việc nhận đc X lần ngửa là X a với a>0 , giá trị kì vọng của chi phí là : E(X) = ∫ X t dtat 0 . Đặt u = t => du = dt a a vdvdta t t ln =⇒= dt a a a a tdtat X t X X t t ∫∫ −=⇒ 0 0 0 ln | ln = X tt a a a a t 0 2 |) ln ln .( − = ) ln 1 ( ln a X a a X − Bài 76 Ta có Y = abX với X là biến ngẫu nhiên Poisson E(Y) = ∑ 0 ∝ ab ω i i ! e −ω = ωab ∑ 1 ∝ ω i−1 (i−1)! e −ω đặt i-1 = k ta có E(Y) = ωab ∑ 0 ∝ ω k k ! e −ω = ωab Bài 77: Giới hạn tử Y = g(X) được xác định : Y = g(X) = { −a nế u X <−a X nế u−a ≤ X ≤ a n ế u X >a a Hàm mật độ của Y theo hàm mật độ của X : f Y (y)= { f X (−a)n ế u X <−a f X ( y)nế u−a ≤ X ≤ a 1− f X (a)n ế u X >a Kỳ vọng của giới hạn tử được xác định: E [Y ]=−a.f X (−a)+ ∫ −a a x . f X (x)dx +a. [ 1− f X (a) ] Phương sai: 9 Trang 9 Xỏc sut thng kờ Chng 3 Cao Thnh Lc - MAT1101 3 - 09020324 V [Y ]= a [ xE [Y ] ] 2 . f X (a) dx+ a a [ xE[Y ] ] 2 . f X ( x) dx+ a + [ xE [Y ] ] 2 . [ 1 f X (a) ] dx Bài 78: Hàm của C biến ngẫu nhiên ( ) + == aX -aX nếu nếu aX aX xh + X - a Biến cố { } y xảy ra khi { } + ax hay { } ayX với y 0 + X a Biến cố { } y xảy ra khi { } yaX hay { } ayX + với y 0 Vậy ( ) ( ) > = 0y nếu -a x với0ynếu 0 ayF yF X ( ) ( ) + < = 0y nếuF-1 a n với0y nếu X 0 ay yF Lấy đạo hàm theo y ta đợc. ( ) ( ) ( ) ( ) += = a x nếu -ax nếu 0y , 0y , ayfyf ayfyf x x Khi đó giá trị kỳ vọng của hàm thống nhất đợc xác định. [ ] ( ) ( ) += 0 dyayfayE X với X - a [ ] ( ) ( ) dyayfayE x + += 0 với x a Phơng sai: [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ++== 0 0 2 222 2 dyayfaydyayfnyEEVAR xx 10 Trang 10 [...]... - 1- =1- F Cao Thnh Lc - MAT1101 3 - 09 020 324 1 1 2 1 c 1 (1 ) + 2 c 1 1 e2 2 2 1 c 1 (1 ) + c c2 2 2 2 e (c) + 2 2 2 2 c2 2 2 2 e (c) + 2 2 + 2 ] ] 1 c 1 (1 ) + c 2 2 + 2 c 2 2(1 ) c 1 e2 2 1 2 2 2 2 ( c 2 + 2 ) (1 ) c 2 2 =1Cn chebyshev E[X]=m=0 VAR[X]= P[|X-m| c 2 2 c 2 ]= Bi 82 Cho X l s ln thnh cụng trong n phộp th... vic dựng nh lý moment cho hm c trng cho trong Bng 3 .2 2 2 X ( x )=e Hm c trng: iwm w 2 22 ' X 2 (w)=( w)e iwm w 2 'X (0)= ' X (0) E [ X ]= = =m i i K vng: 22 22 w w iwm iwm ' 2 2 22 2 X (w)= e +( w) e ' 22 2 X (0)= +i m 22 2 2 +i m 2 2 E[ X ]= 2 = +m i Phng sai: V[X]=E[X2]E[X ]2= 2+m2m2 =2 Bi 91 Gi s hm c trng ca bin ngu nhiờn Cauchy c gii thiu bi 72 l Khi ú : e 17 17 Trang Xỏc sut thng kờ Chng 3... Xỏc sut thng kờ Chng 3 Cao Thnh Lc - MAT1101 3 - 09 020 324 E [ X ] = 'x ( 0 ) / j = m.(1) + Lấy đạo hàm hai lần ta có: ( ) "x ( ) = 2 e jm 2 2 / 2 + e jm 2 2 / 2 ( jm 2 2 / 2 ) 2 Môment cấp 2 bằng: [ ] EX 2 2 + j 2m2 2 = ( 0) / j = = + m 2 = 2 + m 2 ( 2 ) 2 2 j " x 2 Phơng sai của X: [ ] VAR[ X ] = E X 2 E [ X ] = 2 + m 2 m 2 = 2 2 Bi 90 Tỡm k vng v phng sai ca bin ngu nhiờn Gauss... R(t)=R1(t).R2(t)R2(t).R3(t)=R1(t).R3(t) [ ][ ] t t t t /2 t t /2 1 2 e dt 1 2 e dt 0 0 2 2 2 2 2 2t2 2 2 2 2 2 2 2 t /2 t /2 t /2 t /2 t /16 0 () 1 + e =e e =e e Thi gian hng trung bỡnh: + 2 2 2 R(t)dt= et /2 et /16 dt 0 + E(T)= 0 Bi 110: Tỡm tin cy v thi gian trung bỡnh hng ca h thng : a Thi gian sng trung bỡnh ca b x lý l bin ngu nhiờn m vi kỡ vng 5 E[T]=1/=5 =1/5 Ta cú hm mt xỏc sut: 26 26 Trang Xỏc sut thng kờ Chng... R2R3 - Th2: ch cú 2 thnh phn ging nhau chy Rht2 = R2(1 R3) - Th3: ch cú thnh phn th 3 v 1 trong 2 thnh phn cũn li chy Rht3 = 2RR3(1- R) Suy ra Rh thng = Rht1 +| Rht2 + Rht3 t e Vi R = e v R3 = Suy ra Rh thng = 3( = 3[R2R3 + R2(1 R3) + 2RR3(1- R)] = 3 (R2 + 2RR3 2R2R3 ) t 2 t t 2t t 2 2t 2 e +2e e 2e e ) 3t 5t 2t 2 2 e +e e ) = 3( Vy thi gian trung bỡnh b hng l: E(T) = R(t )dt 3(e2t+e 2 e 2 )dt 0... ( c + m) Ta cú: X x 2 x 1 2 e x 2 2. dx P[ ]= Da vo cụng thc tớch phõn 1 2 Q(x)= Vi a=1 ( x) = 1 e t 2 =[ b= e x 2 2 ] 2 e t 2 2 dt Vi Vy =1- 1 2 (1 a ) x + a x + b 2 -Q(x) ( x) = P[ dt 0 x X x 1 2 ]= 1 2 x 2 e x 2 2. dx 1 1 2 1 x 1 (1 ) + x2 e 2 2 2 x + 2 2 13 13 Trang Xỏc sut thng kờ Chng 3 P({|X-m| c }) =1+ [ =1+ 1- [ X ( c ) F X (c ) 1 1 2 1 c 1 (1 ) +... 3(e2t+e 2 e 2 )dt 0 = 3t 5t 0 3t 5t 1 2t 3 2 2 2 = 3( 2 e 0 2 e 0 +5 e 0 ) 1 3 2 + = 3( 2 2 5 ) = 24 5 Bi 109: Phõn phi Rayleigh: t t /2 f T (t)= 2 e 2 2 Vi t0,>0 Thi gian sng trung bỡnh ca cỏc thnh phn cú giỏ tr k vng bng 1 nờn ta cú: a) E[X]=1 hay 2 =1= 2 25 25 Trang Xỏc sut thng kờ Chng 3 Cao Thnh Lc - MAT1101 3 - 09 020 324 Khi ú: t f T (t)= et /4 2 2 Cỏc thnh phn ca h thng b hng mt cỏch... thng 2 = R3 + 3R2 3R3 = 3R2 2R3 =3 2t e -2 3t e =3 e 2t -2 3t e (do = 1) Suy ra thi gian trung bỡnh b hng : = = E(T) R(t )dt 3 2t e 2 0 0 = + (3e2t2e3t)dt 0 2 3t e 3 0 24 24 Trang Xỏc sut thng kờ Chng 3 Cao Thnh Lc - MAT1101 3 - 09 020 324 3 2 = - 2 3 = 5 6 b, nu mt trong cỏc thnh phn cú kỡ vng l 2 thỡ: + cú 3 cỏch chn thnh phn cú kỡ vng l 2 gi s ta chn R3 - Th1: c 3 thnh phn u chy Rht1 = R2R3... R(t)=R1(t).R2(t)R2(t).R3(t)=R1(t).R3(t) Trong ú R1(t), R2(t) , R3(t ) l tin cy ca cỏc thnh phn ca h thng Khi ú: [ ][ ] t t t t R(t)= 1 et /4dt 1 et /4dt 02 02 2 2 t2 ( ) 1+et /40 =et /2 2 2 Thi gian hng trung bỡnh: + t 2/ 2 R(t)dt= e dt 0 + E(T)= 0 Thi gian sng ca mt trong cỏc thnh phn cú giỏ tr k vng bng 2, khi ú: b) E[X] =2 hay 2 8 =2= 2 = 2 Tng t ta cú tin cy ca h thng l: R(t)=R1(t).R2(t)R2(t).R3(t)=R1(t).R3(t)... 1 2 1 4 1 p3 = 23 = 8 1 p4 = 24 = 16 1 p5 = 25 = 32 1 p6 = 26 = 64 1 p7 = 27 = 128 1 p8 = 27 = 128 p2 = 22 = Hm khi lng xỏc sut ca bin ngu nhiờn X cho dóy cỏc cõu hi trong hỡnh 3.36(a) l tin li nht l: p = ( p1 , p2 , p3 , p4 , p5 , p6 , p7 , p8 ) 1 1 1 1 1 1 1 1 =( , , , , , , , ) 2 4 8 16 32 64 128 128 Bi 141: BNN X cú S X={1 ,2, 3, 4,5,6} v hm khi lng xỏc sut (38 ,38,18 ,161 , 321 , 321 ) Entropy ca . σσ 2 1 )1( 1 2 1 ) 1 1( 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 cc e cc c =1-               −+ − − − σ π σπ π σ π σ πσ 2 2 2 2 2 2 )1( )2( 1 )1 (2 2 2 1 2 2 cc. Y 22 2 2 2 ++= E[Y] = aE[X] + b ⇒ E[X + b] = 1*E[X] + b ⇒ VAR[Y] = E[Y 2 ] – E[Y] 2 = E[ bxba X a 2 2 2 2 ++ ] - (aE[X] + b) 2 = )] [2] [(] [2] [ 2 2 22 2 2