Đang tải... (xem toàn văn)
Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
Mục lục1 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giácLời mở đầuTrong chương trình Toán học ở trung học phổ thông, lượng giác là mộttrong những mảng kiến thức rất cơ bản và quan trọng. Phần kiến thức nàykhá đồ sộ với những công thức lượng giác, những mối liên quan ràng buộcgiữa góc, cạnh và các yếu tố khác. Chính vì vậy việc giải các bài toán lượnggiác thực sự gây nhiều lúng túng và khó khăn cho học sinh, thậm chí cảgiáo viên. Hơn nữa các bài toán lượng giác lại đóng vai trò lớn trong đờisống, giải tích và hình học. Do đó nhu cầu tìm hiểu sâu hơn về các vấn đềcủa lượng giác đã và đang hấp dẫn các bạn trẻ yêu Toán.Theo mô hình dạy học tích cực hiện nay là lấy người học làm trung tâm,người thầy đóng vai trò là người tổ chức các hoạt động nhằm hướng dẫn họcsinh tự lĩnh hội kiến thức. Chính vì vậy hành trang của chúng tôi - nhữngsinh viên sư phạm chuẩn bị tốt nghiệp và sẽ là những người trực tiếp giảngdạy không thể thiếu được đó là sự nghiên cứu để soạn được những bài giảngdẫn dắt học sinh hiểu, nắm chắc kiến thức và vận dụng chúng một cách linhhoạt để tự giải được các bài tập Toán.Vì vậy, thầy giáo hướng dẫn đã đặt đề tài cho chúng tôi là:"Các bàigiảng bổ sung về đẳng thức lượng giác". Đó là công việc biên soạn một sốbài giảng về đẳng thức lượng giác cho đối tượng học sinh khá và giỏi ở trunghọc phổ thông.Lược đồ xuyên suốt của mỗi bài giảng là cách đặt vấn đềcho học sinh từ dễ đến khó,các bài toán có sắp xếp thứ tự từ đơn giản đếnphức tạp và mang tính sư phạm cao. Tôi nhận thấy đây là một đề tài rấtthiết thực, hữu ích, tạo điều kiện cho chúng tôi không những làm quen vớiphương pháp sư phạm mà còn bước đầu tạo cơ sở để chúng tôi có nhữngkinh nghiệm trong công tác giảng dạy lâu dài.Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác" gồm 5 bài giảng:Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng2Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giácBài giảng số 1: Biến đổi lượng giácBài giảng này nhằm giới thiệu các công thức lượng giác đồng thời củngcố và hoàn thiện các biến đổi lượng giác cơ bản cho học sinh.Nội dung bàigiảng gồm những bài toán với mức độ khó dần lên sẽ giúp học sinh luyệntập một cách đầy đủ các biến đổi lượng giác.Bài giảng số 2: Định lý hàm số sin và định lý hàm số côsinĐịnh lý hàm số sin và định lý hàm số côsin là hai định lý cơ bản, đượcsử dụng rất nhiều trong các bài toán lượng giác, Cái hay của bài giảng nàyở chỗ các bài toán đưa ra thể hiện mối liên hệ giữa các cạnh, các goc vàmột số yếu tố trong tam giác. Đặc biệt nhờ có các định lý này mà chúng tabiết đến những bài toán nổi tiếng như hệ thức Stioa,điểm Broca, công thứcBrahmagupta’s.Bài giảng số 3: Nhận dạng tam giácNhận dạng tam giác là dạng toán lượng giác rất quen thuộc với học sinhtrung học phổ thông. Song,bài giảng này lại hấp dẫn học sinh nhờ sự phânchia thành hai bài giảng nhỏ về các ví dụ loại 1 và loại 2, giúp học sinh hệthống và nắm chắc hơn kiến thức lượng giácBài giảng số 4: Tổng và tích hữu hạn các hàm lượng giácBài giảng này mang đến cho học sinh sự khéo léo biến đổi các công thứclượng giác tìm ra quy luật tính tổng và tích hữu hạn của các hàm lượnggiác.Các bài toán trong bài giảng giúp học sinh khắc sâu kiến thức lượnggiác hơn nữaBài giảng số 5:Ứng dụng lượng giácLượng giác có ứng dụng nhiều trong đại số(giải phương trình, bất phươngtrình, hệ phương trinh đại số), trong giải tích và hình học.Bài giảng số 5xem xét một vài ứng dụng như thế của lượng giác.Mặc dù vậy, trong khuôn khổ một khóa luận tốt nghiệp với năng lực cánhân còn hạn chế cũng như thời gian hạn hẹp, chúng tôi không hy vọng giảiGv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng3Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giácquyết được hết các mục tiêu đề ra và cũng không tránh khỏi những thiếusót, rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn.Hà Nội, ngày 19/5/2007Sinh viên :Nguyễn Thị ThuGv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng4Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giácBài giảng số 1:Biến đổi lượng giácMuốn giỏi về lượng giác, học sinh phải thuộc tất cả các công thức và vậndụng được nó một cách linh hoạt, đồng thời phải thành thạo các phép biếnđổi cơ bản. Trong bài giảng này chúng ta sẽ đưa ra một số bài toán để họcsinh luyện tập tốt các công thức lượng giác. Sự luyện tập này rất cần thiếtđể học sinh có đủ kĩ năng và trình độ để giải quyết các bài toán khó trongcác bài giảng sau.Bài giảng gồm 5 tiết và phần bài tập:§1: Hệ thức cơ bản của lượng giác§2:Công thức cộng cung§3: Hàm số lượng giác của những góc bội§4:Biến đổi tổng thành tích và tích thành tổng§5: Sử dụng định lý Viet bậc 3Bài tậpGv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng5Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác§1: Hệ thức cơ bản của lượng giác1) sin2α + cos2α =1 ∀α2) 1+tg2α =1cos2α3) 1+cotg2α =1sin2αBài toán 1.1Biết sin α + cos α = m. Hãy tính theo m các biểu thức sau:1) A = sin3α + cos3α2) B = sin7α + cos7αBài giải1)A = sin3α + cos3αTừ giả thiết suy ra: m2= (sin α + cos α)2= 1 + 2 sin α. cos α⇒ sin α. cos α =m2− 12Ta có A = (sin α + cos α)3− 3 sin α. cos α(sin2α + cos2α)⇒ A = m2− 3(m2− 12)2)B = sin7α + cos7α⇒ B = (sin3α + cos3α)(sin4α + cos4α) − sin3α. cos3α(sin α + cos α)Ta có sin4α + cos4α = (sin2α + cos2α)2− 2 sin2α. cos2α=1− 2 sin2α. cos2αGv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng6Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác=1−12(m2− 1)2Vậy B =[m3− 3(m2− 12)].[1 −12(m2− 1)2] − m.(m2− 12)3*Chú ý: ∀k ∈ Z+sinkα + coskα đều có thể tính theo m.Bài toán 1.2Biết rằng (sin α + cos α) hữu tỉ.Chứng minh rằng ∀n ∈ Z+sinnα + cosnα cũng là hữu tỉBài giảiChứng minh quy nạpVới n=1: (sin α + cos α) hữu tỉ.Với n=2: (sin2α + cos2α)=1 hữu tỉ.Giả sử khẳng định bài toán đã đúng đến n ∈ Z+nghĩa là: sinnα+cosnαlà hữu tỉ.Ta chứng minh sinn+1α + cosn+1α là hữu tỉ.Thật vậy, ta có:sinn+1α + cosn+1= (sinnα + cosn)(sin α + cos α)−− sin α. cos α(sinn−1α + cosn−1α)Theo giả thiết quy nạp:(sin α + cos α); (sinn−1α + cosn−1); (sinnα + cosn) là các số hữu tỷMà sin α. cos α =(sin α + cos α)2− 12⇒ sin α. cos α là số hữu tỷSuy ra sinn+1α + cosn+1là số hữu tỷ ⇒ĐpcmVậy sinnα + cosnα là số hữu tỉ.Bài toán 1.3Biết sin α − cos α =1. Hãy tínhA = sin3α + cos4αGv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng7Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giácBài giảiTừ giả thiết: sin α − cos α =1 bình phương hai vế ta được:sin α. cos α =0⇔cos α =0 ⇒ sin α =1⇒ sin3α + cos4α =1sin α =0⇒ cos α = −1 ⇒ sin3α + cos4α =1Vậy A=1Bài toán 1.4Biết 3 sin4α + 5 cos4α =5. Hãy tính giá trị củaB = 5 sin4α + 3 cos4αBài giảiTừ giả thiết: 3 sin4α + 5 cos4α =5⇒ 3 sin4α + 5(1 − sin2α)2=5⇒ 3 sin4α + 5 + 5 sin4α − 10 sin2α − 5=0⇒ 8 sin4α − 10 sin2α =0⇒ sin2α(4 sin2α − 5) = 0⇔sin2α =54> 1(loi)sin2α =0 ⇒ cos2α =1⇒ 5 sin4α + 3 cos4α =5.0+3.1=3Vậy B=3Bài toán 1.5Biết1cos x− tgx =2. Hãy tính giá trị củaC =1cos x+ tgxBài giảiTa có 1+tg2α =1cos2α⇔1cos2α− tg2α =1⇔ (1cos α− tgα)(1cos α+ tgα)=1Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng8Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác⇔ (1cos α+ tgα)=1(1cos α− tgα)=12Bài toán 1.6Ký hiệu fk(x)=1k(sinkx + coskx). Chứng minhrằng:f4(x) − f6(x)=112∀xBài giảiTa có:f4(x)=14(sin4x + cos4x)=14[(sin2x + cos2x)2− 2 sin2x cos2x]⇒ f4(x)=14(1 −12sin22x)=14−18sin22xf6(x)=16(sin6x + cos6x)=16[(sin2x + cos2x)3− 3 sin2x cos2x(sin2x + cos2x)]⇒ f6(x)=16(1 − 3 sin2x cos2x)=16−18sin22x⇒ f4(x) − f6(x)=112∀xGv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng9Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác§2: Công thức cộng cung1) cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b2) cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b3) sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a4) sin(a− b) = sin a cos b − sin b cos a5) tg(a + b)=tga + tgb1 − tgatgb6) tg(a − b)=tga − tgb1+tgatgb7) cotg(a + b)=cotga.cotgb − 1cotga + cotgb8) cotg(a − b)=cotga.cotgb +1cotgb − cotgaBài toán 1.7Tính giá trị của1) cosπ122) tgπ8Bài giải1) Ta có: cosπ12= cos(π4−π6) = cosπ4cosπ6+ sinπ4sinπ6=√6+√242) Ta có: tgπ8= tg(π4−π8)=tgπ4− tgπ81+tgπ4tgπ8=1 − tgπ81+tgπ8⇔ 1 − tgπ8= tgπ8+ tg2π8⇔ tg2π8+2tgπ8− 1=0Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng10Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 [...]... Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác Đối với đẳng thức còn lại, ta làm tương tự hoặc dùng phép đổi biến a = π − x 2 π b= −y 2 π c = − z 2 Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 30 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác Sử dụng định lý Viet bậc 3 §5: Định lý Viet: Xét... x3 = − d a Đây là hệ thức liên quan giữa các nghiệm của phương trình bậc 3 Kết hợp với các hằng đẳng thức trong đại số chúng ta có thêm các đẳng thức của các nghiệm như sau: (∗) 1 1 1 x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 + + = x1 x2 x3 x1 x2 x3 c c = a =− d d − a Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 31 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác (∗) x2 + x2 + x2... Vậy Bài toán 1.11 tg10 là số vô tỷ ABC có tgA,tgB,tgC là các số nguyên dương Hãy tính tgA,tgB,tgC Bài giải Giả sử A≤B≤C ⇒ A ≤ 600 √ ⇒ 0 < tgA ≤ 3 ⇒ tgA = 1 ⇒ A = 450 ⇒ B + C = 1350 ⇒ −1 = tg(B + C) = tgB + tgC 1 − tgBtgC ⇒ (tgB − 1)(tgC − 1) = 2 ⇒ Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng tgB = 2, tgC = 3 12 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác Bài. .. 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác Các đẳng thức đã được chứng minh 3 cos A + cos B + cos C + cos(A + B + C) = B+C C +A A+B cos cos = 4 cos 2 2 2 π A π B π C ⇒ cos A + cos B + cos C + cos(π) = 4 cos( − ) cos( − ) cos( − ) 2 2 2 2 2 2 C A B ⇒ cos A + cos B + cos C − 1 = 4sin sin sin 2 2 2 B C A ⇒ cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sin sin sin 2 2 2 Bài toán 1.21 Biết ... b cos a − cos b = −2 sin 2) Công thức biến đổi tích thành tổng 1 cos a cos b = [cos(a − b) + cos(a + b)] 2 1 sin a sin b = [cos(a − b) − cos(a + b)] 2 1 sin a cos b = [sin(a − b) + sin(a + b)] 2 Bài toán 1.19 Tính các tổng sau: Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 20 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp 1 cos 2 cos Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác 3π π + cos 5 5 π 2π 3π − cos... dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 11 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác √ √ tg(a + b) − tg(a − b) 5− 3 √ = tg2b = tg[(a + b) − (a − b)] = 1 + tg(a + b)tg(a − b) 1 + 15 tg10 Bài toán 1.10 Chứng minh là số vô tỷ Bài giải tg10 Giả sử phản chứng: là số hữu tỷ Áp dụng công thức: tg2α = 2tgα 1 − tg 2 α ta suy ra tg20 , tg40 , tg80 , tg160 , tg320 là số... 2ab + b2 a2 Bài giải Từ giả thiết ta có: 2 sin α + β cos α − β = a 2 2 2 cos α + β cos α − β = b 2 2 α+β a ⇒ tg( )= 2 b Từ công thức biểu diễn theo tg của góc chia đôi: a 2tg 2 sin a = a ta có: 2 1 + tg 2 a 2 2ab b sin(α + β) = = 2 a 2 a + b2 1+ b Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 26 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác Bài toán 1.22... 4 cos 3a + 3 cos a 4 Bài toán 1.13 Chứng minh rằng: ∀x : cos3 x sin x − sin3 x cos x = Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 14 1 sin 4x 4 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác Bài giải Ta có: cos3 x sin x − sin3 x cos x = = 1 1 cos2 x sin 2x − sin2 x sin 2x 2 2 1 1 1 sin 2x(cos2 x − sin2 x) = sin 2x cos 2x = sin 4x 2 2 2 Bài toán 1.14 Chứng minh... 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác ⇒ cos x cos y cos z = 0 Không mất tổng quát, giả sử cos x = 0 ⇒ cos y + cos z = 0 ⇒ cos y = − cos z Khi đó: cos 2x cos 2y cos 2z = (2 cos2 x − 1)(2 cos2 y − 1)(2 cos2 z − 1) = −1(2 cosy −1)2 ≤ 0 Vậy cos 2x cos 2y cos 2z ≤ 0 Bài toán 1.18 Chứng minh rằng: (4 cos2 90 − 3)(4 cos2 270 − 3) = tg90 Bài giải Từ công thức cos 3a = 4 cos3 a... − =0 2 Theo định lý Viet ta có hệ thức: t1 t2 + t2 t3 + t3 t1 = ⇒ cos −3 c = a 4 9π 9π 17π 17π π −3 π cos + cos cos + cos cos = 12 12 12 12 12 12 4 −3 Vậy P = 4 Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 35 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác Bài toán 1.27 Chứng minh rằng: tg 6 200 + tg 6 400 + tg 6 800 = 33273 Bài giải Ta có: 3tgα − tg 3 α tg3α . tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giácBài giảng số 1: Biến đổi lượng giácBài giảng này nhằm giới thiệu các công thức lượng giác đồng thời. nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giácBài giảng số 1:Biến đổi lượng giácMuốn giỏi về lượng giác, học sinh phải thuộc tất cả các công thức và
