Đang tải... (xem toàn văn)
Cơ sở logic toán của các phép chứng minh toán học cơ bản và áp dụng chứng minh các bài toán phổ thông
đại học Thái Nguyêntrờng đại học s phạmkhoa toántrần thị thu lanCơ sở logic toán của các phép chứng minh toán học cơ bản và áp dụng chứng minh các bài toán phổ thôngChuyên ngành: Đại sốluận văn tôt nghiệp đại họcNgời hớng dẫn khoa họcTh. s. Nông Đình TuânThái Nguyên 20071 Chơng 1: Cơ sở chứng minh toán học.1.1. Vị từ n ngôi.Giả sử M , B ={0,1}*Vị từ n ngôi xác định trên M là ánh xạ f: Mn B sao cho a = (a1,a2, .,an)Mnf(a) có giá trị bằng 1 thì f(a) là mệnh đề đúng; f(a) có giá trị bằng 0 thì f(a) là mệnh đề sai.Kí hiệu: f(x1,x2, .,xn)Vị từ n ngôi xác định trên M cho ta một quan hệ n ngôi trên M.* Ví dụ: f(x1,x2, .,xn) = 1 21 2 nnnx x xx x xn+ + +, xiR là một vị từ n ngôi trên R.* Vị từ thừa nhận đợc trên tập M:Cho f(x1,x2, .,xn) xác định trên M, ta gọi:Df ={a = (a1,a2, .,an)Mn | f(a) = 1}Df = thì ta nói f không thừa nhận đợc trên M.Df thì ta nói f là vị từ n ngôi thừa nhận đợc trên M.Df = Mn Khi đó vị từ f(x1,x2, .,xn) là hằng đúng trên M.f gọi là một luật logic trên M.* Hai vị từ f(x1,x2, .,xn) và g(x1,x2, .,xn) xác định trên cùng tập M gọi là tơng đơng công thức. Kí hiệu: f(x1,x2, .,xn) g(x1,x2, .,xn) nếu và chỉ nếu chúng cùng nhận một giá trị nh nhau với mọi a = (a1,a2, .,an) Mn Tức là: f | a = g | a a Mn * Ví dụ: Các vị từ x2 + y20 và (x + y)20 là tơng đơng trên R. 2 1.2.Công thức trong logic vị từ.Giả sử x,y,z, ,x1,y1,z1, , là kí hiệu của các biến đối tợng f, g, h, , là kí hiệu của các vị từ. Các kí hiệu của vị từ còn gọi là các biến vị từ. 1.2.1.Các công thức của logic vị từ đợc định nghĩa nh sau.(i) Các biến mệnh đề, các hằng là những công thức.(ii) Nếu f là một biến vị từ n ngôi và x1, ,xn là các biến đối tợng thì f(x1,x2, .,xn) là một công thức.(iii) Nếu f, g là những công thức thì f,f g, f g, f g, fg là những công thức.(iv) Nếu f là một công thức chứa biến tự do x thì xf, xf là những công thức. f gọi là miền tác dụng của các lợng từ và .Chỉ những biểu thức đợc xác định theo (i), (ii), (iii) và (iv) là những công thức. * Ví dụ: ( y(x f(x) g(y)) h) là một công thức.Miền tác dụng của lợng từ theo biến x là f(x), còn miền tác dụng của l-ợng từ theo biến y là x f(x) g(y).1.2.2.Giá trị của công thức vị từ.a. Bảng giá trị công thức của flà:f | af| a0 11 0b. Bảng giá trị công thức của f g là:f | a g | af g | a0 0 03 0 1 01 0 01 1 1c. Bảng giá trị công thức của f g là:f | a g | af g | a0 0 00 1 11 0 11 1 1d. Bảng giá trị công thức của f g là: f | a g | af g | a0 0 10 1 11 0 01 1 1e. Bảng giá trị công thức của f g là:f | a g | a f g | a0 0 10 1 01 0 01 1 11.2.3.Công thức hằng đúng, hằng sai.4 Giả sử f = f(x1,x2, ,xn) là công thức mệnh đề phụ thuộc n biến. Nếu a = (a1,a2, ,an) Mn mà f | a = 1 thì ta nói f là một công thức hằng đúng. Kí hiệu: |= f.Nếu a = ( a1,a2, ,an) Mn mà f | a = 0 thì ta nói f là một công thức hằng sai. 1.2.4. Các lợng từ.1.2.4.1. Đặt lợng từ phổ biến trớc vị từ n ngôi.Giả sử f(x1,x2, .,xn) là vị từ n ngôi trên M.Nếu ta đặt lợng từ phổ biến trớc biến x1 ta đợc một vị từ n 1 ngôi trên M. Kí hiệu: x1 f(x1,x2, .,xn).(a2, .,an)Mn 1 ta có x1 f(x1,a2, .,an) là mệnh đề.x1 f(x1,a2, .,an) =10 Biến x1 gọi là biến rằng buộc, các biến còn lại gọi là biến tự do.* Cho 1i n ,xi f(x1,x2, .,xn) là một vị từ n 1 ngôi trên M của các biến x1, x2, ., xi-1, xi+1, ., xn. (a1,a2, .,ai-1, ai+1, .,an)Mn 1 ta có f(a1,a2, .,ai-1, xi,ai+1, .,an) là vị từ một ngôi trên M.xi f(a1,a2, .,ai-1 ,xi,ai+1, .,an) là mệnh đề.xi f(a1,a2, .,ai-1 ,xi,ai+1, .,an) = 10 * Cho 1k n x1x2 .xk f(x1,x2, .,xn) là vị từ n k ngôi trên M. (ak+1, .,an)Mn kta có x1x2 .xk f(x1,x2, .,xk,ak+1, .,an) là mệnh đề.x1x2 .xk f(x1,x2, .,xk,ak+1, .,an) = 10 1.2.4.2. Đặt lợng từ tồn tại trớc vị từ n ngôi.5nếu a1M: f(a1,a2, .,an) = 1nếu a1M: f(a1,a2, .,an) = 0nếu aiM: f(a1,a2, .,ai, .,an) = 1nếu aiM: f(a1,a2, .,ai, .,an) = 0nếu (a1,a2, .,ak) Mk: f(a1, .,an) = 1nếu (a1,a2, .,ak) Mk: f(a1, .,an) = 0 Cho f = f(x1,x2, .,xn) xác định trên M.Đặt lợng từ tồn tại trớc biến xi của vị từ f ta có một vị từ ( n 1) ngôi xác định trên M. Kí hiệu: xi f(x1,x2, .,xn). Với mọi bộ (a1,a2, .,ai-1 ,ai+1, .,an)Mn 1, ta có f(a1,a2, .,ai-1, xi, ai+1, .,an) là vị từ một ngôi trên M.xi f(a1,a2, .,ai-1 ,xi,ai+1, .,an) là mệnh đề.xi f(a1,a2, .,ai-1 ,xi,ai+1, .,an) = 10 * Cho 1k n x1x2 . xk f(x1,x2, .,xn) là vị từ n k ngôi trên M. (ak+1, .,an)Mn kta có x1x2 . xk f(x1,x2, .,xk,ak+1, .,an) là mệnh đề.x1x2 . xk f(x1,x2, .,xk,ak+1, .,an) = 10 1.2.4.3. Tập hỗn hợp các lợng từ tồn tại và phổ biến trớc vị từ n ngôi.Giả sử = {,}k k = 1, .,n.Khi đó: 1 1 2 2 .k kx x x f(x1,x2, .,xn) (1) là vị từ n k ngôi trên M.Với mọi bộ (ak+1, .,an) thì 1 1 2 2 .k kx x x f(x1,x2, .,xk,ak+1, .,an) là một mệnh đề.Trong vị từ (1) thứ tự các lợng từ là xác định. Nếu thay đổi thứ tự các lợng từ sẽ cho ta một lợng từ mới.Nếu 1 2 .k = = == , {,} thì thay đổi vị trí giữa các lợng từ thì nội dung vị từ đó không thay đổi.1.2.5.Công thức tơng đơng.Giả sử f = f(x1,x2, ,xn), g = g(x1,x2, ,xn) là công thức mệnh đề phụ thuộc n biến. Ta nói f tơng đơng với g nếu a = ( a1,a2, ,an) Mn mà f | a = g | a. Kí hiệu: f g.6nếu (a1,a2, .,ak) Mk: f(a1, .,an) = 1nếu (a1,a2, .,ak) Mk: f(a1, .,an) = 0nếu aiM: f(a1, .,an) = 1nếu aiM: f(a1, .,an) = 0 *Các tơng đơng công thức:1) Luật nuốt: f 1 1; f 0 0.2) Luật đồng nhất: f 1 f; f 0 f.3) Luật luỹ linh: f f f; f f f.4) Luật giao hoán: f g g f; f g g f.5) Luật kết hợp: f (g h ) (f g) h; (f g) h f (g h).6) Luật phân phối: f (g h ) (f g) (f h); f (g h) (f g) (f h).7) Luật đêmoocgăng: f g f g ; f g f g 8) Luật tơng đơng: fg (f g) (g f)9) Luật phủ định kép: f f10) Luật mâu thuẫn: f f 0 11)Luật bài chung: f f 112) Luật kéo theo: f g f gg f 1.3. Hệ quả công thức và tơng đơng công thức trên M.1.3.1. Định nghĩa.Giả sử f , g là các vị từ n ngôi xác định trên M. Khi đó:* f đợc gọi là tơng đơng công thức với g trên M nếu và chỉ nếu aMn ta có: f | a = g | a, hay f | a g | a = 1.Kí hiệu: f | a g | a* g đợc gọi là hệ quả công thức của f trên M nếu và chỉ nếu: aMn ta có: f g | a = 1.7 Kí hiệu: f g* Ví dụ: Cho f(x) = 3 1x x+ = ; g(x) = x + 3 = (x 1)2 h(x) = x+30; x - 10; x + 3 = (x 1)2 là các vị từ xác định trên R. Ta có: f(x) g(x) và f(x) h(x) trên R.*Cách định nghĩa khác:Giả sử f là một công thức.f = f(x1,x2, .,xn); g = g(x1,x2, .,xn).Ta nói g là hệ quả của công thức f . Kí hiệu: f g.Nếu a Mn thì f | a = 1 g | a = 1.1.3.2. Các hệ quả logic.Ta quy ớc: 0 là công thức hằng sai; 1 là công thức hằng đúng.1) 0 f . công thức f.2) f 1. Hằng đúng là hệ quả của mọi công thức.3) fi , i = 1, .,n. Trong đó = {f1, f2, ., fn} là tập hợp n công thức.4) = {f1, f2, ., fn}; f, g bất kì. Nếu f thì {, g} f.f là hệ quả của thì f là hệ quả của mọi hệ quả công thức chứa .5) , f, g bất kì. Nếu f thì (g f).6) f khi và chỉ khi f1 (f2 ( . (fn f))) là hằng đúng.( f tức là: f1 f2 . fn f là hằng đúng).7) = {f1, f2, ., fn}; g bất kì. Nếu , g 0 thì g.1.4. Lợc đồ chứng minh công thức.8 Giả sử f là một công thức, = {f1, f2, ., fn} là dãy các công thức sao cho với mọi công thức fi (i 2)đều đợc suy ra từ công thức đứng trớc theo một quy tắc nào đó và f đợc suy ra từ fn thì ta nói là lợc đồ chứng minh công thức f.f1 f2f2 f3 . fn-1 fnfn fthì {f1, f2, ., fn} là lợc đồ chứng minh công thức f.* Ví dụ: Ta có công thức f g .Ta giả thiết f đúng cần chứng minh g đúng.Ta phải chỉ ra {f1, f2, ., fn} sao cho f f1, f1 f2, . , fn g là các công thức hằng đúng thì f g.1.5. Một số luật logic sử dụng trong chứng minh công thức.Ta kí hiệu: fg thay cho f g là hằng đúng. Vậy f g viết là: fg( f là giả thiết, g là kết luận).1) ,f f gg2) ff g; gf g3) ,f g fg, ,f g gf4) f gg, f gf5) ff9 6) ,f g g ff g 7) ,f g f gf 8) ,( )f h g hf g h 9) ( ),f g hf h g h 10) ( )( )f g hf g h 11) ( )f g hf g h 12) f g hg f h 13) ,f g g hf h * Ví dụ: Chứng minh: a2 + b2 + c2 ab + bc + ca, a, b, c R.Giải:Ta có: f = a, b, c R, g = a2 + b2 + c2 ab + bc + ca f g là bài toán đặt ra.Đặt f1 = (a b)2 0; a, b R f2 = a2 + b2 2ab f3 = b2 + c2 2bc f4 = a2 + c2 2ca g = f5 = a2 + b2 + c2 ab + bc + ca Ta có: f1 f2 f3 f5. Vậy f g hay a2 + b2 + c2 ab + bc + ca, a, b, c R.10 [...]... của các số nguyên tố Vậy nếu n là một số nguyên lớn hơn 1, khi đó n có thể viết dới dạng tích của các số nguyên tố Chơng 3: Vận dụng chứng minh trong toán phổ thông 3.1 .Các bài toán chứng minh bằng phản chứng 3.1.1 Các bài toán trong số học * Chứng minh bằng phản chứng thờng dùng trong các loại toán: - Chứng minh số m thoả mãn điều kiện A thì m không là số nguyên tố (hay số chính phơng, lập phơng của. .. 2 = 3.3 Các bài toán chứng minh bằng quy nạp 3.3.1 Các bài toán trong số học và đại số *Chứng minh bằng quy nạp thờng dùng trong các loại toán: - Bài toán về dãy (đẳng thức tính tổng, tính tổng) mà công thức chứa biến tự nhiên - Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức phụ thuộc vào số nguyên dơng n - Chứng minh tính chia hết hoặc không chia hết phụ thuộc vào số nguyên dơng n - Tính tích phân của các đa... bài toán trong đại số * Chứng minh bằng phản chứng thờng dùng trong các loại toán: - Chứng minh bất đẳng thức - Chứng minh hệ phơng trình vô nghiệm - Chứng minh đa thức có tính chất H nào đó.(đa thức là bất khả quy, đa thức nguyên bản ) *Các bài toán: Bài toán 1: Cho ba số dơng a, b, c thoả mãn: abc = 1 Chứng minh rằng : a + b + c 3 21 < Một số phơng pháp chọn lọc giải các bài toán sơ cấp tập hai >...Chơng 2:Vận dụng công thức vào chứng minh toán học 2.1 Định lý toán học 2.1.1 Định nghĩa * Định lý toán học là một vị từ hằng đúng trên một tập M với M là một tập hợp các đối tợng nghiên cứu của toán học Định lý toán học thờng đợc biểu diễn dới dạng một mệnh đề kéo theo hoặc một mệnh đề tơng đơng * Chứng minh định lý toán học là chứng minh một công thức mệnh đề 11 Do đó xuất... tuyến của hai mặt phẳng O đó cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba Suy ra: a = (Q) I (Q) ; a (P) b ( trái giả thiết: a không vuông góc (P)) Vậy !(Q) : a (Q), (Q) ( P) P 28 3.2 .Các bài toán chứng minh trực tiếp 3.2.1 .Các bài toán trong số học (Các bài toán chứng minh chia hết, chứng minh phơng trình có nghiệm, chứng minh một số, một biểu thức có tính chất H (là số chính phơng, số nguyên tố, )) Bài toán. .. hết cho p, bs không chia hết cho p) Vậy f(x), g(x) nguyên bản 3.1.3 .Các bài toán trong hình học ( Thờng dùng để chứng minh các định lý toán học) Bài toán 1: 25 Cho ba mặt phẳng ( ), ( ), ( ) cắt nhau từng đôi một và không có điểm chung cho cả ba mặt phẳng Chứng minh: Các giao tuyến của chúng là các đờng thẳng song song < Phơng pháp giải toán hình học không gian 11 > Giải: Giả sử: ( ) ( ) = a ( ) ( ... (giả thiết A) đúng và các căn cứ suy luận (các kiến thức đã có, các quy tắc suy luận logic) cũng phải đúng.Khi đó kết luận B suy ra đợc sẽ chắc chắn đúng Ta có: A A1, A1 A2, , An B thì A B * Các dạng khác nhau của định lý: a Định lý cần: A B b Định lý cần và đủ: A B hay (A B) (B A) c Các mệnh đề tơng đơng: A1 A2 An 2.1.2 Các phơng pháp chứng minh định lý toán học 2.1.2.1 Chứng minh trực tiếp Mọi... tồn tại x1, x2, x3 sao cho a < x1 < - 1 < x2 < 0 < x3 < b và f(x1) = f(x2) = f(x3) = 0.Điều đó có nghĩa là m < -5 cũng là điều kiện đủ để tồn tại các nghiệm x1, x2, x3 của f(x) = 0 sao cho: x1 < - 1 < x2 < x3 Vậy với m < -5 thoả mãn điều kiện bài toán 3.2.3 Các bài toán trong hình học (Chứng minh tính chất của một hình, bài toán quỹ tích) Bài toán 1: Cho hình chóp S.ABC có G l trọng tâm tam giác ABC.Một... 2 2 2.1.2.3 Chứng minh bằng quy nạp Tập M , t(x) = x M, x có tính chất T Khi đó: x t(x) là một mệnh đề x t(x) = 1 thì mọi phần tử M đều có tính chất T Đặc biệt khi M = N ( tập các số tự nhiên) n (n) là một công thức phụ thuộc n biến Quy nạp toán học thờng đợc sử dụng để chứng minh các mệnh đề dạng n (n) trong đó n là một số nguyên dơng tuỳ ý A Nguyên lý chứng minh quy nạp toán học thứ nhất... a, b cắt nhau tại O Suy ra O a O ( ) và O ( ) O b O ( ) và O ( ) Suy ra O là điểm chung của ba mặt phẳng ( ), ( ), ( ) ( trái giả thiết) Vậy a // b (1) Chứng minh tơng tự ta có b // c (2) Từ (1) và (2) suy ra a // b // c Vậy các giao tuyến của chúng là các đờng thẳng song song Bài toán 2: Cho mặt phẳng (P),(Q) phân biệt (P) // (R), (Q) // (R) Chứng minh: (P) // (Q) < Sách hình 11 > Giải: . đại học Thái Nguyêntrờng đại học s phạmkhoa toántrần thị thu lanCơ sở logic toán của các phép chứng minh toán học cơ bản và áp dụng chứng minh các bài toán. của các số nguyên tố.Chơng 3: Vận dụng chứng minh trong toán phổ thông3 .1 .Các bài toán chứng minh bằng phản chứng. 3.1.1. Các bài toán trong số học. * Chứng