A.Đặt vấn đề I .Lời mở đầu Năm học 2008-2009 là năm học tiếp tục thực hiện nghị quyết Đại Hội X của Đảng và cũng là năm học tiếp tục thực hiện cuộc vận động Nói không với tiêu cực trong thi cử và bệnh thành tích trong GD .Cũng là năm đầu tiên thực hiện chủ đề năm học : ứng dụng công nghệ thông tin đổi mới công tác tài chính trong GD , xây dựng trờng học thân thiện , học sinh tích cực ,trờng xanh sạch đẹp. Thấm nhuần cuộc vận động :"Hai không trong GD, mỗi chúng ta những ngời làm công tác giáo dục đều phải lo lắng , trăn trở, tập trung nâng cao chất lửợng day học nhằm đáp ứng mục tiêu giáo dục . Cũng nh các môn học khác , môn Toán có một vai trò hết sức quan trọng trong việc hình thành nhân cách con ngời lao động .Vì vậy , mỗi GV cần phải có trách nhiệm dạy học sao cho HS của mình tiếp thu đợc những kiến thức và kĩ năng mà chơng trình giáo dục tiểu học qui định .Đặc biệt ở tiểu học ,chất lợng , kết quả đó không chỉ đợc đo bằng tỉ lệ HS lên lớp ,hoàn thành chơng trình tiểu học 98%đến 100% mà còn là chất lợng HS giỏi các cấp .Nhng kết quả thi HS giỏi lại ít chiều lòng GV .Một lý do ảnh hởng không nhỏ đến chất lợng HS giỏi lớp 4,5 là do phần lớn GV truyền dạy rập khuôn ,máy móc ,còn HS tiểu học (do đặc điểm về sinh lý lứa tuổi ) nên tiếp thu một cách thụ động .Mặt khác HS tiểu học thi HS giỏi cả 2 môn Toán ,Tiếng Việt mà qua các kì thi thì điểm Tiếng Việt thờng đợc cao hơn vì mộn này đợc chấm theo từng ý ,từng câu ,từng từ do đó dễ kiếm điểm .Môn Toán nhiều em điểm thấp ,có cả điểm kém bởi môn toán hoặc là làm đúng hoặc là không làm đợc gì .Cũng có khi chỉ cần các em sơ suất hoặc lập luận không chặt chẽ cũng bị trừ điểm hoặc không đợc tính điểm .Do đó có đợc giảI hay không phần lớn là do môn toán quyết định và qua thực tế giảng dạy ,nghiên cứu tôi thấy cấu trúc một đề thi HS giỏi thờng có bài tập tính nhanh , tính nhẩm ,đây là bài tập gỡ điểm nhng rất ít HS làm đợc trọn vẹn .Các kiểu bài tính nhanh yêu cầu HS sử dụng kiến thức cơ bản và sử dụng một cách hợp lý .Nhng có lẽ toán tính nhanh về phân số là khó nhất vì mức độ khó không chỉ 1 với số tự nhiên ,số thập phân mà còn phải phân tích và rút gọn phân số nữa .Qua các đề thi ,HS ít khi làm đợc bài vì các em tiếp thu một cách thụ động máy móc nên vào phòng thi dễ quên cách làm và gặp không ít khó khăn . Mặt khác không những tính nhanh ,tính nhẩm trong phòng thi mà trong thực tế cùng với sự phát triển của xã hội khi máy tính ,máy vi tính đã trở thành đồ dùng sinh hoạt bình thờng và dễ mua lại tính toán nhanh hơn nên nhiều ngời cho rằng tính nhẩm, tính miệng không còn cần thiết nữa .Nhng một bài tính nhanh với nhiều con số và đủ 4 phép tính thì lại có thể bấm nhầm số ,nhầm dấu phẩy ,nhầm phép tính và các phơng tiện tính toán không phải mọi lúc ,mọi nơi đều hỗ trợ cho ta luôn trong công việc hàng ngày .Hơn nữa qua tính nhanh ,tính nhẩm rèn cho HS vận dụng linh hoạt ,khéo léo tính chất của các phép tính để tìm ra kết quả một cách nhanh nhất ,tiết kiệm sức lực nhất Vì vậy qua thực tế giảng dạy và nghiên cứu bồi dỡng HS giỏi tôi rút ra một số kinh nghiệm về Rèn kĩ năng tính nhanh ,tính nhẩm về phân số cho HS giỏi lớp 4,5 . II .Thực trạng của vấn đề cần nghiên cứu 1.Thực trạng . Giải toán là mức độ cao nhất của t duy đòi hỏi mỗi HS phải biết huy động gần hết vốn kiến thức vào hoạt động giải toán .mỗi bài toán ,mỗi biểu thức ,mỗi lời văn đều có nội dung kiến thức logic của nó ,đợc thể hiện bằng các ngôn ngữ toán học (các thuật toán ) và có mối quan hệ chặt chẽ trong mỗi bài toán ,dạng toán . Tính nhanh là tính toán đòi hỏi con ngời phải vận dụng toàn bộ những hiểu biết về số học ,huy động sức nhớ của bộ não để tìm ra kết quả nhanh, đúng .Vậy khả năng tính nhanh là khả năng lựa chọn và lựa chọn cách tính tối u trong nhiều cách tính có thể có của một phép tính .Do đó trong óc mỗi ngời phải thực hiện các phép biến đổi khác nhau để đa tính phép hoặc dãy tính về một dạng mới cho phép tính tránh đợc sự kềnh càng về tính toán mà có thể thực hiện dễ dàng trong suy nghĩ . Mặt khác trong các đề thi HS giỏi ,đề bài nhìn chung giống SGK - Tài liệu nâng cao hoặc biến đổi đi chút ít .Do đó chơng trình nâng cao luôn đợc coi là cẩm nang để GV dạy bồi dỡng sử dụng .Nhng đôi khi vì quá coi trọng nâng cao mà bài tập trong 2 SGK học sinh lại không làm đợc .Ví nh ngay trong SGK ,sách bài tập toán 4,5 cũng có các dạng tính nhanh nh : - Cộng phân số có các mẫu số bằng nhau : 4 1 11 4 4 3 11 7 +++ ( SGK Toán 5 trang160) - Tính tích các phân số : 63 68 17 22 11 21 ìì (SGK Toán 5,trang177) - Một phân số nhân với một tổng các phân số ,một phân số nhân với một hiệu các phân số , 9 2 5 3 9 7 5 3 ìì hoặc 5 2 : 7 4 7 4 (SGK Toán 4 trang 169) Trên thực tế những bài trên nhiều khi ngay cả HS giỏi cũng phải suy nghĩ rất lâu mới làm đợc chứ cha nói đến HS đại trà bởi các em không hiểu sâu ,không nắm đợc bản chất của vấn đề . Ngay cả GV chính vì nhiều khi không nghiên cứu hoặc có một số GV đã lâu năm chỉ dạy các khối lớp 1,2,3 nên không khỏi vớng mắc khi gặp các dạng toán này .Do vậy ,tìm ra biện pháp ,phơng pháp để giúp HS tiếp thu kiến thức kĩ năng về tính nhanh ,tính nhẩm không chỉ là để bồi dỡng HS giỏi mà còn để GV có thể giải ngay đ- ợc bài toán dạng này khi có HS hoặc phụ huynh nhờ mình giải hộ và cũng rất cần thiết khi dạy đến phần này cho HS đại trà trên lớp . 2. Kết quả của thực trạng . Từ những thực trạng trên năm học 2007- 2008 tôi đã xin phép ban giám hiệu nhà trờng tiến hành thực nghiệm trên đội tuyển HS giỏi của nhà trờng và tiến hành khảo sát chất lợng trên 20 em (khối4:10 em; khối 5:10 em) đã đợc ôn luyện tơng đối kĩ với GV đã bồi dỡng HS giỏi lâu năm về dạng toán này .Kết quả đạt đợc nh sau : Lớp SL Giỏi Khá Trung bình SL % SL % SL % 3 4 10em 0 0% 2em 20% 8em 80% 5 10em 2em 20% 2em 20% 6em 60% Từ thực tế trên ,tôi xin mạnh dạn trình bày một số kinh nghiệm về tính nhanh ,tính nhẩm về phân số cho HS lớp 4,5 (Đặc biệt là HS giỏi ) để các đồng chí cùng tham khảo ,góp ý . Mong sao kinh nghiệm nhỏ này sẽ góp phần giúp cho HS giỏi lớp 4,5 tính nhanh ,tính nhẩm đợc phần phân số một cách chủ động ,sáng tạo góp phần nâng cao chất lợng dạy học nói chung. B. Giải quyết vấn đề . I.Các giải pháp thực hiện Đối tợng dạy học của chúng ta là HS tiểu học .Đây là lứa tuổi chuyển tiếp từ giai đoạn vui chơi sang giai đoạn học tập khả năng tri giác của các em rất tốt ,hứng thú học tập ngày càng bộc lộ .Tuy vậy khả năng t duy của các em lại còn mang tính trực quan ,cụ thể .Do đó ,khi dạy HS về tính nhanh ,tính nhẩm về phân số cho HS giỏi tôi vẫn chia ra thành 4 dạng cụ thể . Đó là : Dạng I.Tính tổng các phân số có cùng tử số . Dạng II.Tính tổng các phân số có các cặp mãu số bằng nhau . Dạng III.Tính nhanh tích của nhiều phân số Dạng IV.Các chữ số đợc viết đi viết lại nhiều lần . Mỗi dạng đó tôi sẽ có từng biện pháp ,cách giải riêng . II.Các biện pháp để tổ chức thực hiện Dạng I.Tính tổng các phân số có cùng tử số . A. Một thừa số của mẫu số này làm thừa số của mẫu số liền trớc nó (sau khi đã phân tích mẫu số thành tích của 2 số tự nhiên ) a-Phơng diện lý thuyết - Phân tích mẫu số thành tích của 2 số tự nhiên theo thứ tự tăng dần . - Tử số bằng hieuj của 2 số tự nhiên của mẫu số đó . 4 - Các mẫu số có quy luật chung . b- Phơng diện thực hành . - Phân tích mẫu số thành tích của 2 số tự nhiên theo thứ tự tăng dần . - Viết mỗi phân số dới dạng hiệu của 2 phân số - Viết lại biểu thức (đề bài )rồi tính kết quả (các phân số sẽ triệt tiêu . Đối với dạng này trớc tiên ta đa cho HS tính 1 biểu thức đơn giản . VD1 .Tính nhanh biểu thức sau : A= 42 1 30 1 20 1 12 1 6 1 2 1 +++++ Giúp HS nhận xét : - Tử số có đặc điểm gì ? (đều bằng 1) - Các mẫu số có đặc điểm gì ?( 2 = 1 x 2 , 6 = 3 x 4 ,20 = 4 x 5 , ) ( Tức là ta đã phân tích đợc mẫu số thành tích của hai số tự nhiên theo thứ tự tăng dần ) và rút ra đợc quy luật :Thừa số thứ hai ở mẫu số của phân số này là thừa số thứ nhất ở mẫu số của phân số đứng liền sau nó theo thứ tự tăng dần . - Vậy ta có thể phân tích các phân số này thành hiệu của 2 phân số ; . 5 1 4 1 20 1 ; 4 1 3 1 12 1 ; 3 1 2 1 6 1 ; 2 1 1 2 1 ==== Từ đó ta tính đợc biểu thức nh sau : A= 7 6 7 1 1 7 1 6 1 6 1 5 1 5 1 4 1 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 ==+++++ Sau khi HS đã biết nhận xét ,hiểu và nắm đợc cách giải ,GV biến đổi đề ddeer rèn sự quan sát ,óc suy nghĩ và phát huy trí thông minh của HS .Tôi có sử dụng một số biện pháp biến đổi nh sau : *Biện pháp 1: Sau khi HS nắm đợc bài học tôi ra một bài tập khác đã đợc biến đổi đi chút ít . BT1:Tính bằng cách hợp lý : A= 7 1 6 1 6 1 5 1 5 1 4 1 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 ì+ì+ì+ì+ì+ì BT2. Tính nhẩm (dựa vào bài đã học ) 5 20 1 12 1 6 1 2 1 2) ++++ a b) 32 1 20 1 12 1 6 1 +++ Nếu tập trung làm bài các em sẽ nhẩm ra ngay kết quả (vì ở bài 2a chỉ khác VD1 là thêm số 2 ở đầu ,ở bài 2b chỉ khác là bớt đi phân số 2 1 *Biện pháp 2.nâng cao dần bằng các bài tập khó hơn để rèn kĩ năng phân tích ,tổng hợp, giải toán cho HS . VD :Tính nhanh . A= 90 1 20 1 12 1 6 1 2 1 +++++ . (Đề thi HS giỏi tỉnh Thanh Hóa 1998-1999) Để làm đợc dạng này GV cho HS nhận dạng đợc quy luật của mẫu số .(Quy luật của mẫu số là tích của 2số tự nhiên liên tiếp theo thứ tự tăng dần ) Từ đó HS hiểu đợc các phân số cha biết của biểu thức mà ngời ta cha viết Nh vậy A viết đầy đủ sẽ là : A= 90 1 72 1 56 1 42 1 30 1 20 1 12 1 6 1 2 1 ++++++++ . Từ đó HS nắm đợc cách giải thông qua bài học và các VD .S au khi giải GV cho HS nhắc lại cách giải của các dạng này là : -Phân tích tìm ra quy luật của dãy số ,từ đó tìm ra các phân số cha có trong biểu thức .Nh vậy mới tính nhanh đợc giá trị của biểu thức . Biện pháp 3. Ra đề có dạng nh bài học nhng có thêm cả biến số .Đây là dạng HS dễ bị lừa và thụ động hoặc là nhận xét sai do không đọc kỹ đề bài dẫn đến làm bài sai . VD :Tính tổng sau bằng cách hợp lý . A= 63 2 35 2 5 2 3 2 +++ (Đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa 1999-2000) Nếu HS vẫn phân tích theo cách trên ,các em sẽ bị lúng túng vì 2 phân số đầu tiên không theo quy luật (mẫu số là tích của 2 số lẻ liên tiếp theo thứ tự tăng dần ).Từ đó GV cho HS nhận thấy đợc những phân số nào không thuộc quy luật thì không phân tích .Chỉ phân tích những phân số nào tuân theo quy luật để tạo thành những phân số triệt tiêu nhau. Nh vậy bài trên phải giải nh sau : 6 A= 45 52 9 1 7 1 7 1 5 1 5 2 3 2 97 2 75 2 5 2 3 2 =+++= ì + ì ++ Sau khi HS đã nắm đợc cách làm của từng dạng GV cho HS làm một số bài tập theo thứ tự từ dễ đến khó để củng cố lại kỹ năng cho HS . VD : 20 5 12 5 6 5 2 5 ) 80 1 48 1 24 1 8 1 ) 48 1 24 1 12 1 6 1 3 1 ) +++ +++ ++++ c b a -ở VD a) để giải đợc HS phải xác định đợc phân số 3 1 không thuộc quy luật của dãy tính . - Còn ở VD b) và c) thì HS phải biến đổi một chút mới trở về dạng đã học . B. Còn một dạng nữa cũng cùng từ số nhng mẫu số của phân số đứng sau gấp một số lần phân số đứng trớc . a- Về phơng diện lý thuyết : Nếu ta viết tổng các phân số dới dạng tổng từng cặp các phân số thì tổng đố không thay đổi . b- Về phơng diện thực hành .Hớng dẫn HS : - Viết bài toán (biểu thức ) dới dạng từng cặp 2 số một ( tính chất kết hợp) - ở mỗi cặp tổng 2 phân số đặt thừa số chung (là phân số ) có tử số và mẫu số là mẫu số đầu tiên của cặp đó . - Sử dụng tính chất 1 số nhân với 1tổng ghép các cặp giống nhau lại dới dạng tích . -Thực hiện phép tính (nếu các cặp lẻ thì để riêng phân số đầu tiên ) - Mẫu số đứng sau gấp đôi mẫu số đứng trớc VD Tính nhanh biểu thức : B = 192 1 96 1 48 1 24 1 12 1 6 1 3 1 ++++++ Giúp HS nhận xét :có 7 phân số trong biểu thức do đó ta để lại phân số 3 1 7 -Ta ghép các cặp : ) 192 1 96 1 () 48 1 24 1 () 12 1 6 1 ( 3 1 ++++++ - Đặt nhân tử chung : ) 2 1 1( 96 1 ) 2 1 1( 24 1 ) 2 1 1( 6 1 3 1 +ì++ì++ì+ -Sử dụng tính chất 1số nhân với 1 tổng ta có : ) 96 1 24 1 6 1 () 2 1 1( 3 1 ++ì++ Sau đó ta thực hiện phép tính ( Nếu tổng ở trong còn nhiều số thì GV hớng dẫn HS áp dụng tính tổng nh ở dạng 1 ) Trong trờng hợp mẫu số đứng sau gấp 3,4,5 lần mẫu số đứng trớc thì làm tơng tự . Dạng II .Tính tổng các phân số có các cặp mẫu số bằng nhau . a) Về phơng diện lý thuyết -Tổng các phân số không thay đổi khi ta thay đổi vị trí các phân số - Khi ta nhan hay chia cả tử và mẫu với cùng một phân số khác 0 thì ta đợc phân số mới bằng phân số đã cho . b.Về phơng diện thực hành GV hớng dẫn HS : -áp dụng tính chất giao hoán ,tính chất kết hợp để : +Ghép các phân số có mẫu số bằng nhau để ta cộng tử số với nhau để ta cộng tử số của chúng với nhau ,khi đó ta sẽ tính tổng đó đợc dễ dàng hơn +Nếu có các cặp phân số bằng nhau ta ghép các phân số bằng nhau thành cặp rồi tính tổng trớc . + Sau đó thực hiện phép tính còn lại . c.Biện pháp thực hiện . Trong phần này tôi tách ra thành 4 loại bài tập để mỗi dạng sẽ có 1 biện pháp phù hợp hớng dẫn HS . * Biện pháp 1. Rèn kĩ năng sử dụng tính chất giao hoán ,tính chất kết hợp . VD : Tính nhanh tổng sau : 8 A= 47 15 47 3 47 2 47 1 ++++ Hớng dẫn HS : + Bớc 1: áp dụng tính tổng các phân số có cùng mẫu số ta có : A= 47 15 321 ++++ + Bớc 2: áp dụng tính chất giao hoán ,tính chất kết hợp ta có : A= 47 120 47 8112 47 8716 47 8 .)142()151( = + = +ì = +++++ Sau khi HS hiểu đợc VD ta ra cho HS một số dạng bài tập tơng tự và nâng cao dần : Bài 1: A = 50 47 .753 ++++ Bài 2: B = 13 10 11 16 5 2 13 7 11 6 5 3 +++++ Bài 3: A = 521 72 521 53 521 47 521 28 +++ Bài 4 : B = 32 13 21 3 4 1 32 19 21 18 100 75 +++++ Đến bài 4 HS sẽ gặp khó khăn nếu các em không nhận ra đợc cặp số 100 75 và 4 1 thì GV có thể gợi ý để HS có thể nhớ lại nếu ta quy đồng hoặc rút gọn các phân số cũng sẽ có mẫu số bằng nhau . Biện pháp 2.Tính tổng các phân số có hỗn số VD : Tính nhanh tổng sau đây : A = 4 1 3 1 5 3 4 3 2 9 6 5 5 2 4 +++++ GV cho HS phân tích bài : - Trong bài toán trên có gì đặc biệt ? ( Có các phân số là hỗn số ) GV ; Trong hỗn số em hiểu phần nguyên ,tử số ,mẫu số tơng ứng với các phần nào của phép chia ? [ Phần nguyên (thơng ) ,tử ( số d) ,,mẫu (số chia) ] 9 GV :Vậy nếu các phép chia có cùng số chia (mẫu ) ta có thể tính kết quả chung bằng cách : Lấy thơng + thơng (phần nguyên +phần nguyên ) Số d + số d ( tử số + tử số ) với nhau Từ đó áp dụng vào bài này ta tính nh thế nào ? HS ; tìm những phân số có mẫu số bằng nhau ( hoặc nhân lên , hoặc rút gọn đi để đợc các mẫu số bằng nhau ) thành nhóm .Sau đó tính kết quả . Nh vậy ,sau khi hớng dẫn HS có thể dựa vào bài toán ở dạng trên các em sẽ giải đợc bài toán này một cách dễ dàng . Giải : A = ) 4 1 4 3 2() 3 1 9 6 5() 5 3 5 2 4( +++++ = 14 4 4 2) 3 1 3 2 5( 5 5 4 =+++ b *Biện pháp 3 : áp dụng tính chất một số nhân với một tổng ,chia một tổng cho một số ,áp dụng phân số bằng nhau nh : a ì b a xc =a x ( b- c ) ( a + b ) : c = a: c + b:c VD : tính nhanh : A = 6 7 5 9 6 7 ì GV lu ý HS trong trờng hợp các phân số nhân với 1 ( 1 6 7 6 7 ì= ) Từ đó áp dụng tính chất một số nhân với một tổng ( 1số nhân với 1 hiệu) các em sẽ giải đợc bài tập trên một cách dễ dàng . Giải : A= 5 4 6 7 ) 5 5 5 9 ( 6 7 )1 5 9 ( 6 7 6 7 5 9 6 7 ì=ì=ì=ì Giống nh các bớc trên GV cho HS làm các bài tập tơng tự nhng đợc nâng cao dần VD : Tính tổng sau bằng cách hợp lý : A= 80 64 70 42 60 36 50 25 40 16 30 9 20 4 ++++++ 10 [...]... phân số sau khi rút gọn các em sẽ đợc các phân số có cùng mẫu số Từ đó HS sẽ giải đợc bài tập này theo các cách hớng dẫn ở trên Sau đó GV cho HS làm thêm một số bài tập để củng cố: Bài 1 55 37 9 18 + + + 100 55 20 55 Bài 2 6 3 2 1 2 1 76 + 4 + + 2 + + 8 9 8 2 3 2 ở dạng này sau khi HS đợc ôn kĩ về các tính chất giao hoán ,kết hợp của phép cộng ,khái niệm về phân số bằng nhau ,phân số tối giản và cộng... có các số giống nhau ở tử và mẫu số về cùng một cụm Từ đó sẽ rút gọn và giải đợc bài toán : A= 3 4 12 19 3 ì 4 12 ì19 1 1 ( ì ) ì( ì ) = ì = 1ì = 4 3 19 24 4 ì 3 19 ì 24 2 2 Sau đó GV cho HS làm quen với dạng khó và rắc rối hơn VD Tính nhanh biểu thức A= 0, 75 ì 4,6 ì0,6 25 0, 25 ì0,1 25 ì 2,3 GV giúp HS nhận dạng đề toán :( Tích của nhiều phân số ) Hỏi Vậy ở dạng này trớc tiên ta phải làm gì ? ( Phân... ( Phân tich các số ở tử số (mẫu số) để thành các thừa số giống thừa số ở mẫu (tử ) ) Hỏi : Vậy những phân số nào có thể làm nh vậy ? HS trả lời và phân tích : 0, 75= 3x0, 25 4,6=2x2,3 0,6 25= 5x0,1 25 Từ đó áp dụng các bớc trên HS sẽ giải đợc bài toán Sau đó cho HS làm thêm một số bài tập tự luyện 12 . Bài 2: B = 13 10 11 16 5 2 13 7 11 6 5 3 +++++ Bài 3: A = 52 1 72 52 1 53 52 1 47 52 1 28 +++ Bài 4 : B = 32 13 21 3 4 1 32 19 21 18 100 75 +++++ Đến bài 4 HS. bài toán ở dạng trên các em sẽ giải đợc bài toán này một cách dễ dàng . Giải : A = ) 4 1 4 3 2() 3 1 9 6 5( ) 5 3 5 2 4( +++++ = 14 4 4 2) 3 1 3 2 5( 5 5