III. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ: 1. ∫ +− − 5 3 2 23 12 dx xx x 2. ∫ ++ b a dx bxax ))(( 1 3. ∫ + ++ 1 0 3 1 1 dx x xx 4. dx x xx ∫ + ++ 1 0 2 3 1 1 5. ∫ + 1 0 3 2 )13( dx x x 6. ∫ ++ 1 0 22 )3()2( 1 dx xx 7. ∫ + − 2 1 2008 2008 )1( 1 dx xx x 8. ∫ − +− ++− 0 1 2 23 23 9962 dx xx xxx 9. ∫ − 3 2 22 4 )1( dx x x 10. ∫ + − 1 0 2 32 )1( dx x x n n 11. ∫ ++ − 2 1 24 2 )23( 3 dx xxx x 12. ∫ + 2 1 4 )1( 1 dx xx 13. ∫ + 2 0 2 4 1 dx x 14. ∫ + 1 0 4 1 dx x x 15. dx xx ∫ +− 2 0 2 22 1 16. ∫ + 1 0 32 )1( dx x x 17. ∫ +− 4 2 23 2 1 dx xxx 18. ∫ +− ++ 3 2 3 2 23 333 dx xx xx 19. ∫ + − 2 1 4 2 1 1 dx x x 20. ∫ + 1 0 3 1 1 dx x 21. ∫ + +++ 1 0 6 456 1 2 dx x xxx 22. ∫ + − 1 0 2 4 1 2 dx x x 23. ∫ + + 1 0 6 4 1 1 dx x x 24. 1 4 11 2 0 5 6 + ∫ + + x dx x x 25. 1 2 0 1 ∫ + + dx x x 26. ∫ − + 3 2 1 2 dx x x 27. dx x x ∫       − + − 1 0 3 1 22 28. ∫ −       +− − − 0 1 12 12 2 dxx x x 29. dxx x x ∫       −− + − 2 0 1 2 13 30. dx x xx ∫ + ++ 1 0 2 3 32 31. dxx x xx ∫ −         +− − ++ 0 1 2 12 1 1 32. dxx x xx ∫         +− + −+ 1 0 2 1 1 22 33. ∫ ++ 1 0 2 34xx dx IV. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC: 1. xdxx 4 2 0 2 cossin ∫ π 2. ∫ 2 0 32 cossin π xdxx 3. dxxx ∫ 2 0 54 cossin π 4. ∫ + 2 0 33 )cos(sin π dxx 5. ∫ + 2 0 44 )cos(sin2cos π dxxxx 6. ∫ −− 2 0 22 )coscossinsin2( π dxxxxx 7. ∫ 2 3 sin 1 π π dx x 8. ∫ −+ 2 0 441010 )sincoscos(sin π dxxxxx 9. ∫ − 2 0 cos2 π x dx 10. ∫ + 2 0 sin2 1 π dx x 11. ∫ + 2 0 2 3 cos1 sin π dx x x 12. ∫ 3 6 4 cos.sin π π xx dx 13. ∫ −+ 4 0 22 coscossin2sin π xxxx dx 14. ∫ + 2 0 cos1 cos π dx x x 15. ∫ − 2 0 cos2 cos π dx x x 16. ∫ + 2 0 sin2 sin π dx x x 17. ∫ + 2 0 3 cos1 cos π dx x x 18. ∫ ++ 2 0 1cossin 1 π dx xx 19. ∫ − 2 3 2 )cos1( cos π π x xdx 20. ∫ − ++ +− 2 2 3cos2sin 1cossin π π dx xx xx 21. ∫ 4 0 3 π xdxtg 22. dxxg ∫ 4 6 3 cot π π 23. ∫ 3 4 4 π π xdxtg 24. ∫ + 4 0 1 1 π dx tgx 25. ∫ + 4 0 ) 4 cos(cos π π xx dx 26. ∫ ++ ++ 2 0 5cos5sin4 6cos7sin π dx xx xx 27. ∫ + π 2 0 sin1 dxx 28. ∫ ++ 4 0 13cos3sin2 π xx dx 29. ∫ + 4 0 4 3 cos1 sin4 π dx x x 30. ∫ + ++ 2 0 cossin 2sin2cos1 π dx xx xx 31. ∫ + 2 0 cos1 3sin π dx x x 32. ∫ − 2 4 sin2sin π π xx dx 33. ∫ 4 0 2 3 cos sin π dx x x 34. ∫ + 2 0 32 )sin1(2sin π dxxx 35. ∫ π 0 sincos dxxx 36. ∫ − 3 4 3 3 3 sin sinsin π π dx xtgx xx 37. ∫ ++ 2 0 cossin1 π xx dx 38. ∫ + 2 0 1sin2 π x dx 39. ∫ 2 4 53 sincos π π xdxx 40. ∫ + 4 0 2 cos1 4sin π x xdx 41. ∫ + 2 0 3sin5 π x dx 2. ∫ 6 6 4 cossin π π xx dx 43. ∫ + 3 6 ) 6 sin(sin π π π xx dx 4. ∫ + 3 4 ) 4 cos(sin π π π xx dx 45. ∫ 3 4 6 2 cos sin π π x xdx 46. dxxtgxtg ) 6 ( 3 6 π π π ∫ + 47. ∫ + 3 0 3 )cos(sin sin4 π xx xdx 48. ∫ − + 0 2 2 )sin2( 2sin π x x 49. ∫ 2 0 3 sin π dxx 50. ∫ 2 0 2 cos π xdxx 51. ∫ + 2 0 12 .2sin π dxex x 52. dxe x x x ∫ + + 2 0 cos1 sin1 π 53. ∫ + 4 6 2cot 4sin3sin π π dx xgtgx xx 54. ∫ +− 2 0 2 6sin5sin 2sin π xx xdx 55. ∫ 2 1 )cos(ln dxx 56. ∫ 3 6 2 cos )ln(sin π π dx x x 57. dxxx ∫ − 2 0 2 cos)12( π 58. ∫ π 0 2 cossin xdxxx 59. ∫ 4 0 2 π xdxxtg 60. ∫ π 0 22 sin xdxe x 61. ∫ 2 0 3sin cossin 2 π xdxxe x 62. ∫ + 4 0 )1ln( π dxtgx 63. ∫ + 4 0 2 )cos2(sin π xx dx 64. ∫ −+ − 2 0 2 )cos2)(sin1( cos)sin1( π dx xx xx 65. 2 sin 2 sin 7 2 π π ∫ − x xdx 66. 2 4 4 cos (sin cos ) 0 π + ∫ x x x dx 67. 3 2 4sin 0 1 cos π ∫ + x dx x 68. ∫ − 2 2 3cos.5cos π π xdxx 69. ∫ − 2 2 2sin.7sin π π xdxx 70. ∫ 4 0 cos 2 sin π xdx x 71. ∫ 4 0 2 sin π xdx V. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ: ∫ b a dxxfxR ))(,( Trong ®ã R(x, f(x)) cã c¸c d¹ng: +) R(x, xa xa + − ) §Æt x = a cos2t, t ] 2 ;0[ π ∈ +) R(x, 22 xa − ) §Æt x = ta sin hoÆc x = ta cos +) R(x, n dcx bax + + ) §Æt t = n dcx bax + + +) R(x, f(x)) = γβα +++ xxbax 2 )( 1 Víi ( γβα ++ xx 2 )’ = k(ax+b) Khi ®ã ®Æt t = γβα ++ xx 2 , hoÆc ®Æt t = bax + 1 +) R(x, 22 xa + ) §Æt x = tgta , t ] 2 ; 2 [ ππ −∈ +) R(x, 22 ax − ) §Æt x = x a cos , t } 2 {\];0[ π π ∈ +) R ( ) 1 2 i n n n x x x; ; .; Gäi k = BCNH(n 1 ; n 2 ; .; n i ) §Æt x = t k 1. ∫ + 32 5 2 4xx dx 2. ∫ − 2 3 2 2 1xx dx 3. ∫ − +++ 2 1 2 1 2 5124)32( xxx dx 4. ∫ + 2 1 3 1xx dx 5. ∫ + 2 1 2 2008dxx 6. ∫ + 2 1 2 2008x dx 7. ∫ + 1 0 22 1 dxxx 8. ∫ − 1 0 32 )1( dxx 9. ∫ + + 3 1 22 2 1 1 dx xx x 10. ∫ − + 2 2 0 1 1 dx x x 11. ∫ + 1 0 32 )1( x dx 12. ∫ − 2 2 0 32 )1( x dx 13. ∫ + 1 0 2 1 dxx 14. ∫ − 2 2 0 2 2 1 x dxx 15. ∫ + 2 0 2cos7 cos π x xdx 16. ∫ − 2 0 2 coscossin π dxxxx 17. ∫ + 2 0 2 cos2 cos π x xdx 18. ∫ + + 2 0 cos31 sin2sin π dx x xx 19. ∫ + 7 0 3 2 3 1 x dxx 20. ∫ − 3 0 23 10 dxxx 21. ∫ + 1 0 12x xdx 22. ∫ ++ 1 0 2 3 1xx dxx 23. ∫ ++ 7 2 112x dx 24. dxxx ∫ + 1 0 815 31 25. ∫ − 2 0 56 3 cossincos1 π xdxxx 26. ∫ + 3ln 0 1 x e dx 27. ∫ − +++ 1 1 2 11 xx dx 28. ∫ + 2ln 0 2 1 x x e dxe 29. ∫ −− 1 4 5 2 8412 dxxx 30. ∫ + e dx x xx 1 lnln31 31. ∫ + + 3 0 2 35 1 dx x xx 32. dxxxx ∫ +− 4 0 23 2 33. ∫ − ++ 0 1 3 2 )1( dxxex x 34. ∫ + 3ln 2ln 2 1ln ln dx xx x 35. + 3 0 2 2 cos 32 cos 2cos dx x tgx x x 36. + 2ln 0 3 )1( x x e dxe 37. + 3 0 2cos2 cos x xdx 38. + 2 0 2 cos1 cos x xdx 39. dx x x + + 7 0 3 3 2 40. + a dxax 2 0 22 VI. MT S TCH PHN C BIT: Bài toán mở đầu: Hàm số f(x) liên tục trên [-a; a], khi đó: += aa a dxxfxfdxxf 0 )]()([)( Ví dụ: +) Cho f(x) liên tục trên [- 2 3 ; 2 3 ] thỏa mãn f(x) + f(-x) = x2cos22 , Tính: 2 3 2 3 )( dxxf +) Tính + + 1 1 2 4 1 sin dx x xx Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục và lẻ trên [-a, a], khi đó: a a dxxf )( = 0. Ví dụ: Tính: ++ 1 1 2 )1ln( dxxx ++ 2 2 2 )1ln(cos dxxxx Bài toán 2: Hàm số y = f(x) liên tục và chẵn trên [-a, a], khi đó: a a dxxf )( = 2 a dxxf 0 )( Ví dụ: Tính + 1 1 24 1xx dxx 2 cos 2 4 sin 2 + x x dx x Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục, chẵn trên [-a, a], khi đó: = + aa a x dxxfdx b xf 0 )( 1 )( (1 b>0, a) Ví dụ: Tính: + + 3 3 2 21 1 dx x x + 2 2 1 5cos3sinsin dx e xxx x Bài toán 4: Nếu y = f(x) liên tục trên [0; 2 ], thì = 2 0 2 0 )(cos)(sin dxxfxf Ví dụ: Tính + 2 0 20092009 2009 cossin sin dx xx x + 2 0 cossin sin dx xx x Bài toán 5: Cho f(x) xác định trên [-1; 1], khi đó: = 00 )(sin 2 )(sin dxxfdxxxf Ví dụ: Tính + 0 sin1 dx x x + 0 cos2 sin dx x xx Bài toán 6: =+ b a b a dxxfdxxbaf )()( = bb dxxfdxxbf 00 )()( Ví dụ: Tính + 0 2 cos1 sin dx x xx + 4 0 )1ln(4sin dxtgxx Bài toán 7: Nếu f(x) liên tục trên R và tuần hoàn với chu kì T thì: = + TTa a dxxfdxxf 0 )()( = TnT dxxfndxxf 00 )()( Ví dụ: Tính 2008 0 2cos1 dxx Các bài tập áp dụng: 1. + 1 1 2 21 1 dx x x 2. ++ 4 4 4 357 cos 1 dx x xxxx 3. ++ 1 1 2 )1)(1( xe dx x 4. + 2 2 2 sin4 cos dx x xx 5. + 2 1 2 1 ) 1 1 ln(2cos dx x x x 6. dxnx)xsin(sin 2 0 + 7. + 2 2 5 cos1 sin dx x x 8. 1 )1(1 cot 1 2 1 2 = + + + ga e tga e xx dx x xdx (tga>0) VII. TCH PHN HM GI TR TUYT I: 1. 3 3 2 1dxx 2. + 2 0 2 34 dxxx 3. 1 0 dxmxx 4. 2 2 sin dxx 5. dxxsin1 6. + 3 6 22 2cot dxxgxtg 7. 4 3 4 2sin dxx 8. + 2 0 cos1 dxx 9. + 5 2 )22( dxxx 10. 3 0 42 dx x 11. 3 2 3 coscoscos dxxxx 12. 2) 4 2 1 x 3x 2dx + 13. 5 3 ( x 2 x 2 )dx + 14. 2 2 2 1 2 1 x 2dx x + 15. 3 x 0 2 4dx 16. 0 1 cos2xdx + 17. 2 0 1 sin xdx + 18. dxxx 2 0 2 VIII. NG DNG CA TCH PHN: TNH DIN TCH HèNH PHNG Vớ d 1 : Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi a/ th hm s y = x + x -1 , trc honh , ng thng x = -2 v ng thng x = 1 b/ th hm s y = e x +1 , trc honh , ng thng x = 0 v ng thng x = 1 c/ th hm s y = x 3 - 4x , trc honh , ng thng x = -2 v ng thng x = 4 d/ th hm s y = sinx , trc honh , trc tung v ng thng x = 2 Vớ d 2 : Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi a/ th hm s y = x + x -1 , trc honh , ng thng x = -2 v ng thng x = 1 b/ th hm s y = e x +1 , trc honh , ng thng x = 0 v ng thng x = 1 c/ th hm s y = x 3 - 4x , trc honh , ng thng x = -2 v ng thng x = 4 d/ th hm s y = sinx , trc honh , trc tung v ng thng x = 2 Bài 1 : Cho (p) : y = x 2 + 1 và đờng thẳng (d): y = mx + 2. Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đờng trên có diện tích nhỏ nhẩt Bài 2: Cho y = x 4 - 4x 2 +m (c) Tìm m để hình phẳng giới hạn bởi (c) và 0x có diện tích ở phía trên 0x và phía dới 0x bằng nhau Bài 3: Xác định tham số m sao cho y = mx chia hình phẳng giới hạn bởi = = 0 1 3 y xo xx y Có hai phần diện tích bằng nhau Bài 4: (p): y 2 =2x chia hình phẳng giới bởi x 2 +y 2 = 8 thành hai phần.Tính diện tích mỗi phần Bài 5: Cho a > 0 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi + = + ++ = 4 2 4 22 1 1 32 a axa y a aaxx y Tìm a để diện tích lớn nhất Bài 6: Tớnh din tớch ca cỏc hỡnh phng sau: 1) (H 1 ): 2 2 x y 4 4 x y 4 2  = −     =   2) (H 2 ) : 2 y x 4x 3 y x 3  = − +   = +   3) (H 3 ): 3x 1 y x 1 y 0 x 0 − −  =  −  =   =   4) (H 4 ): 2 2 y x x y  =   = −   5) (H 5 ): 2 y x y 2 x  =   = −   6) (H 6 ): 2 y x 5 0 x y 3 0  + − =  + − =  7) (H 7 ): ln x y 2 x y 0 x e x 1  =    =   =  =   8) (H 8 ) : 2 2 y x 2x y x 4x  = −   = − +   9) (H 9 ): 2 3 3 y x x 2 2 y x  = + −    =  10) (H 10 ): 2 y 2y x 0 x y 0  − + =  + =  11)      −= = )( 2:)( :)( Ox xyd xyC 12)      =∆ = = 1:)( 2:)( :)( x yd eyC x 14)      =+ −−= 03 4 2 2 yx xy 15)      = =−+ = 0 02 y yx xy 16        + = = 2 2 1 1 2 x y x y 17 18)      == == ex e x yxy , 1 0,ln 19.        == == 3 ; 6 cos 1 ; sin 1 22 ππ xx x y x y 20): y = 4x – x 2 ; (p) vµ tiÕp tuyÕn cña (p) ®i qua M(5/6,6) 21)      −= +−= +−= 114 42 54 2 xy xy xxy 22)      −= −+−= −+−= 153 34 56 2 2 xy xxy xxy 23)          = = = = ex y x y xy 0 1 24)    += −= 5// /1/ 2 xy xy 25)      = = xy xy 2 3 26)    = +−−= 0 2//3 2 y xxy 27)    −= += xy xy 4 2 2 28)      = ++= +−= 1 54 22 2 2 y xxy xxy 29)      +−= −= 7 /1/ 2 2 xy xy 30)      =−= = = 1;2 0 3 xx y xy 31)      == = −= π xx y xxy ;0 3 cos2sin 32)      = ++= 0 2 3 y x xy 33)    += += 2 2 2 xy xxy 34)      == −+= −= 4;0 63 22 2 2 xx xxy xxy 35)    = +−= 6 /65/ 2 y xxy 36)      = −−= = 2 12 2 2 2 y xxy xy 37)    = +−= 2 /23/ 2 y xxy 38)    += +−= 1 /65/ 2 xy xxy 39)      −= +−= 2 2 /23/ xy xxy 40)    = +−= 3 /34/ 2 y xxy 41)      = = = − 1x ey ey x Ï 42)      == − = 1;0 62 2 xx xx x y 43)    −= = π // /sin/ xy xy 44)      = −−= = 8 44 2 2 2 y xxy xy 45)      = =++ = 0 0122 2 2 y yx xy 46)    −= 0 )( 2222 a xaxy 47)    = += yx xy π sin )1( 2 48)    = −= 2 /1/ 2 x xy 49)    = −= 2 /1/ 2 x yx 32)      = = += 0 sin )1( 2 x xy yx . và 0x có diện tích ở phía trên 0x và phía dới 0x bằng nhau Bài 3: Xác định tham số m sao cho y = mx chia hình phẳng giới hạn bởi = = 0 1 3 y xo xx