ĐẠI SỐ 9-CHƯƠNG I-ÔN TS 10 _ P 2 Dành cho học sinh tự luyện ( có giải ) Bài 100) a. Cho k là số nguyên dương bất kì. Chứng minh bất đẳng thức sau: 1 1 1 2( ) ( 1) 1 < − + + k k k k b. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 88 2 45 3 2 4 3 2010 2009 + + + + <L Giải a. Cho k là số nguyên dương bất kì. CMR: 1 1 1 2( ) ( 1) 1k k k k < − + + b. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 88 2 45 3 2 4 3 2010 2009 + + + + <L Bđt 1 2 k 1 2 k (k 1) k k. k 1 + − ⇔ < + + ⇔ 2k 1 2 k(k 1) 0+ − + > 2 ( k 1 k) 0⇔ + − > Luôn đúng với mọi k nguyên dương. 1 1 1 2( ) ( 1) 1 ⇒ < − + + k k k k Áp dụng kết quả câu a ta có: 1 1 1 1 VT 2 1 3 2 4 3 2010 2009 = + + + +L 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 3 2009 2010       < − + − + + −  ÷  ÷ ÷       L 1 2 1 2010   = −  ÷   1 88 2 1 VP 45 45   < − = =  ÷   (đpcm) 1 Bài 101) Cho 2 1 A = 4x + 4x +1 và 2 2x - 2 B = x - 2x +1 . Tìm tất cả các giá trị nguyên của x sao cho 2A + B C = 3 là một số nguyên. Giải Điều kiện xác định: x ≠ 1 (do x nguyên). Dễ thấy 1 2( 1) ; | 2 1| | 1| x A B x x − = = + − , suy ra: 2 1 1 3 | 2 1| | 1| x C x x   − = +  ÷ + −   Nếu 1x > . Khi đó 2 1 4( 1) 4( 1) 1 2 1 0 1 1 0 3 2 1 3(2 1) 3(2 1) 3(2 1) x x x C C x x x x + + −   = + = > ⇒ − = − = <  ÷ + + + +   Suy ra 0 1C< < , hay C không thể là số nguyên với 1x > . Nếu 1 1 2 x− < < . Khi đó: 0x = (vì x nguyên) và 0C = . Vậy 0x = là một giá trị cần tìm. Nếu 1 2 x < − . Khi đó 1x ≤ − (do x nguyên). Ta có: 2 1 4( 1) 1 0 3 2 1 3(2 1) x C x x +   = − − = − ≤  ÷ + +   và 4( 1) 2 1 1 1 0 3(2 1) 3(2 1) x x C x x + − + = − + = > + + , suy ra 1 0C− < ≤ hay 0C = và 1x = − . Vậy các giá trị tìm được thoả mãn yêu cầu là: 0, 1x x= = − . Bài 102) Với số tự nhiên n, 3n ³ . Đặt ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 . 3 1 2 5 2 3 2 1 1 n S n n n + + + = + + + + + Chúng minh S n < 1 2 Giải ( ) ( ) 2 2 1 1 1 Ta cã : 2 1 2 1 1 4 4 1 1 n +1 - n 1 1 1 2 2 1. 1 4 4 n n n n n n n n n n n n n n n n n n + - + - = = + + + + + + æ ö + - ÷ ç ÷ < = = - ç ÷ ç ÷ ç è ø + + + Do đó 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 1 2 2 2 2 2 3 1 1 n S n n n æ ö æ ö ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ < - + - + + - = - < ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø + + Bài 103) Cho biểu thức a a b b 2b 1 1 P . a ab b a b a b   −   = + +  ÷  ÷  ÷ + + +     . a) Tìm điều kiện đối với a và b để P có nghĩa rồi rút gọn biểu thức P. b) Khi a và b là các nghiệm của phương trình bậc hai 2 3 1 0x x− + = . Không cần giải phương trình này, hãy chứng tỏ giá trị của P là một số nguyên dương. Giải Điều kiện để biểu thức P có nghĩa: a 0, b 0> > . 2 ( ) ( ) 3 3 a b 2b 1 1 P a ab b a b a b   −     = + +  ÷   + + +       ( ) ( ) a b a ab b 2b 1 1 a ab b a b a b   − + +     = + +  ÷   + + +     2b a b a b a b ab   +   = − +  ÷  ÷  ÷ +     a b a b a b ab   + +   =  ÷  ÷  ÷ +     a b ab + = (*) Vì a, b là nghiệm của phương trình bậc hai 2 x 3x 1 0− + = nên theo định lý Vi-ét ta có a b 3, ab 1+ = = . Thế vào biểu thức (*) ta được: P 3= (đpcm) Bài 104) Rút gọn biểu thức P = 10 - 3 11 - 10 + 3 11 . Giải Rút gọn biểu thức P = 10 3 11 10 3 11− − + . P 2 = ( ) 2. 10 3 11 10 3 11− − + = 20 6 11 20 6 11− − + = ( ) ( ) 2 2 11 3 11 3− − + = 11 3 11 3− − + = ( ) ( ) 11 3 11 3− − + = –6 Suy ra P = –3 2 Bài 105) Rút gọn các biểu thức sau : 1) A = + 2) B = + Giải 1) A = + = + = 2 2) B = + = + = 2 Bài 106) Cho 1 1x x x x M x x x x − + = − − + 1- Tìm điều kiện để M có nghĩa. 2- Rút gọn M (với điều kiện M có nghĩa) 3- Cho N=    ÷   3 3 1 6 1 6x + + x + 18 x x . Tìm tất cả các giá trị của x để M=N Giải ): Cho xx xx xx xx M + + − − − = 11 1- Tìm điều kiện để M có nghĩa. 2- Rút gọn M (với điều kiện M có nghĩa) 3 3- Cho N =       +++ 3 3 16 6 18 1 x x x x . Tìm tất cả giá trị của x để NM = 1-(0,5 đ) * Để M có nghĩa, ta có:      ≠+ ≠− ≥ 0 0 0 xx xx x * <=>      ≠+ ≠− ≥ 0)1( 0)1( 0 xx xx x <=>    ≠ > 1 0 x x 2-(1,0 đ) * Với x > 0, 1 ≠ ta có: xx xxxxxxxx M − −+−+− = 2 ))(1())(1( * = xx xxxxxxxxxx − +−+−−−+ 2 2222 * = xx xx − − 2 2 22 * xx xx − − = 2 2 )(2 = 2. Vậy 2=M 3-(1,0 đ) * Với x > 0, 1 ≠ ta có:       +++= 3 3 1 ) 1 (6 18 1 2 x x x x (1) Đặt y x x =+ 1 2 > (vì 1,0 ≠> x ) * Ta có ) 1 (3 11 .3 1 .3 1 3 3 2 2 3 33 x x x x x x x x x xy +++=+++= => yy x x 3 1 3 3 3 −=+ * Do đó, từ (1) ta có: yyy 3636 3 −+= <=> 0363 3 =−+ yy <=> )123)(3()3(3)93)(3()93()3(0 2233 ++−=−+++−=−+−= yyyyyyyyy <=> 23 >= y (vì 0 4 39 2 3 123 2 2 >+       +=++ xyy ) * Với 3 = y , ta có 3 1 =+ x x <=> 013 2 =+− xx ( ∆ = 9- 4= 5 > 0) <=> 2 53 1 + = x , 2 53 2 − = x (tmđk). Vậy với 2 53 1 + = x , 2 53 2 − = x thì NM = Bài 107) Tính giá trị của biểu thức 3 A = x - 6x với 3 3 x = 20 +14 2 + 20 -14 2 Giải Tính giá trị của biểu thức xxA 6 3 −= với 33 2142021420 −++= x * Đặt a = 3 21420 + , b = 3 21420 − , ta có x = a + b * Có 3 x = a 3 + b 3 + 3a 2 b +3ab 2 , vì a 3 + b 3 = 20 +14 2 +20 -14 2 = 40, nên * 3 x = 40 + 3ab(a+b) = 40 + 3ab x * Ta lại có ab = 33 21420.21420 −+ = 3 )21420)(21420( −+ = 3 22 14.220 − * = 28 3 = * Vậy A = x 3 - 6 x = 40 + 6 x - 6 x = 40 Bài 108) . Gi¶i ph¬ng tr×nh 4 3 3 x + 2 + 7 - x = 3 Giải 3 3 2 7 3x x+ + − = ( ) 3 3 3 3 2 7 3 2. 7 2 7 27x x x x x x⇔ + + − + + − + + − = 3 9 9. ( 2)(7 ) 27x x⇒ + + − = 3 ( 2)(7 ) 2x x⇔ + − = ( 2)(7 ) 8x x⇔ + − = 2 5 6 0x x⇔ − − = 1 6 x x = −  ⇔  =  ( tháa m·n ) Bài 109 Cho biÓu thøc 2 23 3 3 3 3 3 3 2 3 3 8 2 4 : 2 . 2 2 2 2 x x x x A x x x x x x     − − = + + +  ÷  ÷  ÷  ÷ + + − +     ( 8; 8; 0)x x x≠ ≠ − ≠ Chøng minh A kh«ng phô thuéc biÕn sè Giải xxxA xx xx x xx x xx x xxx A ∉=+−= + +−         − +− +         + ++ + ++− = 22 )2( )2)(2( . 2 222 2 24 : 2 )24)(2( 33 3 3 33 3 3 3 3 2 3 3 2 3 3 3 2 33 Bài 1 Tính giá trị biểu thức: ( ) x 5 2 2 5 5 250= + − 3 3 y 3 1 3 1 = − − + 5 ( ) x x y y A x y x xy y + = − − + Giải Tính giá trị biểu thức: ( ) ( ) ( ) x 5 2 2 5 5 250 5 2 2 5 5 5 5. 2 5 2 5 2 2 5 5 2 10 = + − = + − = + − = ( ) ( ) ( ) 3 3 y 3 1 3 1 3 3 1 3 3 1 3 1 3 1 3 3 1 3 2 = − − + + − = − − − − = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 x x y y A x y x xy y x y x y x xy y x y x y x xy y x xy y x y x y x y 10 3 7 + = − − + + + − + = − = − − + − + = + − = − = − = Bài 2 Gi¶i ph¬ng tr×nh + − − = + 2 2 2 19 2 39x x x x Giải ≥ =   = −  =   = −  + − − = + − − ⇔ + + = ⇒ ⇒ − − = ⇔ − − = ⇒ 2 1 2 1 2 0 4( 5( 7 5 2 2 2 19 2 39 (*) 2 2 19 (*) 2 0 2 2 19 16 2 2 35 0 t t x x x x x x x x t t x x x x ®Æt t = nhËn) lo¹i Bài 3 Cho biểu thức a 1 1 2 K : a 1 a 1 a a a 1     = − +  ÷  ÷ − − − +     a) Rút gọn biểu thức K. b) Tính giá trị của K khi a = 3 + 2 2 c) Tìm các giá trị của a sao cho K < 0. Giải a) Điều kiện a > 0 và a ≠ 1 (0,25đ) 6 a 1 1 2 K : a 1 a( a 1) a 1 ( a 1)( a 1)     = − +  ÷  ÷ − − + + −     a 1 a 1 : a( a 1) ( a 1)( a 1) − + = − + − a 1 a 1 .( a 1) a( a 1) a − − = − = − b) a = 3 + 2 2 = (1 + 2 ) 2 a 1 2⇒ = + 3 2 2 1 2(1 2) K 2 1 2 1 2 + − + = = = + + c) a 1 0 a 1 K 0 0 a 0 a − <  − < ⇔ < ⇔  >  a 1 0 a 1 a 0 <  ⇔ ⇔ < <  >  Bài 113) Cho hàm số: y f (x) 2 x x 2= = − + + a) Tìm tập xác định của hàm số. b) Chứng minh f(a) = f(- a) với 2 a 2− ≤ ≤ c) Chứng minh 2 y 4≥ . Giải a) Điều kiện để biểu thức có nghĩa là: 2 x 0 x 2 2 x 2 x 2 0 x 2 − ≥ ≤   ⇔ ⇔ − ≤ ≤   + ≥ ≥ −   (hoặc | x | ≤ 2) Tập xác định là [-2; 2]. b) f (a) 2 a a 2 ; f ( a) 2 ( a) a 2 2 a a 2= − + + − = − − + − + = − + + . Từ đó suy ra f(a) = f(- a) c) 2 2 2 y ( 2 x) 2 2 x. 2 x ( 2 x)= − + − + + + 2 2 x 2 4 x 2 x= − + − + + 2 4 2 4 x 4= + − ≥ (vì 2 2 4 x− ≥ 0). Đẳng thức xảy ra x 2⇔ = ± . Giá trị nhỏ nhất của y là 2. Bài 114) ) Cho biểu thức 4 x 8x x 1 2 P : 4 1 2 x x 2 x x     − = + −  ÷  ÷ − + −     a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị của x để P = - 1. 7 Giải a) 4 x(2 x) 8x ( x 1) 2( x 2) P : (2 x)(2 x) x( x 2) − + − − − = + − − 8 x 4x 3 x : (2 x)(2 x) x( x 2) + − = + − − 8 x 4x x( x 2) . (2 x)(2 x) 3 x + − = + − − 4x x 3 = − Điều kiện x ≥ 0; x ≠ 4 và x ≠ 9 b) P = - 1 khi và chỉ khi 4x x 3 0+ − = 3 9 x x 4 16 ⇔ = ⇔ = Bài 115) Cho 1 1 A 2(1 x 2) 2(1 x 2) = + + + − + . a) Tìm x để A có nghĩa. b) Rút gọn A. Giải a) A có nghĩa x 2 0 x 2 x 2 x 2 1 x 1 x 2 1 + ≥  ≥ − ≥ −    ⇔ ⇔ ⇔    + ≠ ≠ − + ≠     b) 2 1 1 (1 x 2) (1 x 2) 1 A x 1 2(1 x 2) 2(1 x 2) 2 1 ( x 2) − + + + + − = + = = +  + + − + − +   Bài 116) Giải phương trình 2 2x 5 2x 4 2 0− + = Giải Ta có a + b + c = 2 5 2 4 2 0.− + = Vậy phương trình có hai nghiệm: x 1 = 1 ; x 2 = c 4 2 4 a 2 = = . Bài 117) a) Cho biết: A = 9 + 3 7 và B = 9 - 3 7 . Hãy so sánh A + B và A.B. b) Tính giá trị của biểu thức: 1 1 5 5 M : 3 5 3 5 5 1 −   = −  ÷ − + −   Giải a) Ta có A + B = 18 và A.B = 2 2 9 (3 7) 81 63 18− = − = nên A = B. b) 1 1 5 5 M : 3 5 3 5 5 1   −   = −  ÷  ÷ − + −     (3 5) (3 5) 5 1 1 . 2 (3 5)(3 5) 5( 5 1)   + − − − = =  ÷ + − −   8 Bài 118) Cho biểu thức: 2 1 2 1 x x x P x x x x x     = + −  ÷  ÷  ÷ + +     với x >0 1.Rút gọn biểu thức P 2.Tìm giá trị của x để P = 0 Giải §K: x> 0 a. P = ( xxx x x xx + + + 2 1 ).(2- x 1 ) = x x x xxx 12 . 1 − + + = )12( − xx . b. P = 0 ⇔ )12( − xx ⇔ x = 0 , x = 4 1 Do x = 0 kh«ng thuéc §K X§ nªn lo¹i. VËy P = 0 ⇔ x = 4 1 . Bài 119) Cho x + 2 x +1 x +1 P = + - x -1 x x -1 x + x +1 a. Rút gọn P b. Chứng minh P <1/3 với và x ≠ 1 Giải Bài 120) Cho biÓu thøc: A = 2 2 1 3 11 3 3 9 + − − − + − − x x x x x x a/ Rót gän biÓu thøc A. b/ T×m x ®Ó A < 2. c/ T×m x nguyªn ®Ó A nguyªn. Giải Bài 121 Cho 2 2 1 1 a a a a P a a a + + = − + − + ( với a 0≠ ) a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P Giải a/ (với a>0) 9 2 2 2 2 1 1 ( 1)( 1) (2 1) 1 1 2 1 1 a a a a P a a a a a a a a a a a a a a a a a + + = − + − + + − + + = − + − + = + − − + = − b/Tìm giá trị nhỏ nhất của P. 2 2 2 1 1 1 2 . 2 4 4 1 1 ( ) ( ). 2 4 P a a a a a = − = − + − − = − + Vậy P có giá trị nhỏ nhất là 1 4 − khi 1 1 1 0 < => a 2 2 4 a a− = = <=> = Bài 122 Cho: 2 2 2 2 x - 2xy + y x y + y x M = - x - y xy 1- Tìm điều kiện để M có nghĩa. 2- Rút gọn M (với điều kiện M có nghĩa) 3- Cho 3N y y= − . Tìm tất cả các cặp số );( yx đểM=N GiảiCho xy xyyx yx yxyx M 2222 2 + − − +− = 1- Tìm điều kiện để M có nghĩa 2- Rút gọn M (với điều kiện M có nghĩa) 3- Cho 3 −= yyN . Tìm tất cả các cặp số );( yx để NM = 1-(0,5 đ) * Để M có nghĩa, ta có:    ≠ ≠− 0 0 xy yx * <=> 0,0, ≠≠≠ yxyx (1) 2-(0,75 đ) * Với 0,0, ≠≠≠ yxyx ta có: xy yxxy yx yx M )()( 2 + − − − = * M = yxyx −−− * yM 2 −= 3-(0,75 đ) * Để 3 − yy có nghĩa thì 0 ≥ y (2) Với 0,0, >≠≠ yxyx (kết hợp (1) và (2)), ta có 32 −=− yyy * <=> 03)(2)( 23 =−+ yy đặt a = y , a > 0, ta có 032 23 =−+ aa * <=> )33)(1()1)(1(2)1)(1()22()1(0 2223 ++−=+−+++−=−+−= aaaaaaaaaa <=> a =1 > 0 (vì 33 2 ++ aa = 4 3 ) 2 3 ( 2 ++ a > 0). Do a =1 nên y = 1 > 0 Vậy các cặp số ( x ; y ) phải tìm để NM = là: x tuỳ ý ≠ 0, ≠ 1; y = 1 Bài 123 Tính giá trị của biểu thức 3 6A x x = − với 3 3 20 14 2 20 14 2x = + + − Giải Tính giá trị của biểu thức xxA 6 3 −= với 33 2142021420 −++= x 10 (Với a>0)