SỬ DỤNG GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ A). Phương Pháp: Với phương trình có dạng : )()( mgxf = Chúng ta thực hiện các bước sau đây: Bước 1: Xem đó là phương trình hoành độ giao điểm của )(xf và )(mg .Do đó số nghiệm của phương trình là số giao điểm của 2 hàm số Bước 2: Xét hàm số )(xfy = • Tìm tập xác định D • Tính đạo hàm 'y , rồi giải phương trình 0' = y • Lập bảng biến thiên của hàm số Bước 3: Kết luận: • Phương trình có nghiệm )(max)()(min xfmgxf ≤≤⇔ • Phương trình có k nghiệm phân biệt ⇔ dựa vào bảng biến thiên xem )(mg cắt )(xf tại k điểm .Suy ra giá trị cần tìm • Phương trình vô nghiệm ⇔ hai hàm số không cắt nhau Với bất phương trình có dạng : )()( mgxf ≤ Chúng ta thực hiện các bước sau đây: Bước 1: Xét hàm số )(xfy = • Tìm tập xác định D • Tính đạo hàm 'y , rồi giải phương trình 0' = y • Lập bảng biến thiên của hàm số Bước 2: Kết luận: • Bất phương trình có nghiệm D ∈ )(min mgy ≤⇔ • Bất phương trình nghiệm đúng Dx ∈∀ )(max mgy ≤⇔ Chú ý : Nếu )()( mgxf ≥ thì: • Bất phương trình có nghiệm D ∈ )(min mgy ≥⇔ • Bất phương trình nghiệm đúng Dx ∈∀ )(max mgy ≥⇔ Chú ý chung : Nếu có đặt ẩn phụ )(xht = . Từ điều kiện của x chuyển thành điều kiện của t .Có 3 hướng để tìm điều kiện : • Sử dụng BĐT Cô si cho các số không âm • Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki • Sử dụng đạo hàm để tim min và max ( lúc đó t sẽ thuộc min và max ) B).Bài Tập Ứng Dụng : Loại 1: Bài toán tìm m đối với phương trình Bài 1.Tìm m để phương trình sau có nghiệm : a) mxxxx =+−−++ 11 22 b) )45(12 xxmxxx −+−=++ c) mxxxx ++−=−+ 99 2 d) mxx =−+ 4 2 1 e) 0113 4 4 =−++− xmxx f) 4 2 4 2 422)422( −=+−−+− xxxxm g) 03)cot(tancottan 22 =++++ xxmxx Bài làm : a) mxxxx =+−−++ 11 22 Xét hàm số 11 22 +−−++= xxxxy • Miền xác định : RD = • Đạo hàm : 12 12 12 12 ' 22 +− − − ++ + = xx x xx x y 1)12(1)12(0' 22 +−+=++−⇔= xxxxxxy    +−+=++− >+− ⇔ )1()12()1()12( 0)12)(12( 2222 xxxxxx xx ⇔ vô nghiệm Mà 01)0(' >= y nên hàm số đồng biến trên R • Giới hạn : 1 11 2 lim)11(limlim 22 22 = +−+++ =+−−++= +∞→+∞→+∞→ xxxx x xxxxy xxx 1 11 2 limlim 22 −= +−+++ = −∞→−∞→ xxxx x y xx • Bảng biến thiên : Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 11 <<− m b) )45(12 xxmxxx −+−=++ Điều kiện : x ∞− ∞+ 'y + y 1 -1 40 04 05 012 0 ≤≤⇔        ≥− ≥− ≥+ ≥ x x x x x (*) Viết phương trình về dạng : mxxxxx =−−−++ )45)(12( (1) Xét hàm số : )45)(12( xxxxxy −−−++= • Miền xác định : [ ] 4,0 = D • Nhận xét rằng : - Hàm )12()( ++= xxxxh là hàm đồng biến trên D - Hàm xxxg −−−= 45)( có : Dx xx xx xg ∈∀> −− −−− = 0 452 45 )(' .Suy ra đồng biến )().( xgxhy =⇒ là hàm đồng biến trên D Vậy phương trình (1) có nghiệm khi : )4()0( fmf ≤≤ 12)25(12 ≤≤−⇔ m c) mxxxx ++−=−+ 99 2 Điều kiện : 90 09 0 ≤≤⇔    ≥− ≥ x x x Biến đổi phương trình : mxxxx ++−=−+ 9)9(29 2 mxxxx =+−+−−⇔ 9299 22 Xét hàm số xxxxy 9299 22 +−++−= • Miền xác định : [ ] 9,0 = D • Đạo hàm : xx x xy 9 )92( 92' 2 +− +− −−= 0 9 1 1)92(0' 2 =       +− +−⇔= xx xy 2 9 =⇔ x • Bảng biến thiên : Vậy phương trình có nghiệm khi : 9 4 9 ≤≤− m d) mxx =−+ 4 2 1 Điều kiện : 0 ≥ x Xét hàm số : xxy −+= 4 2 1 • Miền xác định : [ ) +∞= ,0D • Đạo hàm : x x x y 2 1 )1(2 ' 4 32 − + = 4 32 )1(0' +=⇔= xxxy 326 )1( +=⇔ xx 1 22 +=⇔ xx (vô nghiệm) Suy ra )(' xy không đổi dấu trên D , mà 0 2 1 82 1 )1(' 4 <−= y Do đó Dxxy ∈∀< 0)(' ⇔ hàm số đồng biến • Giới hạn: 0 )1)(1( 1 lim)1(limlim 2 4 2 4 2 = ++++ =−+= +∞→+∞→+∞→ xxxx xxy xxx • Bảng biến thiên: x 0 2 9 9 'y – 0 + y 9 9 4 9 − x 0 ∞+ 'y – y 1 0 Vậy phương trình có nghiệm khi : 10 ≤< m e) 0113 4 4 =−++− xmxx Biến đổi phương trinh : xmxx −=+− 113 4 4    −=+− ≥− ⇔ 44 )1(13 01 xmxx x    =+−− ≤ ⇔ mxxx x 13)1( 1 44 Xét hàm số xxxy 13)1( 44 +−−= • Miền xác định : ( ] 1, ∞−= D • Đạo hàm : 91212134)1(4' 233 ++−=+−−−= xxxxy 0912120' 2 =++−⇔= xxy      −= = ⇔ )( 2 1 )( 2 3 nx lx • Giới hạn : [ ] +∞=+−−= −∞→−∞→ xxxy xx 13)1(limlim 44 • Bảng biến thiên: Vậy để phương trình có nghiệm khi : 2 3 −≥ m x ∞− 2 1 − 1 'y — 0 + y ∞+ 12 2 3 − f) 4 2 4 2 422)422( −=+−−+− xxxxm Điều kiện : 2 ≥ x Khi 2 = x : VPVT VP VT ≠⇔    = −= 0 2 (loại) Khi :2 > x Chia 2 vế cho 4 2 4 − x ta được : 2 2 2 2 2 2 44 = − + −         + + − x x x x m (*) Đặt 4 2 2 − + = x x t Tìm điều kiện cho t Cách 1: Xét hàm số 2 2 2 )( 4 >∀ − + = x x x xf Đạo hàm : ( ) 0 2 2 2 1 2 2 4 1 2 2 )(' 4 3 2 4 3 ' <       − + − − =       − +       − + = x x x x x x x xf Suy ra hàm số )(xf nghịch biến 2 >∀ x 1)(lim)( >⇔>⇔ +∞→ txfxf x Cách 2: Ta có 2 > x . Mà 4 2 2 − + = x x t 2 2 4 − + =⇔ x x t 1 )1(2 2)2( 4 4 4 − + =⇔ +=−⇔ t t x xxt Do đó:    > −< ⇔    −< > ⇔>−⇔ > − ⇔> − + 1 1 1 1 01 0 1 4 2 1 )1(2 2 2 4 44 4 t t t t t tt t Mặc khác 10 >⇒> tt Lúc đó : (*) )()( 12 2 22 1 2 tfmg t tt mt t m =⇔ + + =⇔=−       +⇒ Xét hàm số 12 2 )( 2 + + = t tt tf • Miền xác định : ( ) +∞= ,1D • Đạo hàm : ( ) ⇒> + ++ = 0 12 222 )(' 2 2 t tt tf hàm số đồng biến • Giới hạn : +∞= +∞→ )(lim tf t • Bảng biến thiên: Vậy để phương trình có nghiệm : 11)( >⇔> mmg g) 03)cot(tancottan 22 =++++ xxmxx Đặt xxt cottan += 2cottan 222 ++=⇒ xxt Tìm điều kiện cho t : 2cot.tan2cottancottan ≥⇔≥+=+= txxxxxxt (vì )1cot.tan = xx Lúc đó : )()( 1 01 2 2 tfmg t t mmtt =⇔ + =−⇔=++ Xét hàm số t t tf 1 )( 2 + = • Miền xác định: ),2()2,( +∞∨−−∞= D • Đạo hàm : Dx t t tf ∈∀> − = 0 1 )(' 2 2 • Giới hạn : ±∞= + = ±∞→±∞→ t t tf tt 1 lim)(lim 2 • Bảng biến thiên : x 1 ∞+ 'y + y ∞+ 1 x ∞− 2 − 2 ∞+ 'y + + y 2 5 − ∞+ ∞− 2 5 Vậy để phương trình có nghiệm:      > −< 2 5 2 5 m m Bài 2.Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt a) mxxxx =−+−++ 626222 44 b) 6164164 4 3434 =++−+++− mxxxmxxx Bài làm : a) mxxxx =−+−++ 626222 44 (1) Điều kiện : 60 06 02 ≤≤⇔    ≥− ≥ x x x Xét hàm số xxxxy −+−++= 626222 44 • Miền xác định: [ ] 6,0 = D • Đạo hàm x x x x y − − − −+= 6 1 )6(2 1 2 1 )2(2 1 ' 4 3 4 3 0 6 1 2 1 )6(2 1 )2(2 1 0' 4 3 4 3 = − −+ − −⇔= xx xx y 0 6 1 2 1 )6(2 1 6 1 2 1 2 1 6 1 2 1 44 4 44 =         − ++         − + − +         − −⇔ xxxxxxxx 44 6 1 2 1 xx − =⇔ xx −=⇔ 62 2=⇔ x • Bảng biến thiên: x 0 2 6 'y + 0 — y )44(3 4 + )66(2 4 + 1212 4 + Để (1) có hai nghiệm phân biệt: )44(3)66(2 4 4 +<≤+ m b) 6164164 4 3434 =++−+++− mxxxmxxx Đặt )0(164 4 34 ≥++−= tmxxxt Lúc đó : 066 22 =−+⇔=+ tttt     −= = ⇔ )(3 )(2 lt nt Với mxxxmxxxt −=+−⇔=++−⇔= 16164161642 3434 (*) Xét hàm số : xxxxf 164)( 34 +−= • Miền xác định: RD = • Đạo hàm : 1684)(' 23 +−= xxxf 016840)(' 23 =+−⇔= xxxf    = −= ⇔ 2 1 x x • Giới hạn +∞=+−= +∞→+∞→ )164(lim)(lim 34 xxxxf xx +∞=+−= −∞→−∞→ )164(lim)(lim 34 xxxxf xx • Bảng biến thiên: x ∞− -1 2 ∞+ 'y — 0 + 0 + y ∞+ ∞+ 16 -11 Vậy để có hai nghiệm khi : 271116 <⇔−>− mm 3.Tìm m để phương trình xmx cos1 2 =+ có đúng 1 nghiệm thuộc ) 2 ,0( π Bài làm: Biến đổi phương trình: 1cos 2 −= xmx (1) Nhận xét: (1) có nghiệm khi 0 ≤ m ( vì 0 > m lúc đó 0,0 <> VPVT ) Lúc đó (1) m x x x x m −=       ⇔ − =⇔ 2 2 2 2 4 2 sin2 1cos m x x 2 2 2 sin 2 2 −=       ⇔ (2) Đặt 2 x t = . Vì       ∈⇒       ∈ 4 ,0 2 ,0 ππ tx (2) m t t m t t 2 sin 2 sin 2 2 2 −=       ⇔−=⇔ Xét hàm số: t t tf sin )( = • Miền xác định       = 4 ,0 π D • Đạo hàm Dt t ttt t ttt tf ∈∀< − = − = 0 )tan.(cossincos. )(' 22 ( vì tttDt <>⇒∈ tan,0cos ) Do đó hàm )(tf nghịch biến • Giới hạn : 1 sin lim)(lim 00 =       = →→ t t tf tt • Bảng biến thiên: t 0 4 π )(' tf – )(tf 1 π 22 [...]... với m i x ⇔ g ( m) ≥ max f ( x) ⇔ m ≥ 4 27 Bài 2: T m m để bất phương trình có nghi m a) mx − x − 3 ≤ m +1 b) 2 sin x + 3cos x ≥ m. 3sin x c) x −4 x +3 +2mx −6 > 0 Bài l m : a) mx − x − 3 ≤ m +1 Điều kiện : x ≥ 3 Đặt t = x −3 (t ≥ 0) 2 2 2 2 Lúc đó : 2 m( t 2 + 3) − t ≤ m + 1 ⇔ m( t + 2) ≤ t + 1 ⇔ m ≤ ⇔ g ( m) ≤ f (t ) Xét h m số: f (t ) = • • t +1 t2 + 2 Miền xác định Đạo h m t +1 t2 + 2 D = [ 0,+ )... nghi m x ∈[ 0,2 ] nghi m đúng với m i 1 2 Bài 3: T m m để phương trình Bài 4: T m m để phương trình x −2 ( x +1) +m =0 1    3 x 2 −2 x = m 2 + m +1 có ba nghi m phân biệt có bốn nghi m phân biệt Bài 5: T m m để phương trình −2 x +10 x −8 = x −5 x +m có bốn nghi m phân biệt Bài 6: T m m để (3 + x)(7 − x) ≤ x − 4 x + m nghi m đúng ∀x ∈[− 3,7 ] Bài 7: T m m để hệ phương trình có nghi m: 2 2 2  x 2  1... xlim f ( x) = xlim →+∞ →+∞ x5 f ' ( x) = • 0 max y ≥ m ⇔ m ≤ 4 x 2 −4 x +3 +2mx −6 > 0 Xét h m số (1) • Bảng biến thiên : x +∞ 1 + y' y +∞ 2 Để bất phương trình nghi m đúng với x ≥ 1 ⇔ min f ( x) ≥ g (m) 2 ⇔ 3m ≤ 2 ⇔ m ≤ 3 log 2 x 2 Bài 4: T m tất cả m để bất phương trình log 2 x −1 2 với m i x > 0 Bài l m: Đặt t = log 2 x 2 T m điều kiện cho t : Vì x > 0 ⇔ t > 1 t ≥ m ⇔ f (t ) ≥ g (m) t −1 t h m số...  2 3 x 2 − mx x + 16 = 0  Bài 8: T m m để hệ phương trình có ba cặp nghi m phân biệt 3( x + 1) 2 + y − m = 0  x + xy = 1 x 2 − 3 x − 4 ≤ 0  3 2 x − 3 x x − m − 1 5m ≥ 0 3 x + x = 3m + y nghi m:  y 3 + y = 3m + x Bài 9: T m m để hệ có nghi m Bài 10: T m m để hệ vô Bài 11: T m m để phương trình có nghi m: 7 2 x + x +1 − 7 2 + x +1 + 2007 x ≤ 2007   2 x − (m + 2) x + 2m + 3 = 0  (1)... Xét h m số f (t ) = 3 + t 3 • Miền xác định D = R t 2 • Đạo h m f ' ( x) = ln 3.3 + 3t > 0 H m số đồng biến Do đó x = y Thay vào phương trình (2) ta có: t x 2 + x 2 = m ⇔ 2x 2 = m ⇔ x 2 = m 2 Để hệ có nghi m: m ≥ 0 C).Bài tập tự luyện: Bài 1: T m m để bất phương trình Bài 2: T m m để 9 2 x −x − 2 (m −1).6 2 x 2 x thoả điều kiện x ≥ ( m + 2) x m ≥ x +1 2 −x + ( m + 1).4 2 x 2 −x ≥0 có nghi m x ∈[ 0,2 ]... phương trình nghi m đúng với m i x a) x −6 x +5 +2mx >1 b) m. 9 x − 3 x + 1 ≥ 0 c) m. x 4 − 4 x + m ≥ 0 Bài l m : a) Xét h m số : y = f ( x) = x −6 x +5 +2mx 2 2  f1 ( x) = x 2 + 2( m − 3) x + 5 ( x ≤ 1 ∨ x ≥ 5)  f ( x) =  2  f 2 ( x ) = −x + 2 (m + 3) x − 5 (1 < x < 5)  Để bất phương trình nghi m đúng với m i x ⇔ min f ( x) > 1 ⇔ min{ f1 (1 ), f1 (5 ), f1 (3 − m) } > 1  1   m > 2  f1 (1) > 1... trình nghi m đúng với m i 3 ⇔ max f ( x ) < m ⇔   4 log 4 3 x ∈(− 2,0 ) ⇔ 1< m < 5  f (3 − m) > 1  2 10  1  m − 6m + 5 < 0     Vậy với 1 < m < 5 bất phương trình có nghi m đúng với m i b) Đặt t =3 x (t > 0) Lúc đó : m. t 2 − t + 1 ≥ 0 ⇔ mt 2 ≥ t − 1 ⇔ m ≥ Xét h m số f (t ) = t −1 t2 t −1 ⇔ g (m) ≥ f (t ) t2 D = ( 0,+ ∞) • Miền xác định • Đạo h m : f ' (t ) = 2t − t 2 t4 t = 0 f ' (t ) = 0 ⇔ 2t − t 2 = 0 ⇔  t = 2 • Giới hạn :  2t − t 2 lim f (t ) = lim ...  f 2 (1) > 0  ⇔  f 2 (3) > 0 ⇔  f ( m + 2) > 0  2  2m − 6 > 0  ⇔ 1< m < 5  6m + 5 > 0  m 2 − 6m + 5 > 0  Bài 3: T m tất cả m để bất phương trình − x 3 + 3mx − 2 ≤ − 1 thoả m n x3 với x ≥ 1 Bài l m: 1 x3 6 3 x + 2x − 1 ⇔ 3m ≤ x4 Biến đổi bất phương trình về dạng: 3mx ≤ x 3 + 2 − Xét h m số f ( x) = • • x 6 + 2x3 − 1 x4 Miền xác định : Đạo h m : D =[ 1,+ ) ∞ 2 x 6 − 2 x 3 + 4 2 x 3 ( x 3 − 1)... −1 • Miền xác định D = ( 1,+ ∞) t −2 • Đạo h m : f ' (t ) = 3 2 2 ( t −1) Lúc đó : Xét f ' (t ) = 0 ⇔ t = 2 • Giới hạn : lim f (t ) = lim t →+∞ t→ +∞ lim f (t ) = lim + + t→ 1 t→ 1 t −2 23 ( t −1) t −2 23 ( t −1) • Bảng biến thiên : 2 2 = +∞ = +∞ m nghi m đúng x 1 2 +∞ y' +∞ y — 0 + +∞ 1 Để bất phương trình nghi m đúng với m i x > 0 ⇔ f (t ) ≥g ( m) ∀ >0 t ⇔ min f (t ) ≥ g (m) ⇔ 1 ≥ m Bài 5: T m m để .    <+− > > ⇔ > − > > ⇔ m mm m m mf f f Vậy với 51 << m bất phương trình có nghi m đúng với m i x b) Đặt )0(3 > = tt x Lúc đó. với m i 0 > x ⇔ 0)()( > ∀≥ tmgtf mmgtf ≥⇔≥⇔ 1)()(min Bài 5: T m m để bất phương trình m xx <       +−− )32(log 2 4 4 3 nghi m đúng với m i