Vì sự nghiệp giáo dục Năm học 2010 - 2011 Ngày soạn : 26/08/10 Ngày dạy : 31/08/10 Chủ đề 1 Buổi 1 phơng pháp chứng minh bất đẳng thức A/Mục tiêu Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc : Kiến thức - Học sinh đợc củng cố định nghĩa và các tính chất của bất đẳng thức - Nắm đợc định nghĩa và một số tính chất bất đẳng thức. Biết vận dụng định nghĩa bất đẳng thức để chứng minh một số bất đẳng thức cơ bản. Kĩ năng - Rèn luyện kĩ năng biến đổi và rèn luyện khả năng t duy toán học thông qua chứng minh các bất đẳng thức - Tập chứng minh BĐT theo nhiều cách khác nhau Thái độ - Rèn luyện tính cẩn thận và chính xác, biết lựa chọn giải pháp hợp lý khi giải toán. B/Chuẩn bị của thầy và trò - GV: Nghiên cứu kĩ giáo án - HS: Ôn tập lại định nghĩa và các tính chất của bất đẳng thức C/Tiến trình bài dạy I. Tổ chức sĩ số II. Kiểm tra bài cũ - HS1: Thế nào là một bất đẳng thức ? Cho ví dụ ? - HS2: Nêu các tính chất của bất đẳng thức ? Cho các ví dụ minh họa ? III. Bài mới A Lí thuyết 1) Định nghĩa bất đẳng thức. a nhỏ hơn b, kí hiệu là a < b, nếu a b < 0. a lớn hơn b, kí hiệu là a > b, nếu a b > 0. a nhỏ hơn hoặc bằng b, kí hiệu là a b, nếu a - b 0. a lớn hơn hoặc bằng b, kí hiệu là a b, nếu a - b 0. Ví dụ: VD1: 7 5 7 6 > vì ( 7 5) ( 7 6) 1 0 = > VD2: 1 3 1 1 3 4 3 4 < vì 1 3 1 1 1 0 3 4 3 4 2 = < ữ ữ VD3: a 2 + 1 < a 2 + 2 vì (a 2 + 1) - (a 2 + 2) = -1 < 0 2) Các tính chất của BĐT. + Tính chất 1: a > b b < a. Giáo án Bồi dưỡng HSG Phần Đại số Trờng THCS Hồng Hng + Tính chất 2: a > b và b > c a > c (tính chất bắc cầu) + Tính chất 3: a > b a + c > b + c + Tính chất 4: a > b, c > d a + c > b + d a > b, c < d a - c > b - d + Tính chất 5: ac bc, nếu c > 0 a b ac bc, nếu c < 0 > > <=> < + Tính chất 6: a > b > 0, c > d > 0 ac > bd + Tính chất 7: a > b > 0 a n > b n với mọi n * N ; a > b a n > b n (n lẻ); a b> a n > b n (n chẵn) + Tính chất 8: a > b > 0 n n a b> với mọi n * N ; Hệ quả: a, b 0 => 2 2 a b a b a b <=> <=> + Tính chất 9: m n m n a 1 và m n a a với m,n N * 0 a 1 và m n a a với m,n N * > > => > < < > => < 3, Một số bất đẳng thức thông dụng : a, Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm: Với hai số không âm a , b ta có : ab ba + 2 ( ) 2 a b ab 2 + Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : a = b b, Bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki : Với mọi số a ; b; x ; y ta có : ( ax + by ) 2 (a 2 + b 2 )(x 2 + y 2 ) Dấu đẳng thức xảy ra <=> y b x a = c, Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối : baba ++ Dấu đẳng thức xảy ra khi : ab 0 B Các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức Phơng pháp chung : Cách 1 : Biến đổi BĐT cần chứng minh thành một BĐT tơng đơng mà ta đã biết là đúng Cách 2 : Biến đổi BĐT đúng đã biết thành BĐT cần chứng minh 1. Phơng pháp 1 : Dùng định nghĩa Phơng pháp chứng minh A > B : - Bớc 1: Xét hiệu A B - Bớc 2: Chứng minh A B > 0 - Lu ý : A 2 0 với mọi A ; dấu '' = '' xảy ra khi A = 0 . - A 2 0 với mọi A ; dấu '' = '' xảy ra khi A = 0 . A A A ; A A A 0; A A A 0= <=> = <=> Bài tập: Giaựo vieõn: Phaùm Vaờn Hieọu Vì sự nghiệp giáo dục Năm học 2010 - 2011 *) Bài tập 1: Chứng minh bất đẳng thức sau: 2 a b ab 2 + ữ Bài làm : (Bất đẳng thức Côsi) Xét hiệu 2 2 2 a b a 2ab b 4ab ab 2 4 + + + = ữ 2 a b 0 2 = ữ Vậy: 2 a b ab 2 + ữ dấu = xảy ra khi a = b. Chú ý: Để chứng minh BĐT: Với hai số không âm a , b ta có : ab ba + 2 ta xuất phát từ BĐT 2 ( a b ) 0 , luôn đúng với mọi a, b 0 *) Bài tập 2: Chứng minh rằng với mọi số a, b, x, y ta có 2 2 2 2 2 (a b )(x y ) (ax by)+ + + (Bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki) Bài làm : Xét hiệu 2 2 2 2 2 (a b )(x y ) (ax by)+ + + = a 2 x 2 + a 2 y 2 + b 2 x 2 + b 2 y 2 - a 2 x 2 - b 2 y 2 2byax = (ay bx) 2 0 Vậy: 2 2 2 2 2 (a b )(x y ) (ax by)+ + + dấu = xảy ra khi ay = bx hay a b x y = *) Bài tập 3: Cho a, b, c, d là các số thực. Chứng minh rằng : 2 2 2 2 2 a b c d e a(b c d e)+ + + + + + + Bài làm : Xét hiệu 2 2 2 2 2 (a b c d e ) a(b c d e) + + + + + + + = 2 2 2 2 2 2 2 2 a a a a ab b ac c ad d ae e 4 4 4 4 + + + + + + + ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ = 2 2 2 2 a a a a b c d e 0 2 2 2 2 + + + ữ ữ ữ ữ Vậy: 2 2 2 2 2 a b c d e a(b c d e)+ + + + + + + dấu = xảy ra khi a b c d e 2 = = = = *) Bài tập 4: Với mọi số : x, y, z chứng minh rằng : x 2 + y 2 + z 2 +3 2(x + y + z) Bài làm : Ta xét hiệu : H = x 2 + y 2 + z 2 +3 - 2( x + y + z) = x 2 + y 2 + z 2 +3 - 2x - 2y - 2z = (x 2 - 2x + 1) + (y 2 - 2y + 1) + (z 2 - 2z + 1) = (x - 1) 2 + (y - 1) 2 + (z - 1) 2 Do (x - 1) 2 0 với mọi x (y - 1) 2 0 với mọi y Giáo án Bồi dưỡng HSG Phần Đại số Trờng THCS Hồng Hng (z - 1) 2 0 với mọi z => H 0 với mọi x, y, z Hay x 2 + y 2 + z 2 +3 2(x + y + z) với mọi x, y, z . Dấu bằng xảy ra <=> x = y = z = 1. *) Bài tập 5: Chứng minh rằng với mọi x, y ta đều có : x 4 + y 4 xy 3 + x 3 y Bài làm : Xét hiệu : x 4 + y 4 ( xy 3 + x 3 y ) = ( x 4 xy 3 ) + ( y 4 x 3 y ) = x( x 3 y 3 ) + y( y 3 x 3 ) = ( x y )( x 3 y 3 ) = ( x y ) 2 ( x 2 + xy + y 2 ) = ( x y ) 2 ( ) 2 2 3 1 x y y 2 4 + + 0 Vậy bất đẳng thức đã cho là đúng . Dấu = xảy ra khi x = y . *) Bài tập 6: Cho các số dơng a , b thoả mãn điều kiện a + b = 1 Chứng minh rằng : ( 1 + 1 a )( 1 + 1 b ) 9 (1) Bài làm : Ta có ( a + 1 a .)( b + 1 b ) 9 ab + a + b + 1 9 ab ( vì a,b > 0 ) a + b + 1 8 ab 2 8 ab 1 4 ab ( vì a + b = 1 ) ( a + b ) 2 4 ab ( a b ) 2 0 (2) Bất đẳng thức (2) đúng, các phép biến đổi là tơng đơng. Vậy bất đẳng thức (1) đợc chứng minh. Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi a = b *) Bài tập 7: Cho a > 0, b > 0. Chứng minh rằng : a b a b+ > + H ớng dẫn : Cách 1 : ( ) ( ) 2 2 a b a b a b a b a 2 ab b a b 2 ab 0 (BĐT đúng vì a, b > 0 ) + > + <=> + > + <=> + + > + <=> > Vậy a b a b+ > + Cách 2 : ( ) 2 a b a b a 2 ab b a b (vì 2 ab 0)+ = + = + + > + > Cách 3 : Vì a > 0, b > 0 nên a b 1, 1 a b a b < < + + , do đó a a b b , a b a b a b a b > > + + + + Cộng vế với vế của hai BĐT cùng chiều => đpcm Giaựo vieõn: Phaùm Vaờn Hieọu Vì sự nghiệp giáo dục Năm học 2010 - 2011 Cách 4 : Vì a > 0, b > 0 nên a 0, b 0> > Dựng tam giác ABC vuông tại A có AB = a ,AC b= áp dụng Py ta go tính đợc BC = 2 2 AB AC+ ( ) ( ) 2 2 a b+ = a b+ áp dụng BĐT tam giác, ta có : AB + AC > BC Vậy a b a b+ > + b a C B A *) Bài tập 8: Cho a, b, c là các số không âm. Chứng minh rằng : 3 a b c abc 3 + + (BĐT Cô-si cho ba số không âm) H ớng dẫn : Cách 1 : Bài toán phụ : Chứng minh rằng ( ) ( ) 2 2 3 3 3 2 1 x y z 3xyz (x y z) ( x y) y z z x 2 + + = + + + + Hớng dẫn : Ta biến đổi từ VP để có VT Với x, y, z 0 => 3 3 3 x y z 3xyz+ + 0 => 3 3 3 x y z xyz 3 + + Đặt x = 3 3 3 a ,y b ,z c (a,b,c 0)= = Ta có : 3 3 3 3 a b c a b c a b c abc 3 3 + + + + <=> Cách 2 : Bài toán phụ Cho x, y, z, t không âm . Chứng minh rằng 4 x y z t xyzt 4 + + + (BĐT Cô-si cho bốn số không âm) Thật vậy: 4 x y z t x y z t 1 1 ( xy zt ) xy zt xyzt 4 2 2 2 2 + + + + + = + + = ữ => 4 x y z t xyzt 4 + + + ữ Do đó ( ) 4 4 a b c a b c a b c 3 a b c abc 3 4 3 + + + + + ữ + + + + = ữ ữ Trờng hợp một trong ba số a, b, c bằng 0, bài toán đợc chứng minh Trờng hợp a, b, c đều khác 0 , ta có a + b + c > 0 Do đó: ( ) 4 a b c a b c abc 3 3 + + + + <=> 3 a b c abc 3 + + Giáo án Bồi dưỡng HSG Phần Đại số Trờng THCS Hồng Hng IV. Hớng dẫn về nhà *) Bài tập về nhà : Chứng minh bất đẳng thức : 2 22 22 + + baba H ớng dẫn : Xét hiệu : H = 2 22 22 + + baba = 4 )2()(2 2222 bababa +++ = 0)( 4 1 )222( 4 1 22222 =+ baabbaba . Với mọi a, b . Dấu '' = '' xảy ra khi a = b . D/Bổ sung ******************************* Ngày soạn : 29/08/10 Ngày dạy : 04/09/10 Chủ đề 1 Buổi 2 phơng pháp chứng minh bất đẳng thức A/Mục tiêu Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc : Kiến thức - Học sinh đợc củng cố định nghĩa và các tính chất của bất đẳng thức - Nắm đợc định nghĩa và một số tính chất bất đẳng thức. Biết vận dụng các tính chất của bất đẳng thức để chứng minh một số bất đẳng thức cơ bản. Kĩ năng - Rèn luyện kĩ năng biến đổi và rèn luyện khả năng t duy toán học thông qua chứng minh các bất đẳng thức Thái độ - Rèn luyện tính cẩn thận và chính xác, biết lựa chọn giải pháp hợp lý khi giải toán. B/Chuẩn bị của thầy và trò - GV: Nghiên cứu kĩ giáo án Giaựo vieõn: Phaùm Vaờn Hieọu Vì sự nghiệp giáo dục Năm học 2010 - 2011 - HS: Ôn tập lại định nghĩa và các tính chất của bất đẳng thức C/Tiến trình bài dạy I. Tổ chức II. Kiểm tra bài cũ - HS1: Viết các tính chất của bất đẳng thức ? - HS2: Giải bài tập đã cho tiết trớc III. Bài mới 2. Phơng pháp 2 : Dùng tính chất của bất đẳng thức *) Bài tập 1 : Cho hai số x, y thoả mãn điều kiện x + y = 2. Chứng minh x 4 + y 4 2 Bài làm : - Ta có: (x 2 y 2 ) 2 0 (với mọi x, y) x 4 + y 4 2x 2 y 2 x 4 + y 4 + x 4 + y 4 x 4 + 2x 2 y 2 + y 4 2(x 4 + y 4 ) (x 2 + y 2 ) 2 (1) dấu = xảy ra khi x = y hoặc x = - y. - Mặt khác, ta có: (x y) 2 0 (với mọi x, y) x 2 + y 2 2xy 2(x 2 + y 2 ) (x + y) 2 x 2 + y 2 2 (2) (vì x + y = 2) dấu = xảy ra khi x = y. - Từ (1) và (2) x 4 +y 4 2 dấu= xảy ra khi x = y = 1. *) Bài tập 2 : Chứng minh rằng 2 2 2 3 a b c a b c 4 + + + Bài làm : Ta có: 2 2 1 1 a 0 a a 2 4 + + ữ 2 2 1 1 b 0 b b 2 4 + + ữ 2 2 1 1 c 0 c c 2 4 + + ữ Cộng vế theo vế của các bất đẳng thức trên ta đợc: 2 2 2 1 1 1 a b c a b c 4 4 4 + + + + + 2 2 2 3 a b c a b c 4 + + + dấu = xảy ra khi a = b = c = 1 2 . *) Bài tập 3 : Cho 0 < a, b, c, d < 1 . Chứng minh rằng : (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d . Bài làm : Giáo án Bồi dưỡng HSG Phần Đại số Trờng THCS Hồng Hng Ta có : (1 - a)(1 - b) = 1 - a - b + ab Do a, b > 0 nên ab > 0 => (1 - a)(1 - b) > 1 - a - b . Do c < 1 nên 1 - c > 0 => (1 - a)(1 - b)(1 - c) > (1 - a - b)(1 - c) (1 - a)(1 - b)(1 - c) > 1 - a - b - c + ac + bc . Do 0 < a, b, c, d <1 nên 1 - d > 0 ; ac + bc > 0 ; ad + bd + cd > 0 =>(1 - a)(1 - b)(1 - c) > 1 - a - b - c => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > (1 - a - b - c)(1 - d) => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d + ad + bd + cd => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d . *) Bài tập 4 : Cho 0 < a, b, c < 1 . Chứng minh rằng : 2a 3 + 2b 3 + 2c 3 < 3 + a 2 b + b 2 c + c 2 a Bài làm : Do 0 < a, b < 1 => a 3 < a 2 < a < 1 ; b 3 < b 2 < b < 1 ; ta có : (1 - a 2 )(1 - b) > 0 => 1 + a 2 b > a 2 + b => 1 + a 2 b > a 3 + b 3 hay a 3 + b 3 < 1 + a 2 b . Tơng tự : b 3 + c 3 < 1 + b 2 c ; c 3 + a 3 < 1 + c 2 a . => 2a 3 + 2b 3 + 2c 3 < 3 + a 2 b + b 2 c + c 2 a *) Bài tập 5 : Từ bất đẳng thức ( ) 2 a b 0 , hãy chứng minh các bất đẳng thức sau : +) ( ) 2 2 2 a b a b 2 2 + + +) ( ) 2 a b 4ab + +) ( ) 2 a b ab 2 + +) ( ) 2 1 1 (a,b 0) 4ab a b > + +) 1 1 4 (a,b 0) a b a b + > + +) 2 2 a b 2(a b ) (a,b 0)+ + > (BĐT Bu-nhi-a-côp-xki) +) a b 2 ab (a, b 0)+ > (BĐT cô-si) 3. Phơng pháp 3 : Dùng phép biến đổi tơng đơng - Quá trình chuyển từ một bất đẳng thức sang một bất đẳng thức tơng đơng gọi là một phép biến đổi tơng đơng . - Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã đợc chứng minh là đúng . - Khi có hai bất đẳng thức tơng đơng , nếu một bất đẳng thức đúng thì bất đẳng thức kia cũng đúng . Ta có sơ đồ : A > B A 1 > B 1 A 2 > B 2 A n > B n *) Bài tập 6 : Cho a, b là hai số dơng có tổng bằng 1 . Chứng minh rằng : 3 4 1 1 1 1 + + + ba Giải: Dùng phép biến đổi tơng đơng Giaựo vieõn: Phaùm Vaờn Hieọu Vì sự nghiệp giáo dục Năm học 2010 - 2011 3(a + 1 + b + 1) 4(a + 1) (b + 1) 9 4(ab + a + b + 1) (vì a + b = 1) 9 4ab + 8 1 4ab (a + b) 2 4ab Bất đẳng thức cuối đúng . Suy ra điều phải chứng minh . *) Bài tập 7 : Cho a, b, c là các số dơng thoả mãn : a + b + c = 4 Chứng minh rằng : (a + b)(b + c)(c + a) a 3 b 3 c 3 Giải: Từ : (a + b) 2 4ab , (a + b + c) 2 = [ ] cbacba )(4)( 2 +++ => 16 4(a + b)c => 16(a + b) 4(a + b) 2 c 16 abc => a + b abc Tơng tự : b + c abc c + a abc => (a + b)(b + c)(c + a) a 3 b 3 c 3 *) Bài tập 8 : Chứng minh bất đẳng thức : 3 33 22 + + baba ; trong đó a > 0 ; b > 0 Giải : Dùng phép biến đổi tơng đơng : Với a > 0 ; b > 0 => a + b > 0 3 33 22 + + baba + + + 2 ).( 2 22 ba baba ba . 2 2 + ba a 2 - ab + b 2 2 2 + ba 4a 2 - 4ab + 4b 2 a 2 + 2ab + b 2 3a 2 - 6ab + 3b 2 = 3(a 2 - 2ab + b 2 ) 0 ( ) 2 3 a b 0 Bất đẳng thức cuối cùng đúng ; suy ra : 3 33 22 + + baba Dấu = xảy ra a = b *) Bài tập 9 : Cho 2 số a, b thoả mãn a + b = 1 . CMR a 3 + b 3 + ab 2 1 Giải : Ta có : a 3 + b 3 + ab 2 1 <=> a 3 + b 3 + ab - 2 1 0 <=> (a + b)(a 2 - ab + b 2 ) + ab - 2 1 0 <=> a 2 + b 2 - 2 1 0 . Vì a + b = 1 <=> 2a 2 + 2b 2 - 1 0 <=> 2a 2 + 2(1-a) 2 - 1 0 ( vì b = a -1 ) <=> 4a 2 - 4a + 1 0 Giáo án Bồi dưỡng HSG Phần Đại số Trờng THCS Hồng Hng <=> ( 2a - 1 ) 2 0 Bất đẳng thức cuối cùng đúng . Vậy a 3 + b 3 + ab 2 1 Dấu '' = '' xảy ra khi a = b = 2 1 *) Bài tập 10 : Với a > 0 , b > 0 . Chứng minh bất đẳng thức : a b a a b b Giải : Dùng phép biến đổi tơng đơng : a b a a b b ( )() baabbbaa ++ 0 [ ] 0)()()( 33 ++ baabba 0)())(( +++ baabbababa 0)2)(( ++ bababa 2 ( a b )( a b ) 0+ Bất đẳng thức cuối đúng ; suy ra : a b a a b b *) Bài tập 11 : Cho các số dơng a , b thoả mãn điều kiện a + b = 1 Chứng minh rằng : ( 1 + 1 a )( 1 + 1 b ) 9 (1) Giải: Ta có ( a + 1 a .)( b + 1 b ) 9 ab + a + b + 1 9 ab ( vì a,b > 0 ) a + b + 1 8 ab 2 8 ab ( vì a + b = 1 ) ( a + b ) 2 4 ab ( a b ) 2 0 (2) Bất đẳng thức (2) đúng các phép biến đổi là tơng đơng vậy bất đẳng thức (1) đợc chứng minh. Xảy ra dấu đẳng thức a = b. IV. Hớng dẫn về nhà - Xem lại các bài đã chữa - Giải tiếp các bài tập sau: *) Bài tập 12 : Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) 3(m + 1) + m < 4(2 + m) b) b(b + a) ab c) a(a b) b(a b) d) 2 c 1 c 1 2 + *) Bài tập 13 : Cho các số dơng a, b, c có tích bằng 1. Chứng minh rằng (a + 1)(b + 1)(c + 1) 8 Giaựo vieõn: Phaùm Vaờn Hieọu [...]... bất đẳng thức trung gian m m > n n với a > b > 0 và m > n a +b a +b Nên khi m = 199 6, n = 199 5 thì bất đẳng thức phải chứng minh luôn đúng a 199 6 b 199 6 a 199 5 b 199 5 > a 199 6 + b 199 6 a 199 5 + b 199 5 9 Phơng pháp 9: Dùng phép quy nạp toán học - Kiến thức : Để chứng minh một bất đẳng thức đúng với n n0 bằng phơng pháp quy nạp toán học, ta tiến hành : + Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n = n0 + Giả sử bất đẳng... 9 => x + y + z x + y + z Mà : 0 < x + y + z 1 nên suy ra x y z 8 Phơng pháp 8: Dùng bất đẳng thức tổng quát chứa luỹ thừa các số tự nhiên *) Bài tập : Cho a > b > 0 CMR: a 199 6 b 199 6 a 199 5 b 199 5 > a 199 6 + b 199 6 a 199 5 + b 199 5 Giải : Để chứng minh bất đẳng thức trên , ta chứng minh bất đẳng thức trung gian sau: a m bm a n bn Nếu a > b > 0 và m,n là hai số tự nhiên mà m>n thì m m > n n (1) a +b... ; c2 + 2ab = z Khi đó : x + y + z = a2 + 2bc + b2 + 2ca + c2 + 2ab = (a + b + c)2 1 Bài toán trở thành : Cho x, y, z > 0 , x + y + z 1 Chứng minh rằng : 1 1 1 + + 9 x y z Ta chứng minh đợc : (x + y + z)( 1 1 1 1 1 1 + 2 + 2 9 a + 2bc b + 2ca c + 2ab 2 1 1 1 + + ) 9 x y z (Theo bất đẳng thức Côsi ) 9 1 1 1 + + 9 => x + y + z x + y + z Mà : 0 < x + y + z 1 nên suy ra x y z 8 Phơng pháp 8: Dùng... soạn : 09/ 09/ 10 Ngày dạy : 14/ 09/ 10 Chủ đề 1 Buổi 4 phơng pháp chứng minh bất đẳng thức A/Mục tiêu Giáo án Bồi dưỡng HSG Phần Đại số Trờng THCS Hồng Hng Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc : Kiến thức - Học sinh biết cách chứng minh một số bất đẳng thức bằng phơng pháp sử dụng các bất đẳng thức về ba cạnh của tam giác Kĩ năng - Rèn luyện kĩ năng biến đổi và rèn luyện khả năng t duy toán học... 04/10/ 09 Ngày dạy : 08/10/ 09 Giaự o vieõ n : Phaù m Vaờ n Hieọ u Vì sự nghiệp giáo dục Chủ đề 1 Buổi 5 Năm học 2010 - 2011 phơng pháp chứng minh bất đẳng thức A/Mục tiêu Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc : Kiến thức - Học sinh biết cách chứng minh bất đẳng thức bằng phơng pháp phản chứng, phơng pháp đổi biến, dùng bất đẳng thức tổng quát chứa lũy thừa các số tự nhiên, phơng pháp quy nạp toán. .. : 01/ 09/ 10 Ngày dạy : 07/ 09/ 10 Chủ đề 1 Buổi 3 phơng pháp chứng minh bất đẳng thức A/Mục tiêu Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc : Kiến thức - Học sinh biết cách chứng minh bất đẳng thức bằng phơng pháp biến đổi tơng đơng và dùng bất đẳng thức quen thuộc nh Cô -si, Bu-nhi-a-côp -xki hoặc bất đẳng thức giá trị tuyệt đối Kĩ năng - Rèn luyện kĩ năng biến đổi và rèn luyện khả năng t duy toán học... cho số dơng a + b ta đợc : ab > a2 - ab + b2 => 0 > (a - b)2 (Vô lý) Vậy : a + b 2 7 Phơng pháp 7: Đổi biến số - Kiến thức : Thực hiện phơng pháp đổi biến số nhằm đa bài toán đã cho về dạng đơn giản hơn, gọn hơn, dạng những bài toán đã biết cách giải *) Bài tập 1: Chứng minh rằng : Nếu a , b , c > 0 thì : Giaự o vieõ n : Phaù m Vaờ n Hieọ u Vì sự nghiệp giáo dục Năm học 2010 - 2011 a b c 3 + + b+c... 1 + + 2 ( + + ) p a p b p c a b c Giải: Trớc hết ta chứng minh bài toán : 1 1 4 Với x, y > 0 Chứng minh rằng x + y x + y Dấu = xảy ra x = y (vận dụng kết quả ở phần kiểm tra bài cũ) Ta có : p - a = b+ca >0 2 Giaự o vieõ n : Phaù m Vaờ n Hieọ u Vì sự nghiệp giáo dục Năm học 2010 - 2011 Tơng tự : p - b > 0 ; p - c > 0 áp dụng bài toán trên ta có: 1 1 4 4 + = p a p b ( p a ) + ( p b) c 1 1 4 Tơng... Chứng minh rằng : Giải : Theo cô - si ta có : Ta có : 1 1 1 + + 9 a b c a + b 2 với a , b > 0 b a 1 1 1 1 1 1 + + = ( + + ) 1 a b c a b c = ( 1 1 1 + + ) (a + a b c b + c) Giáo án Bồi dưỡng HSG Phần Đại số ) 2 Trờng THCS Hồng Hng a a b b c c + + +1+ + + +1 b c a c a b a b b c c a = 3+( + ) +( + ) +( + ) b a c b a c 1 1 1 => + + 9 a b c 1 khi : a = b = c = 3 =1 + Dấu ''='' xảy ra *) Bài tập 5:... tổng quát chứa lũy thừa các số tự nhiên, phơng pháp quy nạp toán học Kĩ năng - Rèn luyện kĩ năng biến đổi và rèn luyện khả năng t duy toán học thông qua chứng minh các bất đẳng thức Thái độ - Rèn luyện tính cẩn thận và chính xác, biết lựa chọn giải pháp hợp lý khi giải toán B/Chuẩn bị của thầy và trò - GV: - HS: C/Tiến trình bài dạy I Tổ chức II Kiểm tra bài cũ - HS1: Cho tam giác ABC Hãy viết các bất . Chứng minh rằng : ( 1 + 1 a )( 1 + 1 b ) 9 (1) Bài làm : Ta có ( a + 1 a .)( b + 1 b ) 9 ab + a + b + 1 9 ab ( vì a,b > 0 ) a + b + 1 8 ab 2. 1 Chứng minh rằng : ( 1 + 1 a )( 1 + 1 b ) 9 (1) Giải: Ta có ( a + 1 a .)( b + 1 b ) 9 ab + a + b + 1 9 ab ( vì a,b > 0 ) a + b + 1 8 ab 2 8